%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,graphicx} \usepackage{ulem} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur et Olivier Noël \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Sud 21 novembre 2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 21 novembre 2013} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud ~\decofourright\\[7pt]21 novembre 2013}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x \text{e}^{1 - x}.\]\index{fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$.\index{fonction exponentielle} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite. \item Déterminer la dérivée de la fonction $f$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\R$ par : \[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \quad \text{et}\quad h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots + nx^{n-1}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}$. On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$. \item Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g'_{n}$, $g'_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$. En déduire que, pour tout réel $x \neq 1 :\: h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}$. \item Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)$, $f$ étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la \textbf{partie B}, déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie dans l'espace} \begin{figure} \begin{center} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(10,10.2) \pspolygon(0.9,1.3)(7,0.4)(9.2,3)(9.2,8.9)(3.2,9.9)(0.9,7.4)%BCDHEF \psline(0.9,7.4)(7,6.4)(9.2,8.9)%FGH \psline(7,6.4)(7,0.4)%GC \psline(3.2,9.9)(7,6.4)(0.9,1.3)%EGB \psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3.2,9.9)%GBE \psline[linestyle=dashed](0.9,7.4)(9.2,3)%FD \psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3,4.2)(3.2,9.9)%BAE \psline[linestyle=dashed](3,4.2)(9.2,3)%AD \uput[dl](0.9,1.3){B} \uput[dr](7,0.4){C} \uput[r](9.2,3){D} \uput[ul](3,4.2){A} \uput[ul](0.9,7.4){F} \uput[dr](7,6.4){G} \uput[ur](9.2,8.9){H} \uput[ul](3.2,9.9){E} \uput[u](3.6,5.95){K}\psdots(3.6,5.95) \end{pspicture} \end{center} \end{figure} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD). \index{equation paramétrique@équation paramétrique} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE). \item Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{2}{3}\right)$. \item Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire. \item En déduire le volume du tétraèdre BEGD. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l'équation \index{complexes} \[(E) :\quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\] \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. \item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. \item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. \item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. \item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$. \medskip Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. \item On note $\ell^n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots + M_{n}M_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell^n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell^n \geqslant \np{1000}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 3 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{3cm} \psset{unit=0.66cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-9)(17,9) \multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)} \multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \newpage \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.\index{matrice} \medskip Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que : $\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 1, alors il ira, soit sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$. $\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 2, alors, soit il ira sur la page \no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il restera sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. $\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 3, alors, soit il ira sur la page \no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il ira sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. \medskip Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants : $A_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 1 \fg{} et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$. $B_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 2 \fg{} et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$. $C_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 3 \fg{} et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$. On admet que, de même, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$. Ainsi : \renewcommand\arraystretch{1.8} \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\ c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n} \end{array}\right.\] \renewcommand\arraystretch{1} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. $U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera. En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$. \item Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$. \item Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n,\: n$ étant un entier naturel non nul : \[M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3} \end{pmatrix}\] Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}, \: b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right), \: \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera. \item Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près. \medskip \textbf{Partie A} \medskip En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10\,\%. L'étude a également permis de prouver que 30\,\% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8\,\% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.\index{probabilité} \medskip On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : $M$ : \og La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme \fg $C$ : \og La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$. \item Calculer $P(C)$. \end{enumerate} \item On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$~personnes, prises au hasard dans la population française. On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme. \medskip \begin{enumerate} \item Définir la loi de la variable aléatoire $X$. \item Déterminer $P(X = 35)$. \item Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400},\:X$ étant la variable aléatoire de la \textbf{partie B}. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$\,\%. \item Dans l'échantillon considéré, $60$~personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. Qu'en pensez-vous ? \end{enumerate} \end{document}