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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Amérique du Nord}
\rfoot{\small{juin 1999}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord 
juin 1999~\decofourright}} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles.
 
Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 43,5\,\% ont choisi l'abonnement 4 spectacles,
\item[$\bullet~$] 33\,\% ont choisi l'abonnement 5 spectacles,
\item[$\bullet~$] le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

D'autre part, $65\,\%$ des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans  cette population, la répartition est différente :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\,\% ont choisi l'abonnement 4 spectacles,
\item[$\bullet~$] 40\,\% ont choisi l'abonnement 5 spectacles,
\item[$\bullet~$] le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On interroge un abonné au hasard.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On note $A$ l'évènement \og L'abonné interrogé a moins de 25 ans \fg{}. Ainsi la  probabilité $p$(A) de cet évènement est 0,65.
\item[$\bullet~~$] On note $B$ l'évènement \og L'abonné interrogé a choisi 5 spectacles \fg{}.
\item[$\bullet~~$] Pour tout évènement $V$, on note $\overline{V}$ l'évènement contraire  de $V$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus ?
		\item Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle est la probabilité qu'il ait choisi 5 spectacles ?
		\item Décrire l'évènement $(A \cap B)$, et démontrer que la probabilité $p(A \cap B)$ est égale à $0,26$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la probabilité 
$p\left(\overline{A} \cap  B\right)$ est égale à $0,07$. 
	\item En déduire la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\item L'abonnement pour 4 spectacles coûte 50~euros, celui
pour 5 spectacles coûte 60~euros, et celui pour 6 spectacles coûte 70~euros. On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la somme dépensée par l'abonné interrogé. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$ en complétant :

\[\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{| c | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x_{i}$ 		&50	&60	&70\\ \hline
$p(X = x_{i})$ 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Calculer l'espérance de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
On donne, dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, la courbe représentative ($\Gamma$) d'une fonction $f$,
définie et dérivable sur [0~;~6].
 
Les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;~2\right), B\left( 
4~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et C(2~;~1) sont des points de ($\Gamma$), et (T) est la tangente à ($\Gamma$) en C.

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(10.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0.5,2)(4,0.25)(2,1)
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)  \psline(0,2)(4,0)
\uput[ur](0.5,2){A} \rput(0.6,1.4){(T)} \rput(2.2,1.2){C}
\uput[ur](4,0.25){B} \rput(-0.2,-0.2){O} 
\rput(0.5,-0.5){$\vect{\imath}$ } \rput(-0.5,0.5){$\vec{\jmath}$ }
\uput[u](3,0.7){\blue $\Gamma$}
%\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red,showpoints=true](0,2.5)(2,0.7)(0,2.3)(2,1)
\pscurve[linewidth=1.pt,linecolor=blue](0,2.5)(0.5,2)(1,1.6)(1.5,1.25)(2,1)(3,0.62)(4,0.25)(5,0)(6,0.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par lecture graphique le minimum et
le maximum de $f$ sur [0~;~6].
		\item Déterminer par lecture graphique l'image par $f$ de l'intervalle [0~;~2].
		\item En utilisant le graphique, donner l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) < \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que (T) est parallèle à (AB). 
Déterminer alors $f'(2)$.
		\item Déterminer l'équation réduite de (T), et celle de (AB). 
		\item Justifier à l'aide du graphique que, pour tout $x$ de 
$\left[\dfrac{1}{2}~;~4\right]$ on a : 

\[-\dfrac{1}{2} x + 2 \leqslant f(x) \leqslant - \dfrac{1}{2} x + 
\dfrac{9}{4}.\]

	\end{enumerate}
\item On pose I =$\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^9 f(x)\: \text{d}x.$ Déduire du résultat précédent \textbf{2. c.} que l'intégrale I est comprise entre $\dfrac{49}{16}$ et 
$\dfrac{ 63}{16}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

ABCDOFGH est un pavé défini par $\vect{\text{OH}} = 3 
\vect{\imath},\, \vect{\text{OF}} = 4\vect{\jmath}$ et 
$\vect{\text{OA}} = 3\vect{k}$.

Soit L le milieu de [CG].

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,5)
\psframe(0.8,0.8)(4.8,3.8) %CGHD
\pspolygon(0.8,3.8)(4.8,3.8)(6,5)(2,5) %ABCD
\pspolygon(4.8,0.8)(6,2)(6,5)(4.8,3.8) %CBFG
\psline[linestyle=dashed](2,3)(2,5)
\psline[linestyle=dashed](3,2)(6,2)
\psline[linestyle=dashed](2,2)(0.8,0.8)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(2,2)(1.6,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(2,2)(3,2)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(2,2)(2,3)
\rput(2.2,2.2){O} \rput(1.7,5){A} \rput(6.2,5.2){B}
\rput(4.7,4){C} \rput(0.6,3.7){D} \rput(6.2,2.2){F}
\rput(5,0.5){G} \rput(1,0.5){H} \rput(1.7,2){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\rput(2.5,1.6){\footnotesize $\vect{\jmath}$} \rput(1.8,2.4){\footnotesize $\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère l'ensemble ($\Pi$) des points dont les
coordonnées $x, y$ et $z$ vérifient : 

$4x - 3y + 8z - 12 = 0$. 
\item Parmi les points A, B, O, G, H, L lesquels appartiennent à 
($\Pi$) ?
\item Justifier que l'ensemble ($\Pi$) est le plan (BLH).
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal
$\vect{n}$ au plan (BLH).
\item Soit ($\Delta$) la droite passant par A et de vecteur directeur 
$\vect{n}$.
Montrer que ($\Delta$) est l'ensemble des points $M$ tels que 
$\left\{ \begin{array}{l}
\vect{\text{AM}} \cdot \vect{\text{NH}} = 0\\
\text{et}\\
\vect{\text{AM}} \cdot \vect{\text{BL}} = 0.\\
\end{array}\right.$
En déduire un système d'équations caractérisant la droite ($\Delta$).
\item Montrer que le point de coordonnées $\left(- \dfrac{48}{89} ; 
\dfrac{36}{89} ;\dfrac{171}{89} \right)$ appartient à ($\Delta$) et 
à $(\Pi)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise envisage la fabrication d'un nouveau produit. Sa 
décision dépend des résultats de plusieurs études :

\textbf{Étude de la demande pour ce nouveau produit} : c'est l'objet de la partie A.

\textbf{Étude d'un coût moyen de production} : c'est l'objet de la partie 
B.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude a permis d'établir le tableau suivant où, pour différentes 
observations, $x_{i}$ désigne la quantité de produit (en milliers d'unités) que la clientèle est disposée à acheter, et $y_{i}$ le prix de vente (en francs) d'une unité : 

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x_{i}$& 	1,5&  	3&5	&8	&11 &12\\ \hline
$y_{i}$&	120&	110& 100 &	90&	80&	70\\ \hline
\end{tabularx}\]

Ainsi, pour que la clientèle soit disposée à acheter \np{5000}~unités, le prix de vente d'une unité doit être fixé à 100~F. 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points associé à cette série
statistique.
 
Prendre 1~cm pour 1~millier d'unités en abscisse, et 1 cm pour 10 francs en ordonnée.

\emph{Dans les questions suivantes, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé ; les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près}. 
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de cette série
statistique.

Un ajustement affine est-il approprié ? justifier la réponse.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. 
		\item D'après ce modèle, comment faut-il fixer le prix de vente d'une unité si l'on veut pouvoir vendre un minimum de \np{6500}~unités ?
	\end{enumerate}
\item On admet que le prix de vente d'une unité, noté PV, est une
fonction de la demande $x$ (en milliers d'unités) définie, pour $x 
\in$ [2~;~15], par : 

PV$(x) = - 4,33x+ 124,2$.
 
Représenter la fonction PV dans le repère utilisé dans la question 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Le coût total de production (en francs) de $x$ milliers d'unités est,
pour $x \in  [2~;~15]$ :

\[\text{CT}(x) = 105\left[x + 4 - 3\ln (x)\right]\]

et le coût moyen de production d'une unité est, pour $x \in $ [2~;~15]

\[\text{CM}(x) = \dfrac{\text{CT}(x)}{\np{1000}x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note CM$'$ la dérivée de la fonction CM.
 
Calculer CM$'(x$) et démontrer que CM$'(x$) a le même signe que
$\ln (x) - \dfrac{7}{3}$  pour tout $x \in$ [2~;~15].

\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+\infty$[ l'inéquation
$\ln (x) - \dfrac{7}{3} \geqslant 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de CM sur
l'intervalle [2~;~15].
		\item Tracer la représentation graphique de CM dans le repère utilisé dans la partie
\textbf{A}.
		\item À l'aide du graphique, déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour  lesquelles l'entreprise peut faire un bénéfice. (On donnera la réponse sous forme d'un intervalle dont les bornes sont des entiers.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}