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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2008 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A, B, C d'affixes respectives $a = - 1 + 2\text{i},\quad b = 1 + 3\text{i},\quad c = 4\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

\item  Soit I le milieu de [BC] et $z_{\text{I}}$ son affixe.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de A dont l'affixe $z$ est telle que $\dfrac{z - z_{\text{I}}}{z - a}$ soit un réel ?
		\item Déterminer l'unique réel $x$ tel que $\dfrac{x - z_{\text{I}}}{x - a}$ soit un réel.
		\item Soit $z_{\vect{\text{AI}}}$ l'affixe du vecteur  $\vect{\text{AI}}$, donner une forme trigonométrique de $z_{\vect{\text{AI}}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit G le point d'affixe $-3$. Montrer qu'il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l'axe des réels.
		\item Soit $r_{1}$ la rotation de centre G et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{4}$.
		
Déterminer l'écriture complexe de $r_{1}$.
	\end{enumerate}	
\item Soit A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B, et C par la rotation $r_{1}$ ; soient $a',~ b'$ et $c'$ leurs affixes.

Quelle est l'image par $r_{1}$ de l'axe de symétrie du triangle ABC ?

En déduire que $b' = \overline{c'}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit 

\mbox{ABCDEFGH} tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD].

\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\pspolygon(0.4,0.4)(5.7,0.25)(7.8,1.25)(7.75,4)(2.4,4.2)(0.3,3.2)%BCDHEF
\psline(5.7,0.25)(5.6,3.1)(7.75,4)(0.3,3.2)(5.6,3.1)(7.75,4)%CGHFGH
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,1.3)(2.4,4.2)%BAE
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.3)(7.8,1.25)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.3,3.2)(5.2,1.3)(5.6,3.1)%FIG
\psline[linestyle=dashed](5.2,1.3)(7.75,4)%IH
\uput[d](2.4,1.3){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[d](5.7,0.25){C} 
\uput[dr](7.8,1.25){D} \uput[u](2.4,4.2){E} \uput[ul](0.4,3.2){F} 
\uput[u](5.7,3.1){G} \uput[ur](7.8,4){H} \uput[d](5.2,1.3){I} 
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}  ~;~\vect{\text{AI}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à $\dfrac{1}{3}$.
		\item  Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.
		
En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance $d$ du point G au plan  (FIH).
    \end{enumerate}
\item Soit  le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~1~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (FIH).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).
		\item Retrouver par une autre méthode la distance $d$ du point G au plan (FIH).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?
		\item  Donner un système d'équations paramétriques de cette droite.
		\item  Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH).
	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.}

Soit $\Gamma$ la sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l'intersection de $\Gamma$ et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

Soit $D$ la droite passant par le point A de coordonnées (0~;~0~;~2) et de vecteur directeur $\vect{u}$ de coordonnées (1~;~1~;~0) et soit $D'$ la droite dont une représentation paramétrique est :  
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&\phantom{-} t'\\
y&=&- t' \\
z&=&- 2\\
\end{array}\right. \quad (t' \in \R)\]

Le but de l'exercice est d'étudier l'ensemble $S$ des points de l'espace équidistants de $D$ et de $D'.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Une équation de} \boldmath $S$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $D$ et $D'$ sont orthogonales et non coplanaires.
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $D$.
		
Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x ~;~ y ~;~ z)$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. Montrer que $\vect{MH}$ a pour coordonnées 

$\left( \dfrac{-x + y}{2}~;~\dfrac{x - y}{2}~;~ 2 - z \right)$.

En déduire $MH^2$ en fonction de $x,~ y$ et $z$.

Soit $K$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D'$. Un calcul analogue au précédent permet d'établir que : $MK^2 = \dfrac{(x + y)^2}{2} + (2 + z)^2$, relation que l'on ne demande pas de vérifier.
		\item Montrer qu'un point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ si et seulement si   $z = - \dfrac{1}{4}xy$.
	\end{enumerate}	
\item \textbf{Étude de la surface \boldmath $S$ \unboldmath d'équation} \boldmath   $z = - \dfrac{1}{4}xy$ \unboldmath

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item On coupe $S$ par le plan ($x$O$y$). Déterminer la section obtenue.
		\item On coupe $S$ par un plan $P$ parallèle au plan ($x$O$y$).
		
Quelle est la nature de la section obtenue ?
		\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.}
		
On coupe $S$ par le plan d'équation $x + y = 0$. Quelle est la nature de la section obtenue ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.}

\medskip

On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, positive sur  $[1~;~+\infty[$, et vérifie :  

\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~x~\text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\]

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{ Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : 

\[2y' + y = 0 \quad   (\text{E}),\]

dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

\item On considère l'équation différentielle :  

\[2y' + y = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \quad     (\text{E}')\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
		
\[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right)~ \text{soit solution de (E}').\]
		\item  Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.
		
Montrer que $g$ est solution de l'équation (E$'$) si et seulement si $g - f$ est solution de l'équation (E).

Résoudre l'équation (E$'$).
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(x^2 + 2x\right)$.

\item Déterminer les limites en $- \infty$ et en $+ \infty$  de la fonction $h$.

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on note $\mathcal{C}$  la courbe représentative de $h$ et $\Gamma$ celle de la fonction : $x \longmapsto \text{e}^{- \frac{x}{2}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
		\item Tracer ces deux courbes sur un même graphique.
	\end{enumerate}   
\end{enumerate}
\end{document}