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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur et Olivier Noël
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 21 novembre 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud
~\decofourright\\[7pt]21 novembre 2013}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = x \text{e}^{1 - x}.\]\index{fonction exponentielle}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$.\index{fonction exponentielle}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\R$ par : 

\[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \quad \text{et}\quad  h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots  + nx^{n-1}.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}$. 

On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$.
\item Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g'_{n}$, $g'_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$.

En déduire que, pour tout réel $x \neq 1 :\: h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}$.

\item Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)$, $f$ étant la fonction définie dans la partie A.

En utilisant les résultats de la \textbf{partie B}, déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie dans l'espace}

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,10.2)
\pspolygon(0.9,1.3)(7,0.4)(9.2,3)(9.2,8.9)(3.2,9.9)(0.9,7.4)%BCDHEF
\psline(0.9,7.4)(7,6.4)(9.2,8.9)%FGH
\psline(7,6.4)(7,0.4)%GC
\psline(3.2,9.9)(7,6.4)(0.9,1.3)%EGB
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3.2,9.9)%GBE
\psline[linestyle=dashed](0.9,7.4)(9.2,3)%FD
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3,4.2)(3.2,9.9)%BAE
\psline[linestyle=dashed](3,4.2)(9.2,3)%AD
\uput[dl](0.9,1.3){B} \uput[dr](7,0.4){C} \uput[r](9.2,3){D} \uput[ul](3,4.2){A} 
\uput[ul](0.9,7.4){F} \uput[dr](7,6.4){G} \uput[ur](9.2,8.9){H} \uput[ul](3.2,9.9){E} 
\uput[u](3.6,5.95){K}\psdots(3.6,5.95)  
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD). \index{equation paramétrique@équation paramétrique}
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE).
\item Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{2}{3}\right)$.
\item Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire.
\item En déduire le volume du tétraèdre BEGD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

On considère l'équation \index{complexes}

\[(E) :\quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$.
		\item Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique.
		\item Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$.
\item Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$.
\item On note $\ell^n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell^n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$.
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell^n \geqslant  \np{1000}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.66cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-9)(17,9)
\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.\index{matrice}

\medskip

Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 1, alors il ira, soit sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.

$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 2, alors, soit il ira sur la page \no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il  
restera sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. 

$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 3, alors, soit il ira sur la page \no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il  
ira sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. 

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants : 

$A_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 1 \fg{} et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.

$B_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 2 \fg{} et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.

$C_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 3 \fg{} et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$. 

On admet que, de même, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$. 

Ainsi :
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\
b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\
c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.

$U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera.

En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$.
\item Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$.
\item Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n,\: n$ étant un entier naturel non nul :

\[M^n = \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\
\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\
\frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}
\end{pmatrix}\] 

Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}, \: b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right), \: \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera.
\item Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10\,\%. L'étude a également permis de prouver que 30\,\% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8\,\% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.\index{probabilité}

\medskip

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :

$M$ : \og La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme \fg

$C$ : \og La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
		\item Calculer $P(C)$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$~personnes, prises au hasard dans la population française.

On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Définir la loi de la variable aléatoire $X$.
\item Déterminer $P(X = 35)$.
\item Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400},\:X$ étant la variable aléatoire de 
la \textbf{partie B}.

Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$\,\%.
\item Dans l'échantillon considéré, $60$~personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.

Qu'en pensez-vous ?
\end{enumerate}
\end{document}