\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}  
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}  
\usepackage{ulem} 
\usepackage{dcolumn} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage[dvips]{color} 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} 
\setlength\paperheight{297mm} 
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{24cm} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm} 
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}  
\lhead{\small Baccalauréat S} 
\lfoot{\small{Amérique du Nord}} 
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1}}\hfill 5 points

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.
 
Dans tout l'exercice, $z$ est un nombre complexe non nul.
 
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z' = 
-~\dfrac{1}{z}$, puis le point $I$ milieu du segment $[MM']$. L'affixe de 
$I$ est donc $\dfrac{1}{2}\left(z - \dfrac{1}{z}\right)$.
 
Note : les questions \textbf{2, 3} et \textbf{4} sont largement indépendantes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une relation entre les modules de $z$ 
et $z'$.
 
Donner une relation entre leurs arguments. 
		\item Sur la figure ci-dessous est placé le point $M_1$ d'affixe $z_1$ sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point $M'_1$, puis le 
point $I_1$ milieu du segment $[M_1 M'_1]$. Effectuer cette construction. 
	\end{enumerate}
	 
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,10) 
\pscircle(5,5){2,25} \pscircle(5,5){4,5} 
\pscircle*(9,7.061){0,05} \pscircle*(3,3.97){0,05} 
\psline(5,0.5)(5,10) \psline(0.2,5)(9.8,5) 
\uput[dl](5,5){O} 
\uput[ur](9.2,7.3){$M_{1}$} \uput[dl](3,3.8){$M_{2}$} 
\rput(6,4.8){$\vect{u}$} \rput(4.6,6.2){$\vect{v}$} 
\psline{->}(5, 5)(7.25,5) \psline{->}(5,5)(5,7.25) 
\end{pspicture}
\end{center}
  
\item Pour cette question, $\theta$ est un réel et $M$ est le point d'affixe $z = e^{\text{i}\theta}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer sous forme algébrique l'affixe de $I$. 
		\item Sur la figure ci-dessous est placé le point $M_2$ d'affixe $z_2$ sur le 
cercle $\mathcal{C}$, de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en 
utilisant le résultat de la question \textbf{2 a}, on peut obtenir géométriquement le point $I_2$ milieu du segment $[M_2M'_2]$ .

Effectuer cette construction.

Donner (sans justification) l'ensemble décrit par $I$ lorsque $M$ décrit 
$\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels $M$ et $I$ sont confondus. 
		\item Développer $(z - 2 \text{i})^2 + 3$.
		
Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels l'affixe de $I$ est 2i. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O, d'affixe
 
$z = x + \text{i}y~~(x$~et $y$ réels). 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe de $I$. 
		\item Déterminer l'ensemble $A$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient à l'axe des abscisses.
		\item Déterminer l'ensemble $B$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient  à l'axe des ordonnées. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}\hfill 5 points

\textbf{Enseignement obligatoire}
 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(7,7) 
\psline(0,0)(5,0) %OA 
\psline(0,0)(0,5) % OD 
\psline(5,0)(5,5) % AE 
\psline(1.4,1.7)(1.4,6.7) % CG 
\psline(6.4,1.8)(6.4,6.8) % BF 
\psline(1.4,1.7)(6.4,1.7) % CB 
\psline(1.4,6.7)(6.4,6.7) % GF 
\psline(0,5)(5,5) %DE 
\psline(0,0)(1.4,1.7) % OC 
\psline(0,5)(1.4,6.7) % DG 
\psline(5,5)(6.4,6.8) % EF 
\psline(5,0)(6.4,1.8) % AB 
\rput(0,-0.3){O} \rput(5,-0.3){A} \rput(6.6,1.8){B} 
\rput(1.6,1.9){C} 
\rput(-0.3,5){D} \rput(4.8,5.2){E} \rput(6.4,7){F} 
\rput(1.4,7){G} 
\end{pspicture} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}
 
Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.

L'espace est orienté par le repère orthonormal direct $\left(\text{O}~ ;~ 
\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right)$. 
On désigne par $a$ un réel strictement positif.
 
$L,~ M$ et $K$ sont les points définis par $\vect{\text{O}L} = a 
\vect{\text{OC}},~ \vect{\text{O}M} = a 
\vect{\text{OA}}$, et $\vect{\text{B}K} = a \vect{\text{BF}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur 
$\vect{\text{D}M} 
\wedge \vect{\text{D}L}$. 
		\item En déduire l'aire du triangle D$LM$. 
		\item Démontrer que la droite (O$K$) est orthogonale au plan (D$LM$). 
	\end{enumerate} 
\item On note $H$ le projeté orthogonal de O (et de $K$) sur le plan 
(D$LM$). 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\vect{\text{O}M} \cdot \vect{\text{O}K} = 
\vect{\text{O}H} \cdot \vect{\text{O}K}$. 
		\item Les vecteurs $\vect{\text{O}H}$ et $\vect{\text{O}K}$ étant 
colinéaires, on note $\lambda$ le réel tel que \\$\vect{\text{O}H} = 
\lambda\vect{\text{OK}}$.

Démontrer que $\lambda = \dfrac{a}{a^2 + 2}$. 
En déduire que $H$ appartient au segment [O$K$]. 
		\item Déterminer les coordonnées de $H$. 
		\item Exprimer $\vect{HK}$ en fonction de $\vect 
{\text{O}K}$. En déduire que $HK = \dfrac{a^2 - a + 2}{\sqrt{a^2 + 2}}$. 
	\end{enumerate} 
\item À l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du 
tétraèdre DL$MK$ en fonction de $a$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}\hfill 5 points

\textbf{Enseignement de spécialité}

Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et 
isocèle en O.
 
On a donc $(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}) = 
\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.
 
On note $R_{\text{A}}$ et $R_{\text{B}}$ les rotations de centres respectifs 
A et B et de même angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $S_{\text{O}}$ la symétrie de 
centre O.
 
On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés 
B$ED$C et AC$FG$ directs. On a donc $(\vect{\text{B}E},~ 
\vect{\text{BC}}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$ et 
$(\vect{\text{AC}},~ \vect{\text{A}G}) = 
\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer S$_{(\text{AO})} 
\circ S_{(\text{AB})}$ composée des réflexions d'axes (AB) et (AO). 
		\item En écrivant $R_{\text{B}}$ sous la forme d'une composée de deux réflexions, 
démontrer que $R_{\text{A}} \circ R_{\text{B}} = S_{\text{O}}$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image de $E$ par $R_{\text{A}} \circ R_{\text{B}}$.		 	\item En déduire que O est le milieu du segment [E$G$]. 
		\item On note $R_{F}$ et $R_{D}$ les rotations de centres respectifs F et D et de même angle.
		 
Étudier l'image de C par la transformation $R_{F} \circ S_{\text{O}} \circ R_{D}$. 
Déterminer la transformation R$_{\text{F}} \circ S_{\text{O}} \circ R_{D}$. 
\item Placer $H$ le symétrique de $D$ par rapport à O.
 
Démontrer que $R_{F}(H) = D$. Démontrer que le triangle 
$F$O$D$ est rectangle et isocèle en O. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}}\hfill 10 points

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,~+~ \infty[$ par : 
\[\left \{ \begin{array}{l c l } 
f(x) & = & \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2}\text{e}^{-~\frac{1}{x}}~ \text{pour}~x > 
0\\ 
f(0)& = &0. 
\end{array}\right.\] 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal 
\Oij (unité graphique 5~cm). 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$. 
\item Pour $x > 0$ , calculer $\dfrac{f(x) - f(0)}{x}$. Étudier la limite de 
cette expression quand $x$ tend vers 0. (on pourra utiliser, pour $n$ entier 
naturel non nul,

$\displaystyle\lim_{u \to +~\infty} u^n\text{e}^{-u} = 0$.
 
Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ? Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Démontrer que pour tout $x$ de $]0, +~ \infty[$ on a $f'(x) = 
\dfrac{1 - x}{x^4}\text{e}^{- \frac{1}{x}}$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau des 
variations de $f$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = f(x) 
-xf'(x)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que dans $]0~;~+ \infty[$, les équations $g(x) = 0$ et 
$x^3 + x^2 + 2x - 1 = 0$ sont équivalentes. 
\item Démontrer que l'équation $x^3 + x^2 + 2x - 1 = 0$ admet une seule racine 
réelle $\alpha$ dont on justifiera un encadrement à $10^{-~2}$ près. 
\item On pose $A = \dfrac{f(\alpha)}{\alpha}$. Encadrer $A$ à $2 \times 
10^{-~1}$ près (justifier) et montrer que 

$A = f'(\alpha)$. 
\item Pour tout $a > 0$, on note $T_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au 
point d'abscisse $a$.
Montrer que $T_{a}$ a pour équation $y = Ax$. Tracer $T_{a}$, puis la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes $T_{a}$ à $\mathcal{C}$ (en des points d'abscisses non nulles), seule $T_{\alpha}$ passe par l'origine O.
\item On admettra que $T_{\alpha}$ est au-dessus de $\mathcal{C}$ sur 
$]0~;~+\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solutions 
de l'équation $f(x) = m$ , suivant le réel $m$ donné. 
		\item Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = mx$ selon le réel $m$ donné. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour $n \in \N$* on pose $u_{n} = \displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^1 
f(x)\:\text{d}x$. Sans calculer explicitement $u_{n}$, déterminer le signe de 
$u_{n+1} - u_{n}$. En déduire que la suite $(u_{n})$ est croissante. 
\item Démontrer que la fonction $h$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = (x + 1)\text{e}^{-\frac{1}{x}}$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\item Calculer $u_{n}$. Interpréter graphiquement le résultat. 
\item Étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
\end{enumerate} 
\end{document}