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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\cfoot{\thepage}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small Novembre 2010}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud
~\decofourright\\Novembre 2010}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
 
\emph{On admet que si $\mathcal{D}$ et  $\mathcal{D}'$ sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Si $\Delta$ coupe $\mathcal{D}$ en le point I et $\mathcal{D}'$ en le point J, la distance IJ est appelée distance de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{D}'$.}

\medskip
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. 
 
On note $\mathcal{D}$ la droite des abscisses et  $\mathcal{D}'$, la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x	& -t\\
y 	& 3 + 3t\\
z	& 1 - t
\end{array}\right.,~t \in \R$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.
\item  On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire commune à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Prouver qu'il existe deux réels $b$ et $c$ 
tels que le vecteur $\vect{w} = b\vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit un vecteur directeur de $\Delta$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $-3y + z = 0$ est un plan contenant la droite $\mathcal{D}$.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$. 
		\item Justifier que la droite passant par J,  de vecteur directeur $\vect{w}$ est sécante à $\mathcal{D}$ en un point I et qu'elle est la perpendiculaire commune à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. 
		\item En déduire la distance de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{D}'$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,9.5)
\pspolygon(0,2.3)(8.7,2.3)(11.7,6.2)(3,6.2)
\psline(3,6)(8.5,3.3) \psline(4.4,2.9)(10.5,5.5)
\psline(7.4,9.3)(4.7,5.2) \psline[linestyle=dashed](4.7,5.2)(2.8,2.3)
\psline(2.8,2.3)(1.1,0)
\uput[dl](4.5,5.3){J}\uput[u](10,5.3){$\mathcal{D}$}
\uput[d](8.3,3.2){$\Delta$}\uput[l](7,8.6){$\mathcal{D}'$}
\uput[ur](0.2,2.3){$\mathcal{P}$}\uput[d](7,4){I}
\psline(4.9,5.05)(5.04,5.23)(4.8,5.35)
\psline(6.8,4.12)(7.05,4.25)(7.28,4.15)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
 
\medskip
  
Soit A, B et P les points d'affixes respectives $a = 5 + 5\text{i},~b = 5 - 5\text{i}$ et $p = 10$.

On considère un point $M$, distinct de O, d'affixe $z$.
 
On note $U$ le point d'affixe $u$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{A}}$ de centre A et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$.
 
On note $T$ le point d'affixe $t$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{B}}$ de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.

Soit $D$ le symétrique du point $M$ par rapport à O.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'affixe du point $U$ est $u = \text{i}(10 - z)$ ; exprimer en fonction de $z$ l'affixe du point $T$ puis justifier que le quadrilatère $MUDT$ est un parallélogramme de centre O. 
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $z\,\overline{z} - 5z - 5\,\overline{z} = 0$.

Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans $\Gamma$. 
\item On suppose que le point $M$ est distinct de O, A et P. Les points O, $M$ et $U$ sont donc distincts deux à deux. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{u}{z} = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}$. 
		\item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $M$ appartient à $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que O$MU$ soit un triangle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère $MUDT$ ? 
\item Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{u}{z}$ soit un imaginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère $MUDT$ dans le cas où $M$ est un point de la droite (OP) privée de O et P.

Prouver finalement qu'il existe une unique position du point $M$ tel que $MUDT$ soit un carré. 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $A(n) = n^4 + 1$.

\emph{L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de} $A(n)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelques résultats 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la parité de l'entier $A(n)$. 
		\item Montrer que, quel que soit l'entier $n,~A(n)$ n'est pas un multiple de 3. 
		\item Montrer que tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$. 
		\item Montrer que, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ : 

\[n^8 \equiv 1\quad \mod d.\]

	\end{enumerate} 
\item  Recherche de critères
 
Soit $d$ un diviseur de $A(n)$. On note $s$ le plus petit des entiers naturels non nuls $k$ tels que $n^k \equiv  1\quad  \mod d$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un tel entier. En utilisant la division euclidienne de $k$ par $s$, montrer que $s$ divise $k$. 
		\item  En déduire que $s$ est un diviseur de 8. 
		\item  Montrer que si, de plus, $d$ est premier, alors $s$ est un diviseur de $d -1$. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
	\end{enumerate} 
\item Recherche des diviseurs premiers de $A(n)$ dans le cas où $n$ est un entier pair.
 
Soit $p$ un diviseur premier de $A(n)$. En examinant successivement les cas \\$s = 1,~s = 2$ puis $s = 4$, conclure que $p$ est congru à 1 modulo $8$. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de $A(12)$.
 
\emph{Indication :} la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, \ldots 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Un internaute souhaite faire un achat par l'intermédiaire d'internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un canadien et un indien présentent le matériel qu'il souhaite acquérir. L'expérience a montré que la probabilité qu'il utilise chacun de ces sites vérifie les conditions suivantes (les initiales des pays désignent les évènements \og l'achat s'effectue dans le pays \fg) :
 
\[P(F) = P(A),\quad  P(F) = \dfrac{1}{2}P(C)\quad  \text{et}~~ P(C) = P(I).\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les quatre probabilités $P(F),~P(A),~P(C)$ et $P(I)$. 
\item Sur chacun des quatre sites, l'internaute peut acheter un supplément pour son matériel. Ses expériences précédentes conduisent à formuler ainsi les probabilités conditionnelles de cet évènement, noté $S$ :
 
\[P_{F}(S) = 0,2\quad;\quad P_{A}(S) = 0,5\quad ;\quad P_{C}(S) = 0,1\quad ;\quad P_{I}(S) = 0,4\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(S \cap A)$.
		\item Montrer que $p(S) = \dfrac{17}{60}$. 
		\item L'internaute a finalement acheté un supplément. Déterminer la probabilité qu'il l'ait acheté sur le site canadien.
	\end{enumerate} 
\item Sur \np{1000}~internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&\begin{tabular}{c}Sites\\ européens\\ \end{tabular}&Site canadien 	&Site indien\\ \hline 
\begin{tabular}{c}Effectif \\d'acheteurs\\ \end{tabular}& 335 			&310			& 355\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item On note respectivement $f_{1},~f_{2}$ et $f_{3}$ les fréquences associées aux effectifs précédents. On pose :
		 
$d^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=3} \left(f_{k} - \dfrac{1}{3}\right)^2$. Calculer $d^2$ puis $\np{1000}d^2$. 
		\item On simule \np{3000} fois l'expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi $\{1~;~2~;~3\}$ avec équiprobabilité. Pour chacune de ces simulations on obtient une valeur de $\np{1000}d^2$. Voici les résultats : 
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Minimum &Premier décile &Premier quartile&Médiane &Troisième quartile
&Neuvième décile&Maximum\\ \hline 
\np{0,0005}& \np{0,0763} &\np{0,2111} &\np{0,48845} &\np{0,9401} &\np{1,5104} &\np{5,9256}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
 
Au risque 10\,\%, peut-on considérer que le choix d'un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière équiprobable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Le but de l'exercice est de donner un encadrement du nombre $I$ défini par : 
\[I = \int_{0}^1 \dfrac{x^2 \text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x. \]

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~1]. 
\item On pose, pour tout entier naturel $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n f\left(\dfrac{k}{5} \right)$.  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier $k$ compris entre 0 et 4, on a : 

\[\dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k}{5} \right) \leqslant \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}   \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k+1}{5} \right)\] 
  
Interpréter graphiquement à l'aide de rectangles les inégalités précédentes. 
		\item  En déduire que : $\dfrac{1}{5}S_{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{5}\left(S_{5} - 1 \right)$.
		\item  Donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de $S_{4}$ et de $S_{5}$ respectivement.
		 
En déduire l'encadrement : $1,091 \leqslant  \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant 1,164$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de [0~;~1], on a : $\dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + \dfrac{x^2}{1 + x}$. 
		\item Justifier l'égalité $\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x + I$.  
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x$. 
		\item En déduire un encadrement de $I = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x$ d'amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}