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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006 ~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points :

A de coordonnées $(3 ~;~1~;~-5)$, B de coordonnées $(0~;~ 4~;~-5)$, C de coordonnées $(-1~;~2~;~-5)$ et D de coordonnées (2~;~3~;~4).

\medskip

\emph{Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention} \og VRAI \fg{} \emph{ou} \og FAUX \fg. \emph{On attribue} 0,5  \emph{point par réponse correcte et on retranche} 0,25 \emph{point par réponse incorrect.\\
L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à} 0.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points A, B et D sont alignés.
\item La droite (AB) est contenue dans le plan d'équation cartésienne : $x + y = 4$.
\item Une équation cartésienne du plan (BCD) est : $18x - 9y - 5z + 11 = 0$.
\item Les points A, B, C et D sont coplanaires.
\item La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).

\item Une représentation paramétrique de la droite (BD) est :

\renewcommand\arraystretch{1.7} 
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&\phantom{-}1-2k\\
y&=&\phantom{-}\dfrac{7}{2} + \phantom{9}k,\\
z&=& - \dfrac{1}{2} - 9k\\
\end{array}\right.$$k \in \R$
\renewcommand\arraystretch{1} 
\end{enumerate}

~;~

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \emph{Question de cours}

On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe 
$z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et arg $(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ \fg.

Soient $M,~N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) 	= \left(\vect{MN},~\vect{MP}\right)$.
		\item Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$
	\end{enumerate}
\item On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 4 + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 1+ \text{i}, \quad  z_{\text{C}} = 5\text{i}~ \text{et}~z_{\text{D}} = -3 -\text{i}.\]

Placer ces points sur une figure.
\item Soit $f$ l'application du plan dans lui-m\^eme qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel
que :

\[z' = (1 +2\text{i})z - 2 -4\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Préciser les images des points A et B par $f$.
		\item Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, on a :

\[z'-z =  -2\text{i}(2 - \text{i} - z).\]

		\item En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$, la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$	et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{M \Omega},~\vect{MM'}\right)$
		\item Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ?
		\item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$. Écrire $z_{\text{E}}$ sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E$'$ associé au point E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Rappel :

Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 7, et on écrit $a  \equiv b \quad \mod 7$ lorsqu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a =  b + 7k$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question constitue une restitution organisée de connaissances}
	\begin{enumerate}
		\item  Soient $a,~ b,~ c$ et $d$ des entiers relatifs.\\
Démontrer que : si $a \equiv b \mod 7$ et $c  \equiv d \mod 7$ alors $ac \equiv  bd \mod 7$.
		\item En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls\\
si $a \equiv b \mod 7$ alors pour tout entier naturel $n,~ a^n \equiv  b^n \mod 7$.
	\end{enumerate}
\item Pour $a = 2$ puis pour $a =  3$, déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n \equiv  1 \mod 7$.
\item Soit $a$ un entier naturel non divisible par 7.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $a^6 \equiv 1 \mod 7$.
		\item On appelle \emph{ordre} de $a \mod 7$, et on désigne par $k$, le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k \equiv 1 \mod 7$. Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de 
$6$ par $k$ vérifie $a^r \equiv 1 \mod 7$.\\
En déduire que $k$ divise $6$.\\
Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ?
		\item Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers $a$ compris entre $2$ et $6$.
	\end{enumerate}
\item À tout entier naturel $n$, on associe le nombre

\[A_{n} = 2^n  + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n.\]

Montrer que $A_{2006} \equiv  6 \mod 7.$
\end{enumerate}

~;~

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.

La probabilité pour qu'un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{4}$.

La probabilité pour qu'un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{2}$.

Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.

Soit $n$ un entier naturel vérifiant $0  \leqslant n  \leqslant 50$.

On définit les évènements suivants :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ :	\og le jardinier a choisi le lot 1 \fg
\item $B$ :	\og le jardinier a choisi le lot 2 \fg
\item $J_{n}$ : \og le jardinier obtient $n$ tulipes jaunes \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot $1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot $1$ ?
		\item Quelle est l'espérance mathématique de cette loi ?
		\item Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes,
		\item Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au millième du résultat.
	\end{enumerate}
\item Probabilités conditionnelles
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $P_{B}\left(J_{n}\right) =  \binom{50}{n}2^{-50}$.
		\item En déduire la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes.
		\item On note $p_{n}$ la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que $J_{n}$ est réalisé. établir que :

\[p_{n} = \dfrac{3^{50 - n}}{3^{50 - n} + 2^{ 50}}.\]

		\item  Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} \geqslant  0,9$ ?

Comment peut-on interpréter ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $ f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$ puis étudier le sens de variations de $ f_{n}$.
		\item Montrer que l'équation $ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient à l'intervalle [1~;~e].
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On note ($\Gamma$) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point $B_{n}$ de coordonnées $(n ~;~0)$.
		\item  Faire un croquis représentant la courbe ($\Gamma$) et les droites $\Delta_{1}, ~\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$.
		\item  Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ($\Gamma$) avec $\Delta_{n}$.
		\item Préciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$.
		\item Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et vérifier que : \\
$f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$.
		\item  Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
		\item Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite. 
		
Établir que : $\ln \ell = 1$ et en déduire la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{D}_{n}$ le domaine délimité par la courbe ($\Gamma$), l'axe des abscisses et les droites d'équation : $x = \alpha_{n}$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ en fonction de $\alpha_{n}$ et montrer que cette aire est égaie à $\dfrac{\alpha_{n}^2}{n}$.
		\item Établir que :
		
\[\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \leqslant  \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \leqslant \left(\text{e} - \alpha_{n}\right).\]

		\item En déduire un encadrement de $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$.
		\item La suite de terme général $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d'apprécier la rapidité de la convergence de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}