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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~~;~~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{22 mai 2025}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 22 mai 2025~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}
%	La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$.

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

\medskip

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.}

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.
\item Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.
\item On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de \textbf{points} marqués après cette série de lancers.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $T$ en fonction de $N$.
		\item En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\item Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

\medskip

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

\medskip

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1\up{er},\, 2\up{e},\, \ldots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1},\, X_{2},\, \ldots,\, X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

\medskip

On pose $\quad M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n = 50$.

	\begin{enumerate}
		\item Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
		\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
		\item Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.
		\item En déduire que la probabilité de l'évènement \og  $19<M_{50}<25$ \fg{}  est strictement supérieure à 0,85.
	\end{enumerate}
\item Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

	\og Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$\fg.
\end{enumerate}

\newpage

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI\up{e} siècle.

\bigskip

On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par :

\[u_{0}=2 \quad \text { et, pour tout entier naturel } n,\quad  u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$.
		\item Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\quad $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $\sqrt{x} =x$.
		\item Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
	On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(u_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\quad $\ln (2)=2^{n} \ln \left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction ln et la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

Une équation de la droite T est $y = x - 1$.

Les points $\mathrm{A}_{0}$, $\mathrm{A}_{1}$, $\mathrm{A}_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée~0.

\begin{center}
%		\begin{tikzpicture}%compiler avec pgfplots
%			\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma, x={45mm}, y={45mm}, xmin=-0.2,  xmax=2.2,    ymin = -0.2,     ymax=1.2, xtick ={1,2},    ytick={0.5,1},
%				tick label style={font=\footnotesize}, grid=none, axis lines =center]
%				\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.6:2.2 ]{ln(x)};
%				\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{\footnotesize 0}};
%				\node[red] at(axis cs: 1.9,0.58) {$ \mathscr{C}$};
%				\addplot [line width=1pt,color=red,blue,samples=10,domain= 0.6:2.2 ]{x-1};
%				\node [blue] at(axis cs: 1.9,0.8) {T};
%				\fill (axis cs: 2,0) circle (1pt) node[above] {A$_0$};
%				\fill (axis cs: 1.414,0) circle (1pt) node[above] {A$_1$};
%				\fill (axis cs: 1.189,0) circle (1pt) node[above] {A$_2$};
%			\end{axis}
%		\end{tikzpicture}
\psset{xunit=4.5cm, yunit=4.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(2.2,1.2)
\psaxes[linewidth=0.8pt,labels=none,Dx=1,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,1.2)
% Graduations manuelles
\psline[linewidth=0.5pt](1,-0.05)(1,0.05)
\rput[t](1,-0.1){\footnotesize 1}
\psline[linewidth=0.5pt](2,-0.05)(2,0.05)
\rput[t](2,-0.1){\footnotesize 2}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.05,0.5)(0.05,0.5)
\rput[r](-0.1,0.5){\footnotesize 0{,}5}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.05,1)(0.05,1)
\rput[r](-0.1,1){\footnotesize 1}
\rput[tr](-0.05,-0.05){\footnotesize 0}
% Courbe logarithme en rouge
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{0.6}{2.2}{x ln}
\rput[l](1.9,0.58){\red $\mathscr{C}$}
\psplot[linewidth=1pt, linecolor=blue, plotpoints=10]{0.6}{2.2}{x 1 sub}
\rput[l](1.9,0.8){\blue T}
% Points
\psdot[dotsize=2pt, linecolor=black](2,0)
\rput[b](2,0.05){A$_0$}
\psdot[dotsize=2pt, linecolor=black](1.414,0)
\rput[b](1.414,0.05){A$_1$}
\psdot[dotsize=2pt, linecolor=black](1.189,0)
\rput[b](1.189,0.05){A$_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99~;~1,01[$.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $]0,99 ~;~1,01[$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près.
		\item En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$.
\item Déduire des questions \textbf{1. c.} et \textbf{2. b.} de la \textbf{partie B} une approximation de $\ln (2)$.
	\end{enumerate}

\item On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel \texttt{Briggs(a)} renvoie une approximation de $\ln (a)$.

On rappelle que l'instruction en langage Python \texttt{sqrt(a)} correspond à $\sqrt{a}$.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabularx}{8cm}{|X|}\hline
\textbf{from} math \textbf{import}*\\
\textbf{def} Briggs(a):\\
\quad n = 0\\
\quad \textbf{while} a >= 1.01:\\
	\quad \quad a = \textbf{sqrt}(a)\\
	\quad \quad n = n+1\\
	\quad L =\dots\\
	\textbf{return} L\\ \hline
	\end{tabularx}
	\end{ttfamily}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

\medskip

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.40\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\pspolygon(1.5,0.6)(5,0.9)(5,4.4)(1.5,4.1)%ABFE
\psline(5,4.4)(4,5.4)(0.5,5.1)(1.5,4.1)%FGHE
\psline(0.5,5.1)(0.5,1.6)(1.5,0.6)%HDA
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.6)(4,1.9)(4,5.4)%DCG
\psline[linestyle=dashed](5,0.9)(4,1.9)%CB
\uput[dl](1.5,0.6){A} \uput[dr](5,0.9){B} \uput[r](4,2){C} \uput[l](0.5,1.6){D}
\uput[l](1.5,4.1){E} \uput[r](5,4.4){F} \uput[ul](4,5.4){G} \uput[ul](0.5,5.1){H}
\uput[dr](3.25,0.75){I} \uput[r](5,2.65){J} \uput[l](1.5,2.35){K}\uput[u](2.25,1.75){L}
\uput[l](0.5,3.35){M}
\psdots(1.5,0.6)(5,0.9)(4,1.9)(0.5,1.6)(1.5,4.1)(5,4.4)(4,5.4)(0.5,5.1)(3.25,0.75)(5,2.65)(1.5,2.35)(2.25,1.75)(0.5,3.35)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 :} \og $\vect{\text{JH}} = 2\vect{\text{BI}} + \vect{\text{DM}} - \vect{\text{CB}} $ \fg

\textbf{Affirmation 2 :} \og Le triplet de vecteurs $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AH}},~\vect{\text{AG}}\right)$ est une base de l'espace. \fg

\textbf{Affirmation 3 :} \og $\vect{\text{IB}} \cdot \vect{\text{LM}} = - \dfrac 14$. \fg

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

\begin{itemize}[label={$\bullet~$}]
\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$
\item les points A$(2~;~0~;~-1)$ et B$(5~;~-3~;~7)$
\end{itemize}

\textbf{Affirmation 4 :} \og Le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont parallèles.\fg

\textbf{Affirmation 5 :} \og Le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par B a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ \fg

\textbf{Affirmation 6 :} \og La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.\fg

\smallskip

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&-12 + 2k\\
y &=&\phantom{-}6\\
z &=&\phantom{-}3 - \phantom{-}5k
\end{array}\right., \text{où}\, \:k \in \R\]

\textbf{Affirmation 7 :} \og Les droites (AB) et $(d)$ ne sont pas coplanaires. \fg

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par

\[f(x) = \e^x \sin (x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi]$,\:

\[f'(x) = \e^x[\sin(x) + \cos(x)].\]

		\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse~$0$.
		\item Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
		\item En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\e^x \sin (x) \geqslant x$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip


On note

\[I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \sin (x)\, \text{d}x\quad  \text{et}\quad J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \cos (x)\, \text{d}x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux
 relations suivantes :

\[I= 1+J \qquad \text{et}\qquad I= \e^{\frac{\pi}{2}} - J.\]

\item En déduire que $I = \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x$.

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(4,9)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](1.5708,0)(1.5708,1.5708)
\psline[linewidth=1.25pt](1.5708,1.5708)(1.5708,4.81)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.14159}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul}
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{0}{3.14159}{x}
\uput[ur](2.7,6.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](2.54,2.6){$\mathcal{C}_g$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.5708}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul}\psline[linewidth=1.25pt](1.5708,4.81)(1.5708,1.5708)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}