\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3d,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Nord juin 1999}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S } \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie I} \medskip Lors de la préparation d'un concours, un élève n'a étudié que $50$ des $100$ leçons. On a mis $100$ papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire simultanément au hasard $2$ papiers. On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de ces sujets ? \item Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets ? \item Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul de ces sujets ? \item Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip On considère maintenant que l'élève a étudié $n$ des $100$ leçons ($n$ étant un entier naturel inférieur ou égal à $100$). \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p_n$ qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \item Déterminer les entiers $n$ tels que $p_n$ soit supérieur ou égal à $0,95$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique étant $4$~cm. On considère les points A$_0,$~ A$_1$ d'affixes respectives : $a_0 = 1~;$ $a_1 = \text{e}^{\frac{i\pi}{12}}$. Le point A$_2$ est l'image du point A$_1$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{12}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $a_2$ du point A$_2$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. \item Soit I le milieu du segment [A$_0$A$_2$]. Calculer l' affixe du point I. \item Faire une figure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que les droites (OI) et $\left(\text{OA}_1\right)$ sont confondues. \item Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I. \item Déterminer $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12} \right)$ (les valeurs exactes sont exigées), sachant que $\sqrt{4\sqrt{3} + 8} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. \medskip \textbf{Partie I} \medskip Soit $E = \{1~;~ 2~;~ 3~;~ 4~;~ 5~ ;~ 6~;~ 7~;~ 8~;~ 9~;~ 10\}.$ Déterminer les paires $\{a~;~b\}$ d'entiers distincts de $E$ tels que le reste de la division euclidienne de $ab$ par $11$ soit 1. \medskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. \begin{enumerate} \item L'entier $(n - 1)! + 1$ est-il pair ? \item L'entier $(n - 1)! + 1$ est-il divisible par un entier naturel pair ? \end{enumerate} \item Prouver que l'entier $(15 - 1)! + 1$ n'est pas divisible par 15. \item L'entier $(11 - 1)! + 1$ est-il divisible par $11$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie III} \medskip Soit $p$ un entier naturel non premier $(p \geqslant 2)$. \begin{enumerate} \item Prouver que $p$ admet un diviseur $q \:(1 < q < p)$ qui divise $(p - 1)!$. \item L'entier $q$ divise-t-il l'entier $(p - 1) ! + 1$ ? \item L'entier $p$ divise-t-il l'entier $(p - 1) ! + 1$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]-\infty~;~1[$ par : \[f(x) = \dfrac{2}{(x- 1)^2}\text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}}.\] On désigne par $(\Gamma)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, l'unité graphique étant $2$~cm. \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $X = \dfrac{2}{x - 1}$. Prouver l'égalité : $\dfrac{2}{(x - 1)^2}\text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}} = \dfrac{\text{e}}{2}X^2\text{e}^X$. En déduire la limite de $f$ quand $x$ tend vers 1. \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. \item En déduire une asymptote à la courbe $\Gamma$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $v$ la fonction numérique définie sur $]- \infty~;~1[$ par : \[v(x) = \text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}}.\] Calculer $v'(x)$. \item Démontrer que $f'(x) = \dfrac{-4x}{(x - 1)^4}\text{e}^{\frac{x + 1}{x - 1}}$. \end{enumerate} \item Étudier les variations de $f$. \item Tracer la courbe $(\Gamma)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de $f$ sur $]-~\infty~;~1[$. \item Soit $\alpha$ réel tel que $0 < \alpha < 1$, déterminer : \[g(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\: \text{d}x.\] \item Quelle est la limite de $g(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers 1 ? \item Quelle est l'aire en cm$^2$ du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives $x = -\alpha$ et $x = \alpha$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie III} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ a deux solutions dont l'une est $-1$. On notera $\beta$ l'autre solution. \item Donner un encadrement de largeur $10^{- 2}$ de $\beta$. \end{enumerate} \item Soit $a$ un élément de $]- \infty~;~1[$. Déterminer graphiquement, en fonction de $a$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = f(a)$. \end{enumerate} \end{document}