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%Sujet fourni par : Emmanuelle Acker
%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~~;~~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
	pdftitle = {Amérique du Nord Sujet 2 de secours 22 mai 2025},
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\begin{document}
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	\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2 (secours)}
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	\rfoot{\small{22 mai 2025}}
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	\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 22 mai 2025~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2 (secours) \\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
	\end{center}


%	La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x)=x \e^{-x}+2 x-1.\]

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

	On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$.

\bigskip

\textbf{Partie A: Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ :

\[f''(x)= (x-2) \e^{-x}\]

\item Étudier la convexité de la fonction $f$.

\item Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\R$, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.

Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

\item En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\R$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$.

Donner un encadrement de $\alpha$, au centième près.
\item On considère la droite $\Delta$ d'équation $y=2 x-1$.

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip

	Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_{n}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$. On note
		\[	I_{n}=\int_{1}^{n} x \e^{-x} \mathrm{~d} x	\]

	\begin{enumerate}
	\item À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_{n}$ en fonction de $n$.
	\item \begin{enumerate}
		\item Justifier que l'aire du domaine $D_{n}$ est $I_{n}$.

		\item Calculer la limite de l'aire du domaine $D_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\bigskip
\Oijk{} est un repère de l'espace.

On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&\phantom{-}3 - \phantom{3}t \\ y&=&-2 + 3t \\ z&=&\phantom{-}1 + 4t\end{array},\, t \in \R\right.$ et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2x -3y + z - 6 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} 
La droite $\mathrm{D}'$, qui a pour représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-6 t \\ z=9-8 t\end{array}, t \in \R\right.$, est parallèle à la droite D.

\item On admet que les points A$(-2 ~;~ 3 ~;~ 1)$, B$(1~;~ 3 ~;~-4)$ et C$(6 ~;~ 3 ~;~ 9)$ ne sont pas alignés.

\textbf{Affirmation :} La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et~C.

\item \textbf{Affirmation :} La droite D est sécante avec la droite $\Delta$ qui a pour représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&-4+2 t' \\ y&=&\phantom{-}1-3 t' \\ z&=&\phantom{-}2+\phantom{2}t'\end{array} t' \in \R\right.$

\item \textbf{Affirmation :} Le point F$(-3~;~-3~;~3)$ est le projeté orthogonal du point E$(-5~;~0~;~2)$ sur le plan $P$.

\item \textbf{Affirmation :} Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P'$ d'équation $-3x + y - a^{2} z+3=0$ soit parallèle à la droite D.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Note du rédacteur} «  pour certaines questions, il est indispensable que le repère soit orthonormé. »

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

\bigskip

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\,\%$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90\,\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus.

On constate que $62\,\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.


\bigskip

On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $C$ : \og la personne a été contaminée\fg{}
\item[ ] $V$ : \og la personne a été vaccinée\fg{}.
\end{description}

Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et %de : ce "de" est sur le sujet, ça me semble être une erreur de français.
la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(C \cap V)$.
		\item En déduire $P\left(\overline{C} \cap V\right)$.
	\end{enumerate}
\item Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west);% node[etiquette] {$$};
\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west);% node[etiquette] {$$};
\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west);% node[etiquette] {$$};
\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west);% node[etiquette] {$$};
\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west);% node[etiquette] {$$};
\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west);% node[etiquette] {$$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.
	\begin{enumerate}
		\item \og Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées.\fg

		\item \og Plus de 98\,\% de la population vaccinée n'a pas été contaminée.\fg{}
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population.

La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

\emph{On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est} $p = 0,02$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.
		\item Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=0\\
u_{1}=\dfrac{1}{2}\\
u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n}
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Partie A : Conjecture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. 
Aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{7}{|>{\centering\arraybackslash}X}|}\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
$u_{n}$ \rule{0pt}{18pt}& 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ &  &  &  \\ [6pt]\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude d'une suite auxiliaire}

\medskip

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $w_{0}$.
\item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a :

\[u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}\]

\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$,\quad$ u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Étude de la suite \boldmath$\left(u_{n}\right)$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.
\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\end{document}