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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord  31 mai 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiples}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demande d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse jointe en annexe. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse donne $0$ point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à} $0$.

\bigskip

%\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Questions}& 	\multicolumn{3}{|c|}{Réponses}\\ \hline
Q1&Si $a \in ]0~;~1[$ alors	&&									&\\ 
&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} a^x$ est égale  à :&	$0$&	$+ \infty$&	$- \infty$\\ \hline
&Une primitive sur $\R$ de		&&& \\ 
Q2		&la fonction&	$x \mapsto \text{e}^{x^2}$&$x \mapsto 2\text{e}^{x^2}$&$x \mapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}$\\ 	
&$x \mapsto x\text{e}^{x^2}$est : &				&					&\\ \hline
	&	La dérivée sur $] 0~ ;~+\infty[$&&							&\\
Q3&	de la fonction&	$x \mapsto \dfrac{1}{x}$& $x \mapsto \ln x$&$x \mapsto \ln x + 1$\\
&$x \mapsto x\ln x$ est :&&& \\ \hline
Q4	&$\text{e}^{- 2\ln 5}$  est égal à :&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{1}{25}$&		$-25$&$\dfrac{5}{2}$\\ \hline
Q5&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}L'équation $\text{e}^x = \dfrac{16}{\text{e}^x}$&&& \\
&admet sur $\R$&	Aucune solution&	Une solution&	Deux solutions\\ \hline
&L'ensemble des&	&		&\\
Q6&	solutions de&	&		&\\
&l'inéquation&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~0\right[$&$\left]- \infty~;~\frac{5}{\ln 0,2}\right]$&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~+ \infty\right[$\\ 
 & 	$x\ln (0,2) - 5 \geqslant 0$ est : &	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Dans les questions 7, 8, 9 et 10, $A$ et $B$ sont deux évènements d'un univers
	tels que  
	
	$P(A)=0,4$,~ $P(B) =0,3$ et $P(A \cap B) = 0,2$.

\medskip

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Q7&	$P(A \cup B) =$&	0,1 & 0,5 &	 0,7\\ \hline
Q8&$P\left(A \cap \overline{B}\right) =$&	0,1&	0,2&	0,4\\ \hline
Q9&$P\left(\overline{A \cap B}\right) =$&	0,3&	0,5&	0,8\\ \hline
Q10&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$P_{A}(B)  =$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{3}{4}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à} $10^{-2}$ \emph{près.}
 
Un site touristique dont le billet d'entrée coûte 4 \euro{} propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 \euro{} par personne.

\medskip

Une buvette est installée sur le site. On y vend un seul type de boisson au prix de 2~\euro{} l'unité.

On suppose qu'à la buvette un touriste achète au plus une boisson.

Un touriste visite le site. On a établi que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la probabilité pour qu'il visite à pied est $0,3$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il visite à pied et achète une boisson est $0,18$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il achète une boisson sachant qu'il visite en car est $0,8$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note :
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $C$ l'évènement : \og le touriste visite en car \fg{} ;
\item[$\bullet~$]  $B$ l'évènement : \og le touriste achète une boisson \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $p\left(\overline{C} \cap B\right)$ et $p\left(\overline{C}\right)$.
\item Le touriste visite à pied. Quelle est la probabilité qu'il achète une boisson ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p(B) = 0,74$.
		\item En déduire la recette moyenne prévisible de la buvette lors d'une journée où \np{1000} touristes sont attendus sur le site.
	\end{enumerate}
\item On appelle $d$ la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $d$ ?
		\item Établir la loi de probabilité de $d$. On présentera le résultat dans un tableau.
		\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une entreprise, lors d'un mouvement social, le personnel est amené à se
prononcer chaque jour sur l'opportunité ou non du déclenchement d'une grève.

Le premier jour, 15\,\% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.
À partir de ce jour-là :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] parmi ceux qui souhaitent le déclenchement d'une grève un certain jour, 35\,\% changent d'avis le lendemain.
\item[$\bullet~$] parmi ceux qui ne souhaitent pas le déclenchement d'une grève un certain jour, 33\,\% changent d'avis le lendemain.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $g_{n}$ la probabilité qu'un membre du personnel souhaite le déclenchement d'une grève le jour $n$,
\item[$\bullet~$] $t_{n}$ la probabilité qu'un membre du personnel ne souhaite pas le déclenchement d'une grève le jour $n$,
\item[$\bullet~$] $P_{n} = \left(g_{n}~~t_{n}\right)$, la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$-ième jour.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'état initial $P_{1}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
		\item Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.
	\end{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de personnes favorables à la grève le 3\up{e} jour.
\item Soit $P = (x~~y)$ l'état probabiliste stable (on rappelle que $x +y= 1$).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x = 0,65 x + 0,33 y$.
		\item Déterminer $x$ et $y$ (on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près).
		\item Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Tous les résultats numériques seront arrondis à l'unité près sauf indication contraire.}

Une machine est achetée \np{3000} euros.

Le prix de revente $y$, exprimé en euros, est donné en fonction du nombre $x$ d'années d'utilisation par le tableau suivant :

\[\begin{array}{|*{7}{c|}}\hline
x_{i}&	0		&	1			&	2		&	3		&	4		&	5\\ \hline
y_{i}&\np{3000}&\np{2400}	&\np{1920}&\np{1536}&	\np{1229}& 	983\\ \hline
\end{array}\]

\medskip

\textbf{A. Ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}~;~y_{i})$ dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 200 euros sur l'axe des ordonnées.
\item Calculer le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation.
\item Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la
méthode des moindres carrés.

Représenter la droite dans le repère précédent.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{B. Ajustement non affine}

\medskip

On pose $z =  \ln (y)$ et on admet qu'une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ est donnée par : $z= - 0,22x + 8,01$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une expression de $y$ en fonction de $x$ de la forme $y = A^x  \times B$ où $A$ est un réel arrondi au centième près et $B$ est un réel arrondi à l'unité près.
\item En admettant que $y = 0,80^x \times  \np{3011}$, déterminer après combien d'années d'utilisation le prix de revente devient inférieur ou égal à $500$ euros.
\end{enumerate}
	
\textbf{C Comparaison des ajustements}

\medskip

Après 6 années d'utilisation le prix de revente d'une machine est de $780$ euros.
Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente après 6 années d'utilisation ? On argumentera la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit une fonction $r$ définie sur [0 ; 12] par 

\[r(x) = (900x)\text{e}^{-0,1(x - 2)}.\]

\textbf{A. Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~12] par 
$f(x) =  \ln [r(x)]$.

Démontrer que $f(x) = \ln (900) + \ln x -  0,1(x -2)$.
\item On note $f$ la fonction dérivée de $f$ ;  démontrer que $f'(x) = \dfrac{10 - x}{10x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de ]0~;~12] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~12].
\item On désigne par $r'$ la fonction dérivée de $r$ ; exprimer $f'$ en fonction de $r'$ et de $r$ puis justifier que $r'(x)$ et $f'(x)$ ont le même signe pour tout $x$ de ]0~;~12].
\item En déduire les variations de $r$ sur ]0~;~12].
\item Déterminer pour quelle valeur $x_{0}$ la fonction $r$ atteint un maximum et calculer $x_{0}$ arrondi à l'unité près.
\end{enumerate}

\textbf{B. Calcul de la valeur moyenne}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $R$ définie par 

\[R(x) = - \np{9000}(x + 10)\text{e}^{-0,1(x - 2)}\]

est une primitive de la fonction $r$ sur [0 ; 12].
\item Calculer la valeur moyenne $r_{m}$ de la fonction $r$ sur [0 ; 12] définie par

\[r_{m} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\int_{0}^{12} r(x)\:\text{d}x.\]

On donnera d'abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe- Document réponse à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{Exercice 1 : questionnaire à  choix multiples} 

\begin{center}

\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Questions}& 	\multicolumn{3}{|c|}{Réponses}\\ \hline
Q1&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}Si $a \in ]0~;~1[$ alors	&$0$&$+ \infty$&$- \infty$\\  \cline{3-5} 
	&$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} a^x$ est égale  à : & $\Box$	&$\Box$	&$\Box$	\\ \hline
	&Une primitive sur $\R$ de& & & \\ 
Q2	&la fonction&	$x \mapsto \text{e}^{x^2}$&$x \mapsto 2\text{e}^{x^2}$&$x \mapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}$\\  \cline{3-5}	
	&$x \mapsto x\text{e}^{x^2}$ est : 	&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\ \hline
	&	La dérivée sur $]0~;~+\infty[$&		&	&\\
Q3	&	de la fonction&	$x \mapsto \dfrac{1}{x}$& $x \mapsto \ln x$&$x \mapsto \ln x + 1$\\ \cline{3-5}
	&$x \mapsto x\ln x$ est :	&$\Box$	&$\Box$	&$\Box$ \\ \hline
Q4	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\text{e}^{- 2\ln 5}$  est égal à :&$\dfrac{1}{25}$&$-25$&$\dfrac{5}{2}$\\ \cline{3-5}
	&	&$\Box$	&$\Box$	&$\Box$\\ \hline
Q5	&L'équation $\text{e}^x = \dfrac{16}{\text{e}^x}$& Aucune solution& Une solution& Deux solutions \\
	&admet sur $\R$&$\Box$	&$\Box$	&$\Box$\\ \hline
	&L'ensemble des&		&		&\\
Q6&	solutions de&		&		&\\
	&l'inéquation&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~0\right[$&$\left]- \infty~;~\frac{5}{\ln 0,2}\right]$&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~+ \infty\right[$\\\cline{3-5} 
 	&$x\ln (0,2) - 5 \geqslant 0$ est : &$\Box$	&$\Box$	&$\Box$\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

Dans les questions 7, 8, 9 et 10, $A$ et $B$ sont deux évènements d'un univers
tels que  $P(A)=0,4$,~ $P(B) =0,3$ et $P(A \cap B) = 0,2$.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Q7&	$P(\text{A} \cup \text{B}) =$&0,1 & 0,5 &0,7\\\cline{3-5}
&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\ \hline
Q8&$P\left(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\right) =$&	0,1&	0,2&	0,4\\\cline{3-5}
&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\ \hline
Q9&$P\left(\overline{\text{A} \cap \text{B}}\right) =$&	0,3&	0,5&	0,8\\ \cline{3-5}
&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\\hline
Q10&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$P_{\text{A}}(\text{B})  =$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{3}{4}$\\\cline{3-5} 
&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document} 