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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre  1998}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\medskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 
1998~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan est rapporté au repère \Ouv{} orthonormal direct ; unité graphique
 2 centimètres.

\textit{On complètera la figure au fur et  mesure de l'exercice.}

Soit I le point d'affixe 2i.

On nomme $f$ la transformation qui,  tout point $M$ d'affixe $z$ 
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = \text{i}z$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser la nature de $f$ ainsi que ses 
éléments caractéristiques.
		\item Déterminer l'affixe du point A$'$, image par $f$ du point $A$ 
d'affixe $1 + \sqrt{2} + \text{i}$.
		\item Montrer que les points A, I et A$'$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'ensemble ($\Gamma$) des 
points $M$ du plan tels que $M$, I et $M'$ sont alignés, est le cercle de centre$\Omega$ d'affixe 1 + i et de rayon $\sqrt{2}$.
		\item Vérifier que le point A appartient  ($\Gamma$).
		\item Déterminer l'ensemble ($\Gamma'$) décrit par le point $M'$ lorsque le point $M$ décrit ($\Gamma$).
	\end{enumerate}
\item Soit B le point d'affixe $2 + 2\text{i}$ et B$'$ l'image de B par $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que les droites (AB) et (AB$'$) sont perpendiculaires.
		\item Soit C le point d'intersection des droites (AB) et (A$'$B). 
Déterminer la nature du quadrilatère OACA$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan (P), on considère le triangle ABC isocèle en A, de 
hauteur [AH] tel que AH = BC = 4. On prendra le centimètre pour 
unité.

\begin{enumerate} 
\item En justifiant la construction, placer le 
point G, barycentre du système de points pondérés $\{(\text{A}~;~2) ; (\text{B}~;~1) ; (\text{C}~;~1)\}$.

\item On désigne le point $M$ un point quelconque de (P).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{V} = 2\overrightarrow{M\text{A}} - \overrightarrow{M\text{B}} - \overrightarrow{M\text{C}}$ est un 
vecteur dont la norme est 8.
		\item Déterminer et construire l'ensemble E$_{1}$ des points $M$ 
du plan tels que 
\[\left\|2\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{M\text{B}} +
\overrightarrow{M\text{C}}\right\| = \left\|\vec{V}\right\|\]
	\end{enumerate}
\item On considère le système de points pondérés 
$\{(\text{A}~;~2) ; (\text{B}~;~n) ; (\text{C}~;~n)\}$ où $n$ est un entier naturel 
fixé.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le barycentre G$_{n}$ de ce système de points 
pondérés  existe. Placer G$_{0}$,~G$_{1}$,~G$_{2}$.
		\item Montrer que le point G$_{n}$ appartient au segment [AH].
		\item Calculer la distance AG$_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de AG$_{n}$ quand $n$ tend vers +~$\infty$.

Préciser la position limite de G$_{n}$ quand $n$ tend vers +~$\infty$.
		\item Soit E$_{n}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que
		
\[\left\|2\overrightarrow{M\text{A}} + n \overrightarrow{M\text{B}} + 
n\overrightarrow{M\text{C}}\right\| = n\left\|\overrightarrow{V}\right\|.\]

Montrer que E$_{n}$ est un cercle qui passe par le point A.

En préciser le centre et le rayon, noté R$_{n}$.
		\item Construire E$_{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Oij.

L'unité graphique est 4 cm.

On considère les points A(1 ; 0), C(0 ; 1), D$(0~;~- 1)$ et le cercle 
($\Gamma$) de centre O et de rayon 1. Soit $M$ un point du cercle ($\Gamma$),
d'ordonnée positive ou nulle, et distinct de C.

La droite (D$M$) rencontre l'axe des abscisses au point I.

Le point $N$ est le point d'intersection de la droite (O$M$) et de la 
parallèle  la droite (CD) passant par I.

\begin{enumerate} 
\item Réaliser la figure.

\item On note $t$ une mesure de l'angle
orienté $(\vect{\imath},~\overrightarrow{\text{O}M})$.

On se propose de déterminer l'ensemble (F) décrit par le point $N$ 
lorsque $t$ décrit l'intervalle [0 ;~$\pi$] privé de 
$\dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées de $M$ en fonction de $t$.
		\item Montrer que les coordonnées de I sont $\left(\dfrac{\cos t}{1 + 
\sin t}~;~0\right)$ puis que les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ de $N$ 
sont :
\[x(t) = \dfrac{\cos t}{1 + \sin t}\quad y(t) = \dfrac{\sin t}{1 + 
\sin t}.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Comparer d'une part $x(t)$ et $x(\pi - t)$, puis
d'autre part $y(t)$ et $y(\pi - t)$.

En déduire une propriété géométrique de l'ensemble (F).
		\item Faire l'étude conjointe des variations des fonctions $t \mapsto x(t)$ et $t \mapsto y(t)$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
		\item Déterminer les limites de $x(t)$ et $y(t)$ quand $t$ tend vers 
$\dfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer, en fonction de $t$, la distance O$N$ puis la distance de $N$ la droite d'équation $y = 1$.
		\item En déduire que (F) est inclus dans une conique dont on précisera la nature et les éléments.
		\item Tracer l'ensemble (F).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star$ \textbf{Résolution d'une équation différentielle}

(Hors programme depuis 1998.)

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle
(E$_{0})~  y'' - 2y' + y = 0.$

\item Soit l'équation différentielle (E) :

\[ y'' - 2y' + y = x^2 - 4x + 2.\]

Vérifier que le polynôme $h$ défini sur $\R$ par $h(x) = x^2$ est une 
solution particulière de (E), c'est-à-dire que, pour tout $x$ de $\R,$

\[h''(x) - 2h'(x) + h(x) = x^2 - 4x + 2.\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que si $f$ est solution de (E), 
c'est-à-dire, si pour tout $x$ réel,

$f''(x) - 2 f'(x) + f(x) = x^2 - 4x + 2$, alors la fonction $g$, telle que 
$g = f - h$, est solution de (E$_{0}$).
		\item Réciproquement, montrer que si $g$ est solution de (E$_{0}$) alors la fonction $f$, telle que 
		
$f = g + h$, est solution de (E).
		\item En dduire la forme générale des solutions de (E) sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item En dduire une solution $\varphi$ de (E) satisfaisant 
~$\varphi(1) = 1$ et $\varphi'(1) = 0.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$\star$ \textbf{Étude de la fonction} $f$ \textbf{et tracé de sa courbe
représentative}

On considère la fonction définie sur $\R$, par 

\[f(x) =  x^2- 2(x - 1)\text{e}^{(x - 1)}.\]

On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans un repère orthonormal
\Oij{} ; (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en + ~$\infty$. On pourra
montrer que :
\[f(x) = \text{e}\left(\dfrac{x^2}{\text{e}^x} - \dfrac{2x}{\text{e}} + 
\dfrac{2}{\text{e}}\right).\]
		\item Déterminer la limite de $f$ en - $~\infty$.
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ rel et en déduire le sens de 
variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur 
$\R$ une solution unique. On note $\alpha$ cette solution.
		\item Montrer que $\alpha$ appartient  l'intervalle ] 1,7 ; 1,8[.
	\end{enumerate}
\item On appelle $(\Gamma)$ la parabole d'équation 
$y = x^2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la position relative de ($\mathcal{C}$) et de $(\Gamma)$.
		\item Calculer la limite  de $f(x) - x^2$ quand $x$ tend vers 
$-~\infty$.
	\end{enumerate}
\item Tracer sur une feuille de papier millimétré, 
la courbe ($\mathcal{C}$) et la parabole $(\Gamma)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

$\star$  \textbf{Calculs d'aires}

Soit $a$ un nombre réel strictement inférieur à 1. On appelle D$_{a}$ le
domaine du plan limité par les courbes ($\mathcal{C}$) et  $(\Gamma)$ et les
droites d'équations $x = a$ et $x = 1$.

On note $A(a)$ l'aire du domaine D, exprimée en unités d'aire.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $A(a) = 2(a - 1)
\text{e}^{(a - 1)} - 2\text{e}^{(a - 1)} + 2$.

(On pourra utiliser une intégration par parties).
\item Calculer l'aire $A(0)$ du domaine D.
\item Déterminer la limite de 
$A(a)$ quant $a$ tend vers $- \infty$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

$\star$  \textbf{Calcul de probabilités}

\medskip

Sur la feuille de papier millimtr de la partie B, on place les 
points I(1~;~0), J (0~;~1) et K(1~;~1). On utilise cette feuille comme 
cible.

On admet que, pour chaque essai :

$\bullet$ la probabilité d'atteindre un point du carré OIKJ est égale 
$\dfrac{1}{2}$. ;

$\bullet$ sachant qu'un point du carré est atteint, la probabilité que ce 
point appartienne à D$_{0}$ est égale à $A(0)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour un essai, montrer que la probabilité d'atteindre un
point du domaine D$_{0}$ est égale à $1 - \dfrac{2}{\text{e}}$.
\item On effectue $n$ essais ($n$ entier naturel non nul), tous
indépendants les uns des autres.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ d'atteindre au moins une fois un point du domaine D$_{0}$ au cours de ces $n$ essais.
		\item Déterminer le nombre minimal $n$ d'essais pour que cette probabilité $p_{n}$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}