%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {S Amérique du Sud},
pdftitle = {novembre 2005},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\bigskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.
On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle $X$ le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-1}$ près.
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-2}$ près.
\item Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que la durée de vie $T_{1}$ (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_{1} = 5 \times  10^{-4}$ et que la durée de vie $T_{2}$ (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_{2} = 10^{-4}$ (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à \np{1000} heures :
\begin{enumerate}
\item si ce composant est défectueux ;
\item si ce composant n'est pas défectueux. Donner une valeur approchée de ces probabilités $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item Soit $T$ la durée de vie (en heures) d'un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après $t$ heures de fonctionnement est :
\[P(T \geqslant t) = 0,02\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 0,98\text{e}^{-10^{-4}t}.\]
(on rappelle que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).
\item Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner \np{1000} heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?

 Donner une valeur approchée de cette probabilité  à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\textbf{Formulaire}  Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre $\lambda$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ :

Pour $0 \leqslant a \leqslant b,~ P\left([a~;~b]\right)= \displaystyle\int_{a}^b \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$.

Pour $c \geqslant 0,~ P\left([c~ ;~+ \infty[\right) = 1 - \displaystyle\int_{0}^c \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~c$ et $d$ telles que :

\[a = \text{i},\qquad	b = 1 + 2\text{i},\qquad	c = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}},\quad \text{et} \quad	d = 3+2\text{i}.\]

On considère la similitude directe $s$ qui transforme A en B et C en D. Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M'$, d'affixe $z'$, son image par $s$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $z'$ en fonction de $z$.

Déterminer les éléments caractéristiques de $s$.

Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
U_{0}& =&0\\
U_{n+1}&	=& 2U_{n} +1\quad \text{pour tout}~ n \in \N\\
\end{array}\right.$

\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ U_{n+1}$ et $U_{n}$ sont premiers entre eux.
\item  Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude $s$, les termes de la suite $\left(U_{n}\right)$.
\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $U_{n} = 2^n - 1$.
\item  Montrer que, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ non nuls tels que $n \geqslant  p$,
 \[U_{n} = U_{p} \left(U_{n-p} +1\right) + U_{n-p}.\]
La notation pgcd$(a~;~b)$ est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels $a$ et $b$ . Montrer pour $n \geqslant p$ l'égalité
\[\text{pgcd}\left(U_{n}~,U_{p}\right) = \text{pgcd}\left(U_{p},~U_{n-p}\right).\]
\item Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, montrer que :
\[\text{pgcd}\left(U_{n},~U_{p}\right) =  U_{\text{pgcd}(n~;~p)}.\]
Déterminer le nombre : pgcd$\left(U_{2005},~U_{15}\right).$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'= \dfrac{4}{\overline{z}}$, où $\overline{z}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$.
\item Déterminer l'ensemble des points dont l'image par l'application $f$ est le point J d'affixe 1.
\item Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. Démontrer que le point $A$ d'affixe $\alpha$ admet un antécédent unique par $f$, dont on précisera l'affixe.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}M'}\right)$.	Interpréter géométriquement ce résultat.
		\item  Exprimer $\left |z'\right|$ en fonction de $\left |z\right|$. Si $r$ désigne un réel strictement positif, en déduire l'image par $f$ du cercle de centre O et de rayon $r$.
		\item  Choisir un point $P$ du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que O$P$ = 3, et construire géométriquement son image $P'$ par $f$.
	\end{enumerate}
\item On considère le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre Jet de rayon 1. Montrer que l'image par $f$ de tout point de $\mathcal{C}_{1}$, distinct de O, appartient à la droite $D$ d'équation $x = 2$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, une réponse par \og VRAI \fg{} ou \og FAUX \fg, sans justification, est demandée au candidat en regard d'une liste d'affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne $0,4$ point. Toute réponse erronée enlève $0,1$ point. L'absence de réponse n'est pas comptabilisée. Le total ne saurait  être négatif.}

\vspace{0,5cm}

\parbox{0.5\textwidth}{On donne le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre.

\emph{Le candidat est appelé à juger chacune des} 10 \emph{affirmations suivantes.}} \hfill
\parbox{0.44\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.5,5)
\pspolygon(0.4,1.05)(2.7,0.4)(4.4,2.2)(2,2.8)%ABCD
\pspolygon(0,3.2)(2.4,2.6)(4,4.4)(1.7,5)%EFGH
\pspolygon(0,3.2)(1.55,0.725)(4.2,3.3)%EIJ
\psline(0.4,1.05)(0,3.2) \psline(2.7,0.4)(2.4,2.6) \psline(4.4,2.2)(4,4.4)
\psline(2,2.8)(1.7,5)
\uput[dl](0.4,1.05){A} \uput[dr](2.7,0.4){B} \uput[dr](4.4,2.2){C}  \uput[ul](2,2.8){D}  
\uput[ul](0,3.2){E} \uput[dr](2.4,2.6){F} \uput[ur](4,4.4){G}  \uput[ul](1.7,5){H}  
\uput[dl](1.55,0.725){I} \uput[r](4.2,3.3){J}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.}
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|c|}\hline
&Affirmation&	VRAI ou FAUX\\\hline\hline
\textbf{1.}&$\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{2}$&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\ \hline
\textbf{2.}&$\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{AI}} = \vect{\text{AI}}\cdot \vect{\text{AB}}$&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\textbf{3.}&$\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IJ}} = \vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IC}}$&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\ \hline
\textbf{4.}&$\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IJ}} = \text{AB} \times \text{IC} \times \cos \dfrac{\pi}{3}$\hspace{4,3cm} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\ \hline
\end{tabularx}
\vspace{0,5cm}

On utilise à présent le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|c|}\hline
&Affirmation&	VRAI ou FAUX\\\hline\hline
\textbf{5.}&	
Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est : & \\
&$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t+1\\
y& =& 2t\\
z&=&t\\
\end{array}\right.$,~le paramètre $t$ décrivant $\R$.& \\ \hline
\textbf{6.}& Une représentation paramétrique  de la droite (IJ) est :	&\\ 
&$\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & \dfrac{1}{2}t + 1\\
y &=& t + 1\\
z &=&\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\
\end{array}\right.$,~le paramètre $t$ décrivant $\R$ & \\ \hline
\textbf{7.}&$6x - 7y + 8z - 3 = 0$ est une équation cartésienne& \\ 
&  de la droite (IJ). &\\\hline
\textbf{8.}&L'intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite  &\\ 
 &passant par l et par le milieu de l'arête [DC].& \\ \hline
\textbf{9.}&Le vecteur de coordonnées 	$\left(\begin{array}{l}-4\\ 1\\2\\ \end{array}\right)$ 	est un vecteur &\\
 &normal au plan (FIJ). &\\ \hline
\textbf{10.}&	Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à $\dfrac{1}{6}$.& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par

\[ f(x) = \text{e}^{- x^2} \quad \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x^2}.\]

On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal \Oij, dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera complétée et rendue avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Identifier $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sur la figure fournie. (Justifier la réponse apportée).
\item Étudier la parité des fonctions $f$ et $g$.
\item Étudier le sens de variation de $f$ et de $g$. Étudier les limites éventuelles de $f$ et de $g$ en $+\infty$.
\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $G$ définie sur $\R$ par 

\[G(x) = \displaystyle\int_{0}^x t^2\text{e}^{- t^2}\:\text{d}t.\]
 
\begin{enumerate}
\item Que représente $G$ pour la fonction $g$ ?
\item Donner, pour $x > 0$, une interprétation de $G(x)$ en termes d'aires.
\item Étudier le sens de variations de $G$ sur $\R$.

\emph{On définit la fonction} $F$ \emph{sur} R \emph{par : pour tout réel} $x,~ F(x) = \displaystyle\int_{0}^x  \text{e}^{-t^2}\,\text{d}t.$
 
\item Démontrer, que, pour tout réel $x,~ G(x) = \dfrac{1}{2}\left[F(x)  - x\text{e}^{-x^2}\right]$ ;  (on pourra commencer par comparer les fonctions dérivées de $G$ et de $x \longmapsto \dfrac{1}{2}\left[F(x) - x\text{e}^{-x^2}\right]$.

\emph{On admet que la fonction $F$ admet une limite finie} $\ell$ \emph{en} $+\infty$, \emph{et que cette limite} $\ell$ \emph{est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine} $\mathcal{A}$ \emph{limité par la courbe} $\mathcal{C}_{f}$ \emph{et les demi-droites} $\left[\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ \emph{et} $\left[\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $G$ admet une limite en $+\infty$ que l'on précisera.
		\item Interpréter en termes d'aires le réel N $= \displaystyle\int_{0}^1 \left(1 -  t^2\right)\text{e}^{-t^2}\,\text{d}t.$
		\item En admettant que la limite de $G$ en $+\infty$ représente l'aire $\mathcal{P}$ en unités d'aire du domaine $\mathcal{D}$ limité par la demi-droite $\left[\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$  justifier graphiquement que :
\[ \displaystyle\int_{0}^1 \left(1 -  t^2\right)\text{e}^{-t^2}\,\text{d}t \geqslant \dfrac{\ell}{2}.\]
(on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Document à rendre avec la copie - Annexe}
\vspace{1cm}
\end{center}
\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Affirmation n\up{o}& 	VRAI ou FAUX\\ \hline
1& \\ \hline
2& \\ \hline
3& \\ \hline
4& \\ \hline
5& \\ \hline
6& \\ \hline
7& \\ \hline
8& \\ \hline
9& \\ \hline
10& \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=7cm}\begin{pspicture}(-3.5,-0.25)(3.5,1.25)
\multido{\n=-3.5+0.5}{15}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-0.25)(\n,1.25)}
\multido{\n=-0.25+0.25}{7}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-3.5,\n)(3.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-0.25)(3.5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x dup mul neg exp}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-3.5}{3.5}{2.71828 x dup mul neg exp x dup mul mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}