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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées de manière 
indépendante.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie I}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un questionnaire à choix multiple (Q. C. M.), pour une question donnée, 3 réponses sont proposées dont une seule est exacte.

Un candidat décide de répondre au hasard à cette question.

La réponse exacte rapporte $n$ point(s) et une réponse fausse fait perdre $p$ 
point(s).

Soit $N$ la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, 
la note algébrique qui lui sera attribuée pour cette question.

	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $N$.
		\item Quelle relation doit exister entre $n$ et $p$ pour que l'espérance mathématique de $N$ soit nulle ?
	\end{enumerate}
\item À un concours un candidat doit répondre à un Q. C. M.  de 4 questions comportant chacune trois propositions de réponse dont une  seule est exacte. On suppose qu'il répond à chaque question, au hasard. Calculer la probabilité qu'il réponde correctement à 3 questions exactement (donner  cette probabilité sous forme de fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième).
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie II}

\medskip

Répondre au Q. C. M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).

\begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie} \end{center}

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé 
d'entourer la réponse choisie pour chacune des quatre questions.

L'absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée.

\medskip

\begin{itemize}\item[\textbf{a}.] On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en 
extrait simultanément trois pour former un \og paquet \fg{}. Combien de \og paquets \fg{} 
contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ?

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
Réponse 1 :	& Réponse 2 :	& Réponse 3 :\\
180 		& 330 			& 110\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item[\textbf{b.}] $A$ et $B$ sont deux évènements d'un espace probabilisé tels 
que :

\[p(A) = 0,4 \quad p(B) = 0,5 \quad
p\left(\overline{A \cup B}\right) = 0,35.\]

Combien vaut $p(A \cap B)$ ?

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline 
Réponse 1 :& Réponse 2 :							& Réponse 3 :\\
$p(A \cap \text{B}) = 0,1$ 	& $p(A \cap B) = 0,25$ 	& Les données sont \\ 
									& 										& insuffisantes pour répondre.\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item[\textbf{c.}] $A$ et $B$ sont deux évènements d'un espace probabilisé 
tels que

$p(B \cap A) = \dfrac{1}{6},~p_A(B) = 
0,25$ (probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé).
Combien vaut $p(A)$ ?

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline 
Réponse 1 : & Réponse 2 :					& Réponse 3 :\\
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(A) = \dfrac{2}{3}$ 	& $p(A) = \dfrac{1}{24}$ & $p(A) = \dfrac{1}{12}$\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
\smallskip

\item[\textbf{d.}] Une variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
$x_{i}$ & 1 & 2&4\\ \hline
$_{\rule[0mm]{0mm}{6mm}} p_{i}$\rule[0mm]{0mm}{6mm} & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

Combien vaut l'écart type de $X$ ?
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
Réponse 1 : & Réponse 2 :						& Réponse 3 :\\
\rule[-4mm]{0mm}{9mm} $\sigma = \dfrac{3}{2}$ 	& $\sigma = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ 	& $\sigma = 2$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique.

\vspace{0,2cm}

On considère l'application $F$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z'= (1 + \text{i})z + 2.\]

\begin{enumerate}
\item Soit A le point d'affixe $- 2 + 2$i.

Déterminer les affixes des points $\text{A}'$ et B vérifiant respectivement A$' = F$(A) et $F$(B) = A.
\item Méthode de construction de l'image de $M$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe un point confondu avec son image. On notera 
$\Omega$ ce point et $\omega$ son affixe.
		\item Établir que pour tout complexe $z$ distinct de 
$\omega,~\dfrac{z' - z}{\omega - z} = -$i.

Soit $M$ un point distinct de $\Omega$.

Comparer $MM'$ et $M\Omega$ et déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{M\Omega},~\overrightarrow{MM'})$.

En déduire une 
méthode de construction de $M'$ à partir de $M$.
	\end{enumerate}
\item Étude de l'image d'un ensemble de points.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble 
$\Gamma$, des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z + 2 - 
2\text{i}| = \sqrt{2}$.

Vérifier que B est un point de $\Gamma$.
		\item Démontrer que, pour tout $z$ élément de $\C$

\[z' + 2 = (1 + \text{i})(z + 2 - 2\text{i}).\]

Démontrer que l'image par $F$ de tout point de $\Gamma$ appartient au cercle $\Gamma `$ de centre A$'$ et de rayon 2.

Placer O, A, B, A$'$, $\Gamma$ et $\Gamma'$ sur une même figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme 
$\overline{abba}$ où $a$ est un chiffre supérieur ou égal à 2 et $b$ est 
un chiffre quelconque.

Exemples d'éléments de (E) : \np{2002} ; \np{3773} ; \np{9119}.
Les parties A et B peuvent être traitées séparément.

\medskip

\textbf{Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit 
facteur premier.}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décomposer \np{1001} en produit de facteurs premiers.
		\item Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre d'éléments de (E) ?
		\item Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2  ni par 5 ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un élément de (E) s'écrivant sous la forme $\overline{abba}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : \og~$n$ est divisible par 3 \fg{} équivaut à \og $a + 
b$ est divisible par 3~\fg{}.
		\item Montrer que : \og~$n$ est divisible par 7~\fg{} équivaut à \og~$b$ est 
divisible par 7~\fg{}.
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments 
de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année 
bissextile.}

\medskip

Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année 
bissextile.

On admet que pour tout élément $n$ de (F), il existe des entiers 
naturels $p$ et $q$ tels que :

\[n = \np{2000} + 4 p \quad \text{et} \quad n = \np{2002} + 11q.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation (e) : $4 p - 11 q = 2$
où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.

Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l'équation (e) puis 
résoudre l'équation (e).
\item En déduire que tout entier $n$ de (F) peut s'écrire sous 
la forme \np{2024} + 44 $k$ où $k$ est un entier relatif.
\item À l'aide de la calculatrice déterminer les six plus 
petits éléments de (F).

N. B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f_{k}(x) = \ln (\text{e}^x + kx) - x.\] 

Soit $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative 
de la fonction $f_{k}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal  \Oij, (unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des  ordonnées).

\textbf{Étude préliminaire : mise en place d'une inégalité.}

On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty$[ par : 

\[g(x) = \ln (1 + x) - x.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$.
\item En déduire que pour tout réel $a$ positif ou nul  $\ln (1 + a) \leqslant a$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_{1}$ 
\unboldmath définie sur \boldmath $[0~;~+ \infty[$ \unboldmath par~\boldmath $f_{1}(x) = \ln \left(\mathrm{e}^x + x\right) - x$\unboldmath.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'_{1}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant 
à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la  fonction $f_{1}$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à  l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $f_{1}(x) = \ln \left(1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En déduire la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $f_{1}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude et propriétés des fonctions \boldmath $f_{k}$\unboldmath .}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f_{k}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$

$f_{k}(x) = \ln \left(1 + k\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En déduire la limite de $f_{k}$, en $+ \infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation  de $f_{k}$.
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a $f_{k}(x) \leqslant \dfrac{k}{\text{e}}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T_{k}$ à $\mathcal{C}_{k}$ au point O. 
\item Soit $p$ et $m$ deux réels strictement positifs tels 
que $p < m$.

Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{p}$ et 
$\mathcal{C}_{m}$.
\item Tracer les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et 
$\mathcal{C}_{2}$ ainsi que leurs tangentes respectives $T_{1}$ 
et $T_{2}$ en O.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie C : Majoration d'une intégrale.}

\medskip

Soit $\lambda$ un réel strictement positif, on note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, 
en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe 
$\mathcal{C}_{k}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans calculer $\mathcal{A}(\lambda)$, montrer que $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant k\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{- x}\: \text{d}x$ 
(on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).
\item Calculer à l'aide d'une intégration par parties 
l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{- x}\: \text{d}x$.
\item On admet que $\mathcal{A}(\lambda)$ admet une limite 
en + $\infty$.

Montrer que $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} 
\mathcal{A}(\lambda) \leqslant k$.

Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{enumerate}
\end{document}