\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par Robert Fourquin \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Nord 30 mai 2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small 30 mai 2013} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \bigskip {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord ~\decofourright\\[7pt]30 mai 2013}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). \item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. \item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-4t-2\\ y &=&\phantom{- 4}t\\ z &=&\phantom{- } 3t + 2 \end{array}\right., \:\: t \in \R$. \item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques} \medskip On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\] \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|ll|}\hline Variables :&$n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un réel positif\\ Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\ &Affecter à $u$ la valeur 1\\ Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\ &\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Fin de Pour\\ Sortie :& Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$. \item Que permet de calculer cet algorithme ? \item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline Valeur affichée &\np{1,4142} &\np{1,9571} &\np{1,9986} &\np{1,9999} &\np{1,9999}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite. \end{enumerate} \item On considère la suite\index{suite} $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$.\index{fonction logarithme} \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = - \ln 2$. \item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables : &$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un réel\\ Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ &Affecter à $u$ la valeur 1\\ Traitement : &\\ &\\ Sortie : &\\ \hline \end{tabular} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables :& $a$ est un entier naturel\\ & $b$ est un entier naturel\\ &$c$ est un entier naturel\\ Initialisation :& Affecter à $c$ la valeur $0$\\ & Demander la valeur de $a$\\ & Demander la valeur de $b$\\ Traitement :& Tant que $a > b$\\ &\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\ Affecter à $a$ la valeur $a - b$ \end{tabular}\\ & Fin de tant que \\ Sortie : &Afficher $c$\\ & Afficher $a$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. \item Que permet de calculer cet algorithme ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et~$25$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \medskip On définit un procédé de codage de la façon suivante : \hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{9.5cm}} \emph{Étape} 1 :& À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ \emph{Étape} 2 :& On calcule le reste de la division euclidienne\index{division euclidienne} de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\ \emph{Étape} 3 :& Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\ \end{tabular} \medskip \begin{enumerate} \item Coder la lettre U. \item Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$. \item Démontrer alors l'équivalence : \[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\] \item Décoder alors la lettre B.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} \emph{Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center} Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385~grammes est commercialisable. La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale\index{loi normale} d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$. \medskip \emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline $P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$. \item Calculer la probabilité\index{probabilité} $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. \item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$. Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième. On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant -1,751) \approx 0,040$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$. \item Parmi les $300$~pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables. Au regard de l'intervalle de fluctuation\index{intervalle de fluctuation} obtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle\index{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième. \medskip Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$. \medskip \item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ? \item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]\index{fonction logarithme} et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-2)(4,2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div} \uput[u](1.2,0.83){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en $0$. \item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\] \item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. \item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $0 \leqslant I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$. On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$, est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.\index{primitive} \item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. \item Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}