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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 1997}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Amérique du Sud  novembre 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

Monsieur M est chargé de ventes à domicile pour le bénéfice d'une association. 

À chaque personne sollicitée, il propose l'achat d'un livre seul, ou d'une cassette seule, ou l'achat d'un livre et d'une cassette.

Après un premier bilan de son activité, monsieur M estime que la probabilité qu'une personne visitée choisie au hasard achète un livre (évènement L) est 0,2, la probabilité qu'elle achète une cassette (évènement C) est $0,1$ et la probabilité qu'elle n'achète rien (évènement R) est $0,75$.
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :

$D$ : \og La personne visitée achète un livre ou une cassette \fg.

$E$ : \og La personne visitée achète un livre et une cassette \fg.

$F$ : \og La personne visitée achète seulement un livre \fg.

$G$ : \og La personne visitée achète seulement une cassette \fg.

\item Sachant que la personne visitée a acheté un livre, quelle est la probabilité qu'elle ait acheté aussi une cassette ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Monsieur M se présente successivement chez $n$ personnes choisies au hasard. Calculer la probabilité $p_{n}$ qu'une personne au moins lui achète un livre ou une cassette.

Comment faut-il choisir l'entier naturel $n$ pour avoir $p_{n} > 0,9$ ?
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, on donne un triangle ABC direct dont les angles sont aigus (c'est-à-dire que chacun des angles $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}} \right),\: \left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BA}} \right),\: \left(\vect{\text{CA}},~\vect{\text{CB}}\right)$ admet une mesure comprise entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$).

AEB est le triangle équilatéral tel que $\left(\vect{\text{AE}},~\vect{\text{AB}} \right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$.

ACF est le triangle équilatéral tel que $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AF}} \right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$.

On présentera les données sur une figure que l'on complétera progressivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, démontrer que :
CE = BF et

$\left(\vect{\text{EC}},~\vect{\text{BF}} \right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$.
\item Les droites (EC) et (BF) se coupent en un point I.

Démontrer que le cercle $\left(C_{1}\right)$ circonscrit au triangle AEB et le cercle $\left(C_{2}\right)$ circonscrit au triangle ACF passent par le point I.
\item Soit M le milieu de [EC] et N le milieu de [BF].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle AMN est équilatéral direct.
		\item Démontrer que le cercle $(C)$ circonscrit au triangle AMN passe aussi par le point I.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème \hfill 11 points}}

\medskip

La partie I est l'étude d'une fonction auxiliaire $g$ nécessaire à l'étude de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]

L'étude de la fonction $f$ fait l'objet de la partie II.

La partie III est l'étude de deux suites numériques associées.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = x^2 - 2 \ln x.\]

/medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$.
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]

On appelle $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal ? (unité graphique 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$.

Interpréter graphiquement le résultat.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Montrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = \dfrac{x}{2}$? est asymptote à la courbe $(C)$.
		\item Déterminer la position de $(C)$ par rapport à ($\Delta$) sur $]0~;~+ \infty[$.

Montrer, en particulier, que ($\Delta$) coupe $(C)$ en un point A que l'on déterminera.
	\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f$.
Dresser le tableau de variation de $f$.

\item Montrer qu'il existe un point B, et un seul, de la courbe $(C)$ où la tangente (T) à $(C)$ est parallèle à ($\Delta$).

Préciser les coordonnées de B.

\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$.

Justifier l'encadrement : $0,34 < \alpha < 0,35$.

\item Tracer la courbe $(C)$ et les droites ($\Delta$) et (T).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

On considère la suite numérique $\left(x_{n}\right)$ définie par $x_{n} = \text{e}^{\frac{n - 2}{2}}$ pour tout nombre entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(x_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
		\item Montrer que $\left(x_{n}\right)$ est une suite croissante.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $a_{n} = 4\displaystyle\int_{x_{n}}^{x_{n+1}} \left[f(x) - \dfrac{x}{2}\right]\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation géométrique de $a_{n}$.
		\item Montrer que $a_{n} = \dfrac{2n + 1}{2}$ pour tout nombre entier naturel $n$.
		
En déduire que $\left(a_{n}\right)$ est une suite arithmétique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}