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\begin{document}
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\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2007~ \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances.}

\medskip

On suppose connu le résultat suivant :
 
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.

Soit $a$ un réel donné.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante.
		\item  	En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
	\end{enumerate}
\item  On considère l'équation différentielle (E) : $y'= 2y + \cos x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ par :
		
	\[f_{0}(x) = a \cos x + b \sin x\]
	
soit une solution $f_{0}$ de (E).
		\item 	Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~:~ y' =  2y$.
		\item 	Démontrer que $f$ est solution de (E) si et seulement si $f - f_{0}$ est solution de $\left(\text{E}_{0}\right)$.
		\item 	En déduire les solutions de (E).
		\item 	Déterminer la solution $k$ de (E) vérifiant $k\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\emph{On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.}

\begin{enumerate}
\item On considère les points A d'affixe $1$ et B d'affixe i. On appelle $S$ la réflexion (symétrie axiale) 	d'axe (AB).

Montrer que l'image $M'$ par $S$ d'un point $M$ d'affixe $z$ a pour affixe 

$z' =  -\text{i}\overline{z} + 1 + \text{i}$.
\item  	On note $H$ l'homothétie de centre A et de rapport $-2$. Donner l'écriture complexe de $H$.
\item  	On note $f$ la composée $H \circ S$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est une similitude.
		\item 	Déterminer l'écriture complexe de $f$.
	\end{enumerate}
\item  On appelle $M''$ l'image d'un point $M$ par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = -2\vect{\text{A}M}$ est la droite (AB).
		\item 	Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = 2\vect{\text{A}M}$ est la perpendiculaire en A à la droite (AB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\emph{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.}

Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ de P d'affixe non nulle $z$ associe le point $M'$ d'affixe :
\[ z'= \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right).\]
\begin{enumerate}
\item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point E$'$, image de E par~$f$
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'= M$.
\item  On note A et B les points d'affixes respectives $1$ et $-1$.

Soit $M$ un point distinct des points O, A et B.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0,~ 1$ et $-1$, on a :
\[\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1} \right)^2.\]

		\item  En déduire une expression de $\dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}$	en fonction de	$\dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$ puis une expression de l'angle $\left(\vect{M'\text{A}},~\vect{M'\text{B}}  \right)$ en fonction de l'angle $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}  \right)$
	\end{enumerate}
\item 	Soit $\Delta$ la médiatrice du segment [A, B]. Montrer que si $M$ est un point de $\Delta$ distinct du point O, alors $M'$ est un point de $\Delta$.
\item  Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [A, B].
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que si le point $M$ appartient à $\Gamma$ alors le point $M'$ appartient à la droite (AB).
		\item  Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par $f$ ?
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\begin{enumerate}
\item On considère le point A de coordonnées $(-2~;~8~;~4)$ et le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~5~;~-1)$.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$.
\item 	On considère les plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives 

$x - y - z = 7$ et $x - 2z=11$.

Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $(d')$.

Montrer que le vecteur de coordonnées $(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $(d')$.
\item Démontrer que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires.
\item On considère le point H de coordonnées $(-3~;~3~;~5)$ et le point H$'$ de coordonnées $(3~;~0~;~-4)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que H appartient à $(d)$ et que H$'$ appartient à $(d')$.
		\item  Démontrer que la droite (HH$'$) est perpendiculaire aux droites $(d)$ et $(d')$.
		\item  Calculer la distance entre les droites $(d)$ et $(d')$, c'est-à-dire la distance HH$'$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{M\text{H}'} \cdot\: \vect{\text{HH}'} = 126$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $f_{1}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
\[f_{1}(x) = 2x - 2 + \ln \left(x^2 + 1\right).\]
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$.
		\item  Déterminer la dérivée de $f_{1}$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f_{1}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_{n}$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
\[f_{n}(x) =   2x -2 + \dfrac{\ln \left(x^2 + 1\right)}{n}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f_{n}$ en $+ \infty$.
		\item  Démontrer que la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item  Démontrer que l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_{n}$ sur $[0~;~+ \infty[$
		\item  Justifier que, pour tout entier naturel $n,~ 0 < \alpha_{n} < 1.$
	\end{enumerate}
\item  Montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~ f_{n}\left(\alpha_{n+1}\right) > 0$.
\item Étude de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est croissante.
		\item En déduire qu'elle est convergente.
		\item Utiliser l'expression $\alpha_{n} = 1 - \dfrac{\ln \left(\alpha_{n}^2 + 1\right)}{2n}$ pour déterminer la limite de cette suite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 