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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2003}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud~\decofourright\\  
novembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement $-1,~ 0,~ 0,~ 1$ et indiscernables au toucher.

On tire un jeton du sac, on note son numéro $x$ et on le remet dans 
le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro $y$ et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro $z$ et on le remet dans le sac.

Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés.

À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l'espace muni d'un repère
 orthonormal \Oijk{} le point $M$ de coordonnées $(x,~ y,~ z)$.
 
Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point $M$. Les coordonnées du point  A sont $(1~;~-1~;~-1)$ dans le repère \Oijk.
 
On note $\mathcal{C}$ le cube ABCDEFGH.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	Démontrer que la probabilité que le point $M$ soit en A est égale à $\dfrac{1}{64}$.
\item On note E$_1$ l'évènement : \og $M$ appartient à l'axe des abscisses \fg{}.

Démontrer que la probabilité de E$_1$ est égale à $\dfrac{1}{4}$.
\item Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par O et orthogonal 
au vecteur $\vect{n} (1~;~1~;~1)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
		\item Tracer en couleur sur le graphique de la page 5, la section du plan $\mathcal{P}$
 et du cube $\mathcal{C}$. (On ne demande pas de justification).
		\item On note E$_2$ l'évènement : \og $M$ appartient à $\mathcal{P}$ \fg{}.

Quelle est la probabilité de l'évènement E$_2$ ?
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{B}$ la boule de centre O et de rayon 1,5 (c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que O$M \leqslant  1,5$).

On note E$_3$ l'évènement : \og $M$ appartient à la boule $\mathcal{B}$ \fg{}.

Déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 4~cm).

Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre 
[OI] et on nomme son centre $\Omega$.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
On pose $a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ et on note 
A$_0$ son image.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
\item Soit B le point d'affixe $b$, avec $b =  -1 + 2\text{i}$, et B$'$ le
point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $b'$.
		\item Démontrer que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $a$ un nombre complexe non nul et différent de 1, et $A$ son image dans le plan complexe.
 
À tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = az$.

\begin{enumerate}
\item On se propose de déterminer l'ensemble des points $A$ tels que
 le triangle O$MM'$ soit rectangle en $M'$.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement arg$\left( \dfrac{a - 1}{ 
a}\right)$.
		\item Montrer que $\left(\vect{M'\text{O}},~ 
\vect{M'M}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) + 2k\pi
\quad (\text{où}~ k \in  \Z)$.
		\item En déduire que le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ privé de O et de I. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M$ est un point de l'axe des abscisses,
 différent de O.

On note $x$ son affixe.

On choisit $a$ de manière que $A$ soit un point de $\mathcal{C}$ différent de I et de O.

Montrer que le point $M'$ appartient à la droite (O$A$).

En déduire que $M'$ est le projeté orthogonal de $M$ sur cette droite.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} (unité graphique : 1~cm).

On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle~$\dfrac{\pi}{5}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation 

\[(E) :	3y = 5(15 - x).\]

\item Soit I le point d'affixe 1.

On considère un point $A$ mobile sur le cercle trigonométrique 
$\mathcal{C}$ de centre O.

Sa position initiale est en I.

On appelle $d$ la distance, exprimée en centimètres, qu'a parcourue le point $A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ après avoir subi $p$ rotations $r_1$ et $q$  rotations $r_2$ \quad ($p$ et $q$ étant des entiers naturels).

On convient que lorsque $A$ subit la rotation $r_1$ (respectivement $r_2$),
 il parcourt une distance de  $\dfrac{\pi}{3}$cm (respectivement 
 $\dfrac{\pi}{5}$ cm).

Déterminer toutes les valeurs possibles de $p$ et $q$ pour lesquelles le point $A$ a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle $\mathcal{C}$ à partir de I.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $h_1$ l'homothétie de centre O et de rapport 4 et $h_2$ l'homothétie de centre O et de rapport $-6$. On pose $s_1 = r_1 \circ h_1$ et $s_2 = r_2 \circ h_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les éléments caractéristiques 
de $s_1$ et $s_2$.
\item On pose :

$S_m = s_1  \circ s_1 \cdots \circ s_1$ (composée de $m$ fois $s_1$,~ $m$ étant un entier naturel non nul),

$S'_n = s_2  \circ s_2 \cdots \circ s_2$ (composée de $n$ fois $s_2$,~ 
$n$ étant un entier naturel non nul),
et $f = S'_n   \circ  S_m$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f$ est la similitude directe de centre O, de rapport
 $2^{2m+n}~\times~ 3^n$ et d'angle $m\dfrac{\pi}{3} + n\dfrac{6\pi}{5}$.
		\item $f$ peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?
		\item On appelle M le point d'affixe 6 et M$'$ son image par $f$.

Peut-on avoir OM$' =  240$ ?

Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels unique $(m,~n)$ tel que  OM$' = 576$.

Calculer alors la mesure principale de l'angle orienté 
$\left(\vect{u},~ \vect{\text{OM}'}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) =	\dfrac{1}{\text{e}^{x} + \text{e}^{- x}} \]

et on désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Gamma$ ?
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^x$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur 
$[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x}$ et
 
 $h(x) = \dfrac{1}{2\text{e}^x}$.

Sur l'annexe  sont tracées, dans le repère \Oij{}	les courbes représentatives de $g$ et $h$, notées respectivement $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$.
	\begin{enumerate}
 		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $h(x) 
\leqslant f(x) \leqslant g(x)$.
		\item Que peut-on en déduire pour les courbes $\Gamma,\: \Gamma_1$, et  $\Gamma_2$ ?

Tracer $\Gamma$ sur l'annexe, en précisant sa tangente au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $I_n = 
\displaystyle\int_n^{n+1}\: f(x)\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $\left(I_n\right)$, et donner une
 interprétation géométrique de $\left(I_n\right)$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Démontrer, que pour tout entier naturel $n,~f(n +1) 
\leqslant  I_n  \leqslant f(n)$.
		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est
 convergente et déterminer sa limite. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $\left(J_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $J_n = 
\displaystyle\int_0^{n}\: f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	En utilisant l'encadrement obtenu dans la question 
\textbf{A. 4. a.}, démontrer que,  pour tout entier naturel $n$ :

\[\dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) \leqslant J_{n} 
\leqslant  1 - \text{e}^{-n} \leqslant 1.\]

\item Démontrer que la suite $\left(J_n\right)$ est croissante.

En déduire qu'elle converge.
\item On note $L$ la limite de la suite $\left(J_n\right)$ et on
 admet le théorème suivant :

\og Si $u_n$, $v_n$ et $w_n$ sont trois suites convergentes de limites respectives 
$a$, $b$ et $c$ et si, à partir d'un certain rang on a pour tout $n$, $u_n 
\leqslant v_n  \leqslant w_n$, alors 

$a \leqslant b \leqslant c$ \fg{}.

Donner un encadrement de $L$.
\item	Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[u(x) = \dfrac{1}{1+ x^2}.\]

On note $v$ la primitive de $u$ sur $\R$ telle que $v(1) = 
\dfrac{\pi}{4}$.

On admet que la courbe représentative de $v$ admet en $+ \infty$ une asymptote d'équation $y = \dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		 \item Démontrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2 +1}$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,~  f$ est la dérivée de la fonction 
		
		$x \mapsto v\left(\text{e}^x\right)$.
		\item En déduire la valeur exacte de $L$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe de l'exercice 1}
    
\vspace{0,8cm}
    
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}
    
\vspace{3cm}
\psset{unit=0.95cm}
 
\begin{pspicture}(-6.3,-6.1)(6.3,6.1)
%\psgrid
\psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(4.7,-0.35)
\psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(-1.6,-0.9)
\psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(0,4.9)
\psline(3.2,-6)(3.2,3.7)(6.3,5.4)
\psline(-6.3,-5.4)(3.2,-6)(6.3,-4.4)(6.3,5.4)(-3.2,6)(-6.3,4.3)(-6.3,-5.4)
\psline(4.7,-5.2)(4.7,4.5)(-4.7,5.2)%ici
\psline(-6.3,-0.5)(3.2,-1.2)(6.3,0.5)
\psline(3.2,3.7)(-6.3,4.3)
\psline(-1.55,-5.75)(-1.55,4)(1.55,5.75)
\psline[linestyle=dotted](4.7,-5.3)(-4.7,-4.5)(-4.7,5.2)
\psline[linestyle=dotted](-4.7,0.3)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](6.3,-4.4)(-3.2,-3.7)(-3.2,6)
\psline[linestyle=dotted](-1.55,-5.8)(1.5,-4)(1.5,5.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0,-4.9)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-0.5)(-3.2,1.2)(6.3,0.5)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-5.4)(-3.2,-3.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.5,0.9)
\uput[ul](0,0){O} \uput[dl](-6.3,-5.4){A} \uput[dr](3.2,-6){B}
\uput[dr](6.3,-4.4){C} \uput[ul](-3.2,-3.7){D} \uput[ul](-6.4,4.3){E}
\uput[u](3.2,3.7){F} \uput[ur](6.3,5.4){G} \uput[u](-3.2,6){H}
\uput[u](-1,-0.6){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[u](2.4,0){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](0.2,2.4){$\overrightarrow{k}$}
\qdisk(-4.7,0.35){2pt} \qdisk(-3.2,1.2){2pt} \qdisk(1.5,0.9){2pt} 
\qdisk(-3.2,-3.7){2pt} \qdisk(-4.7,-4.5){2pt} \qdisk(0,-4.9){2pt}
\qdisk(1.5,-4){2pt} \qdisk(4.7,-0.35){2pt} \qdisk(4.7,-5.25){2pt}
\qdisk(-1.55,-5.7){2pt}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe du problème}

\vspace{0,8cm}
    
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}    

\vspace{1cm}

Courbes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$

\vspace{2cm}
    
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.25)(6,1.1)
\multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linecolor=orange](\n,-0.2)(\n,1.1)}
%\multido{\n=0+1}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.21)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(6,1.11)
%\uput[l](0,-0.2){-0,2} \uput[l](0,-0.1){-0,1} \uput[l](0,0){0} 
%\uput[l](0,0.1){0,1} \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[l](0,0.3){0,3} 
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%\uput[l](0,1){1} \uput[l](0,1.1){1,1} 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x   exp div}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x   exp 2 mul  div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}