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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES} 
\lfoot{\small{novembre 2004}}
\rfoot{\small{Amérique du Sud}}   
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2004~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

Le tableau suivant donne les indices des prix à la consommation pour les années 1990 à 1997. 

{\small \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 					&1990 	&1991	&1992 	&1993 	&1994 	&1995 	&1996 	&1997\\ \hline 
Rang de l'année $x_i$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline 
Indice $y_i$			&100 	& 103,2 &105,7 	&107,9 	&109,7 	&111,6 	&113,8 	&115,2\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source Insee} 
\end{tabularx} \end{center}} 
 
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique 
$\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal (2~cm représente une année en abscisse et 1~cm représente un point d'indice en ordonnée ; faire débuter la graduation à 100 sur l'axe des ordonnées). 

Calculer les coordonnées du point moyen et placer ce point. 
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine $D$ par la méthode de moindres carrés (les coefficients seront arrondis à $10^{-1}$ près). Représenter la droite $D$ dans le repère précédent. 
\item On envisage l'ajustement du nuage par une branche de parabole 
d'équation $y = ax^2 + bx + c$, et l 'on cherche les trois nombres $a$,\: $b$ 
et $c$. Pour cela on pose $z_i = \sqrt{1198 -10y_i}$. 

Une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est alors : $z = - x +14$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $y = -0,1x^2 + 2,8x + 100,2$. 
		\item Dans le repère précédent, et sans étudier la fonction correspondante, tracer la  branche de parabole d'équation $y = -0,1x^2 + 2,8x + 100,2$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~7]. 
		\item En choisissant ce dernier ajustement, quelle prévision de l'indice des prix à la consommation pouvait-on faire fin 1997 pour 1998 ? 
		\item On sait aujourd'hui que l'indice des prix à la consommation en 1998 était de 116. 
Calculer le pourcentage de l'erreur commise en utilisant la prévision trouvée 
en \textbf{3. c.}. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\textbf{(pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité)} 

\medskip

Un magasin vend des salons de jardin. 

Une enquête statistique a montré que : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $10\,\%$ des personnes qui entrent dans le magasin achètent une 
table ; 
\item parmi les personnes qui achètent une table, $80\:\%$ achètent un lot de chaises ; 
\item parmi les personnes qui n'achètent pas de table, $10\:\%$ achètent un lot de chaises. 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

Une personne entre dans le magasin. 

On note $T$ l'évènement : \og La personne achète une table \fg 

On note $C$ l'évènement : \og La personne achète un lot de chaises \fg 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau la situation 
décrite ci-dessus. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que la personne achète un lot de 
chaises est égale à $0,17$. 
		\item Quelle est la probabilité que la personne n'achète pas de table sachant qu'elle a acheté un lot de chaises ? 
	\end{enumerate} 
\item À la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu'il a réalisé en moyenne un bénéfice de $11,80$~\euro{} par personne entrant dans le magasin. 

On sait que le directeur a fait un bénéfice de 50~\euro{} par table vendue. 

On appelle $x$ le bénéfice exprimé en euros qu'il a réalisé par lot de chaises vendues. On se propose de calculer $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant définissant la loi de 
probabilité \og montant du bénéfice réalisé par personne entrant dans le magasin~\fg. 

\begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
Montant du bénéfice &$0$ 	&$50$ 	& $x$ 	& $50 + x$\\ \hline 
Probabilité 		& 		& 		& 		& \\ \hline 
\end{tabularx} \end{center}
 
		\item Montrer que l'espérance mathématique de cette loi est égale à $5+ 0,17x$. 
		\item Conclure. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{(pour les candidats ayant suivi l'enseignement de 
spécialité)} 

\medskip

Au cours de la première semaine de l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux sorties pédagogiques une sortie A et une sortie B. 

20\,\% des élèves de la classe sont favorables à la sortie A et tous les autres élèves sont favorables à la sortie B. 

Les arguments des uns et des autres font évoluer cette répartition en cours 
d'année. 

Ainsi $30\,\%$ des élèves favorables à la sortie A et 20\,\% des élèves 
favorables à la sortie B changent d'avis la semaine suivante. 

On note : 

$a_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la semaine 
$n$ ; 

$b_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie B la semaine $n$ ; 

$P_n$ la matrice $\left(a_n~;~b_n\right)$ traduisant l'état probabiliste la 
semaine $n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'état initial $P_1$. 
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste. 

\item En déduire que $P_{n+1} = P_n \times \text{M}$ où M est la matrice 
$\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,2 & 0,8\\ \end{pmatrix}$ 
\item Déterminer l'état probabiliste $P_3$ et en déduire la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la troisième semaine. 
\item Déterminer le réel $x$ tel que $(x~;~1 - x) \times \text{M} =(x~;~1 - 
x)$. 

On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. La sortie A finira-t-elle par être préférée à la sortie B ? 
\end{enumerate} 

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

\medskip

La figure ci-dessous représente la fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}\] 

\begin{center}\psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,1) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-2)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{% 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{1}{2.71828}{x ln x 2 exp div} 
\psline(2.71828,0)(1,0)}  
\psline(2.71828,-2)(2.71828,1) 
\uput[dl](2.71828,0){e} \uput[dl](0,0){O} 
\uput[u](4.1,0){$x$} \uput[r](0,1){$y$} 
\uput[d](1.5,-2){Graphique n$\up{o}~1$} 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.549}{4}{x ln x 2 exp div} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\vspace{0,4cm} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction présente un maximum en $x = \sqrt{\text{e}}$ et qu'il vaut $\dfrac{1}{2\text{e}}$. 
		\item Donner le signe de $f(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ est représentée 
ci-dessous : 

\begin{center}\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(5,4) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1) 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.232}{5}{1 x ln add neg x div 2 add} 
\uput[d](2,-0.6){Graphique n$\textsuperscript{o}~2$} \uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture} \end{center} 

\vspace{0,3cm} 

Elle vérifie de plus $F(\text{e}) = \dfrac{2\text{e} - 
2}{\text{e}},~F\left(\sqrt{\text{e}}\right) = 2 - 
\dfrac{3}{2\sqrt{\text{e}}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les variations de la fonction $F$ 
semblent-elles cohérentes avec le résultat de la question \textbf{1. 
b.} ? Justifier votre réponse. 
		\item Donner, en le justifiant le coefficient directeur de la 
tangente à la courbe représentant $F$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$. 

		\item Exprimer, en unités d'aire, l'aire de la partie grisée sur le 
graphique \no 1. 
		\item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
$G(x) = \dfrac{- 1 - \ln x}{x}$ est une primitive de la fonction $f$. 

Exprimer $F(x)$ en fonction de $x$, pour $x \in ]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

\medskip

Soit $f$ la fonction de la variable réelle définie sur [0~;~10] par 

\[f(x) = \dfrac{90}{2 + \text{e}^{-x}}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur [0~;~10]. 
\item Calculer $f(0)$ et $f(10)$. 
\item Déduire des questions précédentes que l'équation $f(x) = 44$ admet exactement une solution dans l'intervalle [0~;~10]. Donner un encadrement de cette solution par deux entiers consécutifs. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x) = 45\dfrac{2\text{e}^x}{2\text{e}^x + 1}$ et en déduire une primitive de $f$ sur 
[0~;~10]. 
		\item Montrer que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = 45\ln 
\left(\dfrac{2\text{e}^2 + 1}{3}\right)$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction de $\N$ vers $\R$ définie par $g(x) = \dfrac{90} 
{2 + \text{e}^{-x}}$. 

La fonction $g$ peut modéliser l'évolution des exportations d'une 
entreprise, $x$ étant le temps écoulé en années depuis le 01/01/2000 et 
$g(x)$ étant le montant des exportations en millions d'euros de l'année 
correspondante. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le montant des exportations de l'entreprise 
au 01/01/2000 ? 
		\item En quelle année les exportations dépasseront-elles 44 millions d'euros ? 

L'entreprise peut-elle espérer que ses exportations dépasseront 45 millions d'euros sur l'une des onze années 2000 à 2010 ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}