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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de
chances de gagner ou de perdre la première partie. On admet que, si elle
gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6,
et si elle perd une partie, la probabilité pour qu'elle perde la partie
suivante est $0,7$. On note, pour $n$ entier naturel ou nul :

$G_{n}$ l'évènement \og Juliette gagne la $n$-ième partie \fg 

$P_{n}$ l'évènement \og Juliette perd la $n$-ième partie \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les probabilités $p\left(  G_{1}\right)  ,$
$p\left(G_{2}/G_{1}\right)  $ et $p\left(  G_{2}/P_{1}\right)  .$ En
déduire la probabilité $p\left(  G_{2}\right).$
		\item  Calculer $p\left(P_{2}\right).$
	\end{enumerate}
\item  On pose, pour $n$ entier naturel non nul, $x_{n}=p\left(  G_{n}\right)
$ et $y_{n}=p\left(P_{n}\right).$
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer pour $n$ entier naturel non nul les probabilités
$p\left(P_{n+1}/G_{n}\right)  $ et $p\left(  G_{n+1}/P_{n}\right).$
		\item  Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul :
\index{Suite!et probabilité}
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x_{n+1}= 0,6x_{n}+0,3y_{n}\\
y_{n+1}= 0,4x_{n}+0,7y_{n}%
\end{array}
\right.
\]
	\end{enumerate}
\item  Pour $n$ entier naturel non nul, on pose
\[
v_{n}=x_{n}+y_{n}\text{ et }w_{n}=4x_{n}-3y_{n}%
\]
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(  v_{n}\right)  $ est constante de terme
général égal à $1.$
\index{Suite!constante}
		\item  Montrer que la suite $\left(  w_{n}\right)  $ est géométrique
et exprimer $w_{n}$ en fonction de $n.$
\index{Suite!géométrique}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire du 3. l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n.$
		\item  Montrer que la suite $\left(  x_{n}\right)  $ converge et
déterminer sa limite.
\index{Suite!convergente}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, ABC est un triangle rectangle en A, direct, non isocèle. H est le pied de la hauteur issue de A. Le point D est tel que ACD est un triangle rectangle en A, isocèle et direct. O est le pied de la hauteur issue de D dans le triangle OBC. K est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle DAO.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Montrer que la rotation $r$ de centre A et d'angle + $\dfrac{\pi}{2}$ transforme la 
droite (CB) en la droite (DO), puis le triangle AHC en le triangle AKD. En déduire que AHOK est un carré.
\item Montrer que les droites (AB) et (KH) sont sécantes. (On pourra montrer que l'hypothèse \og (AB) et (KH) parallèles \fg{} conduit à l'égalité \og AO = AD \fg{} et que ceci est contradictoire avec les hypothèses de l'énoncé).
\item En déduire qu'il existe une homothétie $h$ qui transforme le triangle AKD en le triangle BHA.
\item On considère la transformation composée $s = h \circ r$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image des points H, C et A par $s$. 
		\item Identifier cette transformation et donner ses éléments caractéristiques.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) :

\[y'' + 2y' + 5y = 2x + 3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

$f(x) = ax + b$ soit solution de cette équation.
\item Soit $g$ une fonction numérique définie sur $\R$. Montrer que $g$ vérifie (E) si et seulement si $g - f$ vérifie l'équation 

\[(\text{E}') :\quad  y'' + 2y' + 5y = 0.\]

\item Résoudre (E$'$) et en déduire la solution générale de (E).
\item Déterminer la fonction numérique $h$, solution particulière de (E) vérifiant les conditions initiales $h(0) = 1$ et $h'(0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème  \hfill 11 points}

\medskip

La partie D est indépendante des parties B et C.

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité 3 cm).

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \ln \left(x^2 -  2x + 2\right).\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans \Oij.
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x$ réel, $x^2 - 2x + 2 > 0$.
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier le sens de variation de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
\item Représenter $(\mathcal{C})$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ : on montrera que la droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C})$ et on placera les points d'abscisse $0$ et $2$ ainsi que les tangentes à la courbe en ces points.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à l'intersection de $(\mathcal{C})$ et de $(\Delta)$.

On pose, pour tout réel $x,\quad  \varphi(x) = f(x) -  x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $\varphi"(x)$ de $\varphi(x)$. En déduire que $\varphi$ est strictement décroissante sur $\R$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $\varphi$ en $-  \infty$.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif,
		
\[\varphi(x) = x\left[\dfrac{2\ln x}{x} + \dfrac{\ln \left(1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)}{x} - 1  \right]\]

En déduire la limite de $\varphi$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

On pose J = [0,3~;~0,4]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $x \longmapsto  x^2 - 2x + 2$ est décroissante sur J. En déduire que si $x$ appartient à J alors $f(x)$ appartient à J. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que pour tout $x$ de J, $\left|f'(x)\right| \leqslant  0,95$ (on pourra montrer que $f'$ est croissante sur J).
		\item En déduire que pour tout $x$ de J, $|f(x) - \alpha| \leqslant  0,95|x - \alpha|$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : 

\[u_{0} = 0,3\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\quad  u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que pour tout $n$ :
		 
$\bullet~~$ $u_{n} \in \text{J}$
 
$\bullet~~$ $\left|u_{n+1} - \alpha \right| \leqslant  0,95\left|u_{n} - \alpha\right|$
 
$\bullet~~$ $\left|u_{n} - \alpha \right| \leqslant 0,1 \times  (0,95)^n$.
 
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$. 
		\item Déterminer un entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n$ supérieur ou égal à $n_{0}$, $\left|u_{n} - \alpha \right| \leqslant 10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre les droites d'équation $x = 0, x = \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses et la courbe 
$\mathcal{C}$. On se propose de déterminer une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en unités d'aire.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{4}$ a pour équation $y = - \dfrac{24}{25}x + \dfrac{6}{25} + \ln \dfrac{25}{16}$. 
\item Soient les points E d'abscisse $0$ et F d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ de la courbe $\mathcal{C}$. 

Montrer que la droite (EF) a pour équation $y = 2\left(\ln \dfrac{5}{8}\right)x + \ln 2$.
\item On admet que sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$  la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de (T) et en dessous de (EF). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que 

\[\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left(- \dfrac{24}{25} + \dfrac{6}{25} + \ln \dfrac{25}{16}\right)\:\text{d}x \leqslant \mathcal{A} \leqslant  \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left(2\left(\ln \dfrac{5}{8}\right)x + \ln 2\right)\:\text{d}x.\]

		\item En déduire que $\ln \dfrac{5}{4} \leqslant  \mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{4}\ln \dfrac{5}{2}$.
		 
Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $5 \cdot 10^{-3}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}