\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
%%%%Packages%%%%
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\RequirePackage[capsit]{frenchmath}%permet notamment de gérer les point-virgule en mode maths
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{pdflscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}%Excellent package pour les tableaux
\usepackage{multirow}
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\usepackage{eurosym}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\frenchsetup{StandardLists=true}
\usepackage{xspace}
% Merci à Pauline Fontaine pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : Groupe_annales_apmep
%%%%Packages pour les figures pstricks%%%%
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add}
%%%%Packages pour les figures tikz%%%%
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\pgfplotsset{compat=1.18,
	tick label style = {font=\footnotesize},
	axis lines = center,
	minor grid style={gray!75,line width=0.15pt},
	major grid style={gray!85,line width=0.2pt},
	/pgf/number format/.cd,
	use comma}
\usetikzlibrary{patterns.meta}
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\usetikzlibrary{calc,arrows.meta,positioning,arrows,shapes,patterns,decorations.pathmorphing}
\tikzset{%
	>=stealth, % option for nice arrows
	inner sep=1pt,%
	outer sep=2pt,%
	mark coordinate/.style={inner sep=0pt,outer sep=0pt,minimum size=3pt,
		fill=black,circle}%
}
%%%%Packages pour les figures en PSTricks%%%%
%\RequirePackage{scratch3}
%%%%Commandes pour les ensembles de nombres, les vecteurs, repères, exponentielles et autres%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\mathrm{#1}\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~~;~~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}}%pour le nombre e en droit en mode mathématique
%%%%Géométrie de la page%%%%
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\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\headheight}{14pt}
%%%%Styles de numérotation, et autres%%%%
\setlist[enumerate,1]{leftmargin=*}  % Questions alignées à gauche
\setlist[enumerate,2]{leftmargin=0.5cm,topsep=0pt,itemsep=4pt} % Sous questions décalées de 5mm
\setlist[itemize,1]{left=0.5cm,itemsep=0pt,topsep=2pt} % Sous questions décalées de 5mm
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}%Les questions en chiffres arabes
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}%Les sous questions avec des lettres
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section} %Paramétrage des numéros d'exercices
{\Large \bfseries} %format, appliqué à tout le titre
{\textsc{Exercice \thesection}}%étiquette
{5mm} %séparation entre l'étiquette et le titre
{\hfill}  %before
{\normalsize} % after
\titlespacing*{\section} {0mm}{20pt}{8pt}%marge à gauche, espace avant, espace après le titre de l'exercice
\renewcommand \thesubsection{\Alph{subsection}}
\titleformat{\subsection}%Paramétrage des parties dans un exercice
{\large}{\textbf{\large Partie \thesubsection}}{1pt}{\bfseries}
\titlespacing*{\subsection}{0mm}{12pt}{6pt}
%%%%Remerciements%%%
%Merci à Amélie Pietrement pour la fourniture du sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture :
%%%%Paramétrage des hyperliens, métadonnées, en-têtes et pieds de page%%%
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
	pdftitle = {Amérique du Nord, sujet 2, 21 mai 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small Amérique du Nord}
\rfoot{\small 21 mai 2026}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat
			Amérique du Nord -- 21 mai 2026 ~\decofourright
			\marginpar{\rotatebox[origin=rt]{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[7pt]
			Sujet 2 \\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\section{4 points}

Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

II a été constaté que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 91\,\% du stock de tomates est commercialisable ;
\item 60\,\% du stock de tomates provient du fournisseur A ;
\item parmi les tomates provenant du fournisseur A , la proportion de tomates commercialisables
est de 95\,\%.
\end{itemize}

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A$ l'évènement \og La tomate provient du fournisseur A \fg ;
\item $B$ l'évènement \og La tomate provient du fournisseur B \fg ;
\item $C$ l'évènement \og La tomate est commercialisable \fg.
\end{itemize}

Pour un évènement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.

%Arbre en PSTricks
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm, treesep=0.7cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A~$}\ncput*{\ldots}}
	{\TR{$C$} \ncput*{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$} \ncput*{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$B~$}\ncput*{\ldots}}
	{\TR{$C$} 
	\TR{$\overline{C}$} 
	}
}
\end{center}
%fin de l'arbre en PSTricks
%%Arbre en tikz
%\begin{center}
%	\tikzset{etiquette/.style={pos=0.6, fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt}}
%	\begin{tikzpicture}[baseline={(R.center)},
%		grow=right,
%		level 1/.style={sibling distance=2cm,level distance=3.5cm},
%		level 2/.style={sibling distance=1cm, level distance=3.5cm},
%		edge from parent path={(\tikzparentnode.east) -- (\tikzchildnode.west)},
%		every node/.style={}]
%		\node (R){}
%		child { node {$B$}
%			child { node {$\overline{C}$} edge from parent}
%			child { node {$C$}  edge from parent}
%			edge from parent node[etiquette]{$\ldots$}}
%		child { node {$A$}
%			child { node {$\overline{C}$} edge from parent  node[etiquette]{$\ldots$}}
%			child { node {$C$}  edge from parent node[etiquette]{$\ldots$}}
%			edge from parent node[etiquette]{$\ldots$}}
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}
%%Fin de l'arbre en tikz
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur A
		\item Démontrer que $P_B(C) = 0,85$.
		\item La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il
y a deux fois moins de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que 9\,\% des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend $15$ tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $15$~tomates.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables.

\emph{On donnera la valeur arrondie au millième.}
		\item Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables.

\emph{On donnera la valeur arrondie au millième.}
	\end{enumerate}
\item On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

On note $X_n$, la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates.

On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

On admet que la variable aléatoire $X_n$, suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,09$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance $E(F_n)$ et exprimer la variance $V(F_n)$ en fonction de $n$.
		\item Démontrer que $P(0,04 < F_n < 0,14) \geqslant 1 - \dfrac{32,76}{n}$.
		\item Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de $500$ tomates. Il s'aperçoit que $55$ tomates ne sont pas commercialisables. 

Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\section{6 points}

\textbf{Partie A: étude du sens de variation d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction f est dérivable sur $\R$.
		
Vérifier que, pour tout réel $x$,on a $f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1 + x^2}}$
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente}

\medskip

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f(u_n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt 3$.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
\item Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la
question \textbf{2.} de la \textbf{partie B}.

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

\[v_n = \dfrac{u_n^2}{3 - u_n^2}\]

On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 4 dont on précisera
le premier terme.
		\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis que $u_n = \sqrt{\dfrac{1,5 \times 4^n}{1 + 0,5 \times 4^n}}$ pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : étude de la convergence de la somme de termes}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci permette de lister
les $p$ premiers termes de la suite $(S_n)$.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{from} math \textbf{import}*\\
~\\
\textbf{def} termes(p) :\\
\qquad  u = \ldots\\
\qquad  S=0\\
\qquad  L= [ ]\\
\qquad  \textbf{for} i \textbf{in} range(p)\\
\qquad \qquad S=\ldots\\
\qquad \qquad u= \ldots\\
\qquad \qquad L.append(S) \\
\qquad \textbf{return} L\\ \hline
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

Remarque : on rappelle qu'en langage Python,

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la commande L= [ ] crée une liste vide ;
\item la commande L.append (S) ajoute, à la fin de la liste L, l'élément supplémentaire S.
\end{itemize}

\item On rappelle que, pour tout entier naturel $k$, on a $1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt 3$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n \leqslant S_n \leqslant 3n$.
\item En déduire les limites respectives de $S_n$ et de $\dfrac{S_n}{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\section{5 points}

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On considère :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item les points A(4~;~2~;~2), B$(5~;~-2~;~3)$ et C(1~;~1~;~1) ;
\item la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est donnée par

\[\left\{\begin{array}{lc l}
x&=& 1 + 2t\\
y &=&1+ \phantom{2}t\\
z &=& 1 +2t\\
\end{array}\right. \text{avec}\: t \in \R\]

\item le plan $\mathcal{P}$ contenant le point A et perpendiculaire à la droite $\Delta$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la droite $\Delta$ contient le point C(1~;~1~;~1) mais pas le point A.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan ~ est $2x + y + 2z - 14 = 0$.
		\item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ contient le point B mais pas le point C.
	\end{enumerate}
\item On considère le point D(3~;~2~;~3).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point D est le projeté orthogonal du point C sur le plan $\mathcal{P}$.
		\item Justifier que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AD}}$.
		\item Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
		
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.

	\end{enumerate}
\item On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les coordonnées du point H sont $\left(\dfrac{73}{29}~;~\dfrac{-4}{29}~;~\dfrac{51}{29}\right)$.
		\item Démontrer que l'aire du triangle ABC est $\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$.
		\item En déduire la distance du point D au plan (ABC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\section{5 points}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x(\ln x)^2.\]

 On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item Pour tout réel $x > 0$, on pose $g(x) = x\ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x > 0$, on a $f(x) = 4\left(g\left(\sqrt x\right)\right)^2$.
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, \: $f'(x) = (\ln x)(2 + \ln x)$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~1]$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation $f (x) = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, cette équation admet une unique solution.

On note $\alpha$ cette solution.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,1.
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0~;~1].
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation géométrique de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x$.
		\item À l'aide d'une intégration par parties, justifier que : 

\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x = - \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \displaystyle\int_a^1 x \ln x\: \text{d}x.\]

		\item En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :

\[\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x =  - \dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2} \ln a + \dfrac14 - \dfrac{a^2}{4}.\]

		\item Déterminer la limite de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\: \text{d}x$ quand $a$ tend vers 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}