\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{dcolumn} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage[dvips]{color} 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} 
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm} 
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}  
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2000}}  
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher.
 
On tire une boule du sac, on note son numéro $x$ et on la remet dans le sac, 
puis on tire une seconde boule, on note son numéro $y$ et on la remet dans le sac.
 
Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.
 
À chaque tirage de \textbf{deux boules}, on associe dans le plan, muni d'un repère orthonormal \Oij, le point $M$ de coordonnées $(x~;~y).$
 
On désigne par $D$ le disque de centre O et de rayon 1,7.
 
Les résultats seront donnés sous forme de \textbf{fraction 
irréductible}.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Placer dans le plan muni du repère (O~;~$\vect{\imath}, 
~\vect{\jmath}$) les points correspondant aux différents résultats 
possibles. 
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements 
suivants :
 
\textbf{A} \og Le point $M$ est sur l'axe des abscisses \fg{} ;
 
\textbf{B} \og Le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 \fg. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage de 
deux boules, associe la somme $x^2 + y^2$. Déterminer la loi de probabilité de 
la variable aléatoire $X$. Calculer son espérance mathématique E($X$). 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og le point $M$ appartient au disque $D$ \fg{} est égale à $\dfrac{4}{9}$. 
	\end{enumerate} 
\item On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux 
boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan.

Quelle est la probabilité de l'évènement suivant :

\textbf{C} : \og Au moins un de ces points appartient au disque $D$ \fg{} ? 
\item On renouvelle $n$ fois de suite, de façon indépendante, le 
tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi $n$ points du plan.

Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins un de ces points appartient à $D$ \fg{} soit supérieure ou égale à \np{0,9999}. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats qui n'ont pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv (unité graphique : 2~cm).

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner l'écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$. 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation i$z - 2 = 4\text{i} - z$. On donnera la solution sous forme algébrique. 
	\end{enumerate} 
\item On désigne par I, A et B les points d'affixes respectives 1, 2i et 3 + i. 
	\begin{enumerate} 
		\item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice. 
		\item Calculer l'affixe $z_C$ du point C image de A par la symétrie de 
centre I. 
		\item Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac 
{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}$.
 
En déduire le module et un argument de ce nombre. ($z_{\text{A}}$ et 
$z_{\text{B}}$ désignent les  affixes des points A et B). 
		\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}}$ tel que $z_{\text{D}} - z_{\text{C}} = z_{\text{A}} - z_{\text{B}}$.
		
Montrer que ABCD est un carré. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur 
$\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + 
\vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer le vecteur $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}$ en fonction du vecteur $\vect{M\text{I}}$. 
		\item Montrer que le point $K$ défini par $\vect{K\text{A}} + \vect{K\text{B}} + \vect{K\text{C}} + \vect{K\text{D}} = 2 \vect{\text{AB}}$ est le milieu du segment [AD]. 
		\item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que 
\[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + 
\vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 
\left\|2 \vect{\text{AB}}\right\|.\] 
Construire $\Gamma$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On désigne par $m$ un nombre réel. On considère la transformation 
T$_{m}$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : 

\[z'= (m + \text{i})z + m - 1 - \text{i}\] 

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Peut-on choisir $m$ de telle sorte que T$_{m}$ soit 
une translation ? 
\item Déterminer le réel $m$ de telle sorte que T$_{m}$ soit une rotation. Préciser alors le centre et l'angle de cette rotation. 
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans la suite de l'exercice on pose $m = 1$.
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'affixe du point $\Omega$ invariant 
par T$_{m}$. 
		\item Pour tout nombre complexe $z$ différent de 1, calculer $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$.
		 
En interprétant géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$, démontrer que T$_{1}$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. 
		\item Démontrer que, pour tout nombre $z$ on a : $z'- z = \text{i} (z - 1)$. En déduire que si $M$ est distinct de $\Omega$ , alors le triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle en $M$. 
	\end{enumerate} 
\item On définit dans le plan une suite $(M_{n})$ de points en posant : 

\[M_{0} = \text{O},~M_{1} = \text{T}_{1}(M_{0}),~\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul}~: M_{n} = \text{T}_{1}(M_{n-1}).\]
 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points $M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et 
$M_{4}$ dans le plan muni du repère \Ouv. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_{n} = 
\Omega M_{n}$. Démontrer que la suite $(d_{n})$ est une suite géométrique. 
Converge-t-elle ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A étude préliminaire : mise en place d'une 
inégalité.}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
On désigne par $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 1$ et par $\Gamma$ la 
courbe d'équation $y = \text{e}^x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la droite $\Delta$ pour la courbe $\Gamma$ ? 
		\item Tracer dans le repère \Oij{} la droite $\Delta$ et donner l'allure de $\Gamma$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $t,~ \text{e}^t 
\geqslant t + 1$. Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item En déduire que pour tout réel $t,~ \text{e}^{-t} + t + 1 \geqslant 2$, et que pour tout $x$ de $\R_{+}^{*}$ on a : $\dfrac{1}{x} + \ln x + 1 \geqslant 2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B étude d'une fonction.}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+~\infty$[ par
 
\[g(x) = (x + 1) \ln x.\] 

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan 
muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de $g$ en 
utilisant la \textbf{partie A}. 
		\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en 0 et en +~$\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $D$ à 
$\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
		\item On appelle $h$ la fonction définie sur ]0~ 
;~$+~\infty$[ par : $h(x) = g (x) - 2x + 2$.
 
étudier le sens de variations de $h$. On pourra utiliser la question 
\textbf{A 2 b}.

En déduire le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$. 
	\end{enumerate}
	 
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $D$ dans le repère \Ouv.
\item Pour tout $n$ de $\N^{*}$, on pose $U_n = 
\displaystyle\int_n^{n+1} g(x)\:\text{d}x.$ 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation géométrique de $U_n$. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a : 

\[g(n) \leqslant U_n \leqslant g(n + 1).\]
 
		\item En déduire le sens de variation de la suite $(U_n)$. 
		\item La suite $(U_n)$ est-elle convergente ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C étude d'une primitive.}

\medskip
 
$G$ désigne la primitive de $g$ sur $]0~;~ + \infty[$ qui s'annule en 1.

On a donc : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ + \infty[,~ 
G(x) = \displaystyle\int_1^x g(t)\:\text{d}t$.

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de $G(x)$ suivant les valeurs de 
$x$ ? 
\item Calculer $G(x)$ à l'aide d'une intégration par parties. 
\item Déterminer les limites de $G$ en 0 et en +~$\infty$.\\ 
Pour l'étude en $+\infty$, on pourra mettre $x$ en facteur dans l'expression 
$G(x)$.

Pour l'étude en 0, on admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. 
\end{enumerate}
\end{document}