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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 24 novembre 2016}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt]
24 novembre 2016} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~6].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridwidth=0.6pt](0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(7,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{6}{x 3  mul  x ln x  mul 1.53 mul  sub}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(1,3)(2,3.85)(2.5,4)(3,3.94)(4,3.5)(5,2.63)(6,1.5)
\uput[d](6.8,0){$x$}\uput[l](0,5.8){$y$}
\psdots(0,0)(6,1.5731)
\uput[u](5.5,2.1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

On pose $\text{I} = \displaystyle\int_2^4  f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de I est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0 \leqslant  \text{I} \leqslant 2$& \textbf{b.~~} $2 \leqslant  \text{I} \leqslant 4$&\textbf{c.~~} $4 \leqslant  \text{I} \leqslant 6$&\textbf{d.~~} $6 \leqslant  \text{I} \leqslant 8$
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^x - 3x^2$.

La courbe représentative de $g$ admet un point d'inflexion qui a pour abscisse :\index{point d'inflexion}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1&\textbf{b.~~} 0&\textbf{c.~~} $\ln 3$&\textbf{d.~~}$\ln 2$
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~0,6)$.\index{loi binomiale}

La probabilité qui admet pour valeur approchée $0,012$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p(X= 2)$&\textbf{b.~~} $p(X \geqslant 2)$&\textbf{c.~~} $p(X \leqslant 2)$&\textbf{d.~~} $p(X < 2)$
\end{tabularx}
\medskip

\item Une société de vente en ligne de chaussures souhaite connaître la proportion d'articles présentant un défaut de coloris. Pour cela, on prélève au hasard dans le stock $400$ paires de chaussures. On constate que $24$ paires présentent ce défaut.

L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95\,\%, de la proportion $p$ de paires de chaussures présentant un défaut de coloris est :\index{intervalle de confiance}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}[0,89~;~0,99]& \textbf{b.~~} [0,01~;~0,11]& \textbf{c.~~} [0,05~;~0,07]& \textbf{d.~~} [0,92~;~0,96]
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~45] par 

\[g(x) = - 20x + 5x \ln(x) + 30.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.
		
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [1~;~45], on a $g'(x) = - 15 + 5 \ln(x)$.
		\item Montrer que l'inéquation $- 15 + 5 \ln(x) \geqslant 0$ est équivalente à $x \geqslant \text{e}^3$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ (les valeurs seront arrondies au centième si besoin).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~45].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle [1~;~45].
 	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle [1~;~45] par 
	
	\[G(x) = - 11,25x^2 + 2,5x^2\ln (x) + 30x.\]
	
Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~45].\index{primitive}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une valeur approchée au dixième de l'intégrale $\displaystyle\int_{10}^{45} g(x)\:\text{d}x$.\index{intégrale}
		\item Déduire de la question précédente la valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle [10~;~45]. Arrondir le résultat à l'unité.\index{valeur moyenne}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la température atmosphérique jusqu'à 45~km d'altitude.

On admet que la fonction $g$ définie dans la partie A modélise la température de l'air, exprimée en degrés Celsius, en fonction de l'altitude $x$ du ballon sonde, exprimée en km.

\smallskip

À l'aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à $0$ degré Celsius.
\item Déterminer la température minimale relevée par la sonde.
\item On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10~km et 45~km d'altitude.

Déterminer la température moyenne de la stratosphère. Le résultat sera arrondi au degré.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Le gérant d'un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.

Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l'UNESCO et l'hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&1997 &1998 	&1999 		&2000\\ \hline
Nombre de clients	& 950 &\np{1105}&\np{2103} 	&\np{2470}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.

\smallskip

Par ailleurs, depuis le 1\up{er} janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l'hôtel compte \np{1200} nouveaux clients et que 70\,\% des clients de l'année précédente reviennent.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre total de clients de l'hôtel durant l'année $2000 + n$.\index{suite}

On a ainsi $u_0 = \np{2470}$ et, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 0,7u_n + \np{1200}$.
\item Déterminer le nombre total de clients durant l'année 2001.
\item Le gérant de l'hôtel souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera \np{3900}.

Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année correspondante.\index{algorithme}

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{2mm}X p{2mm}X} 
Algorithme 1&&Algorithme 2&&Algorithme 3
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X|}\hline 
\footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\
\footnotesize $N$ prend la valeur 0\\
\footnotesize Tant que $U < \np{3900}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
\footnotesize Fin tant que\\
\footnotesize Afficher 2000 + $N$\\ \hline
\end{tabularx}~~\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X| }\hline 
\footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\
\footnotesize $N$ prend la valeur 0\\
\footnotesize Tant que $U > \np{3900}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
\footnotesize Fin tant que\\
\footnotesize Afficher 2000 + $N$\\ \hline
\end{tabularx}~~\begin{tabularx}{0.32\linewidth}{|X|}\hline 
\footnotesize $U$ prend la valeur \np{2470}\\
\footnotesize $N$ prend la valeur 0\\
\footnotesize Tant que $U < \np{3900}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $U$ prend la valeur \\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $0,7\times U + \np{1200}$\\
\hspace{0.3cm}\footnotesize $N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
\footnotesize Fin tant que\\
\footnotesize Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{center}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$v_n = u_n - \np{4000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$ et préciser le premier terme.\index{suite}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item Justifier que $u_n = \np{4000} - \np{1530} \times  0,7^n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé \np{3900}.
	\end{enumerate}
\item À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer avoir chaque année.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un groupe de touristes a réservé toutes les chambres d'un hôtel-restaurant à Venise qui propose tous les soirs à ses pensionnaires le choix entre un menu gastronomique et un menu traditionnel.

On considère, pour la modélisation, que chaque soir les clients choisissent un des deux menus et que le restaurant est réservé aux clients de l'hôtel.

Une étude sur les habitudes des clients montre que, si un soir donné, un client choisit le menu gastronomique, il choisit également le menu gastronomique le soir suivant dans 60\,\% des cas.

Si le client choisit le menu traditionnel un soir donné, il choisit également le menu traditionnel le soir suivant dans 70\,\% des cas.

\smallskip

Afin de mieux prévoir ses commandes pour la saison estivale, le gérant souhaite connaître la
proportion de clients choisissant le menu gastronomique ou le menu traditionnel à partir du 1\up{er} juin 2015.  Ce soir-là, 55\,\% des clients ont choisi le menu gastronomique.

\smallskip

On note $g_0$ la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 1\up{er}~juin 2015 ; on a donc $g_0 = 0,55$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $g_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne le menu gastronomique le $n$-ième soir après le 1\up{er} juin 2015.

Ainsi, $g_1$ est la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 2~juin 2015.

De la même façon, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $t_n$ la probabilité qu'un client, choisi au hasard, prenne le menu traditionnel le $n$-ième soir après le 1\up{er} juin 2015.\index{suite} \index{probabilités}

\smallskip

On note $P_n$ la matrice $\left(g_n \quad  t_n\right)$ correspondant à l'état probabiliste au $n$-ième soir.\index{matrice}

\smallskip

On note G l'état \og le client choisit le menu gastronomique \fg{} et T l'état \og le client choisit le menu traditionnel \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets G et T.\index{graphe probabiliste}
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on admet que la matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est $M = \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.\index{matrice}

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $P_0$ correspondant à l'état initial.
		\item Calculer la probabilité qu'un client choisisse le menu gastronomique le 4 juin 2015. On arrondira le résultat au centième.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $P = (g \quad  t)$ correspondant à l'état stable du graphe probabiliste.\index{etat stable@état stable}
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'hôtel propose également à ses clients des balades en gondole sur les canaux de Venise.

Le graphe ci-dessous représente les principaux canaux de Venise empruntés par le gondolier.\index{graphe}

Chaque arête représente un canal et chaque sommet un lieu de la ville.

Le poids de chaque arête représente la durée de parcours, exprimée en minutes, entre deux lieux de la ville en empruntant les canaux.

\begin{figure}
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\cnode*(0.3,4.8){0.1cm}{R}\uput[ul](0.3,4.8){R}
\cnode*(3.3,5.4){0.1cm}{L}\uput[u](3.3,5.4){L}\ncline{R}{L}\ncput*{5}
\cnode*(5,4.8){0.1cm}{C}\uput[ur](5,4.8){C}\ncline{L}{C}\ncput*{6}
\cnode*(5.3,3.5){0.1cm}{P}\uput[r](5.3,3.5){P}\ncline{C}{P}\ncput*{3}
\cnode*(3.3,4){0.1cm}{S}\uput[ul](3.3,4){S}\ncline{L}{S}\ncput*{4}
\cnode*(3.5,2.4){0.1cm}{G}\uput[r](3.5,2.3){G}\ncline{C}{S}\ncput*{3}
\cnode*(1.5,2){0.1cm}{U}\uput[dl](1.5,2){U}\ncline{P}{G}\ncput*{4}
\cnode*(4,0.5){0.1cm}{M}\uput[r](4,0.5){M}\ncline{S}{G}\ncput*{2}
\ncline{G}{M}\ncput*{6}\ncline{G}{U}\ncput*{5}\ncline{M}{U}\ncput*{10}
\ncline{U}{R}\ncput*{7}\ncline{U}{S}\ncput*{4}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
C : Ca'Pesaro

G : Palazzo Grimani di San Luca

L : Palazzo Labia

M : Piazza San Marco

P : Ponte Di Rialto

R : Piazzale Roma

S : Campo Di San Polo

U : Universita Ca'Foscari}
\end{figure}

Le gondolier employé par l'hôtel inspecte régulièrement les canaux pour en vérifier la navigabilité.

Il souhaite optimiser son trajet en inspectant une fois et une seule chaque canal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'un tel trajet est possible et indiquer quels sont les lieux possibles de départ et d'arrivée.
\item Déterminer la durée pour effectuer ce trajet.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'entreprise Éclairage vend des ampoules à deux magasins de bricolage : Atelier et Bricolo. Cette entreprise propose trois types d'ampoules : les ampoules fluocompactes qui représentent 30\,\% du stock, les ampoules halogènes qui représentent 25\,\% du stock et les ampoules à LED qui représentent 45\,\% du stock.\index{probabilités}

On sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 65\,\% des ampoules fluocompactes sont achetées par le magasin Atelier ;
\item[$\bullet~~$] 70\,\% des ampoules halogènes sont achetées par le magasin Bricolo ;
\item[$\bullet~~$] 50\,\% des ampoules à LED sont achetées par le magasin Atelier.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On prélève au hasard une ampoule provenant du stock de l'entreprise Éclairage.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$F$ : \og l'ampoule est une ampoule fluocompacte \fg{} ;
\item[ ]$H$ : \og l'ampoule est une ampoule halogène\fg{} ;
\item[ ]$L$ : \og l'ampoule est une ampoule à LED\fg{} ;
\item[ ]$A$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Atelier \fg{} ;
\item[ ]$B$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Bricolo \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$~}}
		{\TR{$A$}
		\TR{$B$}}
	\pstree{\TR{$H$~}}
		{\TR{$A$}
		\TR{$B$}}
	\pstree{\TR{$L$~}}
		{\TR{$A$}
		\TR{$B$}}
}				
\end{center}


\item Calculer $p(F \cap A)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer la probabilité qu'une ampoule soit achetée par le magasin Bricolo.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une norme de qualité stipule qu'une marque peut commercialiser ses ampoules si leur durée de vie est supérieure à \np{20000}~heures avec une probabilité d'au moins $0,95$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque ÉclaireBien. On admet que $X$ suit la loi normale dont la fonction de densité est tracée ci-après.\index{loi normale}

L'aire grisée comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à $0,46$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.00016cm, yunit=250cm, runit=1cm,arrowsize=3pt 3,algebraic=true}
\def\xmin{5000}   \def\xmax{75000}
\def\ymin{-0.0047} \def\ymax{0.016}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=5000+5000}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.01496)}
\multido{\n=0.000000+0.002992}{6}{\psline[linestyle=dotted](5000,\n)(75000,\n)}
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

\def\m{40000}% moyenne 
\def\s{10000}% écart type
\def\f{300/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{20000} \def\sup{40000}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\multido{\n=10000+10000}{7}
{
\uput[d](\n,0){\footnotesize \np{\n}}
\psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005)
}

\psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007)
\multido{\n=5000+5000}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.01496)}
\multido{\n=0.000000+0.002992}{6}{\psline[linestyle=dotted](5000,\n)(75000,\n)}
\rput(32500,0.0046){\bf 0,46}
\end{pspicture*}
\end{center}

À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes:

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'espérance mathématique de $X$.
		\item Déterminer $p(\np{20000} < X < \np{60000})$.
		\item Déterminer si la marque ÉclaireBien pourra commercialiser ses ampoules. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On note $Y$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque BelleLampe.
	
On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance \np{42000} et d'écart-type \np{15000}.\index{loi normale}
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la marque BelleLampe ne pourra pas commercialiser ses ampoules.
		\item Déterminer le nombre $a$, arrondi à l'unité, tel que $p(Y < a) = 0,05$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}
\end{document}