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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat A1}
\lfoot{\small{Amiens-Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Amiens\footnote{Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles} juin 1994~\decofourright 
}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 5 points}

\medskip

Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela, il a droit à deux tentatives : un premier service suivi, s'il n'est pas réussi, d'un second service.

La probabilité pour que le premier service réussisse est égale à $\dfrac{2}{3}$.

S'il a échoué, la probabilité pour que le deuxième service réussisse est égale à $\dfrac{4}{5}$.

Lorsque les deux services échouent, il y a \og double faute \fg, sinon, la mise en jeu est réussie.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité pour que le second service ne soit pas réussi, sachant que le premier service n'est pas réussi. 
		\item Montrer que, sur une mise en jeu, la probabilité pour que ce joueur fasse une double faute est égale à $\dfrac{1}{15}$.
		\item En déduire la probabilité pour que la mise en jeu soit réussie. 
	\end{enumerate}
\item Ce joueur fait un pari avec un de ses camarades.
 
Il  effectue 10 mises en jeu successives (de manière indépendante). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $k$ ($k \in \{0, 1, \ldots, 10\}$) la probabilité $p_k$ pour que le joueur réussisse $k$ mises en jeu. 
		\item S'il réussit $10$ ou $9$ mises en jeu, il gagne $10$~F par mise en jeu réussie.
		 
Sinon, il perd $50$~F. 

Soit $X$ la variable aléatoire représentant la somme gagnée (comptée positivement), ou perdue (comptée négativement), par ce joueur. 

$\bullet~~$Calculer: $p(X = 100)$ ;
 
$p(X = 90)$ ;

$p(X = - 50)$. 

$\bullet~~$Calculer l'espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Études graphiques}

\medskip
 
On donne ci-après la représentation graphique, $\mathcal{C}$, d'une fonction $g$ et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$. 

A et B sont les points de $\mathcal{C}$ de coordonnées respectives : $\left(\text{e}^{\frac{3}{4}}~;~0\right)$ et $\left(\text{e}^{\frac{7}{4}}~;~4\text{e}^{-\frac{7}{4}}\right)$.
 
L'axe des abscisses et l'axe des ordonnées sont des asymptotes à $\mathcal{C}$  
et $\mathcal{C}$ admet au point B une tangente de vecteur directeur $\vect{\imath}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement : 
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) = 0$. 
		\item $g(x) \leqslant 0$. 
		\item $g'(x) = 0$. 
		\item $g'(x) \geqslant 0$.
		 
($g'$ désigne la fonction dérivée de $g$).

\begin{center}
\psset{xunit=0.55cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(17,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](-1,-1)(17,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5]{->}(0,0)(-1,-1)(17,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5](0,0)(-1,-1)(17,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.47}{17}{x ln 4 mul 3   sub x  div }
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1.4,-1)(1.5,-0.7)(2,-0.03)(3,0.4)(4,0.6)(5.754,0.695)(7,.66)(8,0.59)(9,0.46)(10,0.32)(11,0.21)(12,0.14)(17,0.02)
\uput[dr](2.117,0){A}\uput[u](5.755,0.695){B}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(4.255,0.695)(7.255,0.695)
\uput[u](10,0.61){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate}
\item Soit $\varphi$ une primitive de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$, c'est-à-dire que : pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, $\varphi'(x) = g(x)$.
 
Déterminer le sens de variation de $\varphi$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Étude d'une fonction }\boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

Parmi les primitives de $g$, l'une d'entre elles prend la valeur $0$ pour $x= \text{e}$.

On la note $f$. Elle est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
 
\[f(x) = 2 (\ln x)^2 - 3 \ln x + 1.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
 
(On pourra mettre $(\ln x)^2$ en facteur.)
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$, puis déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. 
\item Construire la courbe $\Gamma$ représentative de $f$ dans le plan P muni  
d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 3~cm).
\end{enumerate} 
\end{document}
On se propose d'étudier le taux d'équipement en \textbf{lave-linge des ménages français}.
 
On a recueilli les informations consignées dans le tableau ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années $x_i$		&1955 	&1960 	&1965 	&1970 	&1975 	&1980 	&1985\\ \hline 
Taux en\,\% $y_i$	&10 	&25 	&41 	&60 	&69 	&80 	&86 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans les questions suivantes, pour simplifier les calculs, on pose: 
\[t_i = \dfrac{x_i - 1955}{5}\]
 
où $t_i $représente le \og rang \fg{} de l'année d'observation.
 
On obtient ainsi : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$	&1	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline 
$y_i$	&10 &25 &41 &60 &69 &80 &86 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
\textbf{Partie A - Question préliminaire}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthogonal (unités : 2~cm pour 1~unité, sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 10\,\%, sur l'axe des ordonnées).
 
Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(t_i~;~y_i\right)$.
 
Calculer les coordonnées du point moyen G et le placer sur la figure précédente.
 
Au vu du schéma, on décide d'effectuer deux ajustements successifs, en vue de faire des prévisions.
 
(\emph{Les questions B et C sont indépendantes}.) 

\bigskip

\textbf{Partie B - Ajustement linéaire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $0,01$ près par défaut du c\oe{}fficient de corrélation linéaire de la série $\left(t_i~;~y_i\right)$.
\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $t$, par la méthode des moindres carrés. La représenter sur la figure précédente.
\item En utilisant cette représentation graphique, indiquer à partir de quelle année, au moins 95\,\% des ménages seront équipés en lave-linge.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Ajustement logistique}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie pour $t$ réel positif ou nul par :

\[f(t) = \dfrac{100}{1 + k\text{e}^{at}},\] 
 
où $k$ et $a$ sont des constantes que l'on va déterminer.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On impose que la courbe représentative defpasse par le point M de coordonnées (0~;~10) et le point N de coordonnées (5, 80). 

Traduire ces deux conditions et en déduire les valeurs exactes de $k$ et $a$, puis la valeur décimale approchée de $a$ à 0,1 près par excès. 
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R_{+}$ par: 
 
\[f(t) = 	\dfrac{100}{1 + 9\text{e}^{ 0,7t}}.\]  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ Déterminer son signe, et en déduire le tableau de variation de $f$.
		 
Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx} {\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline 
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

(On indiquera les valeurs décimales approchées de $f(t)$ à une unité près.) 

Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur la figure précédente. 
		\item Résoudre l'inéquation: 

\[f(t) \geqslant  95.\]
 
Donner une interprétation de ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

À \og La Ferme de la Poule Pondeuse \fg, on produit des \oe{}ufs de trois tailles différentes :
 
des petits, dans la proportion de 20\,\% ; 

des moyens, dans la proportion de 50\,\% ; 

des gros, dans la proportion de 30\,\%.
 
Ils sont de deux qualités :
 
\textbf{ordinaire}, étiquetés sous la dénomination \og \oe{}ufs frais \fg ; 

\textbf{supérieure}, étiquetés sous la dénomination \og \oe{}ufs extra \fg.
 
On a remarqué que :
 
80\,\% des petits \oe{}ufs sont de qualité ordinaire ;

50\,\% des \oe{}ufs moyens sont de qualité ordinaire ; 

20\,\% des gros \oe{}ufs sont de qualité ordinaire. 

Dans tout le problème, on suppose que le nombre d' \oe{}ufs est suffisamment grand pour que le fait de prélever un \oe{}uf ne modifie pas ces proportions.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prend un \oe{}{}uf au hasard.
 
Quelle est la probabilité pour qu'il soit : 
	\begin{enumerate}
		\item de petite taille et de qualité ordinaire ? 
		\item de qualité ordinaire ? 
		\item de qualité supérieure? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité pour un \oe{}uf d'être gros et de qualité supérieure est égale à $0,24$. 
		\item On remplit au hasard une boîte de douze \oe{}ufs. 

On suppose les choix des \oe{}ufs indépendants les uns des autres. Quelle est la probabilité pour que cette boîte contienne exactement cinq \oe{}ufs de la catégorie \og gros \oe{}ufs extra \fg ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}