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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Nord}} 
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 1999~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip 

\textbf{Partie I}

\medskip
 
Lors de la préparation d'un concours, un élève n'a étudié que $50$ des $100$ leçons. 

On a mis $100$ papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire simultanément au hasard  $2$ papiers.

On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de 
ces sujets ? 
\item Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux 
sujets ? 
\item Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul 
de ces sujets ? 
\item Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un 
de ces sujets ? 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie II}

\medskip
 
On considère maintenant que l'élève a étudié $n$ des $100$ leçons ($n$ étant  un entier naturel inférieur ou égal à $100$). 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité $p_n$ qu'il connaisse au moins  un de ces sujets ? 
\item Déterminer les entiers $n$ tels que $p_n$ soit supérieur 
ou égal à $0,95$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique étant $4$~cm. On considère les points  A$_0,$~ A$_1$ d'affixes respectives : $a_0 = 1~;$

$a_1 = \text{e}^{\frac{i\pi}{12}}$.
 
Le point A$_2$ est l'image du point A$_1$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{12}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'affixe $a_2$ du point A$_2$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. 
		\item Soit I le milieu du segment [A$_0$A$_2$]. Calculer l' affixe du point I. 
		\item Faire une figure. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que les droites (OI) et $\left(\text{OA}_1\right)$ sont 
confondues. 
		\item Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I. 
		\item Déterminer $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12} \right)$ (les valeurs exactes sont exigées), sachant que $\sqrt{4\sqrt{3} + 8} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$. 
	\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. 

\medskip 

\textbf{Partie I}

\medskip
 
Soit $E = \{1~;~ 2~;~ 3~;~ 4~;~ 5~ ;~ 6~;~ 7~;~ 8~;~ 9~;~ 10\}.$ 
Déterminer les paires $\{a~;~b\}$ d'entiers distincts de $E$ tels que le reste de la division euclidienne de $ab$ par $11$ soit 1. 

\medskip 

\textbf{Partie II} 

\medskip


\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. 
	\begin{enumerate}
		\item L'entier $(n - 1)! + 1$ est-il pair ? 
		\item L'entier $(n - 1)! + 1$ est-il divisible par un entier naturel pair ? 
	\end{enumerate}
\item Prouver que l'entier $(15 - 1)! + 1$ n'est pas divisible 
par 15. 
\item L'entier $(11 - 1)! + 1$ est-il divisible par $11$ ? 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie III}

\medskip
 
Soit $p$ un entier naturel non premier $(p \geqslant 2)$. 

\begin{enumerate}
\item Prouver que $p$ admet un diviseur $q \:(1 < q < p)$ qui 
divise $(p - 1)!$. 
\item L'entier $q$ divise-t-il l'entier $(p - 1) ! + 1$ ? 
\item L'entier $p$ divise-t-il l'entier $(p - 1) ! + 1$ ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 11 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]-\infty~;~1[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{2}{(x- 1)^2}\text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}}.\]
 
On désigne par $(\Gamma)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté  à un repère orthonormal \Oij, l'unité graphique étant $2$~cm. 

\medskip

\textbf{Partie I} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $X = \dfrac{2}{x - 1}$. 

Prouver l'égalité : $\dfrac{2}{(x - 1)^2}\text{e}^{\frac{x + 1}{ x 
-1}} = \dfrac{\text{e}}{2}X^2\text{e}^X$. 

En déduire la limite de $f$ quand $x$ tend vers 1. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. 
		\item En déduire une asymptote à la courbe $\Gamma$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $v$ la fonction numérique définie sur 
$]- \infty~;~1[$ par : 

\[v(x) = \text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}}.\] 

Calculer $v'(x)$. 

		\item Démontrer que $f'(x) = \dfrac{-4x}{(x - 1)^4}\text{e}^{\frac{x + 1}{x - 1}}$. 
	\end{enumerate} 
\item Étudier les variations de $f$. 
\item Tracer la courbe $(\Gamma)$. 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie II} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $]-~\infty~;~1[$. 
\item Soit $\alpha$ réel tel que $0 < \alpha < 1$, déterminer : 

\[g(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\: \text{d}x.\] 

\item Quelle est la limite de $g(\alpha)$ quand $\alpha$ tend 
vers 1 ? 
\item Quelle est l'aire en cm$^2$ du domaine limité par la 
courbe de $f$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives 
$x = -\alpha$ et $x = \alpha$ ? 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie III} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ a deux solutions dont l'une est $-1$. 

On notera $\beta$ l'autre solution. 
		\item Donner un encadrement de largeur $10^{- 2}$ de $\beta$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $a$ un élément de $]- \infty~;~1[$. 

Déterminer graphiquement, en fonction de $a$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = f(a)$. 
\end{enumerate}
\end{document}