\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud décembre 2001 
%%%% problème sur l'exercice de spécialité
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Amérique du Sud décembre 2001~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne le tableau suivant indiquant l'évolution du nombre de 
centenaires en France depuis le début du siècle : 

\bigskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
années				&1911	&1931	&1946	&1962	&1970	&1980	&1992	&1995	&2000\\ \hline
$x_i$				&11		&31		&46		&62		&70		&80		&92		& 95	&100\\ \hline
nombre de centenaires
 $y_i$				&118 	&241 	&261 	&440 	&\np{1273}&\np{3112}&\np{4323}&\np{6060} &\np{9264}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize source : INSEE }\\
\end{tabularx}
 
\medskip

\emph{Tous les résultats statistiques seront donnés à l'aide de
la calculatrice.}

\emph{Le détail des calculs n'est pas demandé.} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points
 $M\left(x_i~;~y_i\right)$ : unités graphiques : 1~cm pour 10~ans sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 500~personnes sur l'axe des ordonnées. 

\item On constate, au vu de ce nuage, qu'un ajustement 
linéaire ne semble pas le mieux adapté. 

On s'intéresse alors à la série $\left(x_i,~ \ln y_i\right)$. 
 
On appelle $z_i$ une valeur approchée de $\ln y_i$
 par défaut à $10^{-4}$ près.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x_i$&11			&31			&46			&62	&70	&80	&92	&95	&100\\ \hline
$z_i$&\np{4,7706}	&\np{5,4847}&\np{5,5645}& 	&	&	&	&	&\np{9,1338}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
Pour la série $\left(x_i~;~z_i\right)$ du tableau précédent, donner le
 coefficient de corrélation linéaire (on en donnera une valeur approchée
 par défaut à $10^{-3}$ près) et justifier qu'un ajustement, linéaire est
 envisageable. 
		\item Déterminer l'équation $z = ax + b$ de la droite D de régression
 de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les nombres $a$ et $b$ seront donnés à $10^{-5}$ par défaut.
	\end{enumerate}
\item Si l'évolution restait la même, estimer le nombre de
 centenaires en France en 2015.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Des calculs statistiques effectués sur les élèves de terminale d'un
 lycée, concernant l'année scolaire 1999-2000. ont donné les 
renseignements suivants :

en juin 2000, les élèves de terminale se répartissaient ainsi : 45\:\% en S, 25\,\% en L, et 30\,\% en ES. Les taux, arrondis, de réussite au baccalauréat ont été les suivants :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline 
S &	L &	ES\\ \hline
$87\:\%$&	$85\:\%$ & 	$79\:\%$\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

À la fin du mois de décembre 2000, sur l'ensemble des élèves, qui 
étaient en terminale dans ce lycée en juin de la même année, on en
 choisit un au hasard. 

Dans la suite de l'exercice, on appelle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $S$ l'évènement \og l'élève choisi était en S l'année scolaire précédente \fg{},
\item[] $L$ l'évènement \og l'élève choisi était en L l'année scolaire précédente \fg{},
\item[] $E$ l'évènement \og l'élève choisi était en ES l'année scolaire précédente \fg{},
\item[] $R$ l'évènement \og l'élève choisi a été reçu au baccalauréat \fg{}. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner $p(E)$, $p(R / E)$ et montrer que    $p(R \cap E) = 0,237$.
		\item Calculer $p(R \cap S)$ et $p(R \cap L)$.
		\item En déduire que la probabilité que cet élève choisi au hasard ait été reçu au baccalauréat  est $0,841$. 
	\end{enumerate} 
\item Lorsque les élèves, \textbf{reçus au baccalauréat},
 sont venus au lycée chercher leur diplôme, on s'est renseigné sur leur
 poursuite d'études, et on a obtenu les résultats suivants : 

\begin{center} 
\begin{tabular}{|l| *{3}{c |}}\hline
élèves issus de					&S		&L 			& 	ES\\ \hline
poursuite d'études en faculté	&40\: \%&  60\:\%	&40\:\%\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

On appelle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $F$ l'évènement \og l'élève choisi est en faculté \fg,
\item[] $E'$ l'évènement $R \cap E$,
\item[] $L'$ l'évènement $R \cap L$,
\item[] $S'$ l'évènement $R \cap S$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate} 
		\item Donner ~$p(F / E')$.
		\item Calculer $p(F \cap E')$.
		\item Montrer que la probabilité que l'élève choisi soit en faculté
 est \np{0,3789}.
 \end{enumerate}
\item À la même date, on choisit, toujours au hasard, un élève
 qui se trouvait en terminale de ce lycée l'année scolaire précédente et 
 \textbf{qui se trouve maintenant en faculté}.
	\begin{enumerate} 
		\item Pourquoi les évènements $F \cap E'$ et  $F \cap E$ sont-ils les mêmes ?
		\item Calculer la probabilité que l'élève choisi soit issu de
 terminale ES ? (En donner une valeur approchée par excès à $10^{-4}$
 près). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Des adolescents ($5$ garçons et $7$ filles) passent ensemble des vacances.

Ils décident de tirer au sort deux d'entre eux chaque jour pour former une
équipe chargée d'effectuer les courses.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \emph{Pour le tirage au sort fait le premier jour, on donnera les
résultats sous la forme de fractions irréductibles.}
	\begin{enumerate} 
		\item Combien d'équipes différentes peuvent-ils obtenir par ce tirage au sort ?
		\item Calculer la probabilité que l'équipe soit constituée de deux filles.
		\item Montrer que la probabilité que l'équipe soit mixte est 
$\dfrac{35}{66}$.
	\end{enumerate}
\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale : valeurs approchées par défaut à} $10^{-4}$ \emph{près}. 
\item On suppose dans cette question que les vacances durent 6 jours.
Ils recommencent chaque jour le tirage au sort dans les mêmes conditions (indépendamment des résultats des jours précédents).
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité que le sort désigne des équipes mixtes exactement quatre fois.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois une équipe
mixte.
	\end{enumerate}

\item Quelle durée minimale doit avoir leur séjour pour que la probabilité que les courses soient effectuées au moins une fois par deux adolescents de sexe différent dépasse 0,999 ? 

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 8 points}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\parbox[l]{0,55\textwidth}{Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur
 le graphique ci-contre, la courbe ($\mathcal{C}$) représente une fonction
 $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La droite (T) est la tangente à la courbe au point A d'abscisse 0.} \hfill
\parbox[r]{0,45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm,mathLabel=true} \begin{pspicture}(-3,-1)(4,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-1)(4,6)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-0.99)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.93}{4}{2.71828 x neg exp x dup mul x 2 mul add 1 add mul}
\rput(-1.5,5.5){\blue $\mathcal{C}$} \rput(3,4.5){(T)}
\psline(2,0)(2,1.21802)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.4,1.47152)(1.6,1.47152)
\uput[l](-0.2,1.47152){$\frac{4}{\text{e}}$}
\psline(-2,-1)(3,4)
\uput[u](4,0){$x$} \uput[r](0,6.){$y$} 
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x neg exp x dup mul x 2 mul add 1 add mul}
\psline(2,0)(0,0)}
\end{pspicture}} 

\begin{enumerate} 
\item À partir du graphique, reproduire et compléter le 
tableau suivant : 

\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X |}} \hline
$x$ 	&$- 1$	&0	&1\\ \hline
$f(x)$ 	& 		& 	& \\ \hline
$f'(x)$	&  		&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

Justifier les valeurs de $f'(-1)$ et $f'(0)$. 

\item La fonction $f$ a pour dérivée une fonction $f'$
 dont la courbe est l'une des trois suivantes. 

Indiquer laquelle en justifiant votre réponse. 

\begin{center} 
\begin{tabular}{c c c } 
\no 1 &  \no 2 & \no 3\\
~&  & \\
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt](-2.5,-1.5)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-1.5)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.73}{1.73}{x dup mul 1 sub}
\uput[u](1.9,0){$x$} \uput[r](0,2.1){$y$}
\end{pspicture*} &\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{1  x dup mul  sub 2 mul}
\uput[u](2.2,0){$x$} \uput[r](0,2.2){$y$}
\end{pspicture} &\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{2.5}{1 x dup mul sub 2.72818 x neg exp mul}
\uput[u](2.2,0){$x$} \uput[r](0,2.2){$y$}
\end{pspicture}
\end{tabular} 
\end{center}

\bigskip
 
\item Expliquer graphiquement pourquoi l'aire de la partie
 hachurée, exprimée en unités d'aire, est un nombre compris entre 2 et 
 $\dfrac{8}{\text{e}}$.
 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left(x^2 + 2x + 1 \right)\text{e}^{-x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a : $f(x) \geqslant 0$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{\text{e}^x}{x^n} = + \infty$ pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1.

Déterminer alors la limite de $f$ en $+ \infty$.

Peut-on en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de
 $f$ ? Si oui préciser laquelle.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dérivée de $f$ est définie par $f'(x) =
 (- x^2 + 1)\text{e}^{-x}$. 
		\item Étudier alors les variations de $f$ suivant les valeurs de $x$.
 Dresser le tableau de variations de~$f$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, sur l'intervalle [1~;~3], l'équation
 $f(x) = 1$  admet une solution $\alpha$ unique. 
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item En fait la représentation graphique de la fonction
  $f$ est la courbe ($\mathcal{C}$) dessinée dans la~\textbf{partie A}. 
	\begin{enumerate} 
		\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \left(-x^2 - 4x - 5\right)\text{e}^{-x}.\] 

Calculer $g'(x)$. 

		\item Calculer $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée par excès à $10^{-2}$ près. 
		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}