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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Amérique du Sud}
\rfoot{\small  décembre 1995}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud décembre 1995~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'indice des prix en France de 1950 à 1990.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&1950 	&1955 	&1960 	&1965 	&1970 	&1975 	&1980 	&1985 &1990\\ \hline
Rang de l'année : $x$	&0 		&5 		&10 	&15 	&20 	&25 	&30 	&35 &40\\ \hline
Indice : $y$			& 100 	&131	& 176 	&212 	&262 	&400 	&658 	&\np{1040} &\np{1211}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{Source : \emph{Quid 1995.}}\\
\end{tabularx}
\medskip

(Tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-4}$ près.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement le nuage de points $M(x~;~y)$.
		
On prendra pour origine du repère le point correspondant à $x = 0$ et
		
$y = 100$.
		
1 cm pour 5 années en abscisses.
		
1 cm pour 100 points d'indice en ordonnées.
		\item Expliquer pourquoi on ne peut pas envisager un ajustement linéaire
de cette série statistique.
	\end{enumerate}
\item On pose $t = \ln y$ (ln désigne le logarithme népérien).
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de la nouvelle série statistique $(x~;~t)$.
		\item Représenter le nuage de points $P(x~;~t)$.
		
On prendra pour origine du repère le point correspondant à $x = 0$ et
$t = 0$.
		
1 cm pour 5 années en abscisses.
		
1 cm pour 1 unité en ordonnées.
	\end{enumerate}
\item (Pour les résultats suivants, le détail des calculs n'est pas demandé.)
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $t$.
		
Que peut-on en déduire ?
		\item Déterminer une équation de la droite de régression de $t$ en $x$ par la
méthode des moindres carrés.
		
Construire cette droite sur le graphique.
		\item En supposant que la tendance ne change pas, donner une estimation
de l'indice des prix en 1993.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On désigne par $P_i$ la probabilité d'apparition de la face numérotée $i$ 
lors d'un lancer du dé.

Ces probabilités vérifient les trois conditions suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $P_1,\: P_3,\: P_5$ sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d'une suite
arithmétique de raison $\frac{1}{8}$.
\item[$\bullet~~$] $P_2,\: P_4,\: P_6$ sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d'une suite 
géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
\item[$\bullet~~$] $3P_1 = 2P_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer tous les $P_i$ en fonction de $P_1$.

En déduire la valeur de $P_1$. Vérifier que $P_6 = \dfrac{1}{24}$.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair lors d'un lancer
du dé ?
\item On lance le dé $6$ fois de suite.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois le
nombre 6 ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le nombre 6 ?
		
(Ces deux résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{-4}$
près.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On désigne par $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = 1 - x\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ et
vérifier que 

$g'(x) = (x-1)\text{e}^{-x}$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ et dresser le tableau de
variations. (Les limites de $g$ aux bornes de $\R$ ne sont pas demandées).
\item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x + 2 + (x + 1)\text{e}^{-x}.\]

Soit (C) ja courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal
\Oij{} (unité graphique : 2 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
		\item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et vérifier que
		
$f'(x) = g(x)$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x + 2$ est asymptote
à la courbe (C). 
	
Préciser la position de la courbe (C) par rapport à cette asymptote.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$
dans l'intervalle $[- 2~;~- 1]$. 

À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement
de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
\item Tracer (D) et (C) dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[H(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x}.\]

Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par

$h(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.
\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif.

Exprimer en fonction de $\lambda$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par
la courbe (C), la droite (D), l'axe des ordonnées et la droite d'équation
$x = \lambda$. Quelle est la limite de cette aire quand $\lambda$ tend vers $+ \infty$ ?
\end{enumerate}
\end{document}