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\newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par
\textbf{\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
\medskip \par 
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{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE  
\Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}%
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2012}}

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\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012~\decofourright}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des
hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30$\,\% des
membres de cette association adhèrent à la section tennis.

\textbf{Partie A}

\medskip

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :

\begin{itemize}
\item $F$ l'évènement \og le membre choisi est une femme \fg,
\item $T$ l'évènement \og le membre choisi adhère à la section tennis \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $\dfrac{2}{5}$.
\item On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent
une loterie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
		\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left (\dfrac{7}{10}\right)^n$.
		\item Déterminer le nombre minimal de semaines pour que

$p_n \geqslant 0,99$.
	\end{enumerate}
\item Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l'urne.

On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des $5$ \euro) réalisé par un joueur lors d'une partie de cette loterie.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Restitution organisée des connaissances}

On rappelle que $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$.

Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x - \dfrac{\ln(x)}{x}.\] 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x^2 - 1 + \ln(x).\]

Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, $f'(x) =
 \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
		\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0~;~1]$ telle
que :

\[f(0) = 0 \text{ et } f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $[0~;~1]$}.\]

\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0~;~1]$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ par $g(x) = f\left(\tan(x)\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, puis que,
 pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g^{\prime}(x) = 1$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g(x) = x$, en
 déduire que

$f(1) = \dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\pi}{4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie par $I_0 = \displaystyle\int_{0}^{1}
f(x)\:\text{d}x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n =
\displaystyle\int_{0}^{1} x^n f(x)\:\text{d}x $.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $I_0 =
 \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\ln (2)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n \geqslant 0$.
		\item Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $I_n \leqslant
    \dfrac{\pi}{4(n + 1)}$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.

On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan  tels que $f(M)~=~M$.
\item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
		\item En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
\item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
 $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
 triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
 $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
 seulement si $z^2 - \text{i}z -1 + \text{i} = 0$ et $z \not= 1$.
		\item Montrer que $z^2 - \text{i} z - 1 + \text{i} = (z - 1)(z + 1-\text{i})$.
		\item En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\left ( \vect{\text{O}M\vphantom{'}},\:\vect{\text{O}M'}\right)$ en fonction
 d'un argument de $z$.
		\item En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de O et de $\Omega$ tels que O, $M$ et $M'$ soient alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Soit $S$ la transformation du plan qui, à tout $M$
d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = 5\text{i} z + 6\text{i} +4.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la
 transformation $S$.
\item On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et
 imaginaires respectives de $z$ et $z'$.

Démontrer que :
\[\begin{cases}
x' & = -5y + 4 \\
y' & = \phantom{-}5x + 6
\end{cases}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées $x$ et
$y$ du point $M$ sont des entiers relatifs tels que $-3 \leqslant x \leqslant 5$
et $-3 \leqslant y \leqslant 5$.

On note $\mathcal{E}$ l'ensemble de ces points $M$.

On rappelle que les coordonnées $(x'\,;\,y')$ du point $M'$, image du
point $M$ par la transformation $S$, sont $x' = -5y + 4$
et $y' = 5x + 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs
 $(a\,;\,b)$ tels que $4a + 3b = 5$.
 \item En déduire l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{E}$ de
 coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que $-3x'+ 4y' = 37$.
\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de l'ensemble $\mathcal{E}$ et $M'$ son image
 par la transformation $S$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $x'+y' $ est un multiple de $5$.
		\item Démontrer que $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$.

En déduire que si $x'^2-y'^2 $ est multiple de $2$ alors $x'-y'$
 et $x'+y'$ le sont également.
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que
: $x'^2 - y'^2~=~20$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}