%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2002~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées de manière indépendante. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un questionnaire à choix multiple (Q. C. M.), pour une question donnée, 3 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat décide de répondre au hasard à cette question. La réponse exacte rapporte $n$ point(s) et une réponse fausse fait perdre $p$ point(s). Soit $N$ la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui sera attribuée pour cette question. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $N$. \item Quelle relation doit exister entre $n$ et $p$ pour que l'espérance mathématique de $N$ soit nulle ? \end{enumerate} \item À un concours un candidat doit répondre à un Q. C. M. de 4 questions comportant chacune trois propositions de réponse dont une seule est exacte. On suppose qu'il répond à chaque question, au hasard. Calculer la probabilité qu'il réponde correctement à 3 questions exactement (donner cette probabilité sous forme de fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Répondre au Q. C. M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie). \begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie} \end{center} Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé d'entourer la réponse choisie pour chacune des quatre questions. L'absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée. \medskip \begin{itemize}\item[\textbf{a}.] On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour former un \og paquet \fg{}. Combien de \og paquets \fg{} contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ? \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 : & Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ 180 & 330 & 110\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item[\textbf{b.}] $A$ et $B$ sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que : \[p(A) = 0,4 \quad p(B) = 0,5 \quad p\left(\overline{A \cup B}\right) = 0,35.\] Combien vaut $p(A \cap B)$ ? \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 :& Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ $p(A \cap \text{B}) = 0,1$ & $p(A \cap B) = 0,25$ & Les données sont \\ & & insuffisantes pour répondre.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item[\textbf{c.}] $A$ et $B$ sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que $p(B \cap A) = \dfrac{1}{6},~p_A(B) = 0,25$ (probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé). Combien vaut $p(A)$ ? \smallskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 : & Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(A) = \dfrac{2}{3}$ & $p(A) = \dfrac{1}{24}$ & $p(A) = \dfrac{1}{12}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \item[\textbf{d.}] Une variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline $x_{i}$ & 1 & 2&4\\ \hline $_{\rule[0mm]{0mm}{6mm}} p_{i}$\rule[0mm]{0mm}{6mm} & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Combien vaut l'écart type de $X$ ? \end{itemize} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Réponse 1 : & Réponse 2 : & Réponse 3 :\\ \rule[-4mm]{0mm}{9mm} $\sigma = \dfrac{3}{2}$ & $\sigma = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ & $\sigma = 2$\\\hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique. \vspace{0,2cm} On considère l'application $F$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z'= (1 + \text{i})z + 2.\] \begin{enumerate} \item Soit A le point d'affixe $- 2 + 2$i. Déterminer les affixes des points $\text{A}'$ et B vérifiant respectivement A$' = F$(A) et $F$(B) = A. \item Méthode de construction de l'image de $M$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un point confondu avec son image. On notera $\Omega$ ce point et $\omega$ son affixe. \item Établir que pour tout complexe $z$ distinct de $\omega,~\dfrac{z' - z}{\omega - z} = -$i. Soit $M$ un point distinct de $\Omega$. Comparer $MM'$ et $M\Omega$ et déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{M\Omega},~\overrightarrow{MM'})$. En déduire une méthode de construction de $M'$ à partir de $M$. \end{enumerate} \item Étude de l'image d'un ensemble de points. \begin{enumerate} \item Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Gamma$, des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z + 2 - 2\text{i}| = \sqrt{2}$. Vérifier que B est un point de $\Gamma$. \item Démontrer que, pour tout $z$ élément de $\C$ \[z' + 2 = (1 + \text{i})(z + 2 - 2\text{i}).\] Démontrer que l'image par $F$ de tout point de $\Gamma$ appartient au cercle $\Gamma `$ de centre A$'$ et de rayon 2. Placer O, A, B, A$'$, $\Gamma$ et $\Gamma'$ sur une même figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme $\overline{abba}$ où $a$ est un chiffre supérieur ou égal à 2 et $b$ est un chiffre quelconque. Exemples d'éléments de (E) : \np{2002} ; \np{3773} ; \np{9119}. Les parties A et B peuvent être traitées séparément. \medskip \textbf{Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Décomposer \np{1001} en produit de facteurs premiers. \item Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'éléments de (E) ? \item Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5 ? \end{enumerate} \item Soit $n$ un élément de (E) s'écrivant sous la forme $\overline{abba}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : \og~$n$ est divisible par 3 \fg{} équivaut à \og $a + b$ est divisible par 3~\fg{}. \item Montrer que : \og~$n$ est divisible par 7~\fg{} équivaut à \og~$b$ est divisible par 7~\fg{}. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.} \medskip Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile. On admet que pour tout élément $n$ de (F), il existe des entiers naturels $p$ et $q$ tels que : \[n = \np{2000} + 4 p \quad \text{et} \quad n = \np{2002} + 11q.\] \begin{enumerate} \item On considère l'équation (e) : $4 p - 11 q = 2$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs. Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l'équation (e) puis résoudre l'équation (e). \item En déduire que tout entier $n$ de (F) peut s'écrire sous la forme \np{2024} + 44 $k$ où $k$ est un entier relatif. \item À l'aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F). N. B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f_{k}(x) = \ln (\text{e}^x + kx) - x.\] Soit $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij, (unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées). \textbf{Étude préliminaire : mise en place d'une inégalité.} On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty$[ par : \[g(x) = \ln (1 + x) - x.\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $g$. \item En déduire que pour tout réel $a$ positif ou nul $\ln (1 + a) \leqslant a$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_{1}$ \unboldmath définie sur \boldmath $[0~;~+ \infty[$ \unboldmath par~\boldmath $f_{1}(x) = \ln \left(\mathrm{e}^x + x\right) - x$\unboldmath.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'_{1}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f_{1}$. \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $f_{1}(x) = \ln \left(1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En déduire la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$. \item Dresser le tableau de variation de $f_{1}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude et propriétés des fonctions \boldmath $f_{k}$\unboldmath .} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f_{k}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$. \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ $f_{k}(x) = \ln \left(1 + k\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. En déduire la limite de $f_{k}$, en $+ \infty$. \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de $f_{k}$. \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a $f_{k}(x) \leqslant \dfrac{k}{\text{e}}$. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $T_{k}$ à $\mathcal{C}_{k}$ au point O. \item Soit $p$ et $m$ deux réels strictement positifs tels que $p < m$. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{p}$ et $\mathcal{C}_{m}$. \item Tracer les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ainsi que leurs tangentes respectives $T_{1}$ et $T_{2}$ en O. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Majoration d'une intégrale.} \medskip Soit $\lambda$ un réel strictement positif, on note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{k}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item Sans calculer $\mathcal{A}(\lambda)$, montrer que $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant k\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{- x}\: \text{d}x$ (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire). \item Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{- x}\: \text{d}x$. \item On admet que $\mathcal{A}(\lambda)$ admet une limite en + $\infty$. Montrer que $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda) \leqslant k$. Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \end{document}