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\begin{document}
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\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud~\decofourright\\[7pt]décembre 2001}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 
2~cm). On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont une représentation 
paramétrique est :

\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
x = f(t) & \text{où} & f(t) = 2 \left(\cos ^2 t + \cos t -1\right)\\
y = g(t) & \text{où} & g(t) = \sin ^3t + \sin t 
\end{array} ~~\text{avec}~t \in [ - \pi~;~\pi]\right.\]

On appelle $M(t)$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ défini par la valeur $t$ du paramètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les positions relatives de $M(t)$ et $M( - t)$.
		\item Expliquer pourquoi il suffit alors, pour tracer $\mathcal{C}$, d'étudier $f$ et $g$ sur $[0~;~\pi]$.

Soit $\mathcal{C}'$ la partie de $\mathcal{C}$ correspondante.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(t) = - 2 \sin t ( 2 \cos t + 1)$. 
Étudier le signe de $f'$ sur $[0~;~\pi]$.
		\item Montrer que $g'(t) = \cos t \left( 3 \sin^2 t + 1\right)$. Étudier 
le signe de $g'$ sur $[0~;~\pi]$.
		\item Dans un même tableau, faire figurer les variations de $f$ et 
de $g$ sur $[0~;~\pi]$.
	\end{enumerate}
\item On veut déterminer l'intersection de $\mathcal{C}'$ et 
de l'axe des ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du \textbf{2.} montrer que l'équation $f(t) = 0$ a une unique solution dans $[0~;~\pi]$.

Soit $t_0$ celle solution.
		\item Donner une valeur approchée de $t_0$ à $10^{- 1}$ près par défaut.
		\item Déterminer une valeur approchée de $g(t_0)$.
	\end{enumerate}
\item Placer les points $M(0),~M(t_0),~M\left(\dfrac{\pi}{2}\right),~M(\pi)$.

Construire les tangentes à $\mathcal{C}'$ parallèles aux axes de coordonnées. Tracer $\mathcal{C}'$ puis en déduire la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie sur $\N$ par :

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
u_{0} & = & 0\\
u_{n+1} &= &\sqrt{3u_{n} +4}\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est majorée par 4.
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.
		\item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, 
on a :
\[ 4 - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(4 - u_{n}\right).\]

		\item Retrouver le résultat du \textbf{1. c}.
		\item Étudier la convergence de la suite $(v_{n})$ définie 
sur $\N$ par :

\[v_{n} = n^2\left(4 - u_{n}\right).\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas pris l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère l'ensemble $E = \{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6 ,~7\}$. 

Avec deux chiffres distincts $x$ et $y$ de $E$ on crée un unique domino 
simple noté indifféremment
\begin{pspicture}(1,0.5)
\psframe(1,0.5) \psline(0.5,0)(0.5,0.5)\rput(0.25,0.25){$x$} \rput(0.75,0.25){$y$} \end{pspicture}
 ou \begin{pspicture}(1,0.5)
\psframe(1,0.5) \psline(0.5,0)(0.5,0.5)\rput(0.25,0.25){$y$} \rput(0.75,0.25){$x$} \end{pspicture}.\\
Avec un chiffre $z$ de $E$, on forme un unique domino double noté 
\begin{pspicture}(1,0.5)
\psframe(1,0.5) \psline(0.5,0)(0.5,0.5)\rput(0.25,0.25){$z$} \rput(0.75,0.25){$z$} 
\end{pspicture}.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut ainsi créer 36 dominos.
\item On tire au hasard un domino.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino constitué de chiffres pairs ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire ?
	\end{enumerate}
\item On tire au hasard et simultanément deux dominos.

Un élève affirme : \og la probabilité d'obtenir un domino double 
et un domino simple dont l'un des chiffres est celui du domino double est égale à $\dfrac{4}{45}$ \fg.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (\emph{La réponse sera 
justifiée}).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul.

On considère les nombres $a$ et $b$ tels que :

\[a = 2 n^3 + 5n^2 + 4n + 1 \qquad \text{et} \qquad b = 2 n^2 + n.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $2n + 1$ divise $a$ et $b$.
\item Un élève affirme que le PGCD de $a$ et $b$ est $2n + 1$.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse? (\emph{La réponse sera 
justifiée.})
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (2x + 1)\text{e}^{- 2x}\]

et sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans le repère 
orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\textbf{Partie A : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$ ?
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty $.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point A d'intersection de 
$\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
		\item Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une tangente}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $f''$ désigne la dérivée seconde de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel, $f''(x) = 4(2x - 1) 
\text{e}^{- 2x}$.
		\item Résoudre l'équation $f''(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Soit B le point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ de la courbe 
$\mathcal{C}$. Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ en B.
\item On veut étudier la position relative de 
$\mathcal{C}$ et T : pour cela, on considère la fonction $g$ définie 
sur $\R$ par :

\[g(x) = f(x) - \left(- \dfrac{2}{\text{e}}x + \dfrac{3}{\text{e}}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$.
		\item Étudier le signe de $g''(x)$ suivant les valeurs de $x$.

En déduire le sens de variations de $g'$ sur $\R$.
		\item En déduire le signe de $g'(x)$ puis le sens de variation de $g$ 
sur $\R$.
		\item Déterminer alors le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Que peut-on en conclure sur la position relative de $\mathcal{C}$ et T ?
\end{enumerate}
\item Dans le repère \Oij{} placer les points A et B puis tracer 
la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : calculs d'aire et de volume}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un réel strictement positif.

On note A($\lambda$), l'aire, exprimée en unités d'aire, du 
domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les 
droites d'équations $ x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = \lambda$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer A($\lambda$) 
en fonction de $\lambda$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \text{A}(\lambda)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère les fonctions $h$ et $H$ définies 
sur $\R$ respectivement par :

\[h(x) = (2x + 1 )^2 \text{e}^{- 4x} \qquad \text{et} \qquad H(x) = \left 
(- x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{8}\right) \text{e}^{- 4x}.\]

Montrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
		\item On considère le domaine E limité par la courbe $\mathcal{C}$, 
l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - \dfrac{1}{2}$ et 
$x = \dfrac{1}{2}$.

On note $V$ le volume du solide de révolution engendré par la rotation de 
E autour de l'axe des abscisses.

On rappelle que $V$, en unités de volume, est exprimé par $V = \pi 
\displaystyle\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |f(x)|^2\:\text{d}x$.

Déterminer la valeur exacte de $V$ en unités de volume puis une valeur 
approchée de $V$ à $10^{- 3 }$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}