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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S Amérique du Sud~\decofourright\\décembre 2002}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan complexe, rapporté à  un repère orthonormé direct \Ouv{}~ on appelle A et B les points d'affixes respectives 2 et $- 2$. À  tout point $M$ d'affixe $z,~ z$ différent de 2, on associe le point $N$ d'affixe $\overline{z}$ et $M'$ d'affixe $z'$ tel que 

\[ z' = \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} \]

\begin{enumerate}
 \item Calculer $z'$ et $\left|z'\right|$ lorsque $z = 5$ puis 
lorsque $z = 1 + \text{i}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement $|z - 2|$ et  $\left|\overline{z} - 2\right|$.
		\item Montrer que, pour tout $z$ distinct de $2, ~|z'| = 2$. En déduire une information sur la position de $M'$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z~ (z ­\neq 2)$ tels que $M'$ = B.
\item On note $Z_{\vect{\text{A}M}}$ et $Z_{\vect{\text{B}M'}}$, les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}M'}$.

Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A et n'appartenant pas  $\mathcal{E}$, le quotient  $\dfrac{Z_{\vect{\text{A}M}}}{Z_{\vect{\text{B}M'}}}$ est un nombre réel.
 Interpréter géométriquement ce résultat.
\item Un point $M$ distinct de A, n'appartenant pas  $\mathcal{E}$, étant donné,
 proposer une méthode géométrique pour construire le point $M'$. On illustrera par une figure. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite d'entiers définie par $a_n = 1 1 1 \ldots 1 1$ (l'écriture décimale de $a_n$ est composée de $n$ chiffres 1). On se propose de montrer que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En écrivant $a_n$ sous la forme d'une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n = \dfrac{10^n - 1}{9}$.

\item On considère la division euclidienne par \np{2001} : expliquer pourquoi parmi les \np{2002} premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste.

Soit $a_n$ et $a_p$ deux termes de la suite admettant le même reste $(n < p)$.

Quel est le reste de la division euclidienne de $a_p - a_n$ par \np{2001} ?
\item Soit $k$ et $m$ deux entiers strictement positifs 
vérifiant $k < m$.

Démontrer l'égalité $a_m - a_k = a_{m - k} \times 10^k$.
\item Calculer le PGCD de \np{2001} et de 10.

Montrer que si \np{2001} divise $a_m - a_k$, alors \np{2001} divise 
$a_{m - k}$.
\item Démontrer alors que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible
 par \np{2001}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. 

Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires. 

Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On dispose d'un dé à   6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. On le lance une fois ; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de l'urne B.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité d'obtenir une boule noire.
		\item Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ?
		\item Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ? 
	\end{enumerate}
\item On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement
 trois boules que l'on pose  chaque fois devant l'urne.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og la $3^{\text{e}}$ boule tirée est noire \fg{} vaut $\dfrac{1}{4}$.
		\item Certains pensent que l'évènement \og la première boule tirée est noire \fg{} a une probabilité supérieure à l'évènement \og la troisième boule tirée est noire \fg. Est-ce vrai ? Justifier. 
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire.}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\boldmath \[g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1.\]\unboldmath

\begin{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de $g$.
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution dans
 l'intervalle [1,27~;~1,28] ; on note $\alpha$ cette solution.
\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $]- \infty~;~0[$.
 
Justifier que $g (x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ et $g(x) < 0$ 
sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{B. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath 
définie sur \boldmath $\R$ \unboldmath par :} 

\[\boldmath f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} + 2.  \unboldmath\]

\medskip

On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} ; unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et interprter graphiquement ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Démontrer que la droite (d) d'équation $y = x + 2$ est une asymptote pour $\mathcal{C}_f$.
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}_f$  par rapport à (d).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ a même signe que la fonction $g$ étudiée dans la partie  \textbf{A)}.
		\item Montrer qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $f(\alpha) = 
p\alpha + q$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le repère avec ses asymptotes et sa tangente au point d'abscisse $\alpha$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{C. Encadrements d'aires}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, tel que $n \geqslant 2$, on note $\mathcal{D}_n$ l'ensemble des points $M (x~;~y)$ du plan, dont les coordonnées vérifient : $2 \leqslant x  \leqslant  n$ et $2 \leqslant  n \leqslant f(x)$ et on appelle $\mathcal{A}_n$ son aire, exprimée en unités d'aire.

\begin{enumerate} 
\item Faire apparaître $\mathcal{D}_5$ sur la figure.
\item Démontrer que pour tout $x$, tel que $x \geqslant 2$, on a : 

\[ \dfrac{7}{8}x\text{e}^{-x} \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} \leqslant x\text{e}^{-x}.\]

\item On pose $I_n = \displaystyle\int_2^n  x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$.

À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_n$ en fonction de $n$.
\item Écrire un encadrement de $\mathcal{A}_n$ en fonction de $I_n$.
\item On admet que $\mathcal{A}_n$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
 
Déterminer la limite de $I_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
 
Que peut-on en déduire pour la limite de $\mathcal{A}_n$ 
lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?

Donner une interprétation géométrique de ce dernier résultat.
\end{enumerate}
\end{document}