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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat série ES Amérique du Nord juin 2003~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n'est demandé dans cet exercice.}

Dans un magasin, le nombre annuel de ventes d'un appareil électroménager, relevé pendant 6 années, est donné par le tableau suivant :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année			&	1996	&1997	&1998	&1999 	&2000	&2001\\ \hline
Rang de l'année $x_i$&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Nombre d'appareils $y_i$&623&712	&785	&860	&964&\np{1073}\\ \hline
\end{tabularx} 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter dans un repère orthogonal le    nuage de  points $M\left(x_i,~y_i\right)$ en prenant comme unités graphiques : 2~cm pour 1 rang en abscisses et 1~cm pour $50$~appareils en ordonnées, en commençant à la graduation $600$.
	\item Calculer, en donnant les résultats arrondis à $10^{-2}$, les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer, en donnant les résultats arrondis à $10^{-2}$, les coordonnées du point moyen G$_1$ du nuage formé par les points M$_1$,\: M$_2$ et M$_3$, puis les coordonnées du point moyen G$_2$ du nuage formé par les points M$_4$,\: M$_5$ et M$_6$.
		\item Placer les points G$_1$ et G$_2$ sur le graphique et déterminer, avec des coefficients arrondis à $10^{_2}$, une équation de la droite (G$_1$G$_2$).
		\item En utilisant cette droite comme droite d'ajustement affine, déterminer le nombre d'appareils que l'on peut prévoir vendre en 2004.
	\end{enumerate}
\item On sait maintenant que le nombre d'appareils vendus en 
2002 est de \np{1125}.
	\begin{enumerate} 
		\item Ajouter le point M$_7$(7~;~\np{1125}) sur le graphique précédent.
		\item On considère alors le nouveau nuage formé des points $M_i,\: 2 \leqslant i \leqslant 7$ (le nombre annuel de ventes de l'année 1996 n'est plus pris en compte).

Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$).
		\item En utilisant cet ajustement, quel nombre d'appareils peut-on prévoir vendre 
en 2004 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une petite entreprise de textile commercialise des nappes et des lots de serviettes assorties.
Quand un client se présente, il achète au plus une nappe et un lot de serviettes.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La probabilité pour qu'un client achète la nappe est 0,2. La probabilité
 pour qu'un client achète le lot de serviettes quand il a acheté la nappe est $0,7$ et la probabilité qu'il achète le lot de serviettes quand il n'a pas acheté la nappe est $0,1$.
	\begin{enumerate} 
		\item On note N l'évènement \og un client achète la nappe \fg{}. On note S l'évènement \og un client achète le lot de serviettes \fg{}. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement N $\cap$ S est égale à 0,14.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement S.
		\item Calculer la probabilité pour qu'un client achète au moins l'un des deux articles.
	\end{enumerate}
\item La nappe est vendue 125 euro{} et le lot de serviettes 45 \euro.
	\begin{enumerate} 
		\item Établir en reproduisant sur la copie le tableau suivant, la loi 
de probabilité : \og dépense d'un client \fg.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Dépense (en euro)	&0	&45	&125&170 \\ \hline
Probabilité			&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Donner l'interprétation concrète de ce nombre.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que la probabilité pour qu'un client achète l'ensemble nappe
 et serviettes est $0,14$. On choisit trois clients au hasard. On suppose que le nombre de clients est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à un tirage successif avec remise.
Quelle est la probabilité qu'un seul client ait acheté un ensemble nappe 
et serviettes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Soit le graphe G joint en annexe constitué des sommets A, B, C, D, E, F et G.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est son ordre et le degré de chacun de ses 
sommets ?
\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau des distances entre
 deux sommets de G :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Distance&A			&B			&C			&D			&E			&F	& G \\ \hline 						
A		&$\times$	&			&			&			&			&	&\\ \hline
B		&$\times$	&$\times$	&			&			&			&	&\\ \hline 
C		&$\times$	&$\times$	&$\times$	& 			&			&	&\\ \hline
D		&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$	&			&	&\\ \hline
E		&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$	&   &\\ \hline
F		&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$ &\\ \hline
G		&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$	&$\times$    &$\times$ \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

En déduire le diamètre de ce graphe.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un sous-graphe complet d'ordre 3 de G.

Qu'en déduire pour le nombre chromatique de G ?
		\item Proposer une coloration du graphe G et en déduire son nombre chromatique.
	\end{enumerate}
\item Donner la matrice M associée à G (vous numéroterez les lignes et les
 colonnes dans l'ordre alphabétique).
\item En utilisant la matrice M$_2$ donnée en annexe 1, déduire le nombre de chaînes de longueur 2 partant de A sans y revenir.
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
    
\textbf{Annexe 1 : exercice 2}
    
\vspace{0,9cm}
 
\begin{pspicture}(9,6)
\psline(5,0)(0.7,1)(1.3,3.8)(4.2,5.5)(7.3,4)(8.5,1.5)(5,0)(7.3,4)
\psline(5,0)(3.6,4)(1.3,3.8)
\psline(3.6,4)(4.2,5.5)
\uput[l](0.7,1){G}  \uput[l](1.3,3.8){A}  \uput[u](4.2,5.5){B}  
\uput[ur](7.3,4){C} 
\uput[r](8.5,1.5){D}  \uput[d](5,0){E}  \uput[dl](3.6,4){F} 
\end{pspicture}
     
\vspace{1,5cm}
  
M$^2 = \begin{pmatrix}
3&1&1&0&2&1&0\\
1&3&0&1&2&1&1\\
1&0&3&1&1&2&1\\
0&1&1&2&1&1&1\\
2&2&1&1&4&0&0\\
1&1&2&1&0&3&2\\
0&1&1&1&0&2&2\\
\end{pmatrix}$
\end{center}
  
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = ax + b + 3 \ln (x +1)\]
	
où $a$ et $b$ désignent deux réels que l'on déterminera dans 
la question \textbf{2.}. On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative. La figure de l' annexe représente une partie de cette courbe donnée par une calculatrice graphique.

$\mathcal{C}_{f}$ vérifie les conditions suivantes :

 elle passe par le point A(0~;~5) et elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant les données de l'énoncé, que peut-on dire du sens de variation de $f$ ?
\item Déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose désormais que la fonction $f$ est définie sur $]-1~;~+ \infty[$ 
par :

\[f(x) = - 2x + 5 + 3 \ln (x+1).\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en $- 1$. Interpréter graphiquement le résultat.
		\item En admettant que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{\ln (x+1)}{x} = 0$, calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f (x)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$ Dresser le tableau de
 variations. Préciser la valeur exacte du maximum de $f$.
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ et les asymptotes éventuelles dans un plan
muni d'un repère orthonormal \Oij. (unité graphique : 2 cm)
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et 
$\beta$ tels que $\alpha < 0 < \beta$ et $f(\alpha) =f (\beta) = 0$.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de 
$\alpha$ et de $\beta$.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur $] -1~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $] -1~;~ + \infty[$ par :

\[g (x) = (x + 1) \ln (x + 1) - x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item En déduire l'expression de la primitive de $f$ s'annulant 
pour $x = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une imprimerie a une capacité de production de \np{5000}~ouvrages par jour. Une étude a montré que le coût marginal peut être modélisé par $f(q)$ (en milliers d'euro) où $q$ désigne la quantité d'ouvrages imprimés (en milliers).

On rappelle que le coût marginal correspond à la dérivée du coût total.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^5 f(q) \:\text{d}q.$
		\item En déduire le coût total en euro de fabrication de \np{5000} ouvrages.
	\end{enumerate}
\item L'imprimeur compte réaliser en deux jours une commande 
de \np{8000}~ouvrages. Il hésite entre deux possibilités :

\np{5000} ouvrages le premier jour puis \np{3000} le second,

\np{4000} ouvrages pendant deux jours.

Quelle est l'option la plus rentable ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 2}

\textbf{Courbe représentative de} \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{2cm}
\psset{xunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(5,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-3)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-1,0)(-1,0.15)\psline(1,0)(1,0.15)\psline(2,0)(2,0.15)
\psline(3,0)(3,0.15)\psline(4,0)(4,0.15)\psline(5,0)(5,0.15)
\psline(0,-3)(0.1,-3) \psline(0,-2)(0.1,-2) \psline(0,-1)(0.1,-1) 
\psline(0,1)(0.1,1) \psline(0,2)(0.1,2) \psline(0,3)(0.1,3) 
\psline(0,4)(0.1,4) \psline(0,5)(0.1,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.965}{5}{3 x 1 add ln mul 5 add 2 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}