%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small novembre 2003} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud~\decofourright\\[7pt] novembre 2003}}\end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement $-1,~ 0,~ 0,~ 1$ et indiscernables au toucher. On tire un jeton du sac, on note son numéro $x$ et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro $y$ et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro $z$ et on le remet dans le sac. Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés. À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{} le point $M$ de coordonnées $(x,~ y,~ z)$. Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point $M$. Les coordonnées du point A sont $(1~;~-1~;~-1)$ dans le repère \Oijk. On note $\mathcal{C}$ le cube ABCDEFGH. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que le point $M$ soit en A est égale à $\dfrac{1}{64}$. \item On note E$_1$ l'évènement : \og $M$ appartient à l'axe des abscisses \fg. Démontrer que la probabilité de E$_1$ est égale à $\dfrac{1}{4}$. \item Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par O et orthogonal au vecteur $\vect{n} (1~;~1~;~1)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. \item Tracer en couleur sur le graphique de la page 5, la section du plan $\mathcal{P}$ et du cube $\mathcal{C}$. (On ne demande pas de justification). \item On note E$_2$ l'évènement : \og $M$ appartient à $\mathcal{P}$ \fg{}. Quelle est la probabilité de l'évènement E$_2$ ? \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{B}$ la boule de centre O et de rayon 1,5 (c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que O$M \leqslant 1,5$). On note E$_3$ l'évènement : \og $M$ appartient à la boule $\mathcal{B}$ \fg{}. Déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 4~cm). Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre $\Omega$. \medskip \textbf{Partie I} \medskip On pose $a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ et on note A$_0$ son image. \begin{enumerate} \item Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. \item Soit B le point d'affixe $b$, avec $b = -1 + 2\text{i}$, et B$'$ le point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$. \begin{enumerate} \item Calculer $b'$. \item Démontrer que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip Soit $a$ un nombre complexe non nul et différent de 1, et $A$ son image dans le plan complexe. À tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = az$. \begin{enumerate} \item On se propose de déterminer l'ensemble des points $A$ tels que le triangle O$MM'$ soit rectangle en $M'$. \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement arg$\left( \dfrac{a - 1}{ a}\right)$. \item Montrer que $\left(\vect{M'\text{O}},~ \vect{M'M}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) + 2k\pi \quad (\text{où}~ k \in \Z)$. \item En déduire que le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ privé de O et de I. \end{enumerate} \item Dans cette question, $M$ est un point de l'axe des abscisses, différent de O. On note $x$ son affixe. On choisit $a$ de manière que $A$ soit un point de $\mathcal{C}$ différent de I et de O. Montrer que le point $M'$ appartient à la droite (O$A$). En déduire que $M'$ est le projeté orthogonal de $M$ sur cette droite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} (unité graphique : 1~cm). On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle~$\dfrac{\pi}{5}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation \[(E) : \quad 3y = 5(15 - x).\] \item Soit I le point d'affixe 1. On considère un point $A$ mobile sur le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ de centre O. Sa position initiale est en I. On appelle $d$ la distance, exprimée en centimètres, qu'a parcourue le point $A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ après avoir subi $p$ rotations $r_1$ et $q$ rotations $r_2$ \quad ($p$ et $q$ étant des entiers naturels). On convient que lorsque $A$ subit la rotation $r_1$ (respectivement $r_2$), il parcourt une distance de $\dfrac{\pi}{3}$cm (respectivement $\dfrac{\pi}{5}$ cm). Déterminer toutes les valeurs possibles de $p$ et $q$ pour lesquelles le point $A$ a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle $\mathcal{C}$ à partir de I. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note $h_1$ l'homothétie de centre O et de rapport 4 et $h_2$ l'homothétie de centre O et de rapport $-6$. On pose $s_1 = r_1 \circ h_1$ et $s_2 = r_2 \circ h_2$. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les éléments caractéristiques de $s_1$ et $s_2$. \item On pose : $S_m = s_1 \circ s_1 \cdots \circ s_1$ (composée de $m$ fois $s_1$,~ $m$ étant un entier naturel non nul), $S'_n = s_2 \circ s_2 \cdots \circ s_2$ (composée de $n$ fois $s_2$,~ $n$ étant un entier naturel non nul), et $f = S'_n \circ S_m$. \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est la similitude directe de centre O, de rapport $2^{2m+n}~\times~ 3^n$ et d'angle $m\dfrac{\pi}{3} + n\dfrac{6\pi}{5}$. \item $f$ peut-elle être une homothétie de rapport 144 ? \item On appelle M le point d'affixe 6 et M$'$ son image par $f$. Peut-on avoir OM$' = 240$ ? Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels unique $(m,~n)$ tel que OM$' = 576$. Calculer alors la mesure principale de l'angle orienté $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OM}'}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{x} + \text{e}^{- x}} \] et on désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Gamma$ ? \item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^x$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~~+ \infty[$. \end{enumerate} \item On considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x}$ et $h(x) = \dfrac{1}{2\text{e}^x}$. Sur l'annexe sont tracées, dans le repère \Oij{} les courbes représentatives de $g$ et $h$, notées respectivement $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$. \item Que peut-on en déduire pour les courbes $\Gamma,\: \Gamma_1$, et $\Gamma_2$ ? Tracer $\Gamma$ sur l'annexe, en précisant sa tangente au point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $I_n = \displaystyle\int_n^{n+1}\: f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $\left(I_n\right)$, et donner une interprétation géométrique de $\left(I_n\right)$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer, que pour tout entier naturel $n,~f(n +1) \leqslant I_n \leqslant f(n)$. \item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante. \item Démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $\left(J_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $J_n = \displaystyle\int_0^{n}\: f(x)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant l'encadrement obtenu dans la question \textbf{A. 4. a.}, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \[\dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) \leqslant J_{n} \leqslant 1 - \text{e}^{-n} \leqslant 1.\] \item Démontrer que la suite $\left(J_n\right)$ est croissante. En déduire qu'elle converge. \item On note $L$ la limite de la suite $\left(J_n\right)$ et on admet le théorème suivant : \og Si $u_n$, $v_n$ et $w_n$ sont trois suites convergentes de limites respectives $a$, $b$ et $c$ et si, à partir d'un certain rang on a pour tout $n$, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$, alors $a \leqslant b \leqslant c$ \fg. Donner un encadrement de $L$. \item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par \[u(x) = \dfrac{1}{1+ x^2}.\] On note $v$ la primitive de $u$ sur $\R$ telle que $v(1) = \dfrac{\pi}{4}$. On admet que la courbe représentative de $v$ admet en $+ \infty$ une asymptote d'équation $y = \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2 +1}$. \item Démontrer que, pour tout réel $x,~ f$ est la dérivée de la fonction $x \mapsto v\left(\text{e}^x\right)$. \item En déduire la valeur exacte de $L$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{Annexe de l'exercice 1} \vspace{0,8cm} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie} \vspace{3cm} \psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(-6.3,-6.1)(6.3,6.1) \psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(4.7,-0.35) \psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(-1.6,-0.9) \psline[linewidth=2.pt]{->}(0,0)(0,4.9) \psline(3.2,-6)(3.2,3.7)(6.3,5.4) \psline(-6.3,-5.4)(3.2,-6)(6.3,-4.4)(6.3,5.4)(-3.2,6)(-6.3,4.3)(-6.3,-5.4) \psline(4.7,-5.2)(4.7,4.5)(-4.7,5.2)%ici \psline(-6.3,-0.5)(3.2,-1.2)(6.3,0.5) \psline(3.2,3.7)(-6.3,4.3) \psline(-1.55,-5.75)(-1.55,4)(1.55,5.75) \psline[linestyle=dotted](4.7,-5.3)(-4.7,-4.5)(-4.7,5.2) \psline[linestyle=dotted](-4.7,0.3)(0,0) \psline[linestyle=dotted](6.3,-4.4)(-3.2,-3.7)(-3.2,6) \psline[linestyle=dotted](-1.55,-5.8)(1.5,-4)(1.5,5.7) \psline[linestyle=dotted](0,0)(0,-4.9) \psline[linestyle=dotted](-6.3,-0.5)(-3.2,1.2)(6.3,0.5) \psline[linestyle=dotted](-6.3,-5.4)(-3.2,-3.7) \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.5,0.9) \uput[ul](0,0){O} \uput[dl](-6.3,-5.4){A} \uput[dr](3.2,-6){B} \uput[dr](6.3,-4.4){C} \uput[ul](-3.2,-3.7){D} \uput[ul](-6.4,4.3){E} \uput[u](3.2,3.7){F} \uput[ur](6.3,5.4){G} \uput[u](-3.2,6){H} \uput[u](-1,-0.6){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[u](2.4,0){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[r](0.2,2.4){$\overrightarrow{k}$} \qdisk(-4.7,0.35){2pt} \qdisk(-3.2,1.2){2pt} \qdisk(1.5,0.9){2pt} \qdisk(-3.2,-3.7){2pt} \qdisk(-4.7,-4.5){2pt} \qdisk(0,-4.9){2pt} \qdisk(1.5,-4){2pt} \qdisk(4.7,-0.35){2pt} \qdisk(4.7,-5.25){2pt} \qdisk(-1.55,-5.7){2pt} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center}\textbf{Annexe du problème} \vspace{0,8cm} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie} \vspace{1cm} Courbes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ \vspace{2cm} \psset{xunit=2cm,yunit=10cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-0.25)(6,1.1) \multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(6,\n)} \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linecolor=orange](\n,-0.2)(\n,1.1)} %\multido{\n=0+1}{7}{\uput[d](\n,0){\n}} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.21)(6,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(6,1.11) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x exp div} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6}{1 2.71828 x exp 2 mul div} \end{pspicture} \end{center} \end{document}