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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Amérique du Sud}
\rfoot{\small{novembre 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}    
\begin{center} {\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud
novembre 1998~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{I.}  Le tableau ci-dessous indique les pourcentages d'accès
au niveau baccalauréat d'une génération d'élèves.
 
{ \begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}| *8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année} $x_{i}$ 	&1980 & 1982	& 1984	& 1986	& 1988	& 1990		& 1992	& 1994\\ \hline 
\textbf{Taux d'accès au niveau 
baccalauréat $y_{i}$} 	&34 \%&37,5\,\% &35,8\,\%&39,8\,\%&46,3\,\%&56,1\,\%&62,5\,\%&70,7\,\%\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source : d'après un document du Ministère de l'éducation nationale}\\
\end{tabularx}
\end{center}}

\textbf{N. B.}  \emph{Les calculs statistiques seront effectués à la machine, aucun détail n'est demandé dans cette partie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points associé
 à la série statistique $(x_{i}~;~y_{i})$ dans le plan rapporté à un repère
 orthogonal :
 
- sur l'axe des abscisses on placera 1980 à l'origine et on choisira 
1 cm pour une année ;

- sur l'axe des ordonnées on placera 30 à l'origine et on choisira 1 cm pour
2 \%.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série 
double et placer ce point sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Peut-on envisager un ajustement 
affine ?
		\item Déterminer une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$ : on prendra la valeur approchée à trois décimales par défaut pour le coefficient directeur de la droite et l'arrondi à l'unité pour l'autre 
coefficient.
		\item Tracer la droite D sur le graphique de la question 
\textbf{1. a.} en expliquant sa construction.
	\end{enumerate}
\item En supposant que l'évolution ait été la même pour les années suivantes, donner une estimation du taux 
d'accès au niveau baccalauréat pour 1996.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II.}  Lors de la publication du tableau de la partie 
\textbf{I.}, le taux d'accès au niveau baccalauréat pour 1996 n'était pas encore
connu. On l'a connu seulement plus tard.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'accès en 
1996 si l'on sait que, pour la période 1980 (incluse) à 1996 (incluse), la 
moyenne de ce taux est exactement de 50 \%, en ne retenant que les années 
paires.
\item Comparer alors avec  l'estimation faite à la question \textbf{3.} de la partie \textbf{I} et donner en pourcentage l'erreur commise en remplaçant la valeur exacte par l'estimation faite.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans une grande ville, une maladie à incubation lente touche $0,1\:\%$ de 
la population. Un test de dépistage est proposé :

- lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $95\:\%$ des 
cas et négatif dans $5\:\%$ des cas ;

- lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $96\:\%$ 
des cas, mais déclare la personne malade, c'est-à-dire est positif, dans 
$4\:\%$ des cas.

Lorsqu'une personne, prise au hasard, passe le test, on note

\begin{itemize}
\item  $M$ l'évènement \og la personne est malade \fg{} ;
\item $\overline{M}$ l'évènement \og la personne n'est pas malade \fg{} ;
\item $T$ l'évènement \og le test est positif \fg{} ;
\item $\overline{T}$ l'évènement \og le test est négatif \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de la probabilité $p(M)$ et les valeurs
des probabilités conditionnelles suivantes : $p(T/M)$,\: $p\left(\text{}T/\overline{\text{M}}\right)$,\:$p\left(\overline{\text{T}}/\text{M}\right)$ et $p\left(\overline{\text{T}}/\overline{\text{M}}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de 
l'évènement \og $M$ et $T$ \fg{}, notée $p(M \cap T)$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og $M$ et $T$ \fg{}, notée 
$p(M\cap T)$. 
		\item En déduire que la probabilité de $T$ vaut $p(T) = \np{0,04091}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que le test donne un résultat non conforme à la réalité. 
\item Le maire de la ville passe le test : il est positif. Donner la probabilité,
à $10^{-1}$ près, que le maire soit effectivement malade.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

À partir de 1997 une association d'aide à la recherche médicale 
envoie chaque année à Monsieur X un courrier pour l'inviter à l'aider 
financièrement par un don. Monsieur X a répondu favorablement en 1997 
en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 1998, la 
probabilité pour que Monsieur X fasse un don est égale à $0,9$ s'il a 
fait un don l'année précédente et à $0,4$ s'il n'a rien donné l'année 
précédente.

On note pour tout entier naturel $n$ :

-- $E_{n}$ l'évènement : \og Monsieur X est donateur en $1998 + n$ \fg{} ;

-- $P_{n}$ la probabilité de $E_{n}$ ;

-- $\overline{E_{n}}$ l'évènement contraire de $E_{n}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données en termes de probabilités conditionnelles concernant les événements $E_{n+1}$,\:$E_{n}$,\:
$\overline{E_{n}}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la valeur de $P_{0}$.		
		\item Calculer $P\left(E_{1}  \cap  E_{0}\right)$ et $P\left(E_{1}\cap 
\overline{E_{0}}\right)$. En déduire la valeur de $P_{1}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P\left(E_{n+1} \cap  E_{n}\right) = 0,9P_{n}$ et que $P\left(\text{E}_{n+1}\cap \overline{E_{n}}\right) = 0,4(1 - P_{n})$ pour tout entier $n$.
		\item En déduire que $P_{n+1} =  0,5P_{n} + 0,4$ pour tout
entier naturel $n$.
		\item Quelle est la probabilité pour que Monsieur X soit donateur en 
2001 ?
	\end{enumerate}
\item On définit une suite $\left(U_{n}\right)$ en posant pour tout entier naturel $n : U_{n} = P_{n} - 0,8$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. Préciser sa raison
et son premier terme.
		\item Exprimer $\left(U_{n}\right)$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que $P_{n} = 0,1 \times 0,5^n + 0,8$ pour tout entier
naturel $n$.		
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(P_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

Sur le graphique ci-après, sont tracées dans un repère orthogonal, 
les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ de deux
fonctions $f$ et $g$, dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

\bigskip

\textbf{ Partie A - Question préliminaire} (les résultats seront donnés
à 0,1 près).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement les 
équations $f(x) = 7$ et $f(x) = 4$.
\item Lire graphiquement $g(0)$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~14].
\item En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle [0~;~14], où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction~$f$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie B}

\medskip

La fonction $f$ est la fonction de demande d'un produit, elle met en 
correspondance le prix $f(x)$ du produit et la quantité $x$ achetée par 
les consommateurs.
 
La fonction $g$ est la fonction d'offre, elle met en correspondance le 
prix $g(x)$ du produit et la quantité $x$ vendue par les producteurs. La 
quantité est exprimée en milliers d'unités et le prix en centaines de 
francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Interprétation économique}

À l'aide de la lecture graphique faite en \textbf{A}, répondre aux questions 
suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quelle quantité est achetée par les consommateurs :

\begin{itemize}
\item si le prix est de $700$ F ?
\item si le prix est de $400$ F ?
\end{itemize}
		\item Au-dessous de quel prix les producteurs ne sont-ils pas prêts à 
vendre ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la recette marginale}

La fonction recette $R$ est définie sur l'intervalle [0~;~14] par $R(x) = x f(x)$.

Une valeur approchée de la recette marginale (recette pour le 
$x^{\text{e}}$ produit vendu) est donnée par $R'(x)$, où $R'$ est la fonction
dérivée de la fonction $R$.
 
On remarque que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~14], $R'(x) = 
f(x) + x f'(x)$. 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déduire du \textbf{A. 4.} le signe de R$'(x) - f(x)$ sur
l'intervalle [0~;~14].
		\item Comparer alors, pour tout niveau de production, la recette 
marginale et le prix de vente $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Équilibre du marché}
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ représentée sur le graphique est définie sur 
l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{40}{x + 2}.\]

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} f(x)$. Quelle interprétation économique
peut-on faire de ce résultat ?
		\item La fonction $g$ représentée sur le graphique est définie sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

$g(x) = \dfrac{1}{18}x^2 + 3$.

Dans un marché à concurrence pure et parfaite, le prix $p_{0}$ qui
se forme sur le marché selon la \og loi de l'offre et de la demande \fg{} 
correspond à l'égalité de l'offre et de la demande, c'est-à-dire à l'ordonnée du 
point d'intersection I des deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.

Soit $x_{0}$ l'abscisse du point d'intersection I.

\begin{itemize}
\item Montrer par le calcul que $x_{0}$ est solution de l'équation

\[(\text{E})\qquad x^3 + 2x^2 + 54x - 612 = 0.\]

\item Développer l'expression $(x - 6) (x^2 + 8x + 102)$, résoudre 
l'équation (E), et en déduire la valeur de $x_{0}$.
\item Calculer $p_{0} = f(x_{0})$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \textbf{Le surplus des consommateurs}
 
Le surplus des consommateurs se définit comme la différence entre
le montant maximal que les consommateurs auraient été prêts à payer 
pour acheter une quantité $x_{0}$ et le montant qu'ils payent 
effectivement.

Ce nombre $S_{\text{C}}$, en situation de concurrence pure et 
parfaite, est donné en centaine de milliers de francs par : 

\[S_{\text{C}} = \displaystyle\int_{0}^{x_{0}}\:f(x)\:\text{d}x -
p_{0}x_{0}.\]

On prendra $x_{0} = 6$ et $p_{0} = 5$.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S_{\text{C}}$.
		\item Soit les points O(0~;~0), P$\left(x_{0}~;~0\right)$,~ I$\left(x_{0}~;~
p_{0}\right)$ et R$\left(0~;~p_{0}\right)$.

Sachant que le produit $p_{0} \times x_{0}$ est représenté par l'aire du
rectangle OPIR, interpréter graphiquement le surplus des consommateurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
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\end{center}
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