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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small  juin 1995}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1995~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $g$ définie dans l'intervalle [2,~;~3] par : 
		
		\[g(x) = x \ln x + (4 - x) \ln (4 - x).\]
		 
Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale: 
 
\[A = \int_{2}^3 \ln \dfrac{x}{4 - x}\:\text{d}x.\]
 
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie dans l'intervalle [2,~;~3] par 

\[f(x) = \ln \dfrac{x}{4 - x}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in  [2~;~3]$. 
		\item  ~

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,3){$y$} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.2}{3.8}{x 4 x sub div ln}
\end{pspicture}
\end{center} 

Dans le tracé ci-dessus on a représenté la fonction $f$ dans un plan rapporté à un repère orthonormé (unité graphique : 1~cm). 

Déterminer l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe, les deux droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une pièce est usinée successivement par deux machines $M_{1}$ et $M_{2}$, les résultats des deux usinages étant \textbf{indépendants}. 

Après passage dans la première machine $M_{1}$, 5\,\% des pièces présentent un défaut. On note $A$ l'évènement : \og la pièce est défectueuse après passage dans $M_{1}$ \fg. 	. 

Après passage dans la deuxième machine $M_{2}$ (et quel que soit leur état après leur passage dans $M_{1}$), 2\,\% présentent un autre défaut. 

On note $B$ l'évènement: \og la pièce est défectueuse après passage dans $M_{2}$ \fg. 

On extrait au hasard une pièce parmi les pièces ayant subi les deux usinages.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités de $A$ et de $B$. 

Exprimer à l'aide des évènements $A$ et $B$ les évènements suivants : 

$C$ : \og la pièce est défectueuse pour les deux usinages par $M_{1}$ et $M_{2}$ \fg{} ; 

$D$ : \og la pièce est défectueuse \fg{} ;
 
$E$ : \og la pièce ne présente aucun défaut \fg.
 
Calculer les probabilités des évènements $C, D$ et $E$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la pièce extraite est défectueuse, quelle est la probabilité que la pièce présente des défauts d'usinage par les deux  machines ? 	. 
		\item Exprimer à l'aide de $A$ et $B$ l'évènement : \og le défaut provient  uniquement de la machine $M_{2}$ \fg, puis sa probabilité. 
		
En déduire la probabilité que le défaut provienne uniquement de la machine $M_{2}$, sachant que la pièce est défectueuse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Un constructeur de moteurs de \og Formule 1 \fg{} fabrique des moteurs de compétition. La probabilité qu'un de ces moteurs soit exempt de défaut, et par suite ne \og casse \fg pas lors d'un Grand Prix, est $0,8$. On dira pour simplifier qu'un tel moteur est \og bon \fg{} et on notera $B$ l'évènement : \og le moteur est bon \fg. 

Avant chaque Grand Prix, un contrôle très sévère est effectué : 

soit le moteur est déclaré utilisable, soit il est rejeté. On note $U$ l'évènement : \og le contrôle déclare le véhicule utilisable \fg. 

Ce contrôle n'est pas infaillible : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item sachant qu'un moteur est bon. il est déclaré utilisable dans 95\,\% des cas ; 
\item sachant qu'un moteur a un défaut, il est rejeté dans 80\,\% des cas. 
\end{itemize}

Notation : si $E$ est un évènement, on notera $\overline{E}$ l'évènement contraire.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :
		 
\quad $V$ : \og le moteur est bon et il est déclaré utilisable \fg{} ; 

\quad $W$ : \og le moteur a un défaut et il est déclaré utilisable \fg.
 
En déduire la probabilité de $U$. 
		\item Montrer que la probabilité qu'un moteur soit bon sachant qu'il est déclaré utilisable est $0,95$. 
	\end{enumerate}
\item Au cours d'une saison (16 grands prix), ces moteurs sont montés après contrôle sur des voitures en course. On s'intéresse aux moteurs montés sur une voiture déterminée : ils sont changés à chaque compétition et l'on admet que les choix des moteurs sont indépendants les uns des autres. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que les 16 moteurs soient \og bons \fg ? 
		\item Quelle est la probabilité que seulement 2 moteurs cassent ? 
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs casse? 
		\item Quel est le nombre moyen de moteurs cassés auquel on peut s' attendre, au cours d'une saison ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par : 

\[f(x) = x + \text{e}^{- x}.\]
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm). La courbe représentative de $f$ dans ce plan est appelée $\mathcal{C}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 > \text{e}^{- x}$. 
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		
Déduire de a le sens de variation de $f$. 
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. On pourra écrire 

$f(x) = (- x) \left(- 1 + \dfrac{\text{e}^{- x}}{- x}\right)$. 
 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe 
$\mathcal{C}$. 
		
Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $\text{e}^{- x} = 3$. 

Montrer que $\mathcal{C}$ admet une tangente $T$ de coefficient directeur $- 2$.
 
Déterminer l'abscisse du point de contact A, son ordonnée, puis l'équation de $T$. 
		\item Compléter le tableau suivant (on donnera les valeurs numériques arrondies à $10^{-2}$ près) :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		 
$x$ & $- 2$& $- 1$ &0&1&2&3&4\\ \hline
$f(x)$&&1,72&&1,37&&3,05&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Construire, dans le plan, les droites $D$ et $T$, puis la courbe $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sans faire de calcul de dérivée et en donnant les justifications nécessaires, établir le tableau des variations de $\dfrac{1}{f}$ à partir de celui 
de $f$. 
		\item Sur la même figure que $\mathcal{C}$ mais en utilisant une autre couleur, 
construire la courbe représentative $\Gamma$ de $\dfrac{1}{f}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}