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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Robert Fourquin
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 30 mai 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\bigskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord
~\decofourright\\[7pt]30  mai 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur 
$\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\
y &=&\phantom{- 4}t\\
z &=&\phantom{- } 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$.
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?\hyperlink{Index}{*} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme ? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$	& 1 &5 	&10 	&15	&20\\ \hline 
Valeur affichée	&\np{1,4142} &\np{1,9571} &\np{1,9986} &\np{1,9999} &\np{1,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite\index{suite} $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par 

$v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$.\index{fonction logarithme}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme 
$v_{0} = - \ln 2$.
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
				& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :	&\\
				&\\
Sortie :		&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats AYANT  SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& $a$ est un entier naturel\\
	& $b$ est un entier naturel\\
	&$c$ est un entier naturel\\
Initialisation :& 	Affecter à $c$ la valeur $0$\\
			& Demander la valeur de $a$\\
			& Demander la valeur de $b$\\
Traitement :& Tant que $a > b$\\
			&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
			Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\
			Affecter à $a$ la valeur $a - b$
			\end{tabular}\\
			& Fin de tant que \\
Sortie : 	&Afficher $c$\\
			& Afficher $a$\\ \hline
			\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme avec $a =	13$ et $b =	4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
\item Que permet de calculer cet algorithme ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et~$25$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{9.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne\index{division euclidienne} de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coder la lettre U.
\item Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$. 
\item Démontrer alors l'équivalence :

\[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\]

\item Décoder alors la lettre B.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}
\emph{Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center}
 
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385~grammes est commercialisable.

La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale\index{loi normale} d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\medskip

\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$.
\item Calculer la probabilité\index{probabilité} $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.

Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant -1,751) \approx 0,040$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$. 
\item Parmi les $300$~pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables. 

Au regard de l'intervalle de fluctuation\index{intervalle de fluctuation} obtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle\index{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.

\medskip

Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip

\item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ?
\item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]\index{fonction logarithme}

et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.2,0.83){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$.
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,

\[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]

		\item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.

En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.

On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

$F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$, est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.\index{primitive}
		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}