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\DecimalMathComma
\AtBeginDocument{\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\makeindex

\rhead{}
\lhead{}
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\lfoot{{\small Baccalauréat ES, \og Spécialité \fg}}
\rfoot{{\small A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\thispagestyle{empty}

$\ $\vspace{2cm}

\begin{center}
{\Huge Baccalauréat ES}
\end{center}\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\Huge Enseignement de spécialité}
\end{center}\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\LARGE Sessions de juin 2004 au 22 juin 2018}
\end{center}\vspace{.5cm}

\begin{center}
{\LARGE (127 exercices)}
\end{center}\vspace{5cm}
\vspace{5cm}

Nota. Les exercices dont le contenu n'est plus au programme (tel que la coloration d'un graphe) ou ne traitant que de l'étude d'une suite arithmético-géométrique n'ont pas été proposés ici.
\vfill

\emph{Durée totale de l'épreuve : $3$ heures}\par \emph{Coefficient : $7$}\bigskip

\emph{Chacun des probl\`emes suivants était noté sur 5 points et devait donc \^etre traité en $45$ minutes.}
\vfill
Source des annales : \url{https://www.apmep.fr/} \hfill {\tiny MEP : A. Gazagnes}\par Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public
\newpage

\tableofcontents
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles \fg, Juin 2004}

\medskip

On s'intéresse aux performances réalisées par des étudiants courant 
le 200~m\`etres dans les compétitions universitaires.

Lors d'une compétition, le score d'un(e) étudiant(e) est son meilleur temps en secondes obtenu aux 200~m. \medskip

Une enqu\^ete a permis d'établir le comportement général suivant, qu'on supposera valable pour les filles et les gar\c{c}ons dans toute la suite :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item lors de la premi\`ere compétition, le score d'un(e) étudiant(e) est toujours supérieur ou égal \`a 25 secondes. ;
\item  si, lors de la $n$-i\`eme compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score strictement inférieur \`a 25 secondes, la probabilité qu'il (elle)  réalise encore un score strictement inférieur \`a 25 secondes lors de la $(n + 1)$-i\`eme compétition est de $\dfrac{2}{5}$;
\item si, lors de la $n$-i\`eme compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score supérieur ou égal  \`a 25 secondes, la probabilité qu'il (elle) réalise encore un score strictement inférieur \`a 25 secondes  est 
$\dfrac{1}{5}$.
\end{list}\medskip

On représente les données précédentes par un graphe probabiliste G \`a 
deux états.

On note A tout score strictement inférieur \`a 25 secondes et B tout 
score supérieur ou égal \`a 25 secondes.\medskip

On note $a_{n}$ la probabilité d'obtenir un score A lors de la 
compétition $n$ et $b_{n}$ la probabilité d'obtenir un score B lors 
de la compétition $n$.

L'état probabiliste lors de la compétition $n$ est donc représenté par 
la matrice ligne $\left(a_{n}~~b_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter G et donner sa matrice.
\item Jamalia, jeune étudiante, se présente \`a sa premi\`ere compétition 
universitaire.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement 
inférieur \`a 25 secondes aux 200 m\`etres lors de cette compétition.
		\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement 
inférieur \`a 25 secondes aux 200 m\`etres lors de sa troisi\`eme compétition.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du graphe G.
\item Julien a déj\`a de nombreuses compétitions universitaires dans les 
jambes.

Montrer que, pour sa prochaine compétition, il a environ une chance 
sur quatre de réaliser un score strictement inférieur \`a 25 secondes 
aux 200 m\`etres.
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, Juin 2004}

\medskip

Le graphe ci-dessous indique, sans respecter d'échelle, les parcours possibles
 entre les	sept b\^atiments d'une entreprise importante.	
 
\vspace{0,8cm}
 
\psset{unit=0.9cm} \begin{center} \begin{pspicture}(11,6.2)
\cnodeput(0,3.9){A}{A}
\cnodeput(3.8,6.3){B}{B}
\cnodeput(8,6.3){C}{C}
\cnodeput(11,3.9){D}{D}
\cnodeput(8,1.7){E}{E}
\cnodeput(5.9,0){F}{F}
\cnodeput(3.8,1.7){G}{G}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{G}
\ncline{B}{C}
\ncline{B}{E}
\ncline{B}{G}
\ncline{C}{D}
\ncline{C}{E}
\ncline{C}{G}
\ncline{D}{E}
\ncline{E}{F}
\ncline{E}{G}
\ncline{F}{G}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Un agent de sécurité effectue réguli\`erement des rondes de surveillance. 

Ses temps de parcours en minutes entre deux b\^atiments sont les suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{l@{\qquad}l@{\qquad}l@{\qquad}l}
AB : 16~minutes &AG : 12~minutes & BC : 8~minutes  & BE : 12~minutes \\
BG : 8~minutes & CD : 7~minutes & CE : 4~minutes & CG : 10~minutes \\ 
DE : 2~minutes & EF : 8~minutes & EG : 15~minutes & FG : 8~minutes
\end{tabular}
\end{center}

 Sur chaque ar\^ete, les temps de parcours sont indépendants du sens de parcours.

\begin{enumerate}
\item En justifiant la réponse, montrer qu'il est possible que l'agent de sécurité passe une fois et une seule par tous les chemins de cette usine.

 Donner un exemple de trajet.
\item L'agent de sécurité peut-il revenir \`a son point de départ apr\`es avoir 
parcouru une fois et une seule tous les chemins ? Justifier la réponse.
\item Tous les matins, l'agent de sécurité part du b\^atiment A et se rend au 
b\^atiment D. 

En utilisant un algorithme que l'on explicitera, déterminer 
le chemin qu'il doit suivre pour que son temps de parcours soit le plus 
court possible, et donner ce temps de parcours.
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Liban \fg, Juin 2004}

\medskip

Lors d'une partie de fléchettes, un joueur envoie une \`a une des fléchettes vers une cible.
 La tentative est réussie quand la fléchette atteint la cible, elle échoue dans le cas contraire.

Pour la premi\`ere fléchette, les chances de réussite ou d'échec sont égales.\medskip

Pour chaque lancer suivant, la probabilité qu'il réussisse dépend uniquement du résultat du lancer précédent :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item elle est de $0,7$ quand le lancer précédent atteint la cible ;
\item elle est de $0,4$ quand il a échoué.
\end{list}
\medskip

On note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $C_n$ l'év\`enement \og la $n$-i\`eme fléchette atteint la cible \fg ;
\item $E_n$ l'év\`enement \og le $n$-i\`eme lancer a échoué \fg.
\end{list}
\medskip

\begin{enumerate}
\item La partie ne comporte que deux fléchettes. Traduire la situation \`a l'aide d'un arbre  pondéré. En déduire la probabilité pour que la deuxi\`eme fléchette atteigne la cible.
\end{enumerate}

Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal \`a 1 et on consid\`ere que le jeu se déroule avec $n$ fléchettes.\medskip

On désigne par $c_n$ la probabilité d'atteindre la cible lors du $n$-i\`eme lancer et par $e_n$ la probabilité que ce lancer échoue.

On note $P_n = \left( c_n \quad e_n\right)$ la matrice ligne qui traduit l'état probabiliste 
lors du $n$-i\`eme lancer.

La matrice $P_1 = (0,5 \quad  0,5)$  traduit donc l'état probabiliste initial lors du 
premier lancer.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste.
		\item Donner l'état P$_2$\,.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de la relation $P_{n+1} =  P_n \times \text{A}$ o\`u A est la matrice de transition $\begin{pmatrix}
0,7 &  0,3\\
0,4 &  0,6\\ \end{pmatrix}$,
exprimer la probabilité $c_{n+1}$ d'atteindre la cible lors du $(n +1)$-i\`eme lancer en fonction des probabilités $c_n$ et $e_n$\,.
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $c_{n+1} = 0,3\, c_n +  0,4.$
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, 
par $u_n = c_n - \dfrac{4}{7}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,3.
		\item En déduire $u_n$ puis $c_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite de $c_n$ quand $n$ tend vers l'infini. 
		
		Interpréter cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, Juin 2004}

\medskip

\emph{étude de l'évolution météorologique d'un jour \`a l'autre dans une
 localité}\medskip
 
\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions rationnelles.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{}
\item S'il fait sec aujourd'hui, alors il fera encore sec demain avec la probabilité $\dfrac{5}{6}$, donc il fera humide
demain avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$ ;
\item s'il fait humide aujourd'hui, alors il fera encore humide demain avec la probabilité $\dfrac{2}{3}$.
\end{list}

Nous sommes dimanche et il fait sec. 

On s'intéresse \`a l'évolution météorologique des jours suivants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilité représentant la situation de 
dimanche \`a mercredi.

\item En déduire la probabilité des év\`enements suivants :

\begin{enumerate}
\item $J$ : \og il fera sec lundi, mardi et mercredi \fg{} ;
	
\item$K$ : \og il fera sec mardi \fg{} ;
	
\item$L$ : \og il fera humide mercredi \fg.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. 

On note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $s_n$ la probabilité pour que, le jour $n$, il fasse sec ;
\item $h_n$ la probabilité pour que, le jour $n$, il fasse humide ;
\item $P_n$ la matrice $(s_n,~h_n)$ traduisant l'état probabiliste du tempsle jour $n$.
\end{list}
 
Déterminer une relation entre $s_n$ et $h_n$\,.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si le premier dimanche est le jour correspondant \`a $n = 0$, donner  la matrice associée \`a l'état initial du temps. 
		\item Décrire l'évolution de cet état \`a l'aide d'un graphe probabiliste.
	\end{enumerate}
\item La matrice M de ce graphe est	$\begin{pmatrix}
\dfrac{5}{6}&\dfrac{1}{6}\\
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\
\end{pmatrix}$

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer M$^2$ (utiliser la calculatrice).
		\item Expliquer comment retrouver \`a l'aide de la matrice M, la situation du mardi étudiée dans la partie A.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'état stable associé \`a l'évolution météorologique.
		\item En déduire, qu'\`a long terme, la probabilité qu'il pleuve un certain jour est $\dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, Septembre 2004}

\medskip

Lucien, fumeur impénitent, décide d'essayer de ne plus fumer.

\smallskip


S'il ne fume pas un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est 0,3.

Par contre, s'il fume un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est $0,9$.

\smallskip

On note $F$ l'év\`enement \og Lucien fume \fg{} et $\overline{F}$ l'év\`enement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire ces informations \`a l'aide d'un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $F$ et  $\overline{F}$.

On admet que la matrice M associée au graphe est 
$\begin{pmatrix}
0,1& 0,9\\
0,7& 0,3\\
\end{pmatrix}$
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal \`a 1, l'état probabiliste le $n$-i\`eme jour est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ o\`u $a_{n}$ désigne la probabilité que Lucien fume le $n$-i\`eme jour et $b_{n}$ la probabilité que Lucien ne fume pas le $n$-i\`eme jour.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que le premier jour la probabilité que Lucien fume est 0,2.

Déterminer $P_{1}$\,.
		\item Calculer $M^2$ et en déduire $P_{3}$\,.
		\item Déterminer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$ et en déduire la probabilité que Lucien fume le $(n  + 1)$-i\`eme jour en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$\,. 
		\item On consid\`ere la matrice ligne $P = (a\quad  b)$ o\`u $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a + b = 1$.
		
Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = P\,M$.

En déduire la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, Septembre 2012}

\medskip

On consid\`ere une grande population d'acheteurs de yaourts.

On suppose que l'effectif de cette population est stable.

\smallskip

Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y.

30\,\% des acheteurs de yaourts ach\`etent la marque Y.

L'entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour améliorer ses ventes.\medskip

Au bout d'une semaine, une enqu\^ete indique que :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 20\,\% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts des autres marques ach\`etent maintenant des yaourts Y ;
\item 10\,\% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts Y ach\`etent maintenant des yaourts des autres marques.
\end{list}
\medskip

L'entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l'hypoth\`ese que l'évolution des résultats
obtenus \`a l'issue de la premi\`ere semaine de campagne publicitaire est la m\^eme les semaines
suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste correspondant \`a cette situation.
\item Soit $X_0 = \begin{pmatrix}0,3 &0,7\end{pmatrix}$ la matrice ligne décrivant l'état initial de la population.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition (notée $A$) associée au graphe précédent.
		\item Déterminer la probabilité qu'un acheteur de yaourts choisi au hasard apr\`es deux semaines de campagne publicitaire, ach\`ete des yaourts de la marque Y.
	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $A^n = \begin{pmatrix}
\dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{1}{3} \right)0,7^n&\dfrac{1}{3} - \left(\dfrac{1}{3} \right)0,7^n\\
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\dfrac{2}{3} - \left(\dfrac{2}{3} \right)0,7^n&\dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{2}{3} \right)0,7^n
	\end{pmatrix}$.
	
Avec l'hypoth\`ese ci-dessus, l'entreprise peut-elle espérer atteindre une part de marché de
70\,\% ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, Novembre 2004}

\medskip

Au cours de la premi\`ere semaine de l'année scolaire, un professeur propose aux él\`eves de sa classe le choix entre deux sorties pédagogiques une sortie A et une sortie B. 

20\,\% des él\`eves de la classe sont favorables \`a la sortie A et tous les autres él\`eves sont favorables \`a la sortie B. 

Les arguments des uns et des autres font évoluer cette répartition en cours 
d'année. 

Ainsi $30\,\%$ des él\`eves favorables \`a la sortie A et 20\,\% des él\`eves 
favorables \`a la sortie B changent d'avis la semaine suivante. \medskip

On note : 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité qu'un él\`eve soit favorable \`a la sortie A la semaine $n$ ;
\item $b_n$ la probabilité qu'un él\`eve soit favorable \`a la sortie B la semaine $n$ ;
\item $P_n$ la matrice $\left(a_n~;~b_n\right)$ traduisant l'état probabiliste la semaine $n$.
\end{list}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'état initial $P_1$\,. 
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste. 

\item En déduire que $P_{n+1} = P_n \times M$ o\`u M est la matrice 
$\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,2 & 0,8\\ \end{pmatrix}$ 
\item Déterminer l'état probabiliste $P_3$ et en déduire la probabilité qu'un él\`eve soit favorable \`a la sortie A la troisi\`eme semaine. 
\item Déterminer le réel $x$ tel que $(x~;~1 - x) \times \text{M} =(x~;~1 - 
x)$. 

On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. 

La sortie A finira-t-elle par \^etre préférée \`a la sortie B ? 
\end{enumerate} 
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, Juin 2005}

\medskip

On a divisé une population en deux catégories : \og fumeurs \fg{} et \og non-fumeurs \fg.\medskip

Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération \`a l'autre,
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 60\,\% des descendants de fumeurs sont des fumeurs ;
\item 10\,\% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.
\end{list}
\medskip

On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le m\^eme que celui des non-fumeurs.\medskip

On désigne par :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f_{n}$ le pourcentage de fumeurs \`a la génération de rang $n$ ;
\item $g_{n}= 1 - f_{n}$  le pourcentage de non-fumeurs \`a la génération de rang $n$, o\`u $n$ est un entier naturel.
\end{list}
\medskip

On consid\`ere qu'\`a la génération $0$, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.

On a donc $f_{0} = g_{0 } = 0,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
\item Justifier l'égalité matricielle :
\[\left(f_{n+1}\quad  g_{n+1}\right) = \left(f_{n}\quad  g_{n}\right) \times A \]
\text{ o\`u }\, $A$ \text{ désigne la matrice} \: $\begin{pmatrix}
0,6& 0,4\\
0,1& 0,9
\end{pmatrix}$ 

\item Déterminer le pourcentage de fumeurs \`a la génération de rang 2.
\item Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\[f_{n+1} =  0,5\,f_{n} + 0,1\]
\item On pose, pour tout entier naturel $n,~u_{n} = f_{n} - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\[f_{n} = 0,3 \times 0,5^n + 0,2\]
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(f_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, Septembre 2005}

\medskip

Sur un marché o\`u seul un produit A était présent, un nouveau produit B est mis en vente \`a partir de l'année 2003. Une enqu\^ete a montré que :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  la probabilité qu'un client de A, une année donnée, reste fid\`ele \`a A l'année suivante est $0,67$ ;
\item  la probabilité qu'un client de B, une année donnée, choisisse A l'année suivante est $0,27$
.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

On suppose que la client\`ele totale pour les deux produits ne change pas. 

On prend un client au hasard l'année $(2002 + n)$.\medskip
 
Notations :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si un joueur fait partie de l'équipe A, la probabilité qu'il reste dans cette équipe pour le match suivant est~$0,6$.
\item Si un joueur fait partie de l'équipe B, la probabilité qu'il change d'équipe le match suivant est $0,2$.
\end{list}

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On appelle $A$ l'état \og acheter le produit A \fg{}.
\item On appelle $B$ l'état \og acheter le produit B \fg{}.
\item On note $a_n$ la probabilité que ce client ach\`ete A pendant l'année $(2002 + n)$.
\item On note $b_n$ la probabilité que ce client ach\`ete B pendant l'année $(2002 + n)$.
\item On a donc  $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.

La matrice $M$ de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets du graphe dans l'ordre $A$ puis $B$, est donc : 
 
\[M = \begin{pmatrix}
 0,67& 0,33\\
0,27& 0,73 \\
\end{pmatrix}\]

\item On appelle $P_n = \begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice décrivant l'état probabiliste de la client\`ele l'année $(2002 + n)$
	\begin{enumerate}
		\item Donner la relation matricielle liant l'état $P_1$ \`a l'état $P_0$. 
		
		Calculer $P_1$  et traduire ce résultat par une phrase.
		\item Calculer et traduire de m\^eme l'état $P_2$\,. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer P$_{n+1}$ en fonction de $P_n$\,. 
		
		En déduite que, pour tout entier $n$, on a :
		 
\[a_{n+1} =  0,67\,a_n + 0,27\,b_n\quad  \text{puis} \quad  a_{n+1} = 0,4\,a_n + 0,27.\]

		\item On définit la suite $\left(u_n\right)$  par $u_n =  a_n - 0,45$ pour tout entier $n$. 
		
		Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison  et le premier terme.
		\item Exprimer $u_n$ puis $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les limites respectives $a$ et $b$ des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ ?
		
Exprimer ces résultats en termes de répartition sur le marché des produits A et B. 
		\item On pose $P = \begin{pmatrix}a &  b\end{pmatrix}$.
		
Vérifier que $P =  P \times  M$.

Que représente l'état $P$ ? 

Dépend-il de l'état initial $P_0$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, 17 septembre 2005}

\medskip

Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone. 

Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier. \medskip

Apr\`es avoir observé un grand nombre d'appels de Mademoiselle Z, on peut faire l'hypoth\`ese suivante :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item  si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l'assurance \`a Mademoiselle Z et elle arrive \`a convaincre le client suivant une fois sur deux ;
\item   si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), Mademoiselle Z se décourage et n'arrive \`a convaincre le client suivant qu'une fois sur cinq.
\end{list}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.
		\item écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
	\end{enumerate}
\item Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d'acheter le produit proposé. 

La matrice ligne décrivant l'état initial au premier appel est donc $P_{0} = (1~~0)$.

Donner la matrice ligne $P_{1}$ exprimant l'état probabiliste au deuxi\`eme appel.
\item On donne la matrice $M^5 =  \begin{pmatrix}
\np{0,28745}&  \np{0,71255}\\
\np{0,28502}&  \np{0,71498}\\
\end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit $P_{0}\,M^5$. 
		
		En déduire la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixi\`eme client ce lundi.
		\item Quelle aurait été la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixi\`eme client si elle n'avait pas convaincu le premier ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du syst\`eme. 

Comment peut-on l'interpréter ?
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, Novembre 2005}

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2000, la population d'une ville se répartit également entre locataires et propriétaires. 

La population globale ne varie pas mais, chaque année, pour raisons familiales ou professionnelles, $10\,\%$ des propriétaires deviennent locataires tandis que $20\,\%$ des locataires deviennent propriétaires.\medskip

On désigne par $p_{n}$ la probabilité qu'un habitant de la ville choisi au hasard, soit propriétaire au 1\up{er} janvier de l'année $2000 + n$ ($n$ entier supérieur ou égal \`a 0), et par $\ell_{n}$ la probabilité qu'il soit locataire.

La matrice $P_{0}= (0,5~~ 0,5)$ traduit l'état probabiliste initial et la matrice $P_{n} = \left(p_{n}~~\ell_{n}\right)$ (avec, pour tout $n$ de $\mathbb{N},~ p_{n} + \ell_{n} = 1$) l'état probabiliste apr\`es $n$ années.
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste et en déduire que ce graphe a pour matrice de transition $M =\begin{pmatrix}
0,9&0,1\\
0,2& 0,8\\
\end{pmatrix}$.
		\item Calculer l'état probabiliste $P_{1}$\,.
		\item Déterminer l'état stable du graphe. 
		
		Que peut-on en conclure pour la population de cette ville ?
	\end{enumerate}
\item \`A l'aide de la relation $P_{n+1}= P_{n}  \times \text{M}$, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[p_{n+1} = 0,7\,p_{n} + 0,2\]
\item On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n} = p_{n} - \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$.
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et démontrer que $p_{n} = - \dfrac{1}{6}\times 0,7^n + \dfrac{2}{3}$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et retrouver le résultat de la question \textbf{1. c}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 3 avril 2006}

\medskip

Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l'exclusivité de l'acheminement des touristes entre deux \^iles du Pacifique. 

On admet que le nombre de touristes transportés pendant chaque saison est stable.

La société \og Alizés \fg{} a établi une enqu\^ete statistique sur les années 2001 \`a 2005 afin de prévoir l'évolution de la capacité d'accueil de ses navires.

L'analyse des résultats a conduit au mod\`ele suivant : d'une année sur l'autre, la société \og Alizés \fg, notée A, conserve 80\,\% de sa client\`ele et récup\`ere 15\,\% des clients de la société concurrente, notée B.
 
\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on note pour la saison $(2005 + n)$ :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'un touriste ait choisi la société Alizés (A);
\item $b_{n}$ la probabilité qu'un touriste ait choisi l'autre société de transport (B);
\item $P_{n}	= \left(a_{n}~~ b_{n}\right)$, la matrice traduisant l'état probabiliste, avec $a_{n }+ b_{n}  = 1$.
\end{list}
\medskip

%\setlength\parindent{0mm}
\emph{Les résultats pour les probabilités seront arrondies \`a} $10^{-4}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Modéliser le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B.
		\item On note $M$ la matrice de transition de ce graphe. Recopier et compléter sur la copie la matrice suivante : $M = \begin{pmatrix}
0,8		& \ldots\\
0,15 	& \ldots\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate}
\item En 2005, la société \og Alizés \fg{} a transporté 45\,\% des touristes. On a donc $a_{0} = 0,45$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un touriste choisisse la société \og Alizés \fg{} en 2006.
		\item Déterminer la matrice $P_{2}$ et interpréter ces résultats.
	\end{enumerate}
\item Soit $P = (a \quad b)$ avec $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a+b =1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ tels que $P = P \times M$.
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} a_{n}$\,.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On admet qu'en 2015, la probabilité qu'un touriste choisisse la société A est $\dfrac{3}{7}$. 

On interroge quatre touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sont indépendants les uns des autres.

Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société \og Alizés \fg{} pour ses vacances en 2015.
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 31 mai 2006}

\medskip

Dans une entreprise, lors d'un mouvement social, le personnel est amené \`a se
prononcer chaque jour sur l'opportunité ou non du déclenchement d'une gr\`eve.

Le premier jour, 15\,\% du personnel souhaite le déclenchement d'une gr\`eve.\medskip

\`A partir de ce jour-l\`a :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi ceux qui souhaitent le déclenchement d'une gr\`eve un certain jour, 35\,\% changent d'avis le lendemain.
\item parmi ceux qui ne souhaitent pas le déclenchement d'une gr\`eve un certain jour, 33\,\% changent d'avis le lendemain.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $g_{n}$ la probabilité qu'un membre du personnel souhaite le déclenchement d'une gr\`eve le jour $n$;
\item $t_{n}$ la probabilité qu'un membre du personnel ne souhaite pas le déclenchement d'une gr\`eve le jour $n$;
\item $P_{n} = \left(g_{n}~~t_{n}\right)$, la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$-i\`eme jour.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'état initial $P_{1}$\,.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe.
	\end{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de personnes favorables \`a la gr\`eve le 3\up{e} jour.
\item Soit $P = (x~~y)$ l'état probabiliste stable. (On rappelle que $x +y= 1$).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x = 0,65\, x + 0,33\, y$.
		\item Déterminer $x$ et $y$ (on arrondira les résultats \`a $10^{-3}$ pr\`es).
		\item Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, Juin 2006}

\medskip

Les questions 1. et 2. peuvent \^etre traitées de fa\c{c}on indépendante.\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans une région, on consid\`ere trois types de temps : beau, variable, pluvieux.

On sait que :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  s'il fait beau un jour donné, la probabilité qu'il fasse beau le lendemain est~$\dfrac{1}{3}$
et la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{6}$;
\item si le temps est variable, la probabilité qu'il soit variable le lendemain est $\dfrac{1}{4}$ et la probabilité qu'il pleuve est~$\dfrac{1}{2}$;
\item s'il pleut, la probabilité qu'il pleuve le lendemain est $\dfrac{1}{4}$ et la probabilité qu'il fasse beau est~$\dfrac{1}{2}$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
On note :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item B : \og le temps est beau \fg{} ;
\item V : \og le temps est variable \fg{} ;
\item P : \og le temps est pluvieux \fg.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.
		\item Donner la matrice de transition de ce graphe. Les sommets B, V, P seront rangés dans cet ordre.
		\item Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste dans $n$ jours est défini par la matrice ligne $P_{n} =  \begin{pmatrix} b_{n}& v_{n} &p_{n}\end{pmatrix}$ 
		o\`u $b_{n}$ désigne la probabilité qu'il fasse beau dans $n$ jours, $v_{n}$ la probabilité que le temps soit variable dans $n$ jours et $p_{n}$ la probabilité qu'il pleuve dans $n$ jours.
		
Aujourd'hui il fait beau; on a donc $P_{0}=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ la matrice ligne décrivant l'état initial.

Déterminer la probabilité de chaque type de temps dans 2 jours.
		\end{enumerate}
\item Dans une autre région, on note B : \og il fait beau \fg{} 
$\overline{\text{B}}$	: \og il ne fait pas beau \fg.

Les variations du temps sont représentées par le graphe suivant :\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psset{unit=1cm}
\psset{arrowsize=3pt 3} \psset{arcangle=70}
\cnodeput(2,1.5){A}{B}
\cnodeput(6,1.5){B}{$\overline{\text{B}}$} 
\ncarc{->}{A}{B} \ncput*{$\dfrac{2}{3}$}
\ncarc{->}{B}{A} \ncput*{$\dfrac{3}{4}$}
\psset{arcangle=100}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{.5cm}\uput[l](1.,1.5){$\dfrac{1}{3}$}
\nccircle[angleA=270]{->}{B}{.5cm} \uput[r](7,1.5){$\dfrac{1}{4}$}   
\end{pspicture}
\end{center}


	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $T$ de ce graphe.
		\item Soit $Q =(x~ y)$ avec $x+y = 1$.
		
Déterminer $x$ et $y$ tels que $Q = Q\,T$ et interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, 15 juin 2006}

\medskip

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage. \medskip

On admet que :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale \`a $0,6$ ;
\item si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale \`a $0,35$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\bigskip

\textbf{Premi\`ere partie}

\medskip

On note C l'état \og pratiquer le co-voiturage \fg{} et V l'état \og se déplacer seul dans sa voiture \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
\item En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée \`a ce graphe est \par\mbox{$M= \begin{pmatrix}0,40& 0,60\\0,35& 0,65\\\end{pmatrix}$}. 

Vérifier que l'état stable du syst\`eme correspond \`a la
matrice ligne $(70\quad  120)$.

En donner une interprétation.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Deuxi\`eme partie}

\medskip

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se dépla\c{c}aient seuls dans leur voiture.

 On appelle $X_{n}$ ($n$ entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année $2000 + n$. On a donc $X_{0} = 60$.
 
On admet que pour tout entier naturel $n,~ X_{n+1} = 0,05\,X_{n} + 66,5$.

On consid\`ere la suite $\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n} = X_{n}  - 70$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que la suite $\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique. 

Préciser sa raison et son premier terme.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ X_{n} = 70 - 10 \times 0,05^n$.

Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, Septembre 2006}

\medskip

Sur une population donnée, abonnée \`a deux opérateurs téléphoniques A et B, on consid\`ere que, chaque année, 40\,\% des abonnés \`a l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10\,\% des abonnés \`a l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. On néglige les nouveaux abonnés.

On suppose de plus qu'en 2005, 25\,\% 
de cette population est abonnée \`a l'opérateur A.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le graphe probabiliste correspondant \`a cette situation.

En déduire la matrice de transition, notée M. 
\item  On note :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  $a_{n}$ la part des abonnés \`a l'opérateur A l'année $2005 + n$;
\item  $b_{n}$ la part des abonnés \`a l'opérateur B l'année $2005 + n$;
\item  E$_{n}$ la matrice $(a_{n}\quad  b_{n})$, correspondant \`a l'état probabiliste l'année $2005 +n$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  Préciser E$_{0}$\,. 
		\item  Calculer E$_{1}$ en faisant appara\^{\i}tre vos calculs. 
		\item  Déterminer la répartition prévisible de cette population en 2013.
		
\emph{On pourra utiliser la  calculatrice et on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centi\`eme.}
		\item  Soit E la matrice $(a \quad  b)$ o\`u $a$ et $b$ sont deux réels positifs tels que $a + b = 1$.

Déterminer $a$ et $b$ tels que E =  E~$\times$~M. 

Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $a_{n+1} = 0,5\,a_{n} + 0,1$.
\item  On pose, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = a_{n} - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item  En déduire l'expression  de $u_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction  de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
		
		Que retrouve-t-on ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie  \fg, Septembre 2006}

\medskip

Une commune poss\`ede deux clubs de sport que l'on note A et B.

Le club A est installé depuis 1990, le club B a ouvert ses portes au cours de l'année 2004. 

Au premier janvier 2005, on constate que \np{1100} personnes sont abonnées au club A et $400$ au club B.

Le prix de l'abonnement est moins co\^uteux au club A ; les activités proposées sont plus nombreuses au club B. 

Aussi, chaque année, 14\,\% des abonnés au club A changent pour le club B et 6\,\% des abonnés au club B changent pour le club A. 

On suppose que la population totale des abonnés reste constante et qu'une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en m\^eme temps.

\medskip
  
On note $a_{n}$ le nombre d'abonnés au club A et $b_{n}$ le nombre d'abonnés au club B au premier janvier de l'année $2005 + n$.

$E_{n}$ désigne la matrice ligne $\left(a_{n} ~~ b_{n}\right)$ ; ainsi $E_{0} = \left(a_{0}~~b_{0}\right) =  (\np{1100}~~ 400)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire les données par un graphe probabiliste.
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  écrire la matrice de transition $M$ telle que $E_{n+1} = E_{n} \times M.$
		
En déduire $E_{n}$ en fonction de $E_{0}\,,~M$ et $n$. On ne demande pas de démontrer le résultat.
		\item  Calculer $M^2$ . 
		
		En déduire le nombre d'abonnés aux deux clubs au premier janvier 2007.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $a_{n+1}  = 0,8 \times a_{n} + 90$.
		\item Pour $n$ entier naturel, on pose : $u_{n} =  a_{n} - 450$. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1} =  650 \times  0,8^n + 450$.
		\item  Déterminer la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
		
		Interpréter ce résultat pour les deux clubs sportifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, Novembre 2006}

\medskip

Une association sportive propose \`a ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.

Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L'association n'accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte $800$ adhérents.\medskip

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d'envisager le mod\`ele suivant :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 70\,\% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,
\item  20\,\% des adhérents qui étaient inscrits au judo s'inscrivent au karaté.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.
\medskip

On appelle $P_{n} = \left(a_{n} \quad  b_{n}\right)$ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l'année $2003 + n$ :

%\setlength\parindent{5mm} 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  $a_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l'année $2003 + n$;
\item $b_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l'année $2003 + n$;
\item $a_{n} + b_{n} = 1$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
\item Déterminer l'état initial $P_{0} = \begin{pmatrix}a_{0}&b_{0}\end{pmatrix}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe. 
		
		(Rappel : $M$ est la matrice telle que : $P_{n+1} = P_{n}  \times  M$.)
		\item En admettant que, en 2005, $36,25$\,\%
 des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75\,\% des
adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le mod\`ele envisagé permet de
prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les
nombres d'adhérents correspondants.)
	\end{enumerate}
\item Soit $P = \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}$ Ia matrice correspondant \`a l'état stable, c'est \`a dire telle que $P \times M = P$.

(Rappel : $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $x + y = 1$.)
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les nombres $x$ et $y$.
		\item  En déduire la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini.
		
Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Dans la m\^eme ville, un club de judo accepte de nouveaux adhérents : chaque année le nombre de ses adhérents augmente de 10\,\%.

Le club comptait $405$ adhérents en 2003. 

En utilisant une calculatrice, trouver en quelle année l'effectif de ce club sera pour la premi\`ere fois supérieur \`a l'effectif de la section judo de l'association étudiée dans les questions précédentes ?

\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Nouvelle Calédonie \fg, Mars 2007}

\medskip

Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les semaines.
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  La probabilité que A gagne la partie de la premi\`ere semaine est $0,7$.
\item Si A gagne la partie de la semaine $n$, il garde la m\^eme stratégie de jeu la semaine suivante, et la probabilité qu'il gagne alors la partie de la semaine $(n + 1)$ est seulement de $0,4$.
\item Si A perd la partie de la semaine $n$, il change de stratégie de jeu pour la semaine suivante, et alors, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine $(n+1)$ est de $0,9$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal \`a $1$, on désigne par A$_{n}$ l'év\`enement : \og A gagne la partie de la $n$-i\`eme semaine \fg, par B$_{n}$  l'év\`enement : \og B gagne la partie de la $n$-i\`eme		semaine \fg, et on note $a_{n} = p\left(\text{A}_{n}\right)$.

Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$, en utilisant deux méthodes différentes.\medskip

\begin{center}
\textbf{Premi\`ere méthode : graphe probabiliste} 
\end{center}

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on désigne par $P_{n} = \left(a_{n} \quad  1 - a_{n}\right)$ la matrice des probabilités associée \`a la $n$-i\`eme semaine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire cette situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste, et donner la matrice $M$ de transition
associée \`a ce graphe.
\item  On donne $M^2 = \begin{pmatrix}
0,7 & 0,3\\
0,45 & 0,55\\
\end{pmatrix}$ et $M^3 = \begin{pmatrix}
0,55 & 0,45\\
0,675 & 0,325\\
\end{pmatrix}$.\\
Quelle est la probabilité pour que A gagne la partie de la $4$\up{e} semaine ? 
\item  Déterminer la matrice ligne $P =  (x \quad  1 -x)$  telle que $ P \times M = P$. 
\item En déduire la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ et interpréter le  résultat obtenu.
\end{enumerate}\medskip

\begin{center} 
\textbf{Deuxi\`eme méthode : probabilité et suites} 
\end{center}

Dans cette deuxi\`eme partie, on ne tient pas compte de résultats démontrés dans la partie précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier sur votre copie l'arbre ci-dessous, et compléter l'arbre avec les 5 probabilités manquantes.


\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$A_{n}$}\taput{$a_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$B_{n+1}$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$B_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$B_{n+1}$}
 		}
}		
		 \end{center}

		\item  Justifier que $a_{n+1} =  0,9 - 0,5\, a_{n}$ pour tout entier $n$ supérieur ou égal \`a $1$.
	\end{enumerate}
\item  On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal \`a $1$ par : $u_{n} = a_{n}  - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $(- 0,5)$. 
		\item  En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$, puis la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, Septembre 2007}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les ar\^etes du graphe représentent ses avenues commer\c{c}antes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.25)
\cnodeput(1.6,2.9){A}{A}
\cnodeput(3.9,2.9){B}{B}
\cnodeput(3.9,1.2){C}{C}
\cnodeput(1.6,1.2){D}{D}
\cnodeput(0,0){E}{E}
\cnodeput(8,0){F}{F}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{A}{E}
\ncline{B}{C}
\ncline{B}{F}
\ncline{C}{D}
\ncline{C}{F}
\ncline{D}{E}
\ncline{E}{F}
%\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE
%\psline(1.6,1.2)(0,0)%ED
%\psline(3.9,2.9)(3.9,1.2)(8,0)%BCF
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
\item 	Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la m\^eme avenue ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie  II}

\medskip

Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.

\begin{center}
\psset{arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,3.25)
\cnodeput(1.6,2.9){A}{A}
\cnodeput(3.9,2.9){B}{B}
\cnodeput(3.9,1.2){C}{C}
\cnodeput(1.6,1.2){D}{D}
\cnodeput(0,0){E}{E}
\cnodeput(8,0){F}{F}
\ncline[ArrowInside=->]{A}{B}
\ncline[ArrowInside=->]{A}{E}
\ncline[ArrowInside=->]{B}{F}
\ncline[ArrowInside=->]{C}{A}
\ncline[ArrowInside=->]{C}{B}
\ncline[ArrowInside=->]{D}{A}
\ncline[ArrowInside=->]{D}{C}
\ncline[ArrowInside=->]{E}{D}
\ncline[ArrowInside=->]{F}{C}
\ncline[ArrowInside=->]{F}{E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item écrire la matrice M associée \`a ce graphe.

(On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D \`a B ?
		\item  Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul \`a partir de la matrice M ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, Novembre 2007}

\medskip

\parbox{0.63\linewidth}{Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B,
C, D, E, F et G correspondent \`a sept villes. 

Une ar\^ete reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.}\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4.5)
\cnodeput(0.5,3){A}{A}
\cnodeput(2,4){B}{B}
\cnodeput(3.8,3){C}{C}
\cnodeput(3.8,1.7){D}{D}
\cnodeput(2.8,0.3){E}{E}
\cnodeput(0.7,0.3){F}{F}
\cnodeput(0,1.7){G}{G}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{B}{D}
\ncline{B}{E}
\ncline{B}{G}
\ncline{C}{D}
\ncline{C}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{D}{G}
\ncline{E}{F}
\end{pspicture}}

\emph{Les questions $1,~2$ et $3$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ?
\item  On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique.

\renewcommand\arraystretch{1}
On donne M$^3 =\begin{pmatrix}
0	& 7 &6	& 1 &0 	&4 	&2\\
7 	&2 	&1	&10	&9	&1 	&5\\
6	&1	&0	&9	&8	&0	&3\\
1	&10	&9	&2	&1	&7	&5\\
0	&9	&8	&1	&0	&6	&3\\
4	&1	&0	&7	&6	&0	&2\\
2 	&	5&3 &5	&3 	&2	&2\\
\end{pmatrix}$

Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F.

Les citer tous. Aucune justification n'est demandée.

\item On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilom\`etres entre
deux villes pour lesquelles il existe une liaison. 

Un représentant de commerce souhaite aller	de la ville A \`a la ville F.
\medskip

\begin{center}
{\psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(4,4.5)
\cnodeput(0.5,3){A}{A}
\cnodeput(2,4){B}{B}
\cnodeput(3.8,3){C}{C}
\cnodeput(3.8,1.7){D}{D}
\cnodeput(2.8,0.3){E}{E}
\cnodeput(0.7,0.3){F}{F}
\cnodeput(0,1.7){G}{G}
\ncline{A}{B}\ncput*{5}
\ncline{A}{C}\ncput*[npos=0.35]{7}
\ncline{B}{D}\ncput*[npos=0.65]{8}
\ncline{B}{E}\ncput*{15}
\ncline{B}{G}\ncput*[npos=0.65]{6}
\ncline{C}{D}\ncput*{10}
\ncline{C}{E}\ncput*[npos=0.75]{15}
\ncline{D}{F}\ncput*[npos=0.6]{20}
\ncline{D}{G}\ncput*{10}
\ncline{E}{F}\ncput*{5}
\end{pspicture}}
\end{center}

En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance.
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 29 mai 2008}
\medskip

Les parties I et II sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie I} (calculs exacts demandés)

\medskip

Sur une route, deux intersections successives, "a" et "b" sont munies de feux tricolores. On suppose que ces feux ne sont pas synchronisés et fonctionnent de mani\`ere indépendante.\medskip

On admet que :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item la probabilité que le feu de "a" soit vert est égale \`a $\dfrac{3}{4}$ ; 
\item la probabilité que le feu de "b" soit vert est égale \`a $\dfrac{1}{2}$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

On note $A$ l'év\`enement : \og le feu de "a" est vert \fg, $B$ l'év\`enement \og le feu de "b" est vert \fg.

Un automobiliste passe successivement aux deux intersections "a" et "b".

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'\`a son passage, les deux feux soient verts.
\item Calculer la probabilité qu'\`a son passage, il rencontre au moins un feu vert.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II} (résultats demandés \`a $10^{-2}$ pr\`es)

\medskip

Pour se rendre \`a son travail, Mathurin rencontre une succession d'intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit ci-dessous.\medskip

\`A chaque intersection :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si le feu est vert, il le sera \`a l'intersection suivante avec la probabilité $0,9$ ou sera rouge avec la probabilité~0,05;
\item si le feu est orange, il le sera \`a l'intersection suivante avec la probabilité $0,1$ ou sera vert avec la probabilité~0,8;
\item si le feu est rouge, il le sera \`a l'intersection suivante avec la probabilité $0,5$ ou sera orange avec la probabilité~0,05.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

$n$ étant un entier naturel non nul, on note :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  $V_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert \`a la $n$-i\`eme intersection;
\item  $O_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange a la $n$-i\`eme intersection;
\item  $R_{n}$ la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge \`a la $n$-i\`eme intersection;
\item $P_{n} = \begin{pmatrix}V_{n }&O_{n}& R_{n}\end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste du $n$-i\`eme feu tricolore.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation.
		\item Donner la matrice de transition $M$ complétée de ce graphe : 
		\[M = \begin{pmatrix}\ldots & 0,05&0,05\\0,8&\ldots & 0,1\\
		0,45&\ldots & 0,5
		\end{pmatrix}\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice $P_{1}$ de l'état initial puis calculer $P_{2}$\,.
		\item  On donne $P_{3} =  (0,87\quad 0,05 \quad 0,08)$. 
		
		Quelle est la probabilité que le quatri\`eme feu soit vert ?
	\end{enumerate}
\item  Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice $P_{1}$ de l'état initial puis calculer $P_{2}$\,.
\item   On remarque que, quelle que soit la couleur du premier feu rencontré, on obtient \`a partir d'un certain rang~$n$ : $P_{n} =  (0,85\quad 0,05 \quad 0,10)$.

Donner une interprétation concr\`ete de ce résultat.
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, Juin 2008}
\medskip

Un ciné-club qui projette des films fran\c{c}ais et étrangers dispose de deux salles. Les abonnés  au ciné-club assistent systématiquement \`a une projection chaque lundi soir.
%\setlength\parindent{5mm} 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film fran\c{c}ais \`a une séance retourne voir  un film fran\c{c}ais \`a la séance suivante est égale \`a $0,6$. 
\item La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film étranger \`a une séance aille voir un  film fran\c{c}ais \`a la séance suivante est égale \`a $0,75$. 
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
Un lundi soir, un film fran\c{c}ais est projeté dans chacune des deux salles. Puis les semaines  suivantes, le ciné-club propose dans une salle un film fran\c{c}ais et dans l'autre un film étranger.

On cherche \`a étudier l'évolution de la répartition des spectateurs entre les deux salles au cours  des semaines suivantes, \`a partir de ce lundi.

On note A l'état \og le spectateur voit un film fran\c{c}ais \fg.

On note B l'état \og le spectateur voit un film étranger \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste. 
		\item  On note $M$ la matrice de transition de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. Justifier que $M = \begin{pmatrix}
0,6 & 0,4\\
0,75& 0,25\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item On consid\`ere les év\`enements A$_{n}$ \og le spectateur voit un film fran\c{c}ais \`a la $n$-i\`eme séance \fg{} et B$_{n}$ \og le spectateur voit un film étranger \`a la $n$-i\`eme séance \fg.

L'état probabiliste de la répartition des abonnés dans les deux salles lors de la $n$-i\`eme  séance est donné par la matrice ligne $T_{n} = \left(a_{n} \quad b_{n}\right)$ o\`u $a_{n} = P\left(\text{A}_{n}\right),~b_{n}= P\left(\text{B}_{n}\right)$ et $a_{n} + b_{n} =1$.
 
L'état probabiliste initial est donc donné par $T_{1} = (1\quad  0)$.

Déterminer les matrices $T_{2}$ et $T_{3}$\,. 

En donner une interprétation en termes de répartition des abonnés dans les deux salles.

\medskip
 
\item Déterminer la valeur arrondie au centi\`eme des réels $x$ et $y$ définissant l'état limite $T = (x \quad  y)$ vers lequel converge la suite $\left(T_{n}\right)$. 

Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}
\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, 19 juin 2008}

\medskip

Deux fabricants de parfum lancent simultanément leur nouveau produit qu'ils nomment respectivement Aurore et Boréale.

Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicité.

L'un d'eux contr\^ole l'efficacité de sa campagne par des sondages hebdomadaires.

Chaque semaine, il interroge les m\^emes personnes qui toutes se prononcent en faveur de l'un de ces deux produits.

\medskip

Au début de la campagne, 20\,\% des personnes interrogées préf\`erent Aurore et les autres préf\`erent Boréale. Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10\,\% des personnes préférant Aurore et 15\,\% des personnes préférant Boréale changent d'avis d'une semaine sur l'autre.

\medskip

La semaine du début de la campagne est notée semaine $0$.

Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste de la semaine $n$ est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n} \quad b_{n}\right)$,
o\`u $a_{n}$ désigne la probabilité qu'une personne interrogée au hasard préf\`ere Aurore la semaine $n$ et $b_{n}$ la probabilité que cette personne préf\`ere Boréale la semaine $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la matrice ligne $P_{0}$ de l'état probabiliste initial.
\item  Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets. 
		\item Montrer que la matrice ligne $P_{1}$ est égale \`a $(0,3 \quad  0,7)$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $P_{n}$ en fonction de $P_{0}$ et de $n$.
		\item  En déduire la matrice ligne $P_{3}$\,. 
		
		Interpréter ce résultat.
		
 	\end{enumerate}
	\item \emph{Dans la question suivante, toute trace de recherche m\^eme incompl\`ete ou d'initiative m\^eme non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
Soit $P = (a \quad  b)$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $a$ et $b$.
		\item  Le parfum Aurore finira-t-il par \^etre préféré au parfum Boréale ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og La Réunion \fg, Juin 2008}

\medskip

Les joueurs d'un club de football sont partagés en deux équipes : une équipe A et une équipe B.

L'entra\^ineur change la composition de ces équipes apr\`es chacun des matchs, suivant les performances des joueurs.
 
\medskip

Une étude statistique menée au cours des saisons précédentes permet d'estimer que :
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si un joueur fait partie de l'équipe A, la probabilité qu'il reste dans cette équipe pour le match suivant est~$0,6$ ;
\item si un joueur fait partie de l'équipe B, la probabilité qu'il change d'équipe le match suivant est $0,2$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.

\item Pour un entier naturel $n$ donné, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors du match $n$.

Paul vient d'arriver dans le club et la probabilité $a_{0}$ qu'il joue dans l'équipe A pour le match de préparation (match 0) est $0,1$.

L'état probabiliste initial est donc $P_{0} = (0,1\quad  0,9)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $P_{1}=(0,24\quad  0,76)$ et calculer $P_{2}$\,.
		\item  Quelle est la probabilité que Paul joue dans l'équipe A lors du deuxi\`eme match de championnat (match~2) ? (On donnera la valeur approchée du résultat arrondie \`a $10^{-2}$ pr\`es.)
	 \end{enumerate}
\item 	On admet que, pour tout entier naturel $n : a_{n+1} = 0,4\,a_{n} + 0,2$

On pose, pour tout entier naturel $n : v_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_{0} = -\dfrac{7}{30}$.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n$ :\[a_{n}  = \dfrac{1}{3}\left(1 - 0,7 \times 0,4^n\right)\]
		\item Déduire de ce qui préc\`ede la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
		
		Quel est l'état stable du graphe G ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, Juin 2008}

\medskip

Une grande ville a mis en place un syst\`eme de location de bicyclettes en libre service. 
Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. 

La ville comporte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G.

Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-contre.
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.8cm,colsep=0.8cm]
 &  &  & B \\
A &  &  &  &  & C \\
 & E \\
 &  &  &  &  &  &  & D \\
 & F \\
 &  &  &  & G
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-,shortput=nab}
\ncline{2,1}{1,4}\ncput*{7}
\ncline{2,1}{2,6}\ncput*[npos=0.6]{11}
\ncline{2,1}{5,2}\ncput*{13}
\ncline{1,4}{2,6}\ncput*{10}
\ncline{1,4}{4,8}\ncput*[npos=0.65]{15}
\ncline{3,2}{1,4}\ncput*[npos=0.25]{14}
\ncline{2,6}{3,2}\ncput*{9}
\ncline{2,6}{5,2}\ncput*[npos=0.75]{18}
\ncline{4,8}{3,2}\ncput*[npos=0.4]{5}
\ncline{4,8}{6,5}\ncput*{5}
\ncline{3,2}{5,2}\ncput*{8}
\ncline{5,2}{6,5}\ncput*{18}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Philippe, cycliste tr\`es prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables. 

A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables ? Justifier la réponse. 

\`A la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.

\item On appelle $M$ la matrice associée \`a ce graphe. on donne deux matrices $N$ et $T$ :
\begin{center}
$N=\begin{pmatrix}4&9&8&5&5&9&2\\
9&6&10&7&10&6&4\\
8&10&8&5&10&9&4\\
5&7&5&2&8&4&5\\
5&10&10&8&6&11&2\\
9&6&9&4&11&4&6\\
2&4&4&5&2&6&0
\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad T=\begin{pmatrix}
4&9&8&4&5&9&1\\
9&6&10&6&10&6&4\\
8&10&8&4&10&9&4\\
5&7&5&2&8&4&5\\
5&8&10&8&6&11&0\\
9&6&9&4&11&4&6\\
1&4&4&5&0&6&0
\end{pmatrix}$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Une des deux matrices $N$ ou $T$ est la matrice $M^3$. 

Sans calcul, indiquer quelle est la matrice $M^3$. Justifier la réponse.

\item Philippe a loué une bicyclette \`a la station F et l'a rendue \`a la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. 

Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
\end{enumerate}

\item Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. 

\`A l'aide d'un algorithme, déterminer un tel parcours et donner le temps nécessaire pour l'effectuer.
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, Septembre 2008 }

\medskip

Dans le cadre de la restructuration de son entreprise, afin de garantir la stabilité du nombre d'emplois, le directeur souhaite qu'\`a long terme plus de 82\,\% de ses employés ne travaillent que le matin.\\

Pour cela, il décide que désormais :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 20\,\%  des employés travaillant le matin une semaine donnée travaillent l'apr\`es-midi la semaine suivante;
\item 5\,\% des employés travaillant l'apr\`es-midi une semaine donnée travaillent aussi l'apr\`es-midi la semaine suivante.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

On note A : \og L'employé travaille le matin \fg{} et B : \og L'employé travaille l'apr\`es-midi \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
		\item  écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
	\end{enumerate}
\item La semaine notée $0$, semaine de la décision, 60\,\% des employés travaillent le matin et les autres l'apr\`es-midi.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la matrice ligne notée P$_{0}$ décrivant l'état initial des employés dans cette entreprise.
		\item  Calculer la probabilité qu'un employé travaille le matin lors de la semaine 2, deuxi\`eme semaine apr\`es la prise de décision,
	\end{enumerate}
\item Soit P $ = (x \quad  y)$ l'état probabiliste stable.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $x$ et $y$ vérifient l'égalité $x = 0,8\,x+ 0, 95\,y$.
		\item  Déterminer $x$ et $y$.
		\item  Le souhait du directeur de cette entreprise est-il réalisable ? Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\item On admet qu'un an apr\`es cette décision la probabilité qu'un employé travaille le matin est égale
\`a $\dfrac{19}{23}$. 

On choisit alors quatre employés au hasard. 

Le grand nombre d'employés de l'entreprise permet d'assimiler ces choix \`a des tirages successifs indépendants avec remise.

Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre employés travaille l'apr\`es-midi et donner sa valeur décimale arrondie au milli\`eme.
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, Novembre 2008}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Laurent s'occupe de distribuer le courrier dans les bureaux d'une grande entreprise.

 Le graphe ci-dessous représente les différents parcours qu'il peut faire pour distribuer le courrier dans les bureaux A, B, C, D, E, F et G.
 
  Le poids de chaque ar\^ete indique le nombre d'obstacles (portes, escaliers, machines \`a café... ) qui nuisent \`a la distribution du courrier.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0.5)(7,7)
\cnodeput(1.8,6.5){A}{A} \cnodeput(0.7,4.5){B}{B}
\cnodeput(2.2,1.1){C}{C} \cnodeput(3.1,4.5){D}{D}   
\cnodeput(5.6,5.9){E}{E} \cnodeput(6,4){F}{F}
\cnodeput(4.6,2.7){G}{G}
\ncarc{A}{B} \ncput*{5}  \ncarc{A}{E} \ncput*{6}
\ncarc{A}{D} \ncput*{10} \ncarc{C}{B} \ncput*{5} 
 \ncarc{C}{D} \ncput*{7} \ncarc{C}{G} \ncput*{3}
 \ncarc{G}{F} \ncput*{2} \ncarc{D}{F} \ncput*{1}
 \ncarc{D}{E} \ncput*{3}  \ncarc{F}{E} \ncput*{5} 
  \ncarc{D}{G} \ncput*{4} 
\end{pspicture}
\end{center}

Laurent se voit confier par le bureau A un colis \`a livrer au bureau G. 

Indiquer un parcours qui permette \`a Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pris par le temps, il n'est pas rare de voir Laurent oublier de livrer le courrier du matin !

On consid\`ere que :

%\setlength\parindent{10mm}  
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de $0,7$;
\item si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie \`a nouveau le lendemain est de $0,8$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm} 

Le lundi matin 1\up{er} octobre, Laurent a bien distribué le courrier.

On note $a_{n}$ la probabilité que Laurent distribue le courrier le $n$-i\`eme jour de travail (on consid\`ere donc que le lundi 1\up{er} octobre est le premier jour et que $a_{1} = 1$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de cet exercice \`a l'aide d'un graphe probabiliste. 

Préciser la matrice de transition associée \`a ce graphe.
\item Démontrer que, pour tout $n \geqslant 1$, on a : \[a_{n+1} =  0,5\, a_{n} + 0,2\]
\item On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout $n \geqslant 1$, par $u_{n} = a_{n} - 0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$. 
		
		Calculer son premier terme.
		\item  En déduire, pour tout $n \geqslant 1$, la valeur de $a_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 16 avril 2009}

\medskip

Une agence de voyages organise différentes excursions dans une région du monde et propose la visite de sites incontournables, nommés A, B, C, D, E et F. 

Ces excursions sont résumées sur le graphe ci-dessous dont les sommets désignent les sites, les ar\^etes représentent les routes pouvant \^etre empruntées pour relier deux sites et le poids des ar\^etes désigne le temps de transport (en heures) entre chaque site.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,6)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2.5,6){B}{B} 
\cnodeput(7.5,6){C}{C} \cnodeput(10,3){D}{F}
\cnodeput(7.5,0){E}{E} \cnodeput(2.5,0){F}{D}
\ncarc{A}{B} \ncput*{7} \ncarc{B}{C} \ncput*{12} 
\ncarc{C}{D} \ncput*{3} \ncarc{D}{E} \ncput*{14} 
\ncarc{E}{F} \ncput*{2} \ncarc{F}{A} \ncput*{15} 
\ncarc{B}{E} \ncput*[npos=.3]{4} \ncarc{C}{F} \ncput*[npos=.7]{5} 
\ncarc{B}{D} \ncput*[npos=.7]{16} 
\end{pspicture}
\end{center} 


\begin{enumerate}
\item Justifier que ce graphe est connexe.  
\item Un touriste désire aller du site A au site F en limitant au maximum les temps de transport. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant un algorithme, déterminer la plus courte cha\^ine reliant le sommet A au sommet F. 
		\item En déduire le temps de transport minimal pour aller du site A au site F. 
	\end{enumerate}	
\item Un touriste désirant apprécier un maximum de paysages souhaite suivre un parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois. 

Si ce parcours existe, le décrire sans justifier ; dans le cas contraire, justifier qu'un tel parcours n'existe pas. 
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 16 juin 2009}

\medskip

Un enfant joue aux fléchettes. 

Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale \`a $\dfrac{3}{4}$.
 
Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il atteint la cible au lancer suivant avec une  probabilité égale \`a $\dfrac{1}{8}$.

\medskip
 
Lors du premier lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale \`a  $\dfrac{1}{10}$.

\begin{enumerate}
\item On note $C$ l'état \og  l'enfant atteint la cible \fg{} et on note $R$ l'état \og  l'enfant n'atteint pas la cible \fg. 

	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation par un graphe probabiliste. 
		\item  écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $n$ un nombre entier naturel non nul.
 
On consid\`ere l'év\`enement $C_{n}$  : \og  l'enfant atteint la cible au $n$-i\`eme lancer \fg{} et l'év\`enement $R_{n}$ : \og  l'enfant n'atteint pas la cible au $n$-i\`eme lancer \fg. 

L'état probabiliste lors du $n$-i\`eme lancer est donné par la matrice ligne $E_{n} = \left(c_{n} \quad  r_{n}\right)$ o\`u $c_{n}$ désigne la probabilité de l'év\`enement $C_{n}$ et $r_{n}$  la probabilité de l'év\`enement $R_{n}$\,. 

	\begin{enumerate}
		\item  écrire la matrice ligne $E_{1}$ de l'état probabiliste initial. 
		\item Déterminer la matrice ligne $E_{3}$ et donner une interprétation du résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $E = (c \quad  r)$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable.
 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $c$ et $r$. 
		\item L'adulte affirme qu'apr\`es un tr\`es grand nombre de lancers, l'enfant a deux fois plus de chance de manquer la cible que de l'atteindre. 
		
		Cette affirmation est-elle justifiée ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 15 juin 2009}

\medskip

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un m\^eme groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables \`a ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables \`a ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on consid\`ere que :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 10\,\% des personnes qui étaient favorables \`a ce groupe politique ne le sont plus. 
\item 15\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables \`a ce groupe politique le deviennent. 
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

On note, pour tout entier naturel $n$,
\begin{list}{\textbullet}{} 
\item $a_{n}$ la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois soit favorable \`a ce groupe politique; 
\item $b_{n}$ la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois ne soit pas favorable \`a ce groupe politique; 
\item $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$ la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de $n$ mois. 
\end{list}

On note $M$ la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel $n$ : \mbox{$P_{n + 1} = P_{n} \times  M$}.

\bigskip
 
\textbf{Premi\`ere partie}
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la matrice $P_{0}$ donnant l'état probabiliste initial. 
\item  Déterminer le graphe probabiliste correspondant \`a la situation. 
\item  On admet que $M = \begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,15&0,85 \end{pmatrix}$.

 Déterminer la matrice $P_{2}$ en détaillant les calculs (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centi\`eme). 
\item  Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxi\`eme partie} 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $a_{n + 1} = 0,75\, a_{n} + 0,15$ pour tout entier naturel $n$. 
\item  On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que $u_{n} = a_{n} - 0,6$ pour tout entier naturel $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,75$. 
	\item En déduire que $a_{n} = - 0,1 \times (0,75)^n + 0,6$ pour tout entier naturel $n$. 
	\item Calculer la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
	
	Comment peut-on interpréter cette limite ? 
	
	En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé \`a la question \textbf{4.} de la premi\`ere partie ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane\fg, Septembre 2009}

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

Dans une résidence de vacances d'été, les touristes vont tous les jours \`a la plage. Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers.
 
Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80\:\% des touristes choisissent le minibus. 

On consid\`ere qu'ensuite, chaque jour, 30\:\% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15\:\% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.\medskip
 
Soit $n$ est un entier entre 1 et 31. 

On appelle $P_{n} = \left(a_{n} \quad  	b_{n}\right)$ la matrice traduisant l'état 
probabiliste relatif au $n$-i\`eme jour, o\`u :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ ;
\item $b_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour $n$.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
 
\item écrire la matrice de transition, notée $M$, associée \`a cette situation. 
\item Déterminer l'état initial $P_{1}$\,. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_{2}$ (faire appara\^itre les calculs). 
		
		Interpréter le résultat obtenu. 
		\item On suppose que $M^5 = \begin{pmatrix}0,367& 0,633\\
0,317& 0,683 \end{pmatrix}$			et $M^6 = \begin{pmatrix}0,352& 0,648\\
0,324& 0,676 \end{pmatrix}$, les coefficients ayant été arrondis au milli\`eme.
 
En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6\up{e} jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi \`a 1\,\% pr\`es.
	\end{enumerate} 
\item Soit $P = (x\quad  y)$ la matrice correspondant \`a l'état stable.
 
Déterminer $x$ et $y$ ; en donner une interprétation. 
\item  Montrer que pour $n$ entier compris entre 1 et 30 on a : $a_{n+1} = 0,55\, a_{n} + 0,15$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour $n$ entier, $n \geqslant  1$, on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par :
\[ u_{n+1} = 0,55\, u_{n} + 0,15\quad \text{et}\quad   u_{1} = 0,8\]
 
\begin{enumerate}
\item  On pose $U_{n} = u_{n} - \dfrac{1}{3}$.
 
Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. On précisera la raison et le premier terme de cette suite. 
\item Exprimer $U_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

Quel résultat retrouve-t-on ? 
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, Septembre 2009}

\medskip
 
On consid\`ere une population donnée d'une \^ile de Bretagne se rendant réguli\`erement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traversée.
 
En 2008, 60\,\% de la population voyage avec la compagnie A. 

Les campagnes publicitaires font évoluer cette répartition. Une enqu\^ete indique alors que chaque année 20\,\% des clients de la compagnie A l'abandonnent au profit de la compagnie B et que 10\,\% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste de l'année $2008 + n$ est défini par la matrice ligne $\begin{pmatrix}
   x_n & y_n  \\  \end{pmatrix}$ o\`u $x_{n}$ désigne la proportion de la population qui voyage avec la compagnie A et $y_{n}$ la proportion de la population qui voyage avec la compagnie B.
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 
\item Préciser l'état initial $P_{0}$ puis montrer que $P_{1} = \begin{pmatrix} 0,52 &  0,48 \\  \end{pmatrix}$. 
\item Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en 2011. 
\item Déterminer l'état stable et l'interpréter. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1} = 0,7\,x_{n} + 0,1$. 
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $x_{n} = \dfrac{4}{15} \times 0,7^n + \dfrac{1}{3}$.
 
Déterminer la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$ et l'interpréter. 
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, Novembre 2009}

\medskip  
 
Par suite d'une forte augmentation du prix des carburants de 2007 \`a 2008, certains salariés d'une entreprise changent de mode de déplacement pour se rendre sur leur lieu de travail.
 
En 2007, 60\,\% des salariés utilisaient leur voiture personnelle.
 
En 2008, 30\,\% des salariés utilisant leur voiture en 2007 ne l'utilisent plus et 5\,\% des personnes ne l'utilisant pas en 2007 l'utilisent en 2008.

\medskip
 
On appelle A l'état \og la personne utilise sa voiture \fg{} et B l'état \og la personne n'utilise pas sa voiture \fg. 
\medskip%\setlength\parindent{0mm}

On suppose que cette évolution se poursuit d'une année \`a l'autre \`a partir de 2008 et on appelle, pour tout entier naturel $n,~ P_{n}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste des moyens de déplacement des salariés de cette entreprise au cours de l'année $(2007 + n)$.
 
On pose $P_{n} = \left(a_{n} ~~ b_{n}\right)$ et on a $P_{0} = (0,6 ~~ 0,4)$.\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer un graphe probabiliste représentant la situation décrite ci-dessus. 
\item Donner la matrice de transition correspondant \`a ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.  
\item En supposant que cette évolution se poursuive et en utilisant la question précédente, quelle est la probabilité qu'un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2009 ? En 2010 ? (On arrondira les résultats obtenus au centi\`eme). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a la relation : $a_{n+1} = 0,7\,a_{n} + 0,05\,b_{n}$.
		
En déduire que $a_{n+1} = 0,65\,a_{n} + 0,05$. 
		\item  On admet que $a_{n}$ peut alors s'écrire, pour tout entier naturel $n,$
		$a_{n} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{35} \times 0,65^n$.
		
Vérifier la validité de cette formule pour $a_{0}$\,, $a_{1}$ et $a_{2}$\,.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
		\item En supposant que cette évolution se poursuive, est-il possible d'envisager qu'\`a terme aucun des salariés de cette entreprise n'utilise sa voiture personnelle pour aller au travail ?
		 Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 31 mai 2010}

\medskip
 
Deux cha\^ines de télévision A et B programment chaque semaine, \`a la m\^eme heure, deux émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. 

La premi\`ere semaine, 70\,\% de ces téléspectateurs ont regardé la cha\^ine A.

\medskip
 
Une étude statistique montre que :
 
15\,\% des téléspectateurs qui ont regardé la cha\^ine A une semaine, regardent la cha\^ine B la semaine suivante. 

10\,\% des téléspectateurs qui ont regardé la cha\^ine B une semaine, regardent la cha\^ine A la semaine 
suivante. 
On note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de téléspectateurs des cha\^ines A et B la $n$-i\`eme semaine et $P_{n}$ la matrice ligne $\left(a_{n} \quad  b_{n}\right)$. On a donc $P_{1} = (0,7 \quad  0,3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation. 
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe.
 	\end{enumerate}
	 
\item Calculer $M^3$ \`a l'aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant \`a $10^{-3}$ pr\`es. 

Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux cha\^ines lors de la quatri\`eme semaine ? 
\item On consid\`ere la matrice ligne $P = (a \quad b)$, o\`u $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a + b = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = P\,M$. 
		\item Interpréter les deux valeurs trouvées.
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout entier naturel $n > 0$, on a : $a_{n} = 0,4 + 0,3 \times \left(0,75^{n - 1}\right)$ 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $a_{n} < 0,5$. 
		\item \`A partir de quelle semaine l'audience de l'émission de la cha\^ine B dépassera-t-elle celle de l'émission de la cha\^ine A ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 3 Juin 2010} %?????????????????????????????????????????

\medskip

Pendant ses vacances d'été, Alex a la possibilité d'aller se baigner tous les jours. S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de $0,7$.
 
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de $0,9$. Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.
\medskip
 
$n$ étant un entier naturel non nul, on note :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'Alex n'aille pas se baigner le $n$-i\`eme jour. 
\item $b_{n}$ la probabilité qu'Alex aille se baigner le $n$-i\`eme jour. 
\item $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-i\`eme jour.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
 
On a donc $P_{1} = (0 \quad 1)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l'état \og Alex va se baigner \fg). 
		\item Soit $M$ la matrice de transition associée \`a ce graphe. 
		
		Recopier et compléter : $M = \begin{pmatrix}
0,1& \ldots\\
\ldots & 0,7\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item Calculer $P_{3}$\,, $P_{10}$ et $P_{20}$\,. 

Quelle conjecture peut-on faire ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $b_{n+1} = 0,9\,a_{n} + 0,7 b_{n}$\,.
		\item En déduire que : $b_{n+1} = -0,2\,b_{n} + 0,9$.
 	\end{enumerate} 
\item On consid\`ere la suite $u$ définie pour tout entier $n$ non nul par $u_{n} = b_{n} - 0,75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u$ est une suite géométrique de raison $- 0,2$ ;  on précisera son premier terme. 
		\item Déterminer la limite de la suite $u$. 
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Alex ne va pas se baigner. 

Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le 20\up{e} jour de ses vacances ? 
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, Juin 2010}

\medskip

M. et M\up{me} Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voyager. 

Ils prévoient toujours de partir pendant l'été, soit \`a l'étranger, soit de visiter une région en France.

S'ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent \`a l'étranger l'année suivante est de \np{0,4}.

Par contre, s'ils sont partis \`a l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent \`a l'étranger l'années suivante est de \np{0,7}.

En été 2009, ce couple est parti \`a l'étranger.\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $(a_n\quad b_n)$ traduisant l'état probabiliste l'année $(2009+n)$, o\`u $a_n$ désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l'année $(2009+n)$ et $b_n$ la probabilité que ce couple soit parti \`a l'étranger l'année $(2009+n)$.

\bigskip

{\textbf{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et E (F pour France et E pour étranger).
		\item En déduire la matrice de transition en prenant tout d'abord F puis E pour l'ordre des sommets. On notera $M$ cette matrice.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner $P_0$\,, l'état probabiliste initial, l'année 2009.
		\item On donne les résultats suivants:
\[
M^2=\begin{pmatrix}
\np{0,48} & \np{0,52}\\
\np{0,39} & \np{0,61}
\end{pmatrix},\quad
M^3=\begin{pmatrix}
\np{0,444} & \np{0,556}\\
\np{0,417} & \np{0,583}
\end{pmatrix},\quad
M^4=\begin{pmatrix}
\np{0,4332} & \np{0,5668}\\
\np{0,4251} & \np{0,5749}
\end{pmatrix}.
\]
En choisissant la bonne matrice, calculer $P_3$\,. 

En déduire la probabilité que ce couple parte \`a l'étranger en 2012. \emph{(On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centi\`eme.)}
	\end{enumerate}
\item Soit $P$ la matrice ligne $(x\quad y)$ donnant l'état stable o\`u $x$ et $y$ sont deux réels positifs tels que $x + y = 1$.

Déterminer l'état stable puis interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\medskip

{\textbf{Partie B}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a: $a_{n+1} = \np{0,3}\,a_n+\np{0,3}$
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - \dfrac37$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $u_n$, puis celle de $a_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 
		
		Que retrouve-t-on~?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 13 avril 2011}

\medskip

Un orchestre doit effectuer une tournée passant par les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier.

\medskip
 
Le graphe $\Gamma$ ci-dessous représente les différentes villes de la tournée et les autoroutes reliant ces villes (une ville est représentée par un point, une autoroute par une ar\^ete) :

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.28cm}
\begin{pspicture}(5,7)
\cnodeput(0.5,6.5){A}{A}
\cnodeput(2.3,5.5){B}{B}
\cnodeput(1,4.8){C}{C}
\cnodeput(2.5,3.4){D}{D}
\cnodeput(0.5,3.3){E}{E}
\cnodeput(4.8,3){F}{F}
\cnodeput(2,0.6){G}{G}
\cnodeput(3.6,0.2){H}{H}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{B}{C}
\ncline{B}{D}
\ncline{C}{D}
\ncline{C}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{D}{H}
\ncline{E}{G}
\ncline{E}{H}
\ncline{F}{H}
\ncline{G}{H}
\end{pspicture}
\end{center} 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Est-il possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tron\c{c}on d'autoroute? (La réponse sera justifiée.)
 
Si oui, citer un trajet de ce type. 
\item On appelle $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). 

On donne la matrice $M^3$ :

\[M^3 = \begin{pmatrix} 

2	&5	& 6& 2& 1& 2& 1& 3\\ 
5	&4	& 6& 7& 3& 2& 2& 3\\ 
6	& 6	& 4& 9& 7& 3& 2& 3\\  
2	&7	& 9& 4& 3& 5& 3& 8\\ 
1	& 3	& 7& 3& 2& 3& 4& 7\\ 
2	& 2	& 3& 5& 3& 2& 2& 5\\ 
1	& 2	& 2& 3& 4& 2& 2& 5\\ 
3	& 3	& 3& 8& 7& 5& 5& 4\\
\end{pmatrix}\] 

Combien existe-t-il de chemins de longueur 3 reliant B \`a H ? (La réponse devra \^etre justifiée.)
 
Préciser ces chemins. 
\item  Des contraintes de calendrier imposent en fait d'organiser un concert dans la ville F immédiatement apr\`es un concert dans la ville A.
 
Le graphe $\Gamma$ est complété ci-dessous par les longueurs en kilom\`etres de chaque tron\c{c}on (les longueurs des segments ne sont pas proportionnelles aux distances). 

%\cnodeput(8,0.5){H}{E}\ncline{B}{C}\ncput*{3}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.28cm}
\begin{pspicture}(5,7)
\cnodeput(0.5,6.5){A}{A}
\cnodeput(2.3,5.5){B}{B}
\cnodeput(1,4.8){C}{C}
\cnodeput(2.5,3.4){D}{D}
\cnodeput(0.5,3.3){E}{E}
\cnodeput(4.8,3){F}{F}
\cnodeput(2,0.6){G}{G}
\cnodeput(3.6,0.2){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{300}
\ncline{A}{C}\ncput*{500}
\ncline{B}{C}\ncput*{400}
\ncline{B}{D}\ncput*{400}
\ncline{C}{D}\ncput*{100}
\ncline{C}{E}\ncput*{200}
\ncline{D}{F}\ncput*{700}
\ncline{D}{H}\ncput*{700}
\ncline{E}{G}\ncput*{200}
\ncline{E}{H}\ncput*{300}
\ncline{F}{H}\ncput*{200}
\ncline{G}{H}\ncput*{200}
\end{pspicture}
\end{center} 
\medskip
 
Déterminer, en utilisant un algorithme dont on citera le nom, le trajet autoroutier le plus court (en kilom\`etres) pour aller de A \`a F.
 
Préciser la longueur en kilom\`etres de ce trajet. 
 
\end{enumerate} 

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 30 mai 2011}

\medskip

En 2010, les clients d'une banque nationale se répartissent en deux catégories distinctes, la catégorie A, composée des clients d'agence, et la catégorie I, composée des clients internet.\medskip

En 2010, 92\,\% des clients sont des clients d'agence et 8\,\% des clients sont des clients internet.
 
On admet que chaque année, 5\,\% des clients d'agence deviennent clients internet et inversement 1\,\% des clients internet deviennent clients d'agence.
 
On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu'un client ne peut faire partie des deux catégories.

\medskip
 
On s'intéresse \`a l'évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années \`a venir.

\medskip
 
On note pour tout entier naturel $n$ : 

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client d'agence \`a l'année $2010 + n$, 
\item $i_{n}$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client internet \`a l'année $2010 + n$, 
\item $P_{n} = \left(a_{n} \quad  i_{n}\right)$ la matrice correspondant \`a l'état probabiliste de l'année \mbox{$2010 + n$}.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note $M$ la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_{n} \times  M$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}  état stable d'un graphe probabiliste

\medskip
 
Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centi\`eme.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le graphe probabiliste correspondant \`a cette situation. 
\item Donner $P_{0}$ la matrice traduisant l'état probabiliste initial.
 
On admettra que $M = \begin{pmatrix}
0,95& 0,05\\
0,01& 0,99\\
\end{pmatrix}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la matrice $P_{1}$\,. 
		\item Déterminer, \`a l'aide de la calculatrice, la répartition des clients de la banque en 2015.
	\end{enumerate}		 
\item Déterminer, par le calcul, l'état stable de la répartition des clients.
 
Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}  étude de la limite d'une suite récurrente

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de la relation $P_{n+1} = P_{n} \times M$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $i_{n}$\,.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\, a_{n+1} = 0,94\,a_{n} + 0,01$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par $u_{n} = a_{n} - \dfrac{1}{6}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite, géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\, a_{n} = \dfrac{113}{150}\times 0,94^n + \dfrac{1}{6}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $a_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
		
		Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 10 juin 2011}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent \^etre traitées indépendamment l'une de l'autre.}
\bigskip
 
On consid\`ere le graphe $\Gamma$ ci-dessous : 
\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,8.5)
\cnodeput(0.7,4.5){O}{O}
\cnodeput(4.3,8.2){W}{W}
\cnodeput(7,5.6){H}{H}
\cnodeput(4.3,3){L}{L}
\cnodeput(2.3,1.8){P}{P}
\cnodeput(8.4,1){T}{T}
\cnodeput(5.3,0.3){E}{E}
\ncline{E}{P}
\ncline{E}{T}
\ncline{H}{L}
\ncline{H}{T}
\ncline{H}{W}
\ncline{L}{P}
\ncline{L}{W}
\ncline{L}{T}
\ncline{O}{P}
\ncline{O}{W}
\ncline{P}{T}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : étude d'un graphe}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une cha\^ine eulérienne ? (La réponse devra \^etre justifiée.) 

Si oui, donner une telle cha\^ine. 
\item Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? (La réponse devra \^etre justifiée.) 

Si oui, donner un tel cycle. 
\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ (les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique: E ; H ; L ; O ; P ; T ; W).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : voyage scolaire}

\medskip
 
La classe de Terminale d'Arthur est en voyage scolaire en Angleterre.
 
Les professeurs organisateurs de ce voyage décident de visiter plusieurs sites de Londres.
 
Les sites retenus dans Londres sont les suivants : Warren Street, Oxford Circus, Piccadilly Circus, Leicester Square, Holborn, Embankment et Temple. 

Ces lieux sont désignés respectivement par les lettres W, O, P, L, H, E et T et sont représentés dans le graphe $\Gamma$ donné ci-dessus (chaque sommet représente un site \`a visiter et chaque ar\^ete une route reliant deux sites).
 
Les él\`eves sont laissés en autonomie deux heures pour faire du shopping et ramener des souvenirs~\`a leurs familles. Le point de rendez-vous avec les organisateurs est fixé \`a Temple. 

Les temps de parcours en minutes entre chaque sommet ont été ajoutés sur le graphe. 
\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,8.5)
\cnodeput(0.7,4.5){O}{O}
\cnodeput(4.3,8.2){W}{W}
\cnodeput(7,5.6){H}{H}
\cnodeput(4.3,3){L}{L}
\cnodeput(2.3,1.8){P}{P}
\cnodeput(8.4,1){T}{T}
\cnodeput(5.3,0.3){E}{E}
\ncline{E}{P}\ncput*{15}
\ncline{E}{T}\ncput*{19}
\ncline{H}{L}\ncput*{8}
\ncline{H}{T}\ncput*{20}
\ncline{H}{W}\ncput*{14}
\ncline{L}{P}\ncput*{5}
\ncline{L}{W}\ncput*{26}
\ncline{L}{T}\ncput*{30}
\ncline{O}{P}\ncput*{13}
\ncline{O}{W}\ncput*{15}
\ncline{P}{T}\ncput*{34}
\end{pspicture}
\end{center}

Arthur, qui est \`a Oxford Circus, n'a pas vu le temps passer. Lorsqu'il s'en rend compte, il ne lui reste plus que 40~minutes pour arriver \`a Temple.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus court chemin en minutes reliant Oxford Circus \`a Temple. Justifier la réponse \`a l'aide d'un algorithme. 
\item Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? 

Arthur sera-t-il en retard ?
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, Juin 2011}

\medskip

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : \og niveau facile \fg, \og niveau moyen \fg{} et \og niveau difficile \fg.

Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 20\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A;
\item 70\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B;
\item 10\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C.
\end{list}

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enqu\^ete est effectuée.\medskip

Il s'av\`ere que, d'une année \`a l'autre :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40\,\% restent \`a ce niveau et 60\,\% passent au niveau B;
\item parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70\,\% restent \`a ce niveau et 20\,\% reviennent au niveau A et les autres passent passent au niveau C;
\item parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85\,\% restent \`a ce niveau et les autres reviennent au niveau~B.
\end{list}
\medskip

On note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item A l'état \og l'adhérent a choisi le niveau A \fg,
\item B l'état \og l'adhérent a choisi le niveau B \fg,
\item C l'état \og l'adhérent a choisi le niveau C \fg.
\end{list}
\medskip

Pour $n$ entier naturel positif ou nul, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\quad c_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi $P_{0} = (0,2\quad 0,7 \quad 0,1)$.

\medskip

On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition \`a partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.
\item Reproduire et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

\[M = \begin{pmatrix}
\cdots	&\cdots	&0\\
0,2		&\cdots	&\cdots\\
\cdots	&0,15	&\cdots\\
\end{pmatrix}\]
\item Une seule des trois matrices $Q,\,R,\, T$ ci-dessous correspond \`a l'état probabiliste stable.

\[Q = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\
\end{pmatrix}\quad R =   \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\end{pmatrix}  \quad T = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}&\dfrac{4}{5}&0\\\end{pmatrix}\]

Le président de l'association affirme que 50\,\% des adhérents choisiront apr\`es un certain nombre d'années le niveau B. 

Cette affirmation est-elle correcte ?
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 16 novembre 2011}

\medskip

Franck Geek est adepte de jeux vidéo en ligne. Afin de préserver son temps de travail scolaire, il essaye de se modérer. \medskip

Il constate que :

%\setlength\parindent{6mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item s'il a joué un jour, la probabilité qu'il ne le fasse pas le lendemain est de $0,6$ ; 
\item s'il n'a pas joué un jour, la probabilité qu'il joue le lendemain est de $0,9$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
 
Le jour de la rentrée (premier jour), Franck a décidé de ne pas jouer.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que Franck joue le deuxi\`eme jour ? 		\item Quelle est la probabilité qu'il ne joue pas le deuxi\`eme jour ?
	\end{enumerate} 
\item On note $D$ l'év\`enement \og Franck a joué \fg{} et $E$ l'év\`enement \og Franck a su résister \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Modéliser cette situation par un graphe probabiliste. 
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe.
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Soient $D_{n}$ l'év\`enement : \og Franck a joué le $n$-i\`eme jour \fg{} et $E_{n}$ l'év\`enement : \og Franck a su résister le $n$-i\`eme jour \fg.
 
L'état probabiliste lors du $n$-i\`eme jour est alors donné par la matrice ligne $P_{n} = \left(d_{n} \quad  e_{n}\right)$ o\`u $d_{n}$ désigne la probabilité de l'év\`enement $D_{n}$ et $e_{n}$ celle de l'év\`enement $E_{n}$.
 
On a ainsi $P_{1} = (0\quad  1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P_{2}$\,. 
		\item Donner la relation liant $P_{n+1}$ et $P_{n}$\,. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: d_{n+1} = - 0, 5\,d_{n} + 0,9$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $u_{n} = d_{n} - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $u$ est une suite géométrique. 

Préciser sa raison et la valeur de son premier terme. 
		\item Exprimer alors $u_{n}$ puis $d_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} d_{n}$ et interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 31 mai 2012}

\medskip

Un club de sport propose \`a ses adhérents deux types d'abonnements :
l'abonnement de type $A$ qui donne acc\`es \`a toutes les installations
sportives et l'abonnement de type $B$ qui, en plus de toutes les
installations sportives, donne acc\`es au saune, au hammam et au
jacuzzi. 

Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.\medskip

La premi\`ere année, en 2010, $80$\,\% des adhérents ont choisi
l'abonnement de type $A$. 

On consid\`ere ensuite que $30$\,\% des
adhérents ayant un abonnement de type $A$ changent d'abonnement pour
l'année suivante, tandis que $10$\,\% des adhérents ayant un abonnement
de type $B$ changent d'abonnement pour l'année suivante.\medskip

Soit $n$ un entier supérieur ou égal \`a $0$.

On note $a_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type $A$ l'année $2010+n$.

On note $b_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type $B$ l'année $2010+n$.

Enfin on note $P_n = \left(a_n \quad  b_n\right)$ la matrice
traduisant l'état probabiliste de l'année $2010+n$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_0$\,.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.
\item écrire la matrice de transition $M$ associée \`a cette situation.
\item Déterminer la matrice $P_2$\,. 

En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type $A$.
\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal \`a $0$, $a_{n+1} = 0,6\,a_n+0,1$.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal \`a $0$, on pose
  $u_n=4\,a_n-1$.

  Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison
  $0,6$. 
  
  Préciser son premier terme.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal \`a $0$, exprimer $u_n$ en
  fonction de $n$. 
  
  En déduire $a_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ puis interpréter
  concr\`etement ce résultat.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 29 mai 2012}

\medskip

Dans cet exercice,  les résultats seront arrondis \`a $10^{-2}$ pr\`es.

\bigskip

Cet exercice consiste \`a étudier la propagation d'une information d'une personne \`a l'autre, th\`eme souvent abordé en sciences sociales. Cette information se transmet avec un risque d'erreur, c'est-\`a-dire avec une probabilité de propagation de l'information contraire.

\medskip

Dans cet exercice, on consid\`ere l'information suivante, notée E, \og Paul a réussi son examen \fg. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Propagation symétrique (de type \og neutre \fg{})}  

\medskip

Dans cette partie, on suppose que, pour une information re\c{c}ue (E ou $\overline{\mathrm{E}}$), la probabilité de communiquer cette information \`a l'identique vaut $0,9$ et la probabilité de relayer l'information contraire vaut $0,1$.

\medskip

On note $p_n$ la probabilité de recevoir l'information E au bout de $n$ étapes ($n$ étant le nombre de personnes ayant transmis l'information) et on note $q_n$ la probabilité de recevoir l'information $\overline{\mathrm{E}}$ au bout de $n$ étapes.

\medskip

On suppose que Paul a réussi son examen, on pose $p_0=1$ et $q_0=0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter le graphe probabiliste relatif \`a la propagation de l'information suivant :\index{Graphe probabiliste}	
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,arrowsize=3pt 5}
\cnodeput(0.5,1){E}{E}\cnodeput(4.5,1){F}{$\overline{\mathrm{E}}$}
\rput{90}{\nccircle{->}{E}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{F}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{E}{F} \ncarc[arcangle=40]{->}{F}{E}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Préciser la matrice de transition M telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}

\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix}\, \mathrm{M}$.
\item \`A l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,8$.
\item Déterminer par le calcul, l'état stable.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Propagation asymétrique (de type \og rumeur \fg)}  

\medskip

Dans cette partie, on suppose toujours que la probabilité de transmission correcte de l'information E est égale \`a 0,9. Toutefois, il circule la fausse rumeur  $\overline{\mathrm{E}}$. Dans ces conditions, on suppose que si l'information re\c{c}ue est $\overline{\mathrm{E}}$, la probabilité de transmettre cette information $\overline{\mathrm{E}}$ est égale \`a 1.

\medskip

On suppose de nouveau que $p_0 = 1$ et $q_0 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
	\item Préciser la matrice de transition N telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix}\, \mathrm{N}$.
	\item Montrer que $p_{n+1} = 0,9\,p_{n}$. 
	
	Quelle est la nature de la suite $\left(p_n\right)$ ?
	\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
	\item Trouver par le calcul, le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,5$.
	\item Déterminer la limite de $\left(p_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 8 juin 2012}

\medskip

Jonathan  est  un  sportif  adepte  du  semi-marathon  (course  \`a  pied  de  21,1  km).  

Depuis  le  1\up{er} janvier  2012,  il  a  décidé  de  courir  un  semi-marathon  par  mois.  

Afin  d'améliorer  sa préparation, il décide d'encha\^iner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.  

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{Partie A}}}

\medskip

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de  10  km  et  la  ville  G  est  celle  organisant  le  prochain  semi-marathon  auquel  Jonathan  est inscrit. 

Le poids de chaque ar\^ete représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville \`a une autre gr\^ace aux transports en commun. 

%\cnodeput(8,0.5){H}{E}
%\ncline{B}{C}\ncput*{3}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(11,8.3)
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.2}
\cnodeput(4,8){A}{A}
\cnodeput(0,2.5){B}{B}
\cnodeput(3.5,0){C}{C}
\cnodeput(6,1.5){D}{D}
\cnodeput(5.2,6){E}{E}
\cnodeput(9,7.5){F}{F}
\cnodeput(11,3){G}{G}
\cnodeput(11,5.5){H}{H}
\psset{linewidth=1pt,shortput=nab}
\ncline{A}{B}\ncput*{60} \ncline{A}{C}\ncput*[npos=0.6]{70} \ncline{A}{E}\ncput*{20} \ncline{A}{F}\ncput*{45} \ncline{B}{C}\ncput*{10} \ncline{B}{E}\ncput*{20} \ncline{C}{D}\ncput*{15} 
\ncline{D}{E}\ncput*{60} \ncline{D}{G}\ncput*{20} \ncline{E}{F}\ncput*{40} \ncline{E}{H}\ncput*{50} \ncline{F}{H}\ncput*{35} \ncline{G}{H}\ncput*{20} 
\end{pspicture}
\end{center}

Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours  de  son  prochain  semi-marathon.  

Déterminer  \`a  l'aide  d'un  algorithme  le  chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A \`a la ville G et donner la durée de ce parcours en minutes. 

\bigskip

\textsf {\textbf{\textsc{Partie B}}}

\medskip

Gr\^ace \`a son entra\^inement et \`a son expérience, Jonathan sait que :
\begin{list}{\textbullet}{}
	\item s'il  a  terminé  la  course  lors  de  son  précédent  semi-marathon,  il  terminera  le  prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62 ; 
\item  s'il  a  abandonné  lors  de  son  précédent  semi-marathon,  il  terminera  le  prochain  semi-marathon avec une probabilité de 0,8.
\end{list}
    
Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012.  

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} r_{n}  & t_{n}  \\ \end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste du 
$n$-i\`eme mois écoulé depuis janvier 2012, o\`u $r_n$ désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du $n$-i\`eme mois et $t_n$ la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du $n$-i\`eme mois.

L'état probabiliste initial, correspondant \`a janvier 2012, est donc donné par $P_0= \begin{pmatrix} 0  & 1  \\ \end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu'il termine le semi-marathon).
\item En  déduire  la  matrice  de  transition  en  considérant  les  sommets  dans  l'ordre alphabétique.
\item Calculer  l'état  probabiliste $P_2$\,.

En  déduire  la  probabilité  que  Jonathan  ait  abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.
\item Soit $P$ la matrice ligne  $\begin{pmatrix} x  & y  \\ \end{pmatrix}$   donnant l'état stable. 	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs de $x$ et de $y$ arrondies \`a $10^{-3}$  pr\`es.
		\item Interpréter les résultats obtenus.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, 19 juin 2012}

\medskip

Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction,  qu'ils doivent choisir entre deux marques A et B. 

Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans.

\smallskip

On suppose que le nombre d'agents commerciaux de l'entreprise ne varie pas, et que les deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l'entreprise.

\smallskip

On a constaté que, chaque année:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 5\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque A changent l'année suivante pour B;
\item 15\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque B changent l'année suivantes pour A;
\item les autres agents poursuivent l'année suivante avec un véhicule de m\^eme marque.
\end{list}\medskip

On appelle $a_n$ la probabilité qu'un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l'année $2010+n$, et $b_n$ la probabilité qu'il utilise un véhicule de marque B au début de cette m\^eme année.

\smallskip

On note $P_n=
\begin{pmatrix}
a_n&b_n
\end{pmatrix}
$ la matrice correspondant \`a l'état probabiliste de l'année $2010+n$.

\smallskip

En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A. Ainsi, $P_0=\begin{pmatrix}
\np{0,5} & \np{0,5}
\end{pmatrix}
$.

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$ puis donner la matrice de transition $M$ (on consid\`erera les sommets du graphe dans l'ordre alphabétique).
\item Justifier que $P_1=
\begin{pmatrix}\np{0,55}&\np{0,45}\end{pmatrix}$ et donner une interprétation concr\`ete des coefficients de cette matrice.
\item Déterminer l'état probabiliste stable du syst\`eme et interpréter les résultats obtenus.
\item
\begin{enumerate}
\item Que vaut, pour tout entier naturel $n$, la somme $a_n + b_n$~?
\item On sait, pour tout entier naturel $n$, que $P_{n+1} = P_n\times M$.

Démontrer, pour tout entier naturel $n$, que $a_{n+1}=\np{0,8}\,a_n+\np{0,15}$.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $u_n= a_n - \np{0,75}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométriques de raison \np{0,8} dont on précisera le premier terme.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
\[
a_n=-\np{0,25}\times\np{0,8}^n+\np{0,75}
\]
\item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. 

Quel résultat retrouve-t-on ainsi~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
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\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 20 juin 2012}

\medskip

Une association organise un rallye sportif en VTT : six zones de regroupement sont déterminées et sont reliées par des chemins.

Ce parcours est modélisé par le graphe ci-dessous, o\`u les sommets de A \`a F représentent les zones de regroupement, et les ar\^etes les chemins.

Les ar\^etes sont pondérées par les distances, exprimées en kilom\`etres, nécessaires pour parcourir ces chemins.

Les candidats sont positionnés initialement sur la zone A et doivent, apr\`es avoir parcouru tous les chemins, revenir \`a la zone initiale.

Chaque fois qu'un candidat emprunte pour la premi\`ere fois un chemin il doit déposer, \`a un endroit précis, un jeton personnalisé, attestant son passage.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(11,6.5)
\cnodeput(2.7,4){A}{{A}} \cnodeput(0,4){B}{{B}} \cnodeput(8.5,2){C}{{C}} \cnodeput(11,0){D}{{D}} \cnodeput(6,6.5){E}{{E}} \cnodeput(3.5,0){F}{{F}}
\psset{linewidth=1pt,shortput=nab}
\ncline{A}{B}\ncput*{2} \ncline{A}{C}\ncput*{6} \ncline{A}{E}\ncput*{4} \ncline{A}{F}\ncput*{6} \ncline{B}{F}\ncput*{10} \ncline{C}{D}\ncput*{2}  \ncline{C}{E}\ncput*{4} \ncline{C}{F}\ncput*{2} \ncline{D}{F}\ncput*{6}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Quel nombre minimal de jetons est-il nécessaire de donner \`a chaque candidat ?
	\item Un candidat souhaite faire le parcours, en empruntant tous les chemins une fois et une seule. 
	
	Est-ce possible ? Justifier la réponse.
	\item Soit $M$ la matrice associée au graphe G (on ordonne les sommets dans l'ordre alphabétique).
	\begin{enumerate}
		\item écrire la matrice $M$.
		\item On donne les matrices 
	$M^2 = \begin{pmatrix} 4&1&2&2&1&2\\ 1&2&2&1&1&1\\ 2&2&4&1&1&2\\ 2&1&1&2&1&1\\ 1&1&1&1&2&2\\ 2&1&2&1&2&4\\ \end{pmatrix}$ et $M^3 = \begin{pmatrix}6&6&9&4&6&9\\ 6&2&4&3&3&6 \\ 9&4&6&6&6&9\\ 4&3&6&2&3&6\\ 6&3&6&3&2&4\\ 9&6&9&6&4&6\\ \end{pmatrix}$
	
	Un candidat est actuellement au point de rendez-vous D et on lui signale qu'il a oublié son dossard au point B. Devant le récupérer, il souhaite emprunter au maximum trois chemins. 
	
	Combien a-t-il de possibilités ?
		\item Donner, le trajet correspondant \`a la distance la plus courte lui permettant d'aller récupérer son dossard.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
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\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 13 juin 2012}

\medskip

Au rugby, réussir une transformation consiste \`a faire passer le ballon entre deux poteaux verticaux et au dessus de la barre horizontale reliant ces deux poteaux.
\medskip

Basile est un joueur de rugby, il envisage de devenir professionnel.\medskip

Ses différentes expériences en championnat conduisent aux résultats suivants :
\begin{list}{\textbullet}{}
	\item lors d'un match, la probabilité que Basile réussisse la premi\`ere transformation est égale \`a $0,5$;
	\item si Basile réussit une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale \`a $0,8$;
	\item si Basile ne réussit pas une transformation, la probabilité qu'il réussisse la transformation suivante est égale \`a $0,6$.
\end{list}
	
\medskip

Basile se prépare pour son match de sélection en tant que professionnel.\medskip

On consid\`ere que lors du match, $n$ transformations sont tentées avec $n$ entier naturel supérieur ou égal \`a 1.

On note T l'état \og Basile réussit sa transformation \fg.
	
	\medskip

Pour $n \geqslant 1$, on note :
\begin{list}{\textbullet}{}
	\item $p_n$  la probabilité que Basile réussisse la $n$-i\`eme transformation.
	\item $q_n$  la probabilité que Basile ne réussisse pas la $n$-i\`eme transformation.
	\item $P_n=\begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors de la $n$-i\`eme transformation.
\end{list}

On a $P_1=\begin{pmatrix} 0,5  & 0,5  \\ \end{pmatrix}$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Partie A}}

%\medskip

\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste de sommets T et $\overline{\mathrm{T}}$.
	\item Donner  la  matrice  de  transition $M$ de ce graphe probabiliste.
	\item Déterminer l'état  probabiliste $P_2$\,. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie B}}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'égalité $ P_{n+1} = P_{n}\, M$, montrer que $p_{n+1} = 0,8\, p_n + 0,6\, q_n$\,.
		\item En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0,2\, p_n + 0,6$.
	\end{enumerate} 
\item Soit la suite $\left( u_n \right)$ définie pour tout $n \geqslant 1$ par $u_n = p_n - 0,75$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison 0,2.
		\item En déduire que la suite $\left(p_n \right)$  converge et donner sa limite.
		\item Interpréter le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
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\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, 22 juin 2012}

\medskip

Une région se divise en deux zones, une zone A \`a proximité d'une grande agglomération et une zone B \`a proximité de la mer.\medskip
 
Chaque année, 20\,\% des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5\,\% des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.
 
On sait de plus qu'en 2010, 40\,\% de la population habitait en zone A.
 
On suppose que le nombre total d'habitants de la région reste constant au cours du temps.\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste correspondant \`a l'année $2010 + n$ est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$, o\`u $a_{n}$ et $b_{n}$ désignent respectivement les proportions d'habitants des zones A et B.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice ligne $P_{0}$ de l'état initial.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets. 
		\item Donner la répartition de la population en 2012.
	\end{enumerate} 
\item Dans la question suivante, on consid\`ere la matrice ligne $P = (a\quad b)$ o\`u $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a + b = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = P\,M$. 
		\item Les infrastructures de la zone B permettent d'accueillir au maximum 75\,\% de la population. Lors d'un conseil municipal, le maire affirme qu'il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. 
		
		A-t-il raison ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
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\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 13 septembre 2012}

\medskip

Le centre commercial Commerce Plus est implanté dans une ville. \medskip

La premi\`ere semaine, 80\,\% des habitants de la ville viennent faire leurs achats dans ce centre commercial, puis on constate dans les semaines suivantes que :
 
%\setlength\parindent{8mm}		 
\begin{list}{\textbullet}{}
\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
\item  la probabilité qu'un habitant étant venu faire des achats dans le centre commercial y retourne la semaine suivante est égale \`a $0,55$ ; 
\item la probabilité qu'un habitant n'étant pas venu faire des achats dans le centre commercial y aille la semaine suivante est égale \`a $0,6$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
 
On cherche \`a étudier l'évolution de la répartition des visites des habitants dans le centre commercial sur plusieurs semaines.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note A l'état  \og l'habitant vient faire ses courses au centre commercial \fg.
 
On note B l'état \og l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.  
		\item On note $M$ la matrice de transition de ce graphe. 
		
Vérifier que  $M= \begin{pmatrix}0,55& 0,45\\0,6&0,4\end{pmatrix}$. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la $n$-i\`eme semaine : 

%\setlength\parindent{8mm}		 
\begin{list}{\textbullet}{}
\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
\item $a_{n}$ représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-i\`eme semaine; 
\item $b_{n}$ représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-i\`eme semaine. 
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}

Ainsi, on a $P_{1} = (0,8\quad 0,2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$\,. 
		\item Donner une interprétation de $P_{3}$ en termes de répartition des habitants.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $x$ et $y$. On donnera les valeurs exactes  puis les résultats arrondis au centi\`eme. 
		\item Interpréter ces résultats.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, 14 septembre 2012}

\medskip

Les employés d'une grande zone commerciale ont le choix entre deux types de restaurants: un \og self \fg{} ou un restaurant \og traditionnel\fg{} avec service \`a la place. On admet que tous les employés mangent chaque jour dans l'un des deux restaurants. \medskip

On a constaté que :
 
%\setlength\parindent{6mm} 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si un employé mange au \og self\fg{} un jour donné, alors le lendemain il y mange également avec une probabilité de $0,8$ ;
\item si un employé mange dans le restaurant \og traditionnel\fg{} un jour donné, alors le lendemain il change pour le \og self\fg{} avec une probabilité de $0,4$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
  
On choisit au hasard un employé de la zone commerciale.\medskip
 
Si $n$ est un entier naturel non nul, on appelle $s_{n}$ la probabilité que l'employé choisi mange au \og self \fg{} le $n$-i\`eme jour, et par $t_{n} = 1 - s_{n}$ la probabilité qu'il mange au restaurant \og traditionnel \fg{} le $n$-i\`eme jour.
 
Pour l'état initial, on admet que $s_{1} = t_{1} = 0,5$, c'est-\`a-dire que le premier jour, les probabilités de choix du \og self \fg{} ou du restaurant \og traditionnel \fg{} sont égales.
 
Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $P_{n}$ la matrice $P_{n} = \left(s_{n} \quad t_{n}\right)$.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. 
 \item Justifier l'égalité matricielle $P_{n+1} = P_{n} \times M$ o\`u $M$ désigne la matrice 	$\begin{pmatrix}0,8&0,2\\ 0,4&0,6\end{pmatrix}$ et $n$ un entier  naturel non nul. 
\item Déterminer la probabilité que l'employé tiré au sort mange au \og self \fg{} le deuxi\`eme jour. 
\item Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter. 
\item Démontrer que pour tout entier nature $n$ non nul, on a : $s_{n+1} = \dfrac{2}{5}\,s_{n} + \dfrac{2}{5}$.  
\item Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $u_{n} = s_{n} - \dfrac{2}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $u_{1} =- \dfrac{1}{6}$. 
		\item Déterminer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, o\`u $n$ est un entier naturel non nul.  
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $s_{n} = - \dfrac{1}{6}\times  \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1}	+ \dfrac{2}{3}$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(s_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 14 novembre 2012}

\medskip

Un employé se rend \`a son travail en bus et, soit il n'est pas en retard, c'est-\`a-dire qu'il est \`a l'heure ou en avance, soit il est en retard. 

Le 1\up{er} jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de $0,2$.

\medskip
 
Pour les jours suivants :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item s'il est en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,05$; 
\item si l'employé n'est pas en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,2$.
\end{list}
\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $R_{n}$ l'év\`enement \og l'employé est en retard \`a son travail le $n$-i\`eme jour \fg;
\item $H_{n}$ l'év\`enement \og l'employé n'est pas en retard \`a son travail le $n$-i\`eme jour \fg.
\end{list}
\medskip
 
On note également, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $r_{n}$ la probabilité que l'employé soit en retard le $n$-i\`eme jour; 
\item $h_{n}$ la probabilité que l'employé ne soit pas en retard le $n$-i\`eme jour; 
\item $P_{n} = \left(r_{n}\quad h_{n}\right)$ la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$-i\`eme jour.
\end{list}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'état initial $P_{1}$\,. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3\up{e} jour ? On donnera le résultat avec une valeur arrondie au centi\`eme. 
\item Soit $P = (x\quad  y)$ l'état probabiliste stable.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x$ et $y$ vérifient la relation $y = 0,95\,x + 0,8\,y$. 
		\item Déterminer l'état stable du syst\`eme en arrondissant les valeurs au milli\`eme. 
		
		Interpréter ces résultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, 19 novembre 2012}

\medskip

Afin d'\^etre performant lors d'une grande compétition, Christophe, champion d'athlétisme spécialiste du sprint, s'entraine chaque jour de l'année et réalise quotidiennement une course \`a pleine vitesse sur 100 m\`etres en tentant de courir en moins de 10 secondes.\medskip
 
On constate que :
 
%\setlength\parindent{6mm}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item S'il réalise moins de 10~secondes sur 100~m\`etres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~m\`etres le lendemain est égale \`a $0,75$. 
\item S'il ne réalise pas moins de 10~secondes sur 100~m\`etres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10~secondes sur 100~m\`etres le lendemain est égale \`a $0,5$.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
 
Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi \`a réaliser moins de 10 secondes sur sa course \`a pleine vitesse.\medskip
 
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ la probabilité que Christophe réalise moins de 10~secondes le $n$-i\`eme jour; 
\item $b_{n}$ la probabilité que Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes le $n$-i\`eme jour; 
\item $P_{n} = \left(a_{n \quad } b_{n}\right)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-i\`eme jour.
\end{list}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item écrire la matrice ligne $P_{1}$ de l'état probabiliste initial.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Christophe réalise moins de 10 secondes au $100$ m\`etres \fg, B représentant l'état \og Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes au $100$ m\`etres\fg). 
\item écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. 
\item Déterminer la matrice ligne $P_{3}$\,. 

Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe ? 
\item Soit $P = (a \quad  b)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste stable.  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a$ et $b$ vérifient le syst\`eme $\left\{\begin{array}{l}0,25\,a - 0,5\,b  =0\\	a + b = 1 \end{array}\right.$. 
		\item Lors d'une interview \`a un journaliste sportif, Christophe déclare : \og Au vu de tous les entrainements effectués pour me préparer \`a ce grand év\`enement je suis confiant et je pense avoir deux chances sur trois de pouvoir réaliser moins de 10~secondes sur 100~m\`etres lors de la compétition \fg.
		 
Cette affirmation vous para\^it-elle justifiée ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 15 avril 2013}

\emph{Les parties A et B peuvent \^etre traitées indépendamment.}

\medskip
 
On consid\`ere le graphe $\Gamma$ ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4)
\cnodeput(0,1.5){A}{A}\cnodeput(1.3,3.5){B}{B}\cnodeput(2,0.1){C}{C}\cnodeput(3,2.2){D}{D}\cnodeput(4.5,3.5){E}{E}\cnodeput(5,0.1){F}{F}\cnodeput(6,2.5){G}{G}
\ncline{	A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{B}{C}
\ncline{B}{D} 
\ncline{B}{E}
\ncline{C}{D}
\ncline{C}{F}
\ncline{D}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{D}{G} 
\ncline{E}{F}
\ncline{E}{G}
\ncline{F}{G}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{PARTIE A}
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Ce graphe admet-il une cha\^ine eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui, donner une telle cha\^ine. 
\item Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui, donner un tel cycle. 
\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$. Les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique : 
A, B, C, D, E, F et G.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Une région est munie d'un réseau de trains, représenté par le graphe $\Gamma$ ci-dessous.
 
Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque ar\^ete représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4)
\cnodeput(0,1.5){A}{A}\cnodeput(1.3,3.5){B}{B}\cnodeput(2,0.1){C}{C}\cnodeput(3,2.2){D}{D}\cnodeput(4.5,3.5){E}{E}\cnodeput(5,0.1){F}{F}\cnodeput(6,2.5){G}{G}
\ncline{	A}{B}\ncput*{4} 
\ncline{A}{C}\ncput*{8}
\ncline{B}{C}\ncput*{7}
\ncline{B}{D}\ncput*{18} 
\ncline{B}{E}\ncput*{21}
\ncline{C}{D}\ncput*{10}
\ncline{C}{F}\ncput*{25}
\ncline{D}{E}\ncput*{15}
\ncline{D}{F}\ncput*{12}
\ncline{D}{G}\ncput*[npos=0.4]{31}
\ncline{E}{F}\ncput*[npos=0.6]{10}
\ncline{E}{G}\ncput*{17}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B \`a la gare G. 

Justifier la réponse gr\^ace \`a un algorithme. 
\item Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? 
\end{enumerate}
\index{Plus court chemin}
\vspace{0,5cm} 

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg,  30 mai  2013}

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte réguli\`erement sa page.

\bigskip
 
On consid\`ere que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale \`a $0,9$ ;
\item si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale \`a $0,8$.
\end{list}

\medskip
 
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $a_{n}$ la probabilité que Léa se connecte le $n$-i\`eme jour et $b_{n}$ la probabilité qu'elle ne se connecte pas le $n$-i\`eme jour.
 
On a donc : $a_{n} + b_{n} = 1$.

\medskip
\index{Graphe probabiliste}
 
Le 1\up{er} jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc $a_{1} = 0$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste. 
		\item Préciser la matrice $M$ de transition associée \`a ce graphe. 
		\item Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisi\`eme jour.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $a_{n+1} = 0,1\,a_{n} + 0,8$. 
\item On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n \geqslant  1$, par $u_{n} = a_{n} - \dfrac{8}{9}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. 
		\item Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant la limite de $\left(a_{n}\right)$. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Liban juin 2013  
\section{Extrait de la session \og Liban \fg,  28 mai 2013}
 
Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France :
 
Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).

\begin{center} 
{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\cnodeput(0.5,0.5){A}{Z}\cnodeput(1,3){B}{B}\cnodeput(3.2,0){C}{T}
\cnodeput(3,3.5){D}{R}\cnodeput(5.5,3.3){E}{C}\cnodeput(7,0.25){F}{P}
\cnodeput(9,3.8){G}{L}\cnodeput(9.1,2.5){H}{V}\cnodeput(9.5,0.8){I}{M}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{C}{B}\ncline{B}{D}\ncline{D}{C}
\ncline{D}{E}\ncline{E}{F}\ncline{E}{G}\ncline{G}{H}
\ncline{H}{F}\ncline{F}{I}\ncline{C}{F}\ncline{H}{I}
\end{pspicture}}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Pour cette question, on justifiera chaque réponse. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ordre du graphe. 
		\item Déterminer si le graphe est connexe. 
		\item Déterminer si le graphe est complet.
	\end{enumerate} 
\item Un touriste atterrit \`a l'aéroport de Lyon et loue une voiture.
 
Déterminer, en justifiant, s'il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. 
\item Il décide finalement d'aller seulement de Lyon \`a Biarritz. 

On note $N$ la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique : B, C, L, M, P, R, T, V et Z. 

Voici les matrices $N$ et $N^3$ : 
\[N = \begin{pmatrix}
0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &1\\ 
0 &0 &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0\\ 
0 &1 &0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\
1 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\
1 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \\
0 &0 &1 &1 &1 &0 &0 &0 &0\\ 
1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\
\end{pmatrix}
 \:\:\text{et}\:\: N^3 = \begin{pmatrix}
4 &2 &1 &1 &3 &6 &6 &1 &5\\ 
2 &0 &5 &2 &8 &6 &1 &1 &3\\ 
1 &5 &0 &2 &1 &0 &3 &5 &0\\ 
1 &2 &2 &2 &5 &2 &1 &4 &1\\ 
3 &8 &1 &5 &2 &1 &8 &7 &1\\ 
6 &6 &0 &2 &1 &2 &8 &3 &2\\ 
6 &1 &3 &1 &8 &8 &4 &1 &6\\ 
1 &1 &5 &4 &7 &3 &1 &2 &1\\ 
5 &3 &0 &1 &1 &2 &6 &1 &2\\
\end{pmatrix}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisi\`eme ligne et derni\`ere colonne de la matrice~$N^4$. 
		\item En donner une interprétation. 
	\end{enumerate}
\item Sur les ar\^etes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro.  

\begin{center} 
{\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(10,4)
%\psgrid
\cnodeput(0.5,0.5){A}{Z}\cnodeput(1,3){B}{B}\cnodeput(3.2,0){C}{T}
\cnodeput(3,3.5){D}{R}\cnodeput(5.5,3.3){E}{C}\cnodeput(7,0.25){F}{P}
\cnodeput(9,3.8){G}{L}\cnodeput(9.1,2.5){H}{V}\cnodeput(9.5,0.8){I}{M}
\cnodeput(0.5,0.5){Z}{Z}\cnodeput(1,3){B}{B}\cnodeput(3.2,0){T}{T}
\cnodeput(3,3.5){R}{R}\cnodeput(5.5,3.3){C}{C}\cnodeput(7,0.25){P}{P}
\cnodeput(9,3.8){L}{L}\cnodeput(9.1,2.5){V}{V}\cnodeput(9.5,0.8){M}{M}
\ncline{B}{Z}\ncput*{4,40}\ncline{B}{R}\ncput*{11,50}\ncline{B}{T}\ncput*{17,50}
\ncline{C}{L}\ncput*{10,70}\ncline{C}{P}\ncput*{8,60}\ncline{C}{R}\ncput*{11,50}
\ncline{L}{V}\ncput*{7,10}
\ncline{M}{P}\ncput*{9,40}\ncline{M}{V}\ncput*{15,70}
\ncline{P}{T}\ncput*{19,60}\ncline{P}{V}\ncput*{16,20}
\ncline{R}{T}\ncput*{14,60}\ncline{T}{Z}\ncput*{19,60}
\end{pspicture}}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le co\^ut des péages de Lyon \`a Biarritz. 
		\item Déterminer le co\^ut, en euro, de ce trajet. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2013  
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 7 juin  2013}

\medskip

 \emph{Les parties  A et B sont indépendantes.}
 \medskip
 
Alors  qu'une  entreprise A possédait le monopole de l'acc\`es \`a internet des particuliers, une entreprise concurrente  B est autorisée \`a s'implanter.

Lors de l'ouverture au public  en 2010 des services du fournisseur d'acc\`es B, l'entreprise  A poss\`ede  90\,\% du marché  et l'entreprise B poss\`ede  le reste du marché.

Dans cet exercice,  on suppose  que chaque  année, chaque internaute  est client d'une seule entreprise A ou B.

On observe  \`a partir de 2010 que chaque année,  15\,\% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise  B, et 10\,\%  des clients de l'entreprise  B deviennent  des clients de l'entreprise  A.

Pour tout entier naturel  $n$, on note $a_n$ la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son acc\`es \`a internet fourni par l'entreprise  A pour l'année  $2010 + n$, et $b_n$\,, la probabilité  pour que son fournisseur d'acc\`es  en $2010 + n$ soit l'entreprise  B.


On note  $P_n =\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant  \`a l'état probabiliste  de l'année $2010 + n$ et on a ainsi $a_0 = 0,9$ et $b_0 = 0,1$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter  cette situation par un graphe  probabiliste.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
\item Montrer qu'en 2013,  l'état probabiliste  est environ $\begin{pmatrix} 0,61 & 0,39 \end{pmatrix}$.
\item Déterminer  l'état stable $P =\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ de la répartition  des clients des entreprises  A et B. 

Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise  B distribue  un stylo ou un porte-clés  ; il en co\^ute \`a l'entreprise  0,80 \euro{} par stylo et 1,20 \euro{} par porte-clés distribué.

\`A la fin de la journée l'entreprise  a distribué  550 objets  et cela lui a co\^uté 540 \euro.

On cherche le nombre  $s$ de stylos  et le nombre $c$ de porte-clés  distribués.

\begin{enumerate}
\item écrire un syst\`eme  traduisant  cette situation.
\item Montrer que le syst\`eme précédent est équivalent \`a $R \times X = T$ o\`u $R =\begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
0,8 & 1,2 \end{pmatrix}$ et $X$ et $T$ sont des matrices  que l'on précisera.
\item Résoudre  le syst\`eme \`a l'aide  de la calculatrice.  Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 2013 
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, 19 juin 2013}

Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d'un pic rocheux.
 
La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les ar\^etes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{%
Légende :

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{lll l}
\LARGE{\ding{192}} & Départ & \LARGE{\ding{193}} & Passerelle\\ 
\LARGE{\ding{194}} & Roche percée & \LARGE{\ding{195}} & Col des 3 vents\\
\LARGE{\ding{196}} & Pic rouge &\LARGE{\ding{197}} & Refuge\\ 
\LARGE{\ding{198}} & Col vert & \LARGE{\ding{199}} & Pont Napoléon\\  
\LARGE{\ding{200}} & Cascade des anglais & \LARGE{\ding{201}} & Arrivée\\
\end{tabular}}\hfill\parbox{8.5cm}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8.5,8)
\cnodeput(0.4,3.6){A}{1}
\cnodeput(1.7,3.3){B}{2}
\cnodeput(1.6,.7){C}{3}
\cnodeput(3.1,6.8){D}{4}
\cnodeput(3.6,4){E}{5}
\cnodeput(3.9,2.2){F}{6}
\cnodeput(5.9,3){G}{7}
\cnodeput(6.3,1.1){H}{8}
\cnodeput(6.9,6.7){I}{9}
\cnodeput(7.5,2.4){J}{10}
\ncline{A}{C} 
\ncline{C}{B}
\ncline{B}{A} 
\ncline{A}{D}
\ncline{D}{B} 
\ncline{B}{E}
\ncline{E}{D}
\ncline{D}{I}
\ncline{I}{G}
\ncline{G}{E}
\ncline{E}{F} 
\ncline{F}{C} 
\ncline{C}{H} 
\ncline{H}{J} 
\ncline{J}{I}
\ncline{F}{H} 
\ncline{H}{G}
\uput[ur](-.1,3.8){D}
\uput[ul](8.3,2.4){A}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Donner un itinéraire allant de D \`a A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n'empruntant pas forcément tous les sentiers. 
\item Existe-t-il un itinéraire allant de D \`a A utilisant tous les sentiers une seule fois ? 

Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\parbox{0.5\linewidth}{\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée \`a ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre.\par On donne ci-contre $M^5$. 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente le nombre $89$ situé sur la deuxi\`eme ligne et la quatri\`eme colonne ?
		\item Déterminer le nombre d'itinéraires allant de D \`a A empruntant 5 sentiers.\par Citer un tel itinéraire passant par le Pic rouge.
	\end{enumerate} 
	\end{enumerate}}\hfill\parbox{0.492\linewidth}{\begin{flushright}	
	 { $M^5 = \begin{pmatrix}
56 &78 &75 &82 &59 &57 &54& 40 &26 &31\\
78 &88 &95 &89 &96 &57 &50 &65 &48 &30\\ 
75 &95 &68 &68 &77 &68 &46 &73 &52 &23\\ 
82 &89 &68 &62 &98 &49 &29 &79 &67 &13\\ 
59 &96 &77 &98 &50 &82 &80 &40 &24&46 \\
57 &57 &68 &49 &82 &36 &25 &68 &49 &16\\ 
54 &50 &46 &29 &80 &25 &10 &73 &60 &5\\ 
40 &65 &73 &79 &40 &68 &73 &32 &14 &48\\ 
26 &48 &52 &67 &24 &49 &60 &14 &6 &39 \\
31 &30 &23 &13 &46 &16 &5 &48 &39 &2
\end{pmatrix}$}
	\end{flushright}}
\parbox{8cm}{\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item On a complété ci-contre le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers. \medskip

Déterminer l'itinéraire allant de D \`a A le plus court en temps. 

On fera appara\^itre la démarche en utilisant un algorithme.
\end{enumerate}}\hfill\parbox{9.775cm}{%
\psset{xunit=1.15cm,yunit=0.92cm}
\begin{pspicture}(8.5,8)
\cnodeput(0.4,3.6){A}{1}
\cnodeput(1.7,3.3){B}{2}
\cnodeput(1.6,.7){C}{3}
\cnodeput(3.1,6.8){D}{4}
\cnodeput(3.6,4){E}{5}
\cnodeput(3.9,2.2){F}{6}
\cnodeput(5.9,3){G}{7}
\cnodeput(6.3,1.1){H}{8}
\cnodeput(6.9,6.7){I}{9}
\cnodeput(7.5,2.4){J}{10}
\ncline{A}{C}\ncput*{15} 
\ncline{C}{B}\ncput*{25} 
\ncline{B}{A}\ncput*{35} 
\ncline{A}{D}\ncput*{90} 
\ncline{D}{B}\ncput*{60} 
\ncline{B}{E}\ncput*{50} 
\ncline{E}{D}\ncput*{35}
\ncline{D}{I}\ncput*{45} 
\ncline{I}{G}\ncput*{20} 
\ncline{G}{E}\ncput*{10}
\ncline{E}{F}\ncput*{40} 
\ncline{F}{C}\ncput*{25} 
\ncline{C}{H}\ncput*{90} 
\ncline{H}{J}\ncput*{40} 
\ncline{J}{I}\ncput*{20} 
\ncline{F}{H}\ncput*{55} 
\ncline{H}{G}\ncput*{15}
\uput[ur](-.1,3.8){D}
\uput[ul](8.3,2.4){A}
\end{pspicture}
}

\newpage
%%%%%%%%%%%%  Asie juin 2013
\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 19 juin  2013}

\medskip
 
\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.}
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
Pour accéder \`a sa messagerie, Antoine a choisi un code qui doit \^etre reconnu par le graphe étiqueté suivant, de sommets 1, 2, 3 et 4 :

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(3,.5)
\psset{labelsep=2pt,nodesep=1pt,arrowsize=3pt 3}
\rput(0,0){\dianode{A}{1}}
\rput(1,0){\dianode{B}{2}}
\rput(2,0){\dianode{C}{3}}
\rput(3,0){\dianode{D}{4}}
\ncarc{->}{A}{B}\naput{S}
\ncarc{->}{B}{A}\naput{U}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{B}{.7cm}\naput{P}
\rput{180}(1,0){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{.7cm}\naput[nrot=:U]{C}}
\ncline{->}{B}{C}\naput{E}
\nccircle[nodesep=3pt]{<-}{C}{.7cm}\naput{N}
\ncline{->}{C}{D}\naput{S}
\end{pspicture}
\end{center}

Une succession des lettres constitue un code possible si ces lettres se succ\`edent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet 1 et en sortant au sommet 4. Les codes SES et SPPCES sont ainsi des codes possibles, contrairement aux codes SUN et SPEN.

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois codes suivants, écrire sur votre copie le (ou les) code(s) reconnu(s) par le graphe.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
SUCC\`ES & SC\`ENES & SUSPENS
\end{tabularx}
\end{center}
\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence A associée au graphe. On prendra les sommets dans l'ordre 1, 2, 3 et 4.
\[ A= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
\end{pmatrix}
\]

\item Avec une calculatrice, on a calculé $A^4 =\begin{pmatrix}
5 & 12 & 8 & 3 \\
12 & 29 & 20 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$.

En déduire le nombre de codes de 4 lettres reconnus par le graphe.\par Quels sont ces codes ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,1)
\psset{linewidth=.75pt}
\cnodeput(0,0){N}{N}   \cnodeput(1,-1){R}{R} \cnodeput(1,1){V}{V} \cnodeput(2.2,1){T}{T} \cnodeput(3,0){A}{A} \cnodeput(3.8,-1){E}{E} \cnodeput(5,1){B}{B} \cnodeput(5,-1){C}{C}  \cnodeput(6,0){D}{D}
\ncline{B}{A}\ncput*{35}  \ncline{A}{E}\ncput*{12}  \ncline{E}{C} \ncput*{38} \ncline{C}{D} \ncput*{18}  \ncline{D}{B} \ncput*{19} \ncline{B}{E} \ncput*{41} \ncline{E}{R} \ncput*{53} \ncline{R}{N} \ncput*{21}  \ncline{N}{V} \ncput*{32} \ncline{V}{T} \ncput*{16} \ncline{T}{R} \ncput*{24} \ncline{R}{A} \ncput*{58} \ncline{A}{T} \ncput*{25} \ncline{T}{B} \ncput*{63} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

Antoine décide d'aller visiter neuf ch\^ateaux de la Loire.

Il a construit le graphe ci-dessus o\`u les sommets représentent:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}X}
A : Amboise &  B : Blois & C : Cheverny & D : Chambord& E : Chenonceau\\
T : Tours & V : Villandry & R : Azay-le-Rideau&N : Chinon & \\
\end{tabularx}

Sur les ar\^etes sont indiquées les distances en kilom\`etres.

\begin{enumerate}
\item Antoine peut-il partir de Blois et y revenir, en parcourant une et une seule fois chacune des routes matérialisées par les ar\^etes de ce graphe ? On justifiera la réponse.
\item Déterminer le plus court chemin pour aller du ch\^ateau de Chambord au ch\^ateau de Chinon. On donnera le parcours ainsi que le nombre total de kilom\`etres.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%  Centres étrangers juin 2013
\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 12 juin  2013}

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d'activités d'une municipalité. Une ar\^ete reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une voie d'acc\`es principale entre deux lieux correspondants.
 
\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,1)
\psset{linewidth=1pt}
\cnodeput(0,0){A}{A}  \cnodeput(1,1){B}{B}  \cnodeput(2,0.5){C}{C}  \cnodeput(3,1){D}{D} \cnodeput(2,0){E}{E} \cnodeput(3,0){F}{F} \cnodeput(4,.5){G}{G} 
\ncline{C}{A}\ncline{A}{B} \ncline{B}{E} \ncline{E}{C}\ncline{C}{B} \ncline{B}{D} \ncline{D}{G}
\ncline{G}{F} \ncline{F}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{F}\ncline{F}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra \^etre présentée sous forme de tableau o\`u les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe (les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).
		\item On donne la matrice $M^3 =\begin{pmatrix}
2 & 7 & 8 & 5 & 5 & 5 & 3 \\
7 & 8 & 12 & 13 & 12 & 8 & 5\\
8 & 12 & 12 &15 & 13 & 13 & 5\\
5 & 13 & 15 & 12 & 13 & 12 & 8\\
5 & 12 & 13 & 13 & 10 & 12 & 5\\
5 & 8 & 13 & 12 & 12 & 8 & 7\\
3 & 5 & 5 & 8 & 5 & 7 & 2\\
\end{pmatrix}$

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste.
	\end{enumerate}
\item Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d'acc\`es principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la m\^eme voie.

Montrer qu'un tel parcours est possible.
\item Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.

\medskip

\begin{center}
 \psset{xunit=2.5cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4,1)
\psset{linewidth=1pt}
\cnodeput(0,0){A}{A}  \cnodeput(1,1){B}{B}  \cnodeput(2,0.5){C}{C}  \cnodeput(3,1){D}{D} \cnodeput(2,0){E}{E} \cnodeput(3,0){F}{F} \cnodeput(4,.5){G}{G} 
\ncline{C}{A}\ncput*{4} \ncline{A}{B}\ncput*{8}  \ncline{B}{E} \ncput*{12} \ncline{E}{C}\ncput*{12}  \ncline{C}{B} \ncput*{8} \ncline{B}{D}\ncput*{4}  \ncline{D}{G}\ncput*{20} \ncline{G}{F}\ncput*{8}  \ncline{F}{E} \ncput*{4} \ncline{E}{D}\ncput*{12}  \ncline{D}{F} \ncput*{24} \ncline{F}{C} \ncput*{20} \ncline{C}{D}\ncput*{16} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
Ce m\^eme candidat se trouve \`a la mairie (A) quand on lui rappelle qu'il a un rendez-vous avec le responsable de l'h\^opital situé en zone G.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver \`a son rendez-vous.
		\item Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2013  
\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, 21 juin 2013}

\medskip
 
Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d'Aoste.
 
Quatre fois par mois, son employeur l'envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.
 
Il est établi que le trajet en camion co\^ute, en carburant, $0,51$ euro au kilom\`etre. Le chauffeur dispose d'un budget mensuel de \np{2200}~euros pour son carburant. Ce qu'il réussit \`a économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.
 
Il consulte donc la carte routi\`ere ci-dessous pour optimiser ses trajets.
 
Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d'Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, G\`enes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,7)
\cnodeput(0.3,6){A}{A}
\cnodeput(5.2,6.2){B}{M}
\cnodeput(1.9,4.7){C}{T}
\cnodeput(6.8,4.9){D}{P}
\cnodeput(3.6,3.3){E}{G}
\cnodeput(5.2,1.9){G}{LS}
\cnodeput(8.5,0.4){H}{F}
\cnodeput(8.5,3.5){I}{B}
\ncarc{A}{B} \ncput*{174}
\ncarc{A}{C} \ncput*{120}
\ncarc{C}{B} \ncput*{140}
\ncarc{D}{B} \ncput*{126}
\ncarc{C}{D} \ncput*{246}
\ncarc{C}{E} \ncput*{168}
\ncarc{E}{G} \ncput*{108}
\ncarc{D}{G} \ncput*{119}
\ncarc{D}{I} \ncput*{98}
\ncarc{H}{I} \ncput*{104} 
\ncarc{H}{G} \ncput*{145}
\end{pspicture}
\end{center} 

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude du trajet}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l'ordre de parcours). 
\item Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi \`a l'euro pr\`es). 

En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, \`a l'euro pr\`es. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : traversée de Parme}

\medskip

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses tr\`es nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu'il est rouge, il s'arr\^ete.
 
L'expérience lui a permis d'établir que s'il se présente \`a un feu, il se produit les év\`enements suivants :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de $0,85$ ; 
\item arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de $0,30$.
\end{list}
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste. 
\item Indiquer la matrice de transition $M$ du graphe, en considérant les sommets dans l'ordre (V,\: R) en ligne comme en colonne. 
\item Le premier feu rencontré est vert. La matrice $P_{1}$ donnant l'état initial est donc (1\quad 0). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les matrices $P_{2} = P_{1} \times  M$ et $P_{3} = P_{2} \times M$. (Le détail des calculs n'est pas demandé.)
		\item  Conclure quant \`a la probabilité $p$ de l'év\`enement \og le chauffeur doit s'arr\^eter au troisi\`eme feu \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole  dévoilé juin 2013
\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, 21 juin 2013 (sujet dévoilé)}
 
Dans une entreprise, la société de débit boisson CAFTHé installe deux machines : l'une ne sert que du café et l'autre ne sert que du thé.
 
Chaque jour lors de la pause déjeuner, chaque employé de l'entreprise choisit une boisson, et une seule : café ou thé. On suppose que le nombre total d'employés de l'entreprise reste constant au cours du temps. 

La société CAFTHé pense que la machine \`a café sera toujours la plus utilisée. 

Une enqu\^ete, effectuée sur plusieurs jours, aupr\`es des employés pour connaitre leurs choix de boisson a montré que :

 \begin{list}{\textbullet}{}
 \item[$\bullet$] 97\,\% des employés qui choisissent un café un jour donné prennent encore un café le lendemain ;
 \item[$\bullet$] 98\,\% des employés qui choisissent un thé un jour donné prennent encore un thé le lendemain. 
 \end{list}


On admet que cette tendance se poursuit les jours suivants.\medskip
 
Le premier jour, 70\,\% des employés ont choisi un café. 

On note $C$ l'état \og l'employé choisit un café \fg{} et $T$ l'état \og l'employé choisit un thé \fg. 

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :
 \begin{list}{\textbullet}{} 
\item $c_{n}$ la probabilité de l'év\`enement \og un employé, pris au hasard, choisit un café le jour $n$ \fg;
 
\item $t_{n}$ la probabilité de l'év\`enement \og un employé, pris au hasard, choisit un thé le jour $n$ \fg ;
 
\item $P_{n}$ la matrice $\left(c_{n}\quad  t_{n}\right)$ correspondant \`a l'état probabiliste le jour $n$.
 \end{list}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $T$. 
\item Déterminer la matrice $P_{1}$ donnant l'état probabiliste le premier jour. 
\item La matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre $C$ et $T$, est : $$M = \begin{pmatrix}0,97&0,03\\0,02&0,98\end{pmatrix}$$

Déterminer la probabilité, arrondie au centi\`eme, qu'un employé choisisse un thé le quatri\`eme jour. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'état stable est $(0,4\quad 0,6)$. 
		\item Est-ce que la société CAFTHé avait raison quant \`a l'utilisation de la machine \`a café \`a long terme?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$\,. 

En déduire que pour tout entier $n$, on a $c_{n + 1} = 0,95 \times c_{n} + 0,02$. 
	\item On consid\`ere l'algorithme suivant :
	
\medskip
\begin{tabular}{|l l} 
\textbf{Variables :}& 	$A$ est un réel\\ 
&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\ 
\textbf{Entrée :}& Saisir $n$\\ 
\textbf{Initialisation :} &Affecter \`a $A$ la valeur $0,70$ \\
\textbf{Traitement :} &Pour $i$ de $1$ \`a $n$\\ 
&\hspace{0,5cm}Affecter \`a $A$ la valeur $0,95 \times A + 0,02$\\ 
&Fin Pour \\
\textbf{Sortie :} &Afficher $A$ \\
\end{tabular}
\medskip

En faisant appara\^itre les différentes étapes, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de $n$ est égale \`a 3.
 
Que permet de déterminer cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2013
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 4 septembre 2013}\medskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip
 
\parbox{0.48\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un club sportif organise une course d'orientation. Sept postes de contr\^ole (appelés balises) sont prévus. \medskip
 
Les sept balises notées B1, B2, \ldots{} , B7 sont représentées sur le graphe ci-contre. \medskip

Les ar\^etes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque ar\^ete est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.}\hfill
\parbox{0.34\linewidth}{%
{\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0.1,0.2)(6.2,4.8)
\cnodeput(1.2,4){A}{B1} 
\cnodeput(3.5,4.5){B}{B2} 
\cnodeput(0.5,2){C}{B3} 
\cnodeput(2.5,2){D}{B4}  
\cnodeput(4,.5){E}{B5} 
\cnodeput(4.8,3){F}{B6} 
\cnodeput(5.8,2){G}{B7} 
\ncline{A}{B}\ncput*{21} 
\ncline{A}{C}\ncput*{13}
\ncline{B}{D}\ncput*{9}
\ncline{B}{F}\ncput*{6}
\ncline{C}{D}\ncput*{8}
\ncline{C}{E}\ncput*{5}
\ncline{D}{E}\ncput*{2}
\ncline{D}{F}\ncput*{4}
\ncline{D}{G}\ncput*{13}
\ncline{E}{G}\ncput*{15}
\ncline{F}{G}\ncput*{5}
\end{pspicture}}}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe est-il connexe? Justifier la réponse.  
		\item Existe-t-il un parcours qui permet de revenir \`a une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins? Justifier la réponse. 
		\item Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?
	\end{enumerate} 
\item Les organisateurs décident de situer le départ \`a la balise B1 et l'arrivée \`a la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus \`a emprunter tous les chemins.
 
Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse \`a l'aide d'un algorithme.
\end{enumerate}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Depuis l'année 2011, ce club sportif propose \`a ses licenciés une assurance spécifique. La premi\`ere année, 80\,\% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70\,\% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60\,\% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012. 

En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adh\`erera \`a cette assurance \`a plus long terme. 

On note A :  \og  le licencié est assuré \fg{} et B : \og le licencié n'est pas assuré \fg.

Pour tout entier $n$ non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année $2011 + n$ est défini par la matrice 
ligne $P_{n} = \left(x_{n}\quad y_{n}\right)$ o\`u $x_{n}$ désigne la probabilité pour un licencié d'\^etre assuré l'année $2011 + n$.
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 
\item En remarquant que $P_{0} = (0,8\quad  0,2)$, déterminer $P_{1}$\,. \par Interpréter ce résultat. 
\item Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur \`a 55\,\%. \par L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre \`a long terme ? 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane 11 septembre 2013
\section{Extrait de la session \og Antilles--Guyane \fg, 12 septembre 2013}
 
Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée. 

\medskip

Cette étude montre que lors de la sortie d'une nouvelle cr\`eme hydratante, la probabilité qu'une cliente l'ach\`ete lors de la premi\`ere vente promotionnelle est de $0,2$. 

De plus, lorsqu'une cliente a acheté une cr\`eme hydratante lors d'une vente promotionnelle, la probabilité qu'elle en ach\`ete \`a nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de $0,8$. Lorsqu'une cliente n'a pas acheté de cr\`eme hydratante, la probabilité pour qu'elle en ach\`ete \`a la vente promotionnelle suivante est de 0,3.\medskip
 
$n$ étant un entier naturel non nul, on note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'une cliente ach\`ete une cr\`eme hydratante lors de la $n$-i\`eme vente promotionnelle. 
\item $b_{n}$ la probabilité qu'une cliente n'ach\`ete pas une cr\`eme hydratante lors de la $n$-i\`eme vente promotionnelle. 
\item $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste \`a la $n$-i\`eme vente promotionnelle.
\end{list}

\medskip

\index{Graphe probabiliste}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P_{1}$. 
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets :
		 
\hspace{0.75cm}$V$ quand il y a achat ;
 
\hspace{0.75cm}$\overline{V}$ quand il n'y a pas achat.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item écrire la matrice $M$ de transition associée \`a ce graphe. 
		\item Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$\,.\par D'apr\`es ces résultats, quel est l'effet de ces trois premi\`eres ventes promotionnelles ?
	\end{enumerate} 
\item Justifier qu'il existe un état stable $P = (a \quad  b)$ pour cette situation.\par Le déterminer. 
\item L'étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. 

On représente les incompatibilités par le graphe suivant, o\`u deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une m\^eme commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une m\^eme commande.
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,7)
\cnodeput(2.5,5.2){A}{A} \cnodeput(6.2,6){B}{B}\cnodeput(7,3.2){C}{C}\cnodeput(8.8,2.8){D}{D}\cnodeput(5.2,0.3){E}{E}\cnodeput(1.8,0.3){F}{F}\cnodeput(5.4,4.3){G}{G}\cnodeput(0.5,2.8){H}{H}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{E}
\ncline{A}{F}
\ncline{A}{H}
\ncline{B}{D}
\ncline{B}{G}
\ncline{C}{E}
\ncline{C}{G}
\ncline{D}{E}
\ncline{E}{F}
\ncline{E}{G}
\ncline{E}{H}
\ncline{F}{G}
\ncline{F}{H}
\ncline{G}{H}
\end{pspicture} 
\end{center}
\bigskip

L'entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d'achat. 

Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse \`a l'aide d'un algorithme et proposer une répartition des produits. 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole 13 septembre 2013
\section{Extrait de la session \og Métropole, La Réunion \fg, 13 septembre 2013}%\medskip
 
\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\bigskip
 
Un lycée d'une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses él\`eves dans leurs choix d'orientation post-bac.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion de 2008 en ce qui concerne les choix de carri\`ere.
 
Elle a relevé qu'en 2008, \`a la fin de leurs études, 25\,\% des dipl\^omés sont partis travailler \`a l'étranger alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.
 
On a observé ensuite qu'\`a la fin de chaque année, 20\,\% des personnes ayant opté pour l'étranger reviennent sur un poste en France alors que 10\,\% des personnes travaillant en France trouvent un poste \`a l'étranger. On consid\`ere que cette situation perdure.
 
On note $P_{n} = \left(e_{n}\quad  l_{n}\right)$ la matrice correspondant \`a l'état probabiliste en $2008 + n$, avec $e_{n}$ la probabilité que la personne travaille \`a l'étranger, $l_{n}$ celle qu'elle travaille en France.
 
Ainsi $P_{0} = (0,25\quad 0,75)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Proposer le graphe probabiliste associé \`a cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets. 
\item Donner la matrice de transition $M$ associée en prenant les sommets dans l'ordre E puis F. 
\item Montrer qu'en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant \`a l'étranger est de $30,475$\,\%. 
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{Pour cl\^oturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d'organiser un concert. 

Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée. 

Les membres du groupe ont établi le graphe ci-contre. 

Les sommets représentent les différents lycées et les ar\^etes, les rues reliant les établissements. 

Les ar\^etes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,9)
\cnodeput(0.5,5.5){A}{A}
\cnodeput(2.5,8.5){B}{B}
\cnodeput(4.5,7){C}{C}
\cnodeput(2.5,2){D}{D}
\cnodeput(6.5,3.5){E}{E}
\cnodeput(8.2,8.5){F}{F}
\cnodeput(9.5,0.5){G}{G}
\ncline{A}{B}\ncput*{16}\ncline{A}{D}\ncput*{30}\ncline{G}{D}\ncput*{60}\ncline{G}{F}\ncput*{28}\ncline{B}{F}\ncput*{40}
\ncline{B}{D}\ncput*{36}\ncline{C}{D}\ncput*{32}\ncline{C}{E}\ncput*{15}\ncline{C}{F}\ncput*{27}\ncline{E}{F}\ncput*{30}
\ncline{D}{E}\ncput*{29}\ncline{G}{E}\ncput*{33}
\end{pspicture}
\end{center}} 

\begin{enumerate}
\item Existe-t-il un trajet d'un lycée \`a un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ? 

Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. 
\item Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G. 

Quel trajet peut-il prendre ? 

Quelle est alors la durée du parcours ? 
\end{enumerate} 

\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre 2013
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 21 novembre 2013}
 
Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.
 
L'étude rév\`ele que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale \`a $0,2$. 
\item si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale \`a $0,3$.
\end{list}

\medskip
 
On note $S$ l'état : \og la personne pratique le ski de piste \fg{} et $\overline{S}$ l'état : \og la personne pratique le snowboard \fg.
 
On note également pour tout entier naturel $n$ :
 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $p_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le ski de piste lors du $n$-i\`eme hiver ; 
\item $q_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le snowboard lors du $n$-i\`eme hiver; 
\item $P_{n} = \left(p_{n}\quad  q_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du syst\`eme lors du $n$-i\`eme hiver.
\end{list}

 
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc l'égalité $P_{0} = (1\quad  0)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $S$ et $\overline{S}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste. 
		\item Calculer $M^2$. 
		\item Déterminer l'état probabiliste $P_{2}$\,.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $p_{n+1} = 0,5\,p_{n} + 0,3$. 
\item On consid\`ere l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}&\\
\pscirclebox{1}&$J$ et $N$ sont des entiers naturels\\ 
\pscirclebox{2}&$p$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Entrée :}&\\
\pscirclebox{3}& 	Saisir $N$\\ 
\textbf{Initialisation :}&\\
\pscirclebox{4}&$p$ prend la valeur 1\\ 
\textbf{Traitement :}&\\
\pscirclebox{5}&Pour $J$ allant de $1$ \`a $N$\\ 
\pscirclebox{6}&\hspace{0.75cm}$p$ prend la valeur \dotfill.\\ 
\pscirclebox{7}&Fin Pour\\ 
\textbf{Sortie :}&\\
\pscirclebox{8}&Afficher $p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Recopier et compléter la ligne $\pscirclebox{6}$ de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_{N}$\,. 
\end{enumerate}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
\medskip
 
On consid\`ere, pour tout entier naturel $n$, l'év\`enement $S_{n}$ : \og la personne pratique le ski de piste lors du $n$-i\`eme hiver \fg. La probabilité de l'év\`enement $S_{n}$ est notée $p\left(S_{n}\right)$. On a donc $p_{n} = p\left(S_{n}\right)$.
 
On sait d'apr\`es la \textbf{partie A} que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,5\,p_{n} + 0,3$.
 
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = p_{n} - 0,6$.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de $u_{0}$\,. 
\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous.
 
Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.

Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages.
 
Chacune des ar\^etes est pondérée par la distance, en centaine de m\`etres, entre deux sommets.

\begin{center} 
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(13,11.5)
\cnodeput(0.3,8){A}{A}
\cnodeput(4.8,10.8){B}{B}
\cnodeput(12.3,8.3){C}{C}
\cnodeput(11.4,3.6){D}{D}
\cnodeput(1.8,4.1){E}{E}
\cnodeput(5.5,6.2){F}{F}
\cnodeput(9.3,0.8){G}{G}
\cnodeput(6.4,3.7){H}{H}
\cnodeput(4,0.4){I}{I}
\ncline{A}{B}\ncput*{7}\ncline{B}{C}\ncput*{13}\ncline{C}{D}\ncput*{12}\ncline{D}{G}\ncput*{5}
\ncline{G}{I}\ncput*{7}\ncline{I}{E}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{21}\ncline{C}{A}\ncput*{16}\ncline{E}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{C}\ncput*[npos=0.7]{8}\ncline{B}{D}\ncput*[npos=0.7]{18} 
\ncline{H}{D}\ncput*{6}\ncline{H}{E}\ncput*{12}
\ncline{H}{I}\ncput*{19}\ncline{H}{G}\ncput*{13}
\ncline{B}{E}\ncput*[npos=0.6]{15}\ncline{F}{H}\ncput*{7}
\ncline{F}{B}\ncput*[npos=0.7]{8}
\end{pspicture}
\end{center} 

Déterminer, \`a l'aide de l'algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet~I. 


\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie  novembre 2013

\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, 18 novembre 2013}

Dans la commune de Girouette, deux partis s'affrontent aux élections tous les ans.
 
En 2010, le parti Hirondelle l'a emporté avec 70\,\% des voix contre 30\,\% au parti Phénix.
 
On admet qu'\`a partir de l'année 2010 :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 14\,\% des électeurs votant pour le parti Hirondelle \`a une élection voteront pour le parti Phénix \`a l'élection suivante. 
\item 6\,\% des électeurs votant pour le parti Phénix \`a une élection voteront pour le parti Hirondelle \`a l'élection suivante.
\item Les autres ne changent pas d'avis.
\end{list}
 
On consid\`ere un électeur de Girouette choisi au hasard.
 
On note $H$ l'état \og l'électeur vote pour le parti Hirondelle \fg{} et $P$ l'état \og l'électeur vote pour le parti Phenix \fg.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le graphe probabiliste associé \`a cette situation. 
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate} 
\item On appelle $E_{n} = \left(h_{n}\quad  p_{n}\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste de l'année $2010 + n$.
 
On a donc $E_{0} = (0,7\quad 0,3)$.
 
Déterminer $E_{1}$ et $E_{4}$\,. (On arrondira les coefficients de $E_{4}$ au centi\`eme). Interpréter les résultats. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $h_{n+1} = 0,8\,h_{n} + 0,06$. 
		\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = h_{n} - 0,3$.
		 
Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique. 
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: h_{n} = 0,3 + 0,4 \times 0,8^n$.
	\end{enumerate} 
\item \`A partir de combien d'années la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera-t-elle strictement inférieure \`a $0,32$ ? 
\end{enumerate}\bigskip

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 7 avril 2014}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau \`a bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
En 2013, l'entreprise U avait 45\,\% du marché et l'entreprise V le reste. 
Chaque année, l'entreprise U conserve 90\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant \`a l'entreprise V, elle conserve 85\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
 
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel $n$ : 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année $2013 + n$, ainsi $u_{0} = 0,45$ ;
\item $v_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année $2013 + n$.
\end{list}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. 
\item Donner $v_{0}$, calculer $u_{1}$ et $v_{1}$.
\item On consid\`ere l'algorithme (incomplet) donné en annexe. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de $u_{n}$ et $v_{n}$ pour un entier naturel $n$ saisi en entrée.\index{algorithme} 

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu. 
\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0, 75\,u_{n} + 0,15$.

 On note, pour tout nombre entier naturel $n$, $w_{n} = u_{n} - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.\index{suite géométrique} 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? \par En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\par Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines \`a eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de recharges en milliers& 1 &3 &5\\ \hline 
Co\^ut total annuel de production en centaines d'euros& 11 &27,4 &83\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Le co\^ut total de production est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] par : \[C(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + 10\qquad a,\ b\: \text{et}\: c\: \text{sont des nombres réels}.\]
	 
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C(x)$ est le co\^ut total de production en centaines d'euros.
 
On admet que le triplet $(a,\,b,\,c)$ est solution du syst\`eme $(S)~\left\{\begin{array}{l} 
a+b+c=1\\ 
27\,a + 9\,b + 3\,c=17,4\\ 
125\,a + 25\,b + 5\,c=73
\end{array}\right.$ et on pose $ X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ .

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item écrire ce syst\`eme sous la forme $MX = Y$ o\`u $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera.\index{matrice} 
		\item On admet que la matrice $M$ est inversible. Déterminer, \`a l'aide de la calculatrice, le triplet $(a, b, c)$ solution du syst\`eme $(S)$.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant cette modélisation, quel serait le co\^ut total annuel de production pour \np{8000} recharges d'eau produites ? 
\end{enumerate}\bigskip

\textbf{Annexe}

Recopier sur la copie la  partie \og traitement \fg{ } (lignes L3 \`a L9) en complétant les lignes L5 et L8.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|l X |c|}\hline
\textbf{Variables :}&$N$ est un nombre entier naturel non nul	&L1\\
&$U$ et $V$ sont des nombres réels								&L2\\
\textbf{Traitement :}&Saisir une valeur pour $N$				&L3\\
&Affecter \`a $U$ la valeur 0,45									&L4\\
&Affecter \`a $V$ la valeur \ldots\ldots							&L5\\
&Pour $i$ allant de 1 jusqu'\`a $N$&L6\\
&\hspace{0,2cm}| affecter \`a $U$ la valeur $0,9 \times U + 0,15 \times V$&L7\\
&\hspace{0,2cm}| affecter \`a $V$ la valeur \ldots\ldots			&L8\\
&Fin Pour														&L9\\
\textbf{Sortie :}&Afficher $U$ et Afficher $V$					&L10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage
%%%%%%%%%%%   Liban mai 2014

\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 27 mai 2014} \index{graphe}
 
On a schématisé ci-dessous le plan d'une MJC (Maison de la Jeunesse et de la Culture) par un graphe dont les sommets sont les salles et les ar\^etes sont les passages (portes, couloirs ou escaliers) entre les salles. 
On appelle H le hall d'entrée et B le bureau du directeur.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(8.5,2.5)
\cnodeput(6,2){A}{A}
\cnodeput(8,0){B}{B}
\cnodeput(6,-2){C}{C}
\cnodeput(2,-2){D}{D}
\cnodeput(4,0){E}{E}
\cnodeput(2,2){F}{F}
\cnodeput(0,0){H}{H}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{E}
\ncline{A}{F}
\ncline{B}{C}
\ncline{C}{D}
\ncline{C}{E}
\ncline{D}{E}
\ncline{D}{H}
\ncline{E}{F}
\ncline{F}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

En fin de journée, un agent de service fait le tour de la MJC pour récupérer dans chaque salle (bureau du directeur et hall inclus) les objets oubliés par les enfants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser si ce graphe est connexe en justifiant la réponse.\index{graphe connexe} 
\item Déterminer, en justifiant, si l'agent de service peut passer par toutes les salles en utilisant une fois et une seule chaque passage. 
\item On range les sommets par ordre alphabétique. 

Donner la matrice d'adjacence $M$ associée au graphe. 
\item On donne : \index{matrice}

\[M^4 = \begin{pmatrix}
31	&15 &26 &21 &27 &18 &12\\ 
15 	&12 &15 &12 &18 &12 &6\\ 
26	&15 &31 &18 &27 &21 &12\\ 
21 	&12 &18 &20 &17 &18 &5\\ 
27	&18	&27 &17 &34 &17 &16\\ 
18 	&12 &21 &18 &17 &20 &5\\ 
12 	&6 	&12 &5 	&16 &5 &10\\
\end{pmatrix}\] 

En déduire le nombre de chemins de longueur 4 entre les sommets B et H.
\item On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps en minute mis pour passer entre les différentes salles en ouvrant et fermant les portes \`a clé.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(8.5,2.5)
\cnodeput(6,2){A}{A}
\cnodeput(8,0){B}{B}
\cnodeput(6,-2){C}{C}
\cnodeput(2,-2){D}{D}
\cnodeput(4,0){E}{E}
\cnodeput(2,2){F}{F}
\cnodeput(0,0){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{2}
\ncline{A}{C}\ncput*{4}
\ncline{A}{E}\ncput*{2}
\ncline{A}{F}\ncput*{3}
\ncline{B}{C}\ncput*{2}
\ncline{C}{D}\ncput*{1}
\ncline{C}{E}\ncput*{1}
\ncline{D}{E}\ncput*{1}
\ncline{D}{H}\ncput*{2}
\ncline{E}{F}\ncput*{1}
\ncline{F}{H}\ncput*{1}
\end{pspicture}
\end{center} 

\`A l'aide d'un algorithme, déterminer le temps minimal pour aller de B \`a H.\par Déterminer ce temps.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord  mai 2014
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 30 mai 2014}

Lors d'une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. 

Le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tron\c{c}ons d'autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tron\c{c}on d'autoroute par une ar\^ete) :

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\cnodeput(0.4,4.5){A}{A}
\cnodeput(2.5,5.5){B}{B}
\cnodeput(5.5,5){C}{C}
\cnodeput(1.25,1){D}{D}
\cnodeput(3,3){E}{E}
\cnodeput(10,3){F}{F}
\cnodeput(8,3.5){G}{G}
\cnodeput(7,0.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncline{C}{B}\ncline{C}{G}\ncline{G}{F}
\ncline{F}{H}\ncline{G}{H}\ncline{B}{E}\ncline{C}{E}
\ncline{E}{G}\ncline{D}{E}\ncline{D}{H}\ncline{A}{D}
\ncline{C}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\mathcal{G}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il est possible d'organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tron\c{c}on d'autoroute. 
		\item Citer un trajet de ce type.  
	\end{enumerate}
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $M$.
		\item On donne la matrice \index{matrice} $M^3 = \begin{pmatrix}
0 &5 &3 &5 &1 &1 &4 &1\\ 
5 &2 &7 &2 &8 &3 &3 &5\\ 
3 &7 &6 &4 &9 &3 &9 &10\\ 
5 &2 &4 &0 &9 &2 &3 &8\\ 
1 &8 &9 &9 &4 &4 &10 &4\\ 
1 &3 &3 &2 &4 &2 &6 &6\\ 
4 &3 &9 &3 &10 &6 &6 &9 \\
1 &5 &10 &8 &4 &6 &9 &4\\
\end{pmatrix}$.
 
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E \`a H. 

Préciser ces chemins.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Des contraintes d'organisation obligent cet homme politique \`a se rendre dans la ville F apr\`es la ville A. 

Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par les longueurs en kilom\`etre de chaque tron\c{c}on d'autoroute.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\cnodeput(0.4,4.5){A}{A}
\cnodeput(2.5,5.5){B}{B}
\cnodeput(5.5,5){C}{C}
\cnodeput(1.25,1){D}{D}
\cnodeput(3,3){E}{E}
\cnodeput(10,3){F}{F}
\cnodeput(8,3.5){G}{G}
\cnodeput(7,0.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{400}
\ncline{C}{B}\ncput*{600}
\ncline{C}{G}\ncput*{550}
\ncline{G}{F}\ncput*{200}
\ncline{F}{H}\ncput*{400}
\ncline{G}{H}\ncput*{300}
\ncline{B}{E}\ncput*{400}
\ncline{C}{E}\ncput*{350}
\ncline{E}{G}\ncput*[npos=0.4]{600}
\ncline{D}{E}\ncput*{300}
\ncline{D}{H}\ncput*{900}
\ncline{A}{D}\ncput*{600}
\ncline{C}{H}\ncput*[npos=0.6]{450}
\end{pspicture}
\end{center} 
\index{algorithme de Dijkstra}
Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A \`a F. 

Préciser la longueur en kilom\`etre de ce trajet.

%%%%%%%%%%%   Fin Amérique du Nord  mai 2014
\newpage

\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 12 juin  2014}

\medskip 

\textbf{Partie A : étude d'un graphe}

\medskip
 
On consid\`ere le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous. 

\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{A}{H}
\ncline{D}{B}
\ncline{E}{B}
\ncline{F}{B}
\ncline{C}{B}
\ncline{C}{H}
\ncline{C}{G}
\ncline{D}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{G}{I}
\ncline{G}{H}
\ncline{I}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est complet.		
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est connexe.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le degré de chacun des sommets du graphe $\mathcal{G}$. 
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien ou une cha\^ine eulérienne.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets seront rangés dans l'ordre 
alphabétique).

		\item On donne : $M^2 = \begin{pmatrix}  
4& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 1\\ 
2& 5& 1& 3& 1& 1& 1& 2& 0\\ 
2& 1& 4& 2& 1& 1& 1& 2& 2\\ 
1& 3& 2& 4& 1& 1& 0& 1& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 
1& 2& 2& 1& 0& 0& 2& 4& 1\\ 
1& 0& 2& 0& 0& 0& 1& 1& 2\\
\end{pmatrix}.$ 
	\end{enumerate}
Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septi\`eme ligne et quatri\`eme colonne de la matrice $M^3$ est égal \`a $3$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Applications}
 
\medskip

\emph{Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s'aidant de la partie A.}

\medskip
 
On donne ci-dessous le plan simplifié d'un lycée. 

\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,6.6)
\psframe(12,6.6)
\psline(5.7,0)(5.7,1.5)(6.1,1.5)
\psline(7.2,1.5)(7.5,1.5)(7.5,5.4)
\psline(6.4,5.4)(8.1,5.4)
\psline(8.4,5.4)(9.5,5.4)
\psline(9.5,0)(9.5,1.8)
\psline(9.5,3.3)(9.5,5.8)
\psline(9.5,6.1)(9.5,6.6)
\psline(4.5,5.4)(5.6,5.4)
\psline(5,5.4)(5,5.8)
\psline(5,6.1)(5,6.6)
\psline(3.2,5.4)(4.3,5.4)
\psline(3.9,5.4)(3.9,4.3)
\psline(3.9,2.7)(3.9,0)
\psline(2.8,1.8)(3.2,1.8)
\psline(3.5,1.8)(3.9,1.8)
\psline(2.8,2.3)(2.8,1.5)(1.1,1.5)(1.1,4)(1.5,4)
\psline(1.8,4)(2.8,4)(2.8,2.9)
\psline(2.1,4)(2.1,4.3)
\psline(2.1,4.7)(2.1,5.9)
\psline(2.1,6.1)(2.1,6.6)
\psline(2.1,5.4)(2.85,5.4)
\psline(0,2.7)(0.4,2.7)
\psline(0.7,2.7)(1.1,2.7)
\rput(3.5,5.9){\footnotesize ADMINISTRATION}
\rput(7.3,6.1){\footnotesize VIE SCOLAIRE}
\rput(7.3,5.8){\footnotesize ET INFIRMERIE}
\rput(1,5.1){\footnotesize SALLE DES}
\rput(1,4.8){\footnotesize PROFESSEURS}
\rput(1.8,0.8){\footnotesize CANTINE}
\rput(2,2.6){\footnotesize C. D. I.}
\rput(3.3,3.7){\footnotesize HALL 1}
\rput(5.5,3.4){\footnotesize HALL 2}
\rput(8.5,2.3){\footnotesize B\^ATIMENT 1}
\rput(10.8,3.2){\footnotesize B\^ATIMENT 2}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ donné en partie A modélise cette situation. 

Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Sommet du graphe $\mathcal{G}$&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 
Lieu correspondant dans le lycée&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Un él\`eve a cours de mathématiques dans le b\^atiment 1. \`A la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez-vous avec ses parents.
 
Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant \`a l'él\`eve de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins. 
\item Le lycée organise une journée portes-ouvertes. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. 
		\item Sur les ar\^etes du graphe $\mathcal{G}$ sont indiqués les temps de parcours exprimés en seconde entre deux endroits du lycée.
		 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}\ncput*{30}
\ncline{A}{C}\ncput*{45}
\ncline{A}{D}\ncput*{70}
\ncline{A}{H}\ncput*{60}
\ncline{D}{B}\ncput*{80}
\ncline{E}{B}\ncput*{50}
\ncline{F}{B}\ncput*{35}
\ncline{C}{B}\ncput*{30}
\ncline{C}{H}\ncput*{25}
\ncline{C}{G}\ncput*{90}
\ncline{D}{E}\ncput*{60}
\ncline{D}{F}\ncput*{35}
\ncline{G}{I}\ncput*{20}
\ncline{G}{H}\ncput*{40}
\ncline{I}{H}\ncput*{25}
\end{pspicture}
\end{center}

 
Déterminer, \`a l'aide de l'algorithme de Dijkstra, le chemin permettant de relier le sommet G au sommet D en un temps minimal.
 
Déterminer ce temps minimal, exprimé en seconde.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%   Polynésie 13 juin 2014
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 13 juin  2014}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le graphe ci-dessous représente, dans un aéroport donné, toutes les voies empruntées par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles circulent les avions avant ou apr\`es atterrissage, sont appelées \emph{taxiways}. 

Les ar\^etes du graphe représentent les voies de circulation (les taxiways) et les sommets du graphe sont les intersections.\index{graphe} 

\begin{center} 
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(8.5,4.5)
\cnodeput(0.5,0.5){A}{A}
\cnodeput(2,3.4){B}{B}
\cnodeput(2.5,1.5){C}{C}
\cnodeput(4.5,2.3){D}{D}
\cnodeput(6,4.3){E}{E}
\cnodeput(6,1.3){F}{F}
\cnodeput(8,0.5){T}{T}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{T}
\ncline{C}{B}
\ncline{B}{D}
\ncline{B}{E}
\ncline{C}{D}
\ncline{D}{E}
\ncline{C}{F}
\ncline{D}{F}
\ncline{E}{F}
\ncline{E}{T}
\ncline{F}{T}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de voies de circulation au total. 
\item Afin que l'aéroport soit déneigé le plus rapidement possible, est-il possible de planifier un parcours pour que les chasse-neige passent par toutes les voies sans emprunter plusieurs fois la m\^eme route ? Justifier la réponse et donner un tel parcours.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué le sens de circulation pour les avions dans les différentes voies ainsi que le temps de parcours pour chacune en minute(s).

\begin{center} 
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,4.5)
\cnodeput(0.5,0.5){A}{A}
\cnodeput(2,3.4){B}{B}
\cnodeput(2.5,1.5){C}{C}
\cnodeput(4.5,2.3){D}{D}
\cnodeput(6,4.3){E}{E}
\cnodeput(6,1.3){F}{F}
\cnodeput(8,0.5){T}{T}
\ncline{->}{A}{B}\ncput*{4}
\ncline{->}{A}{C}\ncput*{3}
\ncline{<-}{A}{T}\ncput*{4}
\ncline{->}{C}{B}\ncput*{1,5}
\ncline{->}{B}{D}\ncput*{0,5}
\ncline{->}{B}{E}\ncput*{1}
\ncline{->}{C}{D}\ncput*{2}
\ncline{->}{D}{E}\ncput*{0,5}
\ncline{->}{C}{F}\ncput*{3}
\ncline{->}{D}{F}\ncput*{0,5}
\ncline{->}{E}{F}\ncput*{0,5}
\ncline{->}{E}{T}\ncput*{4}
\ncline{->}{F}{T}\ncput*{0,5}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item écrire la matrice $M$ associée \`a ce graphe (ranger les sommets dans l'ordre alphabétique). 
		\item Citer tous les chemins de longueur 3 reliant A \`a T.
	\end{enumerate} 
\item L'avion qui a atterri est en bout de piste en A et doit se rendre le plus rapidement possible au terminal situé au point T. 

Déterminer l'itinéraire le plus rapide et en donner la durée.\index{algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate}
 
\newpage
%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane 19 juin 2014

\section{Extrait de la session \og Antilles--Guyane \fg, 19 juin 2014}
 
Les services commerciaux d'une grande surface de produits alimentaires ont défini un profil de client qui a été appelé \og consommateur bio \fg.

\medskip
 
Sur la base d'observations réalisées les années précédentes, il a été constaté que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 90\,\% des clients \og consommateur bio \fg{} maintenaient cette pratique l'année suivante ; 
\item 15\,\% des clients n'ayant pas le profil de \og consommateur bio \fg{} entraient dans la catégorie \og consommateur bio \fg{} l'année suivante.
\end{list}
 
On suppose que cette évolution se poursuit d'une année \`a l'autre \`a partir de 2013, année au cours de laquelle il a été constaté que 20\,\% des clients ont le profil \og consommateur bio \fg.
 
Par un tirage aléatoire effectué tous les ans, on choisit un client de cette grande surface.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$ on note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $b_{n}$ la probabilité que le client choisi lors de l'année $2013 + n$ soit un \og consommateur bio \fg{} ;
\item $c_{n}$ la probabilité que le client choisi lors de l'année $2013 + n$ ne soit pas un \og consommateur bio \fg{} ; 
\item $P_{n}$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}b_{n} & c_{n}\end{pmatrix}$ donnant l'état probabiliste lors de l'année $2013 + n$. 
\end{list}


\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et C o\`u B correspond \`a l'état \og consommateur bio \fg.
		\item Donner $P_{0}$ l'état probabiliste en 2013 et la matrice $M$ de transition correspondant \`a ce graphe, les sommets B et C étant classés dans cet ordre. 
		\item On donne la matrice $M^2$ : 

\[M^2 = \begin{pmatrix}0,825& 0, 175\\\np{0,2625}& \np{0,7375}\end{pmatrix}\]
 
En précisant la méthode de calcul, déterminer la probabilité que le client choisi en 2015 soit un \og consommateur bio \fg. 
		\item Déterminer l'état stable $(b\:\: c)$ du graphe probabiliste.
	\end{enumerate} 
\item Le directeur du supermarché affirme que, dans un futur proche, plus de la moitié de sa client\`ele aura le profil de \og consommateur bio \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui doit permettre de déterminer le nombre minimal d'années pour que l'affirmation du directeur soit vérifiée.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.67\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}	& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
						&$B$ un nombre réel\\ 
\textbf{Traitement :}	& Affecter \`a $N$ la valeur $0$\\
						& Affecter \`a $B$ la valeur $0,2$\\
						& Affecter \`a $C$ la valeur $0,8$\\
						& Tant que ...\\
						&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} 
				affecter \`a $B$ la valeur $0,9 \times B + 0,15 \times C$\\
				affecter \`a $C$ la valeur $1 - B$ \\
				affecter \`a $N$ la valeur $N + 1$\\
						\end{tabular}\\ 
						&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}		&Afficher ...\\ \hline
\end{tabularx}\index{algorithme}
\end{center}
 
		\item Déterminer le nombre minimal d'années recherché en expliquant la démarche. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%   Asie 19 juin 2014
\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 19 juin 2014}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures aupr\`es de deux fournisseurs A et H.
 
Les constats faits les premi\`eres semaines conduisent \`a modéliser l'évolution du choix du fournisseur pour les commandes d'une semaine \`a l'autre par un graphe probabiliste de sommets A et H o\`u :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item A désigne l'état : \og la commande est passée aupr\`es du fournisseur A~\fg{} ; 
\item H désigne l'état : \og la commande est passée aupr\`es du fournisseur H~\fg.
\end{list}
 
La matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre A et H,\index{matrice} est $M = \begin{pmatrix}0,95& 0,05\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste associé \`a la matrice $M$. 
\item Donner la signification du nombre $0,95$ dans la matrice $M$.
 \end{enumerate} 
Pour tout entier naturel $n$, on note : 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ la probabilité de l'év\`enement : \og la semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures aupr\`es du fournisseur~A \fg ; 
\item $h_{n}$ la probabilité de l'év\`enement : \og la semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures aupr\`es du fournisseur~H \fg ;
\item $P_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}& h_{n}\end{pmatrix}$ correspondant \`a l'état probabiliste pour la semaine $n$.
\end{list}

 \begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
\item Vérifier que la matrice ligne $P = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$  correspond \`a l'état stable du syst\`eme.\par En donner une interprétation. 
\item On donne $P_{0} = \begin{pmatrix}0,4 &0,6\end{pmatrix}$ et on rappelle que $P_{k} = P_{0} \times  M^k$, pour $k$ entier naturel. 

Déterminer la semaine o\`u, pour la premi\`ere fois, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures aupr\`es du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande aupr\`es du fournisseur H. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le directeur de l'entreprise E rend visite \`a ses fournisseurs, il se rend du fournisseur A au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilom\`etres possible.
 
Son assistant dresse le graphe suivant qui schématise les trajets, en kilom\`etres, entre les six villes de la région, notées B, C, D, E, F et G et les deux sites, A et H. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(13.5,5)
\cnodeput(0,2.5){A}{A}
\cnodeput(3.5,4){B}{B}
\cnodeput(6.5,2.5){C}{C}
\cnodeput(5,0){D}{D}
\cnodeput(8.5,5){E}{E}
\cnodeput(10,1){F}{F}
\cnodeput(10.5,3){G}{G}
\cnodeput(13.5,2.5){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{100}
\ncline{A}{C}\ncput*{175}
\ncline{A}{D}\ncput*{158}
\ncline{B}{C}\ncput*{114}
\ncline{B}{E}\ncput*{150}
\ncline{C}{D}\ncput*{95}
\ncline{C}{E}\ncput*{65}
\ncline{C}{F}\ncput*{70}
\ncline{D}{F}\ncput*{107}
\ncline{E}{G}\ncput*{82}
\ncline{E}{H}\ncput*{113}
\ncline{F}{G}\ncput*{31}
\ncline{F}{H}\ncput*{112}
\ncline{G}{H}\ncput*{49}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer l'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H et indiquer le nombre de kilom\`etres \`a effectuer. Justifier la réponse.

\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole 20 juin 2014
\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, 20 juin 2014}

Alice participe \`a une compétition de tir \`a l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de fl\`eches. 

Lorsqu'elle atteint la cible \`a un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale \`a $0,9$.
 
Lorsqu'elle a manqué la cible \`a un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale \`a $0,4$. 

On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

 Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note : 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'Alice atteigne la cible au $n$-i\`eme lancer ;
\item $b_{n}$ la probabilité qu'Alice manque la cible au $n$-i\`eme lancer ; 
\item $P_{n} = \begin{pmatrix} a_n & b_{n} \end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste au $n$-i\`eme lancer.
\end{list}\index{matrice}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Alice atteint la cible \fg{} et B l'état \og Alice manque sa cible \fg{}). 
		\item Indiquer la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B). 
		\item Justifier que $P_{1} =  \begin{pmatrix} 0,5 &  0,5\end{pmatrix}$ et $P_{2} = \begin{pmatrix} 0,65 &  0,35\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif,	$a_{n+1} = 0,9\,a_{n} + 0,4\,b_{n}$\,. 
		\item En déduire que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1} = 0,5\,a_{n} + 0,4$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 de fa\c{c}on \`a ce qu'il affiche l'état probabiliste au $n$-i\`eme lancer. 
		\item Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $n = 5$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif par : $$u_{n} = a_{n} - 0,8$$ 
Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, $a_{n} = 0,8 - 0,3 \times  0,5^{n-1}$.
		\item \`A long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?		
		\item Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Annexe \`a rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
\textbf{Entrées}&\\
&Saisir $n$\\
\textbf{Traitement}&\\
&$a$ prend la valeur 0,5\\
&$b$ prend la valeur 0,5\\
&Pour $i$ allant de 2 \`a $n$\\
&\hspace{0.3cm}$a$ prend la valeur $\ldots{} \times a + \ldots$\\
&\hspace{0.3cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\
&Fin Pour\\
\textbf{Sortie}&\\
&Afficher $a$, $b$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\newpage
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 10 septembre 2014}

\medskip

\textbf{Partie A}
\medskip
  
Le graphe suivant représente le plan d'une ville. 

Les ar\^etes du graphe représentent les principales avenues et les sommets du graphe les carrefours entre ces avenues.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ %
\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets. 
\item Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la m\^eme avenue: 
	\begin{enumerate}
		\item en partant d'un carrefour et en revenant \`a son point de départ ?
		\item en partant d'un carrefour et en arrivant \`a un carrefour différent ?
	\end{enumerate}
	Les deux réponses seront justifiées.
\end{enumerate}}\hfill  
\parbox{6.8cm}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(6.8,3.5)
\cnodeput(1.8,3.2){A}{A}
\cnodeput(4.1,3.2){B}{B}
\cnodeput(4.1,0.9){C}{C}
\cnodeput(1.8,0.9){D}{D}
\cnodeput(0.3,0.1){E}{E}
\cnodeput(6.5,0.1){F}{F}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{A}{E}
\ncline{B}{C}
\ncline{B}{F}
\ncline{C}{D}
\ncline{C}{F}
\ncline{D}{E}
\ncline{E}{F}
\end{pspicture}}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué, pour cette m\^eme ville, le sens de circulation pour les véhicules sur les différentes avenues. 

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{%
\begin{enumerate}
\item Peut-on trouver un trajet de longueur quelconque qui permet d'aller de D \`a B en respectant les sens de circulation ? Justifier la réponse. 
\item écrire la matrice $M$ associée \`a  ce graphe (on rangera les sommets dans l'ordre alphabétique). 
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3,fillstyle=solid}
\begin{pspicture}0,-0.2)(6.8,3.5)
\psline[ArrowInside=->](1.8,3.2)(0.3,0.1)%AE
\psline[ArrowInside=->](1.8,0.9)(1.8,3.2)%DA
\psline[ArrowInside=->](4.1,3.2)(1.8,3.2)%BA
\psline[ArrowInside=->](4.1,0.9)(1.8,3.2)%CA
\psline[ArrowInside=->](4.1,0.9)(1.8,0.9)%CD
\psline[ArrowInside=->](0.3,0.1)(1.8,0.9)%ED
\psline[ArrowInside=->](6.5,0.1)(0.3,0.1)%FE
\psline[ArrowInside=->](6.5,0.1)(4.1,0.9)%FC
\psline[ArrowInside=->](4.1,3.2)(6.5,0.1)%BF
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.33](4.1,3.2)(4.1,0.9)%BC
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.33](4.1,0.9)(4.1,3.2)%CB
\cnodeput(1.8,3.2){A}{A}
\cnodeput(4.1,3.2){B}{B}
\cnodeput(4.1,0.9){C}{C}
\cnodeput(1.8,0.9){D}{D}
\cnodeput(0.3,0.1){E}{E}
\cnodeput(6.5,0.1){F}{F}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\addtocounter{enumi}{2}
\item On donne la matrice 

\[M^3 = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0& 0 &0\\ 
3 &1 &1 &3 &1 &1\\  
1 &1 &1 &2 &3 &0\\ 
0 &0 &0 &1 &0 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &1 &0\\ 
3 &0 &1 &0 &1 &1\\
\end{pmatrix}.\] 

	\begin{enumerate}
	\item Que représentent les coefficients de cette matrice ? 
	\item Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 partant du carrefour B et arrivant en A ?
	 
écrire tous ces chemins. 
	\item Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 arrivant au point E ? Expliquer la démarche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Métropole \fg, 12 septembre 2014}

\medskip 

Pour satisfaire ses adhérents, un club de sport a instauré trois niveaux d'apprentissage :
\begin{center} 
DéBUTANT (D), CONFIRMé (C) et EXPERT (E).\end{center}
 
Au 1\up{er} septembre 2012, lors de l'inscription, le club comptait : 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 30\,\% de débutants; 
\item 50\,\% de confirmés; 
\item 20\,\% d'experts.
\end{list}
 
D'une année sur l'autre, on constate que : 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi les adhérents de niveau débutant, 40\,\% restent \`a ce niveau et 60\,\% passent au niveau confirmé; 
\item parmi les adhérents de niveau confirmé, 60\,\% restent \`a ce niveau et 40\,\% passent au niveau expert; 
\item parmi les adhérents de niveau expert, 80\,\% restent \`a ce niveau, 10\,\% redescendent au niveau confirmé et les autres 10\,\% préf\`erent reprendre les bases au niveau débutant.
\end{list}
 
On consid\`ere qu'il n'y a pas de nouveaux venus ni de départs dans le club.

\medskip
 
Soit $P_{n} = \left(d_{n}\quad c_{n}\quad e_{n}\right)$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois niveaux d'apprentissage D, C et E au 1\up{er} septembre de l'année $2012 + n$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification la matrice $P_{0}$\,. 
		\item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E.
		 
On donne la matrice carrée $M$ de transition en respectant l'ordre D, C, E des sommets. 
 \[M = \begin{pmatrix} 0,4 &\textbf{0,6} &0\\0&0,6& 0,4\\ 0,1& 0,1& \textbf{0,8}
\end{pmatrix}\] 

Dans la suite de l'exercice, on pourra utiliser les résultats suivants (résultats arrondis au milli\`eme) : 
\[M^5 = \begin{pmatrix}0,085& 0,331& 0,584\\
0,097 &0,293&0,610\\
0,104& 0,298& 0,598\end{pmatrix} \qquad  M^{10} = \begin{pmatrix}0,100  &0,299& 0,601\\
0,100&0,300&0,600\\ 
0,100& 0,300 &0,600\end{pmatrix}\]

	\end{enumerate} 
\item Dans cette matrice, on lit \textbf{0,6} et \textbf{0,8} en gras. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser, \`a l'aide d'une phrase, \`a quoi correspondent ces deux valeurs en lien avec la situation étudiée. 
		\item Calculer $P_{1}$\,. 
		\item Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au 1\up{er}~septembre 2017. Les résultats seront donnés \`a $0,1$\,\% pr\`es.  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En calculant $P_{10}$\,, émettre une conjecture sur la matrice $P$ correspondant \`a l'état probabiliste stable. 
		\item Vérifier cette conjecture. 
		\item Quelle conclusion peut-on en tirer pour la répartition des adhérents?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 17 novembre 2014}

\medskip


La premi\`ere semaine de l'année, le responsable de la communication d'une grande entreprise propose aux employés de se déterminer sur un nouveau logo, le choix devant \^etre fait par un vote en fin d'année. 

Deux logos, désignés respectivement par A et B, sont soumis au choix. 

Lors de la présentation qui se déroule la premi\`ere semaine de l'année, 24\,\% des employés sont favorables au logo A et tous les autres employés sont favorables au logo~B. 

Les discussions entre employés font évoluer cette répartition tout au long de l'année. 

Ainsi 9\,\% des employés favorables au logo A changent d'avis la semaine suivante et 16\,\% des employés favorables au logo B changent d'avis la semaine suivante. 

\medskip

Pour tout $n,\: n \geqslant 1$, on note : 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo A la semaine $n$ ; 
\item $b_n$ la probabilité qu'un employé soit favorable au logo B la semaine $n$ ; 
\item $P_n$ la matrice $\left(a_n \quad b_n\right)$ traduisant l'état probabiliste la semaine $n$. 
\end{list}
\medskip

On a donc, pour tout $n \geqslant 1,\:\: a_n + b_n = 1$ et $P_1 = (0,24 \quad 0,76)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de la relation $P_{n+1} = P_n \times  M$, exprimer, pour tout $n \geqslant 1,\: a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$\,. 
		\item En déduire que l'on a, pour tout $n \geqslant 1,~ a_{n+1} = 0,75\,a_n + 0,16$. 
	\end{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, donner, sans justifier, la probabilité \`a $0,001$ pr\`es qu'un employé soit favorable au logo A la semaine 4. 
\item On note $P = (a \quad b)$ l'état stable de la répartition des employés. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un syst\`eme de deux équations que doivent vérifier $a$ et $b$. 
		\item Résoudre le syst\`eme obtenu dans la question précédente. 
		\item On admet que l'état stable est $P = (0,64\quad 0,36)$. \par Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\item On consid\`ere l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
VARIABLES :		&$A$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\
INITIALISATION :&$A$ prend la valeur $0,24$\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\
TRAITEMENT :	&Tant que $A < 0,639$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0,4cm}$A$ prend la valeur $0,75 \times A + 0,16$\\
				&Fin du Tant que\\ 
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir (on ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée). 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, 17 novembre 2014}

\medskip 

Un parc de loisirs propose \`a ses visiteurs des parcours d'accrobranches. 

Les différents parcours sont modélisés par le graphe $\Gamma$ ci-dessous o\`u les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une ar\^ete du graphe et peut \^etre réalisé dans les deux sens.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\cnodeput(0.5,4.75){A}{1}
\cnodeput(5.5,4.75){B}{2}
\cnodeput(7.5,2.75){C}{3}
\cnodeput(4.5,0.5){D}{4}
\cnodeput(0.5,1.5){E}{5}
\ncline{A}{B} \ncline{A}{D} \ncline{A}{E} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{C}{E} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item L'organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s'ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d'accrobranches, c'est-\`a-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commen\c{c}ant cet itinéraire par l'arbre numéro 1. 

Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. 
\item On note $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ en considérant les sommets pris dans l'ordre croissant des numéros d'arbres. 
	\begin{enumerate}
		\item écrire la matrice $M$. 
		\item On donne, ci-dessous, les matrices $M^2$ et $M^3$. 
		
		\[M^2 = \begin{pmatrix}            
3&   2&   2&   1&   1\\     
2&   4&   1&   1 &  2 \\    
2&   1&   2&   1&   1\\  
1&   1&   1&   2&   2\\     
1&   2&   1&   2&   3\\   
\end{pmatrix} \qquad \qquad M^3 = \begin{pmatrix}
4&   7&   3 &  5&   7\\ 
7&   6&   6&   6&   7\\    
3&   6&   2&   3&   5\\   
5&   6&   3&   2&   3\\   
7&   7&   5&   3&   4\\
\end{pmatrix}\]   
  
L'organisateur du parc de loisir souhaite organiser des \og itinéraires express \fg{} qui débuteront \`a  l'arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d'accrobranches et finiront \`a l'arbre 4. Ces  itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le m\^eme parcours. 
 
Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre \og d'itinéraires express \fg{} réalisables. 

(On ne demande pas de donner ces différents itinéraires)
	\end{enumerate} 
\item Pour terminer ces \og itinéraires express \fg, on installe un toboggan géant sur l'arbre 4. 

La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction $f$ dont la courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un rep\`ere orthonormé. 

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(21,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(21,11)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x dup mul 0.025 mul x sub 10 add}
\psdots(2,8.1)(10,2.5)(20,0)
\uput[ur](2,8.1){I} \uput[ur](10,2.5){J}\uput[dl](0,0){0}\uput[ur](20,0){K}
\end{pspicture}
\end{center}\bigskip

Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives (2;\,8,1), (10;\,2,5) et (20;\,0). 

La fonction $f$ est définie sur [0;\,20] par 
\[f(x) = a\,x^2 + b\,x + c\]
o\`u $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels. 
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a$, $b$ et $c$ sont solutions du syst\`eme $\left\{\begin{array}{l}
400\,a + 20\,b + c= 0\\
100\,a + 10\,b + c=2,5\\
 4\,a + 2\,b + c= 8,1
 \end{array}\right.$. 
		\item Déterminer les matrices $X$ et $V$ pour que le syst\`eme précédent soit équivalent \`a 

\[U\,X = V\quad  \text{o\`u} \quad  U = \begin{pmatrix} 400 &20& 1\\100& 10& 1\\4&2&1
\end{pmatrix}.\]
 
		\item Déterminer $a$, $b$ et $c$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 15 avril 2015}

\medskip

Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois
sites peut, \`a toutes les minutes, soit y rester soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d'utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,2.
\item Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,4.
\item Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,2 mais il n'y a pas de lien direct avec B.
\end{list}

\medskip

L'unité de temps est la minute, et \`a l'instant $t = 0$, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C, $100,\: 0$ et $0$.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites apr\`es $t$ minutes par une matrice $N_t$\,. On a ainsi $N_0 = \begin{pmatrix}100& 0& 0\end{pmatrix}$.

On suppose qu'il n'y a ni déconnexion pendant l'heure (de $t = 0$ \`a $t = 60$) ni nouveaux internautes visiteurs.\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant \`a la situation
décrite.
\item écrire la matrice $M$ de transition associée \`a ce graphe (dans l'ordre A, B, C).
\item On donne
\[M^2 = \begin{pmatrix}0,42& 0,22& 0,36\\0,19& 0,27& 0,54\\0,28& 0,04& 0,68\end{pmatrix}
\quad \text{et} \quad M^{20} \approx \begin{pmatrix}
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\end{pmatrix}.\]

Calculer $N_2$\,. 

Interpréter le résultat obtenu.
\item Calculer $N_0 \times  M^{20}$.\par Conjecturer la valeur de l'état stable et interpréter la réponse.
\item Un des internautes transmet un virus \`a tout site qu'il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

\`A l'instant $t = 0$, le site C est donc infecté.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'\`a l'instant $t = 1$ le site A soit infecté ?
		\item Quelle est la probabilité qu'\`a l'instant $t = 2$ les trois sites soient infectés ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 27 mai 2015}

\medskip

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G
(standard de transmission de données).\medskip

Une étude a montré que d'une année \`a l'autre :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 41\,\% des clients de l'opérateur SAFIR le quittent pour l'opérateur TECIM ;
\item 9\,\% des clients de l'opérateur TECIM le quittent pour l'opérateur SAFIR ;
\item aucun client ne renonce \`a l'utilisation de la 4G.
\end{list} 
\medskip
 
Cette situation peut \^etre modélisée par un graphe probabiliste $\mathcal{G}$ de sommets S et T o\`u :
 \begin{list}{\textbullet}{}
\item $S$ est l'événement \og l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur SAFIR \fg{} ;
\item $T$ est l'événement \og l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur TECIM \fg.
\end{list} 
\medskip

Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel $n$ :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item$s_n$ la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur SAFIR en $2014 + n$ ;
\item$t_n$ la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur TECIM en $2014 + n$.
\end{list}
\medskip

On note $P_n = \left(s_n\quad  t_n\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme clients au moins 80\,\% de la population utilisatrice de la 4G.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste $\mathcal{G}$.
\item On admet que la matrice de transition du graphe $\mathcal{G}$ en considérant les sommets dans l'ordre $S$ et $T$ est $M = \begin{pmatrix}0,59& 0,41\\0,09& 0,91\end{pmatrix}$.

On note $P = (a\quad  b)$ la matrice ligne correspondant \`a l'état stable de ce graphe $\mathcal{G}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du syst\`eme $\left\{\begin{array}{l}
0,41\,a - 0,09\,b=0\\ a + b = 1\end{array}\right.$.
		\item Résoudre le syst\`eme précédent.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que $a = 0,18$ et $b = 0,82$.

Déterminer, en justifiant, si l'opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 2014, on sait que 35\,\% des utilisateurs de la 4G sont des clients de l'opérateur SAFIR et que 65\,\% sont des clients de l'opérateur TECIM. Ainsi $P_0 = (0,35\quad 0,65)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $t_{n+1} = 0,5\,t_n + 0,41$.
\item Pour déterminer au bout de combien d'années l'opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. 

Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l X|}\hline
L1&\textbf{Variables :}& $T$ est un nombre\\
L2&& $N$ est un nombre entier\\
L3&\textbf{Traitement :}& Affecter \`a $T$ la valeur 0,65\\
L4&& Affecter \`a $N$ la valeur 0\\
L5&& Tant que $T < 0,80$\\
L6&& Affecter \`a $T$ la valeur \ldots\\
L7&& Affecter \`a $N$ la valeur \ldots\\
L8&& Fin Tant que\\
L9&\textbf{Sortie :}& Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item  On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = t_n - 0,82$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$. 
		
		Préciser son premier terme.
		\item En déduire que : $t_n = - 0,17 \times  0,5^n + 0,82$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation: $-0,17 \times  0,5^n + 0,82 \geqslant 0,80$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 2 juin 2015}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}\medskip

\textbf{Partie A}\medskip

Un créateur d'entreprise a lancé un réseau d'agences de services \`a domicile. Depuis 2010, le nombre d'agences n'a fait qu'augmenter. Ainsi, l'entreprise qui comptait 200 agences au 1\up{er} janvier 2010 est passée \`a 300 agences au 1\up{er} janvier 2012 puis \`a 500 agences au 1\up{er} janvier 2014.\medskip

On admet que l'évolution du nombre d'agences peut \^etre modélisée par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=a\,x^2 + b\,x + c$ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.\medskip

La variable $x$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2010 et $f(x)$ exprime le nombre d'agences en centaines. la valeur 0 de $x$ correspond donc \`a l'année 2010.\medskip

Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction $f$.\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.75)(5.,6.)
\multips(0,0)(0,1.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray]{c-c}(0,0)(5.,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray]{c-c}(0,0)(0,6.)}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(0.,0.)(5.,6.)[$x$,-140] [$y$,200]
\psplot[plotpoints=200]{0}{5.0}{1.0/8.0*x^(2.0)+1.0/4.0*x+2.0}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](0.,2.)
\uput[dr](0.,2.){D}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](2.,3.)
\uput[dr](2.,3.){E}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](4.,5.)
\uput[dr](4.,5.){F}
\end{pspicture*}

\end{center}
On cherche \`a déterminer la valeur des coefficients $a$, $b$ et $c$.
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item \`A partir des données de l'énoncé, écrire un syst\`eme d'équations traduisant cette situation.
	\item En déduire que le syst\`eme précédent est équivalent \`a : $MX = R$ avec 
	
	$M =\begin{pmatrix}
	0	&	0	&	1 \\
	4	&	2	&	1	\\
	16	&	4	&	1	
\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}
	a \\b \\ c
\end{pmatrix}$ et $R$ une matrice colonne que l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item On admet que $M^{-1}=\begin{pmatrix}
	0,125	&	-0,25	&	0,125 \\
	- 0,75	&	1			&- 0,25 \\
	1		&	0			&	0 \\
\end{pmatrix}$.

\`A l'aide de cette matrice, déterminer les valeurs des cÏfficients $a$, $b$ et $c$, en détaillant les calculs.
\item Suivant ce mod\`ele, déterminer le nombre d'agences que l'entreprise possédera au 1\up{er} janvier 2016.\medskip

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Le responsable d'une agence de services \`a domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu'il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les ar\^etes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,linewidth=0.8pt}
\begin{pspicture}(1.8,2.8)(7.2,8.2)
\cnodeput(3,8){A}{A}\cnodeput(4,8){B}{B}\cnodeput(2,7){C}{C}\cnodeput(3,7){D}{D}\cnodeput(4,7){E}{E}\cnodeput(6,7){F}{F}\cnodeput(2,6){G}{G}\cnodeput(3,6){H}{H}\cnodeput(4,6){I}{I}\cnodeput(6,6){J}{J}\cnodeput(7,6){K}{K}\cnodeput(3,4){L}{L}\cnodeput(4,4){M}{M}\cnodeput(6,4){N}{N}\cnodeput(4,3){O}{O}\cnodeput(7,3){P}{P}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{D}\ncline{B}{E}\ncline{C}{D}\ncline{C}{G}\ncline{D}{E}\ncline{D}{H}\ncline{E}{F}\ncline{E}{I}\ncline{F}{J}\ncline{G}{H}\ncline{H}{L}\ncline{I}{J}\ncline{I}{M}\ncline{J}{K}\ncline{J}{N}\ncline{K}{P}\ncline{L}{M}\ncline{M}{N}\ncline{M}{O}\ncline{O}{P}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer si le graphe est connexe.
	\item Déterminer si le graphe est complet.
\end{enumerate}

\item Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.\par
Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants.
\begin{enumerate}
	\item Le point d'arrivée est le m\^eme que le point de départ.
	\item Le point d'arrivée n'est pas le m\^eme que le point de départ.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 10 juin  2015}

\medskip

On a schématisé ci-dessous une partie du plan du métro londonien par un graphe $\Gamma$ dont les sommets sont les stations et les ar\^etes sont les lignes desservant ces stations.

Chaque station de métro est désignée par son initiale comme indiqué dans la légende.\index{graphe}\medskip

\hfill%\parbox{0.6\linewidth}{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(9.8,8.1)
\cnodeput(8,7.5){A}{K}
\cnodeput(0.5,5){B}{B}
\cnodeput(3.5,5){C}{O}
\cnodeput(9.2,5){D}{H}
\cnodeput(1,2.5){E}{G}
\cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
\cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
\cnodeput(8,0.5){H}{E}
\ncline{B}{C} \ncline{B}{E} \ncline{A}{C} 
\ncline{A}{D} \ncline{C}{D} \ncline{C}{E} 
\ncline{D}{F} \ncline{C}{F} \ncline{E}{F} 
\ncline{F}{H} \ncline{G}{H} \ncline{E}{G} 
\end{pspicture}%}
\hfill
%\parbox{0.38\linewidth}{
\begin{tabular}[b]{l}
\textbf{Légende :}\\
B : Bond Street\\
E : Embankment\\
G : Green Park\\
H : Holborn\\
K : King's Cross St Pancras\\
O : Oxford Circus\\
P : Piccadilly Circus\\
W : Westminster
\end{tabular}%}
\hfill\null
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.\index{graphe connexe}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.\index{graphe complet}
	\end{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ admet une cha\^ine eulérienne. 

Si oui, donner une telle cha\^ine.\index{cha\^ine eulérienne}
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $\Gamma$ (les sommets seront rangés dans l'ordre alphabétique).\index{matrice}

Pour la suite de l'exercice, on donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
2 &3 &6 &4 &2 &7 &3  &1\\
3 &0 &1 &1 &2 &3 &6  &4\\
6 &1 &4 &4 &4 &9 &10 &6\\
4 &1 &4 &4 &5 &8  &8  &3\\
2 &2 &4 &5 &2 &7 &3  &1\\
7 &3 &9 &8 &7 &8 &10 &3\\
3 &6 &10&8 &3 &10&4  &1\\
1 &4 &6 &3 &1 &3 &1  &0\\
\end{pmatrix}$.

\item Un touriste se trouve \`a la station Holborn. Il prévoit de se rendre \`a la station Green Park en utilisant exactement trois lignes de métro sur son trajet.
	\begin{enumerate}
		\item Sans utiliser le graphe, donner le nombre de trajets possibles et justifier la réponse.
		\item Donner les trajets possibles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\parbox{10.5cm}{\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4}
\item Sur le graphe pondéré ci-contre, on a indiqué la durée, exprimée en minutes, des trajets entre
chaque station (la durée est indiquée sur chaque ar\^ete du graphe $\Gamma$).

\`A partir de la station Westminster, ce touriste doit rejoindre la station King's Cross St Pancras le plus rapidement possible pour prendre un train.\medskip

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet permettant de relier la station Westminster \`a la station King's Cross St Pancras en une durée minimale. 

On précisera cette durée.
\end{enumerate}}\hfill\parbox{7cm}{%
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.2)(9.85,8.1)
\cnodeput(8,7.5){A}{K}
\cnodeput(0.5,5){B}{B}
\cnodeput(3.5,5){C}{O}
\cnodeput(9.2,5){D}{H}
\cnodeput(1,2.5){E}{G}
\cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
\cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
\cnodeput(8,0.5){H}{E}
\ncline{B}{C}\ncput*{3} \ncline{B}{E}\ncput*{1} \ncline{A}{C}\ncput*{5} 
\ncline{A}{D}\ncput*{3} \ncline{C}{D}\ncput*{1} \ncline{C}{E}\ncput*{2} 
\ncline{D}{F}\ncput*{4} \ncline{C}{F}\ncput*{1} \ncline{E}{F}\ncput*{2} 
\ncline{F}{H}\ncput*{4} \ncline{G}{H}\ncput*{2} \ncline{E}{G}\ncput*{3} 
\end{pspicture}
}

%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 12 juin 2015 
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Polynésie  12 juin 2015    
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg,  12 juin  2015}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 mod\`eles. La conception de chaque mod\`ele
nécessite le passage par 3 postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d'heures nécessaires par mod\`ele et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le co\^ut horaire par poste de travail.\medskip

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{Tableau 1}& Poste 1 	&Poste 2 	&Poste 3\\ \hline
Mod\`ele 1 &8 h 		&10 h 		&14 h \\ \hline
Mod\`ele 2 &6 h 		&6 h 		&10 h \\ \hline
Mod\`ele 3 &12 h 		&10 h 		&18 h \\ \hline
\end{tabularx}
\hfill
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{Tableau 2}	&\\ \hline
Poste 1	& 25 \euro/h\\ \hline
Poste 2	& 20 \euro/h\\ \hline
Poste 3	& 15 \euro/h\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ et $C$ les deux: matrices suivantes : $H = \begin{pmatrix}8&10&14\\6&6&10\\12&10 &18\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}25\\20\\15\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice produit $P = H \times C$.
		\item Que représentent les coefficients de la matrice $P = H \times C$ ?
	\end{enumerate}
\item  Apr\`es une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par mod\`ele
soient les suivants :
	
	\begin{center}
Mod\`ele 1 : 500 \euro{} ;\quad  Mod\`ele 2 : 350 \euro{} ;\quad Mod\`ele 3 : 650 \euro \end{center}
	
Il cherche \`a déterminer les nouveaux co\^uts horaires par poste, notés $a$,\: $b$ et $c$, permettant
d'obtenir ces prix de revient.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les réels $a$, $b$ et $c$ doivent \^etre solutions du syst\`eme $H \times \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}500\\350\\650\end{pmatrix}$.
		\item Déterminer les réels $a$,\: $b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fa\c{c}ade du magasin dans lequel sont commercialisées les planches est illuminée par un
tr\`es grand nombre de spots qui sont programmés de la mani\`ere suivante :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item les spots s'allument tous \`a 22 heures ;
\item toutes les 10 secondes \`a partir de 22 heures, et ce de mani\`ere aléatoire, 30\,\% des spots allumés s'éteignent et 50\,\% de ceux qui sont éteints se rallument.
\end{list}

On note : $A$ l'état: \og le spot est allumé\fg{} et $E$ l'état : \og le spot est éteint \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner un graphe probabiliste traduisant la situation.\index{graphe}
		\item Recopier et compléter la matrice de transition (dans l'ordre $A$,\: $E$) associée au graphe, $M = \begin{pmatrix}\ldots& 0,3\\0,5&\ldots\end{pmatrix}$.\index{matrice}
	\end{enumerate}
\item On note $n$ le nombre d'étapes (c'est \`a dire d'intervalles de temps de 10 secondes) qui
s'écoulent \`a partir de 22 heures et $P_n = \left(a_n\quad b_n\right)$ l'état d'un spot \`a l'étape $n$, o\`u $a_n$ est la probabilité qu'il soit allumé et $b_n$ la probabilité qu'il soit éteint.
	
On a alors, pour tout entier naturel $n$ :\: $P_{n+ 1} = P_n \times M$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$. 
		
		écrire une relation entre $P_0$ et $P_n$\,.
		\item Déterminer les coefficients de la matrice $P_3$\,. 
		
		Quelle est la probabilité que le spot considéré soit éteint \`a 22 heures et 30 secondes ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable $(a\quad b)$ du graphe probabiliste.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%% fin Polynésie  12 juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Asie 16  juin 2015    
\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 16 juin  2015}

\medskip

La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. 

La situation géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté $G_L$\,. La coopérative est située au
sommet~A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations ;
les ar\^etes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(11.8,7.9)
\rput(0.75,7.5){\ovalnode{A}{A}} \rput(7.2,7.5){\ovalnode{B}{B}} \rput(11.3,5.5){\ovalnode{C}{C}} 
\rput(10.3,2){\ovalnode{D}{D}} 
\rput(3.3,6.4){\ovalnode{E}{E}} \rput(0.3,2.7){\ovalnode{F}{F}} \rput(5.7,0.3){\ovalnode{G}{G}} \rput(6.7,4.3){\ovalnode{H}{H}} 
\ncline{A}{B} \ncline{A}{E} \ncline{A}{F} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{B}{H} \ncline{C}{D} \ncline{D}{F} 
\ncline{D}{G} \ncline{D}{H} \ncline{E}{F} 
\ncline{E}{H} \ncline{F}{G} \ncline{F}{H} 
\end{pspicture}
\end{center}
\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe $G_L$ est-il complet ? Justifier.\index{graphe complet}
		\item Le graphe $G_L$ est-il connexe ? Justifier.\index{graphe connexe}
	\end{enumerate}
\item Est-il possible d'organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en
terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant
une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse.
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $G_L$ (les sommets étant pris
dans l'ordre alphabétique).
	
On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
4 	&11 &3 &7 	&8 	&11 &3 &6\\
11 &8 	&7 &13 	&12 &8 	&6 &13\\
3 	&7 	&2 &7 	&5 	&6 	&2 &4\\
7	&13 &7 &8 	&8 	&13 &7 &12\\
8	&12 &5 &8 	&8 	&12 &5 &11\\
11 	&8 	&6 &13 	&12 &8 	&7 &13\\
3 	&6 	&2 &7 	&5 	&7 	&2 &4\\
6 	&13 &4 &12 	&11 &13 &4 &8
\end{pmatrix}$.

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A \`a H.

Indiquer ces chemins.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les ar\^etes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilom\`etres. La coopérative doit collecter du lait provenant de l'exploitation D ; quel est le plus court parcours pour se rendre de A \`a D ? Justifier.\index{algorithme de Dijskra}\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(11.8,7.9)
\cnodeput(0.75,7.5){A}{A} \cnodeput(7.2,7.5){B}{B} \cnodeput(11.3,5.5){C}{C} 
\cnodeput(10.3,2){D}{D} \cnodeput(3.3,6.4){E}{E} \cnodeput(0.3,2.7){F}{F} 
\cnodeput(5.7,0.3){G}{G} \cnodeput(6.7,4.3){H}{H} 
\ncline{A}{B}\ncput*{19} \ncline{A}{E}\ncput*{6}  \ncline{A}{F}\ncput*{10} 
\ncline{B}{C}\ncput*{13} \ncline{B}{D}\ncput*{20} \ncline{B}{E}\ncput*{7} 
\ncline{B}{H}\ncput*{7}  \ncline{C}{D}\ncput*{6}  \ncline{D}{F}\ncput*{25} 
\ncline{D}{G}\ncput*{15} \ncline{D}{H}\ncput*{13} \ncline{E}{F}\ncput*{5} 
\ncline{E}{H}\ncput*{14} \ncline{F}{G}\ncput*{12} \ncline{F}{H}\ncput*{8} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%% fin Asie  16 juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Antilles 24 juin  2015    
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, 24 juin 2015}
\medskip

Une municipalité vient de mettre en place le service \og vélo en liberté \fg. Il s'agit d'un service de location de vélos \`a la journée.

Les vélos sont disponibles sur deux sites $A$ et $B$ et doivent \^etre ramenés en fin de journée
indifféremment dans l'un des deux sites.

Apr\`es une étude statistique, on consid\`ere que :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item si un vélo est loué sur le site $A$, la probabilité d'\^etre ramené en $A$ est $0,6$ ;
\item si un vélo est loué sur le site $B$, la probabilité d'\^etre ramené en $B$ est $0,7$.
 \end{list}
 
Les résultats numériques seront arrondis \`a $10^{-2}$ pr\`es.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item En notant respectivement $A$ et $B$ les états \og le vélo est en $A$ \fg{} et \og le vélo est en $B$ \fg,
traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.\index{graphe}
\item  Donner $M$ la matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre
$A$,\: $B$.\index{matrice}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, apr\`es $n$ jours, sur le site $A$ (respectivement sur le site $B$).

On note $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ correspondant \`a l'état probabiliste apr\`es $n$ jours.

Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc
$P_0 = \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item On donne :

		\[M^2 = \begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}.\]
		
Calculer $P_2$ en donnant le détail des calculs matriciels.
		\item Calculer $P_4$ et interpréter le résultat dans le contexte du probl\`eme.
		\item Déterminer l'état stable du graphe, noté $\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$.
		\item Tous les mois, un véhicule est affecté \`a la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de $70$~vélos sur chaque site.
		
La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir $12$ vélos.
		
Ce choix parait-il adapté \`a la situation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%% fin Antilles 24 juin  2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole La Réunion 24  juin 2015    
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, 24 juin 2015}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On consid\`ere le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous :\index{graphe}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\cnodeput(2.5,4.5){A}{A}
\cnodeput(4.5,4.5){B}{B}
\cnodeput(2.7,2.5){C}{C}
\cnodeput(1,2.1){D}{D}
\cnodeput(3,0.7){E}{E}
\cnodeput(4.3,2.7){F}{F}
\cnodeput(6.8,3){G}{G}
\cnodeput(6.6,1){H}{H}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{D}
\ncline{B}{G}
\ncline{G}{H}
\ncline{B}{H}
\ncline{B}{F}
\ncline{F}{H}
\ncline{F}{E}
\ncline{E}{H}
\ncline{F}{C}
\ncline{C}{E}
\ncline{D}{E}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer en justifiant si ce graphe:
	\begin{enumerate}
		\item est connexe;
		\item admet une cha\^ine eulérienne.\index{cha\^ine eulérienne}
	\end{enumerate}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée \`a ce graphe en prenant les sommets
dans l'ordre alphabétique.
On donne :
\[M^3 = \begin{pmatrix}
0 	&5 	&2 	&3 	&2 	&2 	&1 	&3\\
5	&4	&3	&2	&5	&9	&6	&8\\
2	&3	&2	&1	&6	&6	&3	&3\\
3	&2	&1	&0	&5	&3	&2	&2\\
2	&5	&6	&5	&4	&8	&3	&9\\
2 	&9 	&6 	&3 	&8 	&6 	&3 	&9\\
1	&6	&3 	&2 	&3 	&3 	&2 	&6\\
3	&8	&3 	&2	&9	&9 	&6 	&6\\
\end{pmatrix}
\]

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E \`a B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Un club alpin souhaite proposer \`a ses membres des randonnées de plusieurs jours dans
les Alpes. \`A cet effet, huit refuges notés A, B, C, D, E, F, G et H ont été sélectionnés.

Le graphe $\mathcal{G}$ de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les sommets représentant les refuges et les ar\^etes schématisant tous les sentiers de randonnée balisés les reliant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'apr\`es l'étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de
proposer:
	\begin{enumerate}
		\item un itinéraire au départ du refuge A qui passerait par tous les refuges en empruntant une fois et une seule fois chacun des sentiers? si oui, proposer un tel itinéraire;
		\item des itinéraires de trois jours (un jour correspondant \`a une liaison entre deux refuges) reliant le refuge E au refuge B ? si oui, combien peut-il en proposer?
	\end{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par la longueur en kilom\`etres de chacun des
sentiers.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\cnodeput(2.5,4.5){A}{A}
\cnodeput(4.5,4.5){B}{B}
\cnodeput(2.7,2.5){C}{C}
\cnodeput(1,2.1){D}{D}
\cnodeput(3,0.7){E}{E}
\cnodeput(4.3,2.7){F}{F}
\cnodeput(6.8,3){G}{G}
\cnodeput(6.6,1){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{12}
\ncline{A}{D}\ncput*{14}
\ncline{B}{G}\ncput*{16}
\ncline{G}{H}\ncput*{11}
\ncline{B}{H}\ncput*{21}
\ncline{B}{F}\ncput*{9}
\ncline{F}{H}\ncput*{11}
\ncline{F}{E}\ncput*{16}
\ncline{E}{H}\ncput*{10}
\ncline{F}{C}\ncput*{10}
\ncline{C}{E}\ncput*{13}
\ncline{D}{E}\ncput*{10}
\end{pspicture}
\end{center}

Le club alpin désire aussi proposer \`a ses membres l'itinéraire le plus court reliant A \`a H.

Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilom\`etres.\index{algorithme de Dijskra}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion 24  juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie 9 septembre 2015
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 9 septembre 2015}

\medskip

Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l'utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone \`a Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans \`a venir.

Initialement, 40\,\% des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL.

Suite \`a l'instauration de la taxe, l'évolution du trafic dans la ville a été suivie mois apr\`es mois.

L'étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 3\,\% des automobiles circulant dans la zone ZTL n'y circulaient plus le mois suivant.
\item 0,2\,\% des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés \`a y circuler le mois suivant.
\end{list}

On note $Z$ l'état \og l'automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg{} et $\overline{Z}$ l'état 
\og l'automobile n'a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg.\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la proportion d'automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du $n$-i\`eme mois;
\item $b_n$ la proportion d'automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du $n$-i\`eme mois;
\item $P_n = \left(a_n\: b_n\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste apr\`es $n$ mois.
\end{list}

On a : $a_n + b_n = 1$ et $P_0 = \begin{pmatrix}0,4& 0, 6\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $Z$ et $\overline{Z}$.\index{graphe}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe (la premi\`ere colonne concerne $Z$ et la deuxi\`eme concerne $\overline{Z}$).\index{matrice}
		\item Vérifier que $P_1 = \begin{pmatrix}\np{0,3892}& \np{0,6108}\end{pmatrix}$.
 	\end{enumerate}
\item  L'objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\parbox{0.4\linewidth}{Un réseau de navettes gratuites est mis en
place entre des parkings situés aux abords
de la ville et les principaux sites de la ville.
 
Le graphe ci-contre indique les voies et les
temps des liaisons, en minutes, entre ces différents
sites.}\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{ \psset{unit=1.15cm}
\begin{pspicture}(6.5,5)
\cnodeput(2,4.5){A}{A}
\cnodeput(2,2.5){B}{B}
\cnodeput(2,0.5){C}{C}
\cnodeput(4,4.5){D}{D}
\cnodeput(4,0.5){E}{E}
\cnodeput(5.5,4.5){F}{F}
\cnodeput(6,2.5){G}{G}
\cnodeput(0.5,2.5){H}{P}
\ncline{A}{D}\ncput*{5}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{A}{H}\ncput*{9}
\ncline{A}{E}\ncput*{6}
\ncline{B}{H}\ncput*{8}
\ncline{B}{C}\ncput*{3}
\ncline{B}{E}\ncput*{5}
\ncline{C}{H}\ncput*{4}
\ncline{C}{E}\ncput*{9}
\ncline{D}{B}\ncput*{6}
\ncline{D}{E}\ncput*{4}
\ncline{D}{G}\ncput*{8}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{E}{G}\ncput*{10}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P \`a la gare G en desservant une et
une seule fois tous les sites ?
\item Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?
\item Déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P \`a la gare G.\index{algorithme de Dijskra}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie 9 septembre 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane septembre 2015
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, Septembre 2015}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables. \medskip

Le graphe ci-contre schématise son plan ; les ar\^etes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilom\`etre. }
\hfill
\parbox{7.7cm}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-.2,-0.2)(7.5,6)
\cnodeput(0.2,5.5){A}{A}
\cnodeput(2,5.5){B}{B}
\cnodeput(7,5.5){C}{C}
\cnodeput(7,1.5){D}{D}
\cnodeput(5.5,0.2){E}{E}
\cnodeput(0.2,1.5){F}{F}
\cnodeput(2,1.5){G}{G}
\ncline{A}{B}\ncput*{15}
\ncline{A}{F}\ncput*{30}
\ncline{B}{C}\ncput*{21}
\ncline{B}{D}\ncput*{25}
\ncline{B}{G}\ncput*{10}
\ncline{C}{D}\ncput*{20}
\ncline{D}{E}\ncput*{10}
\ncline{D}{G}\ncput*{17}
\ncline{E}{G}\ncput*{15}
\ncline{F}{G}\ncput*{20}
\end{pspicture}}
\medskip

\textbf{Partie A}

Pour faire son parcours, le cycliste décide qu'il proc\`edera selon l'algorithme ci-dessous :\index{algorithme} 
 
 \begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|m{1.2cm}|X|}\hline
ligne 1&Marquer sur le plan tous les villages comme non \og visités\fg \\ \hline
ligne 2& Choisir un village de départ \\ \hline
ligne 3&Visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ \hline
ligne 4&Rouler vers le village le plus proche\\ \hline
ligne 5& Tant que le village o\`u il arrive n'est pas un village déj\`a visité \\ \hline
ligne 6&\hspace{0.2cm}|visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ 
ligne 7 &\hspace{0.2cm}|rouler vers le village le plus proche sans revenir en arri\`ere\\ \hline
ligne 8& Fin Tant que\\ \hline
ligne 9&afficher la liste des villages visités \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle propriété du graphe permet \`a la ligne 4 d'\^etre toujours exécutable ? \index{graphe}
\item En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités ? 
\item Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages ? 
\item Le cycliste abandonne l'idée de suivre l'algorithme. Il souhaite maintenant, partant d'un village, y revenir apr\`es avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. 

Cela sera-t-il possible ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
                 
\begin{enumerate}
\item écrire la matrice $M$ de transition de ce graphe (dans l'ordre A,~B,~C,~\ldots~,~G).   
\item On donne la matrice $M^4$  :\index{matrice}
  
\[M^4 =\bordermatrix{
 &\text{A}		&\text{B}		&\text{C}		&\text{D}		&\text{E}		&\text{F}	&\text{G}\cr
\text{A}\,&10	&5		&9		&11   	&4   	&\textbf{1}   	&16\cr 
\text{B}\,&5 	&30   	&12  	&23 	&18   	&16  	&16\cr  
\text{C}\,&9 	&12   	&12  	&14  	&9   	&4   	&18\cr
\text{D}\,&11	& 23  	&14 	&28  	&14   	&11   	&23\cr   
\text{E}\,&4  	&18   	&9   	&14   	&12  	&9   	&12\cr   
\text{F}\,&1  	&16   	&4   	&11   	&9   	&10  	&5\cr   
\text{G}\,&16 	&16   	&18  	&23   	&12  	&5   	&30\cr
}\]

Interpréter le terme en gras, ligne A, colonne F (valant 1) dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole La Réunion 11 septembre 2015
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, 11 septembre 2015}

\medskip

Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque
mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30\,\% de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel
l'année suivante, alors que 85\,\% de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de
paiement l'année suivante.

En 2014, 60\,\% des clients paient en une fois et 40\,\% paient mensuellement.
\medskip

Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un nombre entier naturel.\medskip

On note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année $2014 + n$ ;
\item $b_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année $2014 + n$.
\end{list}

On a $a_0 = 0,6$ et $b_0 = 0,4$ et on note $P_n$ l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$. Ainsi
$P_0 = \begin{pmatrix}0,6& 0,4\end{pmatrix}$.\index{matrice}\medskip

On note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item A l'état \og le client paie en une fois \fg{} ;
\item B l'état \og le client paie mensuellement \fg.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B.\index{graphe}
\item écrire la matrice de transition M associée \`a ce graphe en prenant les sommets
dans l'ordre alphabétique.
\item Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018
(arrondir les résultats au milli\`eme).
\item Déterminer l'état stable et en donner une interprétation.
\item Pour tout entier naturel $n$, justifier que $a_{n+1} = 0,55\,a_n + 0,15$.
\item On cherche \`a déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
	\begin{enumerate}
		\item écrire un algorithme permettant de déterminer cet entier $n$.
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
		\[a_n  = \dfrac{4}{15} \times 0,55^n + \dfrac{1}{3}.\]
		
Déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole La Réunion 11 septembre 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle Calédonie 19 novembre 2015
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, 19 novembre 2015}

\medskip

L'été, un centre de loisirs propose aux adolescents la pratique du cano\"e-kayak ou de la planche \`a rame.

Tous les matins, chaque adolescent doit choisir un et un seul sport parmi les deux proposés.

On admet que :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item si un adolescent choisit le cano\"e-kayak un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse la planche \`a rame le jour suivant est égale \`a $0,4$ ;
\item si un adolescent choisit la planche \`a rame un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse le cano\"e-kayak le jour suivant est égale \`a $0,2$ ;
\item le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le  cano\"e-kayak est égale \`a $0,85$.
\end{list}
\medskip

On note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item$K$ l'état : \og l'adolescent choisit le cano\"e-kayak \fg{} ;
\item$\overline{K}$ l'état : \og l'adolescent choisit la planche \`a rame \fg.
\end{list}\medskip

On note, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $p_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse le cano\"e-kayak lors du $n$-i\`eme jour ;
\item $q_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse la planche \`a rame le $n$-i\`eme jour ;
\item$ P_n = \begin{pmatrix}p_n&q_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors du $n$-i\`eme jour.
\end{list}
\medskip

\emph{Les deux parties peuvent \^etre traitées indépendamment.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $K$ et $\overline{K}$.\index{graphe}
\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe, les sommets $K$ et $\overline{K}$ étant classés dans cet ordre.\index{matrice}
\item Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}0,85& 0,15\end{pmatrix}$.
\item Avec la calculatrice, déterminer l'état probabiliste lors du 3\up{e} jour.
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, montrer que $p_{n+1} = 0,4\,p_n + 0,2$.
\item On consid\`ere l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}\hline
\textbf{Initialisation}&Choisir un nombre entier naturel $N \geqslant 2$\\
&$p$ prend la valeur $0,85$\\
\textbf{Traitement}&Pour $i$ allant de $2$ \`a $N$\\
&\hspace{0.5cm}$p$ prend la valeur $0,4\,p +0,2$\\
&Fin pour\\
\textbf{Sortie}&Afficher $p$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $N = 5$ saisie, recopier et compléter le tableau suivant par
autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de
l'algorithme. Arrondir les résultats au milli\`eme.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $i$	&*****&2	&	&\\ \hline
Valeur de $p$	&0,85	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $N$ saisie est $5$.
		\item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le
nombre obtenu en sortie de cet algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

D'apr\`es la partie A, on sait que $p_{n+1} = 0,4\,p_n + 0,2$ pour tout entier naturel 
$n \geqslant 1$.

On admet que $p_n = \dfrac{31}{60} \times 0,4^{n - 1} + \dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
\item Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle Calédonie 19 novembre 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud 25 novembre 2015
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 25 novembre 2015}

\medskip 

Claudine est une passionnée de lecture abonnée \`a l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine \`a la biblioth\`eque et demande ou non l'avis de la bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg.

Lorsque Claudine demande \`a la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle le demande de nouveau la semaine suivante est $0,9$.

Lorsque Claudine ne demande pas \`a la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est $0,6$.

La premi\`ere semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis \`a la bibliothécaire la $n$-i\`eme semaine;
\item $b_n$ la probabilité que Claudine ne demande pas d'avis \`a la bibliothécaire la $n$-i\`eme semaine;
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste la $n$-i\`eme semaine.\index{graphe}
\end{list}

\smallskip

On a ainsi $a_1 = 0,1$ et $b_1 = 0,9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B :
		
A représente l'état \og Claudine demande un avis \`a la bibliothécaire\fg{} et
B représente l'état \og Claudine ne demande pas d'avis \`a la bibliothécaire \fg.
		\item Indiquer la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B).
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'on a $P_2 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'état stable de la répartition du choix de la demande d'avis est $P = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
\[a_{n+1} = 0,5\,a_n + 0,4\]
	
On consid\`ere l'algorithme suivant :\index{algorithme}
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES : 	&$A$ est un réel et $N$ est un entier naturel\\ \hline
INITIALISATION :&$A$ prend la valeur $0,1$\\
				&$N$ prend la valeur 1\\ \hline
TRAITEMENT :	&Tant que $A \leqslant 0,79$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
				&\hspace{0.4cm}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\
				&Fin du Tant que\\ \hline
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée en sortie d'algorithme.)
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, m\^eme incompl\`ete, ou d'initiative, m\^eme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
\[a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}\]

Déterminer le nombre de semaines \`a partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure \`a $0,799$.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, mars 2016}

Deux supermarchés concurrents, Alphamarché et Bétamarché ouvrent simultanément un
service de retrait permettant \`a leurs clients de récupérer leurs courses apr\`es avoir passé leur commande sur internet.

Afin de promouvoir leur service de retrait, chacun organise une campagne de publicité.

Alphamarché contr\^ole l'efficacité de sa campagne par des sondages mensuels o\`u les clients qui utilisent les services de retrait se prononcent tous en faveur d'un seul service de retrait, celui d'Alphamarché ou celui de Bétamarché.

Au début de la campagne, 20\,\% des personnes interrogées préf\`erent Alphamarché.

Les sondages mensuels ont permis de mettre en évidence que les arguments publicitaires font évoluer chaque mois la répartition. 

On décide de modéliser cette évolution en considérant que 10\,\% des personnes préférant Alphamarché et 15\,\% des personnes préférant Bétamarché changent d'avis d'un mois sur l'autre.

Le mois du début de la campagne est noté mois $0$.

On interroge, au hasard, un client faisant ses courses dans l'un des deux services de retrait.\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que le client interrogé préf\`ere Alphamarché le mois $n$ ;
\item $b_n$ la probabilité qu'il préf\`ere Bétamarché le mois $n$ ;
\item $P_n = \left(a_n\:\: b_n\right)$ la matrice ligne désignant l'état probabiliste au mois $n$.
\end{list} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.
\item On note $A$, l'état \og le client interrogé préf\`ere Alphamarché \fg{} et $B$ l'état \og le client interrogé préf\`ere Bétamarché \fg.

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
		\item Montrer que $P_1 = (0,3 \quad 0,7)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n,\: P_n$ en fonction de $P_0$\,, $M$ et $n$.
		\item En déduire la matrice ligne $P_3$ et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Le service de retrait d'Alphamarché finira-t-il par \^etre préféré \`a celui de Bétamarché ? Justifier.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 21 avril 2016}

Une étude statistique sur une population d'acheteurs a montré que :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 90\,\% des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet affirment vouloir continuer \`a utiliser internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur
prochain achat en magasin;
\item 60\,\% des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer \`a effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant internet.
\end{list}


Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs.

On note :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que cette personne fasse son $n$-i\`eme achat sur internet;
\item $b_n$ la probabilité que cette personne fasse son $n$-i\`eme achat en magasin.
\end{list}
On suppose de plus que $a_1 = 1$ et $b_1 = 0$.

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant au $n$-i\`eme achat. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.

On note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $A$ l'état \og a personne effectue son achat sur internet\fg;
\item $B$ l'état \og La personne effectue son achat en magasin \fg.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
\item écrire la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la matrice $M^4$.
		\item En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5\up{\`eme} achat sur internet est égale \`a \np{0,8125}.
	\end{enumerate}
\item On note $P = (a\quad b)$ l'état stable associé \`a ce graphe.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du syst\`eme :
		
		\[\left\{\begin{array}{l}
0,1\,a-0,4\,b= 0\\
a +b =1
\end{array}\right.\]
		\item Résoudre le syst\`eme précédent.
		\item \`A long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
		\[a_{n+1} = 0,5\,a_n + 0,4\]
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n \leqslant 0,801$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables:}			&$N$ est un entier naturel\\
							&$A$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation :}	&Affecter \`a $N$ la valeur 1\\
							&Affecter \`a A la valeur 1\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que \ldots\\
							&\begin{tabular}{m{0.4cm}| l}
								&Affecter \`a $A$ la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\
								&Affecter \`a $N$ la valeur \ldots.
								\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}								
\end{center}
		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 31 mai 2016}

L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.\medskip

C'est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n'ont que deux choix possibles : soit ils s'occupent eux-m\^emes de l'entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l'entreprise PiscinePlus.\medskip

On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant.\medskip

Le patron de cette entreprise remarque que chaque année :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 12\,\% des particuliers qui entretenaient eux-m\^emes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l'entreprise PiscinePlus ;
\item 20\,\% de particuliers sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-m\^emes leur piscine.
\end{list}\medskip 
 
Cette situation peut \^etre modélisée par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $L$ o\`u 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $C$ est l'év\`enement \og Le particulier est sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus \fg{} ;
\item $L$ est l'év\`enement \og Le particulier effectue lui-m\^eme l'entretien de sa piscine \fg.
\end{list} \medskip

Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier naturel $n$ :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $c_n$ la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus l'année $2015 + n$ ;
\item $\ell_n$ la probabilité que ce particulier entretienne lui-m\^eme sa piscine l'année $2015 + n$.
\end{list} 

On note $P_n = \begin{pmatrix} c_n& \ell_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.\medskip

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'entreprise PiscinePlus atteindra l'objectif d'avoir au moins 35\,\% des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d'entretien.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition associée au graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre $C$ et $L$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'état stable de ce graphe est $P = \begin{pmatrix}0,375& 0,625\end{pmatrix}$.
		\item Déterminer, en justifiant, si l'entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 2015, on sait que 15\,\% des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus. On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}0,15& 0,85\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,68\, c_n + 0,12$.
\item \`A l'aide d'un algorithme, on cherche \`a conna\^itre au bout de combien d'années l'entreprise PiscinePlus atteindra son objectif :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline
L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
L2& 			&$C$ est un nombre réel\\
L3& Traitement :&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\
L4& 			&Affecter \`a $C$ la valeur $0,15$\\
L5& 			&Tant que $C < 0,35$ faire\\
L6&				&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
L7&				&\hspace{0,5cm} $C$ prend la valeur $0,68C + 0,12$\\
L8&				& Fin Tant que\\
L9& Sortie :	& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au milli\`eme.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|>{\centering}m{1.5cm}|m{1.5cm}|X|}\hline 
Valeur de $n$	&0	&	&\\ \hline
Valeur de $C$	&0,15	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner la valeur affichée \`a la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} =  0,68\,c_n +  0,12$ et que $c_0 = 0,15$.
	
On pose, pour tout entier naturel $n,\: v_n = c_n -  0,375$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. 
		
		En préciser la raison et le premier terme.
	\end{enumerate}
		
On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_n = - 0,225 \times  0,68^n + 0,375$.
\begin{enumerate}		
\setcounter{enumii}{1}
\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $c_n \geqslant  0,35$.
		\item Quel résultat de la question \textbf{2.} retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 1\up{er} juin 2016}

Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement.

Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis: 10\,\% des abonnés \`a la version papier passent \`a la version numérique et 6\,\% des abonnés \`a la version numérique passent \`a la version papier.

On admet que le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item$a_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l'année $2010 + n$ ;
\item$b_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l'année $2010 + n$ ;
\item$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice correspondant \`a l'état probabiliste de l'année $2010 + n$.
\end{list}

\smallskip

On a donc $a_0 = 1,~ b_0 = 0$ et $P_0 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B o\`u le sommet A représente l'état \og abonné \`a la version papier\fg{} et B l'état \og abonné \`a la version numérique \fg.
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A, B des sommets.
		\item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,9& 0,1\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,9\,a_n + 0,06\,b_n$ et $b_{n+1} = 0,1\,a_n + 0,94\,b_n$.
	
Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l'évolution des deux types d'abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1cm}|X|}
\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{l}{}&\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 2}}\\[1mm]\cline{1-1}\cline{3-3}
Entrée&&Entrée\\
Saisir $n$&&Saisir $n$\\
Traitement&&Traitement\\
$a$ prend la valeur 1&&$a$ prend la valeur 1\\
$b$ prend la valeur $0$&&$b$ prend la valeur 0 \\
Pour $i$ allant de $1$ \`a $n$&&Pour $i$ allant de $1$ \`a $n$\\
\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$&&\hspace{0,4cm}$c$ prend la valeur  $a$\\
\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times a + 0,94 \times b$&&\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$\\
\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$&&\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times c + 0,94 \times b$\\
Fin Pour&&\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$\\\cline{1-1}
\multicolumn{1}{c}{}&&Fin Pour\\ \cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}

Sachant qu'un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,84\, a_n + 0,06$.
		\item On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = a_n - 0,375$.
		
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer $u_0$\,.
		\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $a_n = 0,375 + 0,625 \times 0,84^n$.
	\end{enumerate}
\item En résolvant une inéquation, déterminer l'année \`a partir de laquelle la proportion d'abonnés \`a la version papier du magazine devient inférieure \`a 50\,\%.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 8 juin 2016}

\parbox{0.5\linewidth}{Une compagnie aérienne utilise huit aéroports que l'on nomme A, B, C, D, E, F, G et H.

Entre certains de ces aéroports, la compagnie propose des vols dans les deux sens.

Cette situation est représentée par le graphe $\Gamma$ ci-contre, dans lequel :

\begin{enumerate}
\item les sommets représentent les aéroports,
\item les ar\^etes représentent les liaisons assurées dans les deux
sens par la compagnie.
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{7cm}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B}
\cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D}
\cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F}
\cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{D}\ncline{A}{E}
\ncline{B}{C}\ncline{D}{B}\ncline{B}{F}
\ncline{C}{D}\ncline{C}{G}\ncline{D}{E}
\ncline{F}{G}\ncline{G}{H}\ncline{E}{H}
\end{pspicture}
}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est complet. 
		\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est connexe.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ admet une cha\^ine eulérienne. Si oui, donner une
telle cha\^ine.
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $\Gamma$ en respectant l'ordre alphabétique des
sommets du graphe.
\item Pour la suite de l'exercice, on donne les matrices suivantes : 
 
\[M^2= \begin{pmatrix}3&1& 2& 2& 1& 1& 0& 1\\
	1 &4 &1 &2 &2 &0 &2 &0\\
	2 &1 &3 &1 &1 &2 &0 &1\\
2 &2 &1 &4 &1 &1 &1 &1\\
1&2&1&1&3&0&1&0\\
1 &0 &2 &1 &0 &2 &0 &1\\
0 &2 &0 &1 &1 &0&3&0\\ 
1 &0 &1 &1 &0 &1 &0&2\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\: M^3 = \begin{pmatrix}
 4 &8 &3 &7 &6 &1 &4 &1\\
 8 &4 &8 &8 &3 &6 & 1 & 4\\
 3 &8 &2 &7 &4 &1 &6 &1\\
7 &8 &7 &6 &7 &3 &3 &2\\
6 &3 &4 &7 &2 &3& 1 &4\\
1& 6 &1 &3 &3 &0 &5 &0\\
4 &1 &6&3 &1 &5 &0& 4\\
1 &4 &1 &2 &4 &0 &4 &0\end{pmatrix}\]

Un voyageur souhaite aller de l'aéroport B \`a l'aéroport H.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre minimal de vols qu'il doit prendre, Justifier les réponses \`a l'aide des matrices données ci-dessus.
		\item Donner tous les trajets possibles empruntant trois vols successifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\parbox{0.5\linewidth}{\textbf{Partie B}

\medskip

Les ar\^etes sont maintenant pondérées par le co\^ut de chaque vol, exprimé en euros.

Un voyageur partant de l'aéroport A doit se rendre \`a l'aéroport G.

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet le moins cher.}\hfill
\parbox{7cm}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B}
\cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D}
\cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F}
\cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{40}\ncline{A}{D}\ncput*{100}\ncline{A}{E}\ncput*{45}
\ncline{B}{C}\ncput*{110}\ncline{B}{D}\ncput*{50}\ncline{B}{F}\ncput*{120}
\ncline{D}{C}\ncput*{60}\ncline{C}{G}\ncput*{50}\ncline{E}{D}\ncput*{40}
\ncline{F}{G}\ncput*{55}\ncline{H}{G}\ncput*{80}\ncline{E}{H}\ncput*{90}
\end{pspicture}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 10 juin 2016}

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\emph{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On donne le graphe probabiliste suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.25)(6.5,1.25)
\cnodeput(1,0){A}{A}\cnodeput(5,0){B}{B}
\psset{nodesep=1.5pt,arcangle=30,arrowsize=3pt 3}
\ncarc{->}{A}{B}\Aput{0,6}
\ncarc{->}{B}{A}\Aput{0,3}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,4}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,7}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Affirmation A :} L'état stable associé \`a ce graphe est $\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.\bigskip

\item On donne le graphe pondéré $G$ suivant :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\cnodeput(0.5,1.5){A}{A}
\cnodeput(2,2.5){B}{B}
\cnodeput(5.5,2.5){C}{C}
\cnodeput(7,1.5){D}{D}
\cnodeput(5.5,0.5){E}{E}
\cnodeput(2,0.5){F}{F}
\ncline{A}{B} \ncput*{2}
\ncline{A}{F} \ncput*{1}
\ncline{B}{C} \ncput*{3}
\ncline{B}{E} \ncput*[npos=0.75]{2}
\ncline{B}{F} \ncput*{2}
\ncline{C}{D} \ncput*{1}
\ncline{C}{F} \ncput*[npos=0.75]{4}
\ncline{D}{E} \ncput*{1}
\ncline{E}{F} \ncput*{4}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Affirmation B :} Il existe une cha\^ine passant une et une seule fois par toutes les ar\^etes de ce graphe.\medskip

\textbf{Affirmation C :} La plus courte cha\^ine entre les sommets A et D est une cha\^ine de poids 5.\bigskip

\item On consid\`ere la matrice
\[M = \begin{pmatrix}
0 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &1\\0 &1 &0 &0\\1 &1&0&0\end{pmatrix}.\]

On suppose que $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe \`a quatre sommets $A$, $B$, $C$, $D$ dans cet ordre.\medskip

\textbf{Affirmation D :} Il existe exactement 3 cha\^ines de longueur 4 reliant le sommet $B$ au sommet $D$.\bigskip

\item On consid\`ere les matrices $A = \begin{pmatrix}a&0\\0&a \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&a\end{pmatrix}$.\medskip

\textbf{Affirmation E :} Il existe un nombre réel $a$ pour lequel $B$ est l'inverse de $A$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, 22 juin 2016}

Afin de se préparer \`a courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing \`a compter du 1\up{er} janvier 2014.

On admet que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;
\item s'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,4.
\end{list}
\medskip

On note $C$ l'état \og Hugo court \fg{} et $R$ l'état \og Hugo ne court pas \fg.\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $c_n$ la probabilité de l'év\`enement \og Hugo court le $(n + 1)$-i\`eme jour \fg{} ;
\item $r_n$ la probabilité de l'év\`enement \og Hugo ne court pas le $(n + 1)$-i\`eme jour\fg{} ;
\item $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}c_n& r_n\end{pmatrix}$ correspondant \`a l'état probabiliste le $(n + 1)$-i\`eme jour.
\end{list}

\smallskip

Le 1\up{er} janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc : $P_0 = \begin{pmatrix}c_0& r_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R.
\item  écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
\item  On donne $M^6 = \begin{pmatrix}\np{0,750016}&  \np{0,249984} \\\np{0,749952} &\np{0,250048}\end{pmatrix}$á

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_6$ qu'Hugo coure le 7\up{\`eme} jour ?

Déterminer une valeur approchée \`a $10^{-2}$ pr\`es de $c_6$\,.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$\,.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1} = 0,2\,c_n + 0,6$.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on consid\`ere la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = c_n - 0,75$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. 
		
		Préciser le premier terme.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		
Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_n = 0,75 + 0,25\times 0,2^n$.
		\item Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ?
		\item Conjecturer alors l'état stable de ce graphe.

Comment valider votre conjecture ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 22 juin 2016}

\textbf{Partie A}\bigskip

On consid\`ere le graphe $\mathcal G$ ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
%%% ligne du milieu
\cnodeput(0,0){A}{A} \cnodeput(2.5,0){C}{C} \cnodeput(5,0){F}{F}
\cnodeput(7.5,0){I}{I} \cnodeput(10,0){K}{K}
%%% ligne du bas
\cnodeput(2.5,-2.5){B}{B} \cnodeput(5,-2.5){E}{E} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{H}
%%% ligne du haut
\cnodeput(2.5,2.5){D}{D} \cnodeput(5,2.5){G}{G} \cnodeput(7.5,2.5){J}{J}
%%% ar\^etes
\ncline{A}{B} \ncline{A}{C} \ncline{A}{D}
\ncline{C}{E} \ncline{C}{F} \ncline{C}{G} 
\ncline{F}{H} \ncline{F}{I} \ncline{F}{J}
\ncline{B}{E} \ncline{B}{F}
\ncline{D}{F} \ncline{D}{G}
\ncline{E}{I} \ncline{E}{H}
\ncline{H}{K} \ncline{I}{K} \ncline{J}{K}
\ncline{G}{J} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une cha\^ine eulérienne. 

Si oui, donner une telle cha\^ine.

\item On consid\`ere la matrice $M$ ci-apr\`es ($a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels).


\[M=
\left(
\begin{array}{*{11}{c}}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & a & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & d & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 
\end{array}
\right)
\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal G$, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.

\item On donne

\[
M^3=
\left(
\begin{array}{ccccccccccc}
0 & 8 & 10 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 5 & 0 \\ 
8 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 6 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 
10 & 0 & 0 & 0 & 11 & 16 & 9 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 
8 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 8 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 
0 & 10 & 11 & 7 & 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 7 & 0 \\ 
0 & 13 & 16 & 12 & 0 & 0 & 0 & 13 & 13 & 12 & 0 \\ 
0 & 6 & 9 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 7 & 0 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 7 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 
0 & 5 & 6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 8 & 7 & 0
\end{array}
\right) 
\]

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A \`a J. 

Préciser ces chemins.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\bigskip

On oriente et on pond\`ere le graphe $\mathcal G$ ci-dessus pour qu'il représente un réseau d'irrigation. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
\cnodeput(0,0){A}{A} \cnodeput(2.5,0){C}{C} \cnodeput(5,0){F}{F}
\cnodeput(7.5,0){I}{I} \cnodeput(10,0){K}{K}
\cnodeput(2.5,-2.5){B}{B} \cnodeput(5,-2.5){E}{E} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{H}
\cnodeput(2.5,2.5){D}{D} \cnodeput(5,2.5){G}{G} \cnodeput(7.5,2.5){J}{J}
\ncline{->}{A}{B} \ncput*{2}
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{5} 
\ncline{->}{A}{D} \ncput*{3}
\ncline{->}{C}{E} \ncput*[npos=0.75]{3}  
\ncline{->}{C}{F} \ncput*{2} 
\ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.75]{5}    
\ncline{->}{F}{H} \ncput*[npos=0.75]{3}   
\ncline{->}{F}{I} \ncput*{4} 
\ncline{->}{F}{J} \ncput*{5}
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{6} 
\ncline{->}{B}{F} \ncput*[npos=0.75]{2}  
\ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.75]{4}   
\ncline{->}{D}{G} \ncput*{5}
\ncline{->}{E}{I} \ncput*[npos=0.75]{2}  
\ncline{->}{E}{H} \ncput*{1}
\ncline{->}{H}{K} \ncput*{2} 
\ncline{->}{I}{K} \ncput*{3} 
\ncline{->}{J}{K} \ncput*{3}
\ncline{->}{G}{J} \ncput*{5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le sommet A correspond au départ d'eau, le sommet K au bassin d'infiltration et les autres sommets représentent les stations de régulation.

\item Les ar\^etes représentent les canaux d'irrigation et les fl\`eches, le sens du ruissellement. 

\item La pondération donne, en km, les distances entre les différentes stations du réseau.
\end{list}

Déterminer un chemin de longueur minimale entre le départ d'eau en A et le bassin d'infiltration en K et donner sa longueur.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Antilles-Guyane \fg, 23 juin 2016}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip


\parbox{0.46\linewidth}
{\textbf{Partie A}

\medskip

Des touristes sont logés dans un h\^otel H.\smallskip

Un guide souhaite faire visiter la région \`a ces touristes en empruntant les routes signalées comme d'intér\^et touristique par l'office du tourisme.\smallskip

Les tron\c{c}ons de route qu'il souhaite emprunter sont représentés sur le graphe ci-contre.\smallskip

Le long de chaque ar\^ete  figure la distance en kilom\`etres des différents tron\c{c}ons.}
\hfill 
\parbox{8.575cm}{{\psset{unit=1.675cm}
\begin{pspicture}(0.3,0.3)(5.2,4.7)
\cnodeput(0.5,3.5){B}{B}
\cnodeput(3,1.5){C}{C}
\cnodeput(4,4){D}{D}
\cnodeput(4.25,0.5){E}{E}
\cnodeput(5,1){F}{F}
\cnodeput(2.5,0.75){G}{G}
\cnodeput(2.75,4.5){H}{H}
\ncline{B}{G} \ncput*{13}
\ncline{B}{H} \ncput*{12}
\ncline{C}{D} \ncput*{8}
\ncline{C}{F} \ncput*{11}
\ncline{C}{G} \ncput*{7}
\ncline{C}{H} \ncput*{20}
\ncline{D}{F} \ncput*{21}
\ncline{D}{H} \ncput*{9}
\ncline{E}{F} \ncput*{3}
\ncline{E}{G} \ncput*{9}
\ncline{F}{G} \ncput*{5}
\end{pspicture}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le guide peut-il emprunter tous les tron\c{c}ons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'h\^otel et en y revenant ? Justifier la réponse.
		\item Le guide peut-il emprunter tous les tron\c{c}ons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'h\^otel mais sans forcément y revenir ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Un musée est situé en E. 

Déterminer le plus court chemin menant de l'h\^otel H au musée E. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'office de tourisme évalue chaque année les h\^otels de sa région et répertorie les meilleurs sur son site internet.

On admet que, dans cette région, la création ou la disparition d'h\^otels est négligeable. 

On constate que, chaque année :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 10\,\% des h\^otels répertoriés ne seront plus répertoriés l'année suivante ;
\item 20\,\% des h\^otels non répertoriés sur le site seront répertoriés l'année suivante.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Réaliser un graphe décrivant cette situation (on notera $R$ l'év\`enement \og  l'h\^otel est répertorié \fg{}   et $\overline{R}$ son év\`enement contraire).
\item écrire la matrice de transition de ce graphe.
\item En 2015, 30\,\% des h\^otels de la région étaient répertoriés.

 Quel pourcentage d'h\^otels sera répertorié en 2016 ? en 2017 ?
\item Quel pourcentage d'h\^otels serait répertorié \`a long terme ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, 14 septembre 2016}

Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre o\`u chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. \medskip

Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. 

Les sommets représentent des lieux o\`u sont placés les indices ; les ar\^etes représentent des chemins pédestres qui les relient. 
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(14.5,8.5)
\psset{linewidth=1pt}
\cnodeput(2,5){A}{A}
\cnodeput(6,6){B}{B}
\cnodeput(10,5){C}{C}
\cnodeput(5,3){D}{D}
\cnodeput(0,1){E}{E}
\cnodeput(11,8){F}{F}
\cnodeput(14,4){G}{G}
\cnodeput(12,0){H}{H}
\ncline{A}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{A}\ncline{A}{B} \ncline{B}{D} \ncline{D}{C} \ncline{C}{B} \ncline{B}{F} \ncline{F}{C} \ncline{C}{H} \ncline{H}{G} \ncline{G}{F}
\end{pspicture}\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée \`a ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).
 
On donne la matrice $M^4=
\begin{pmatrix}
20 	& 18 & 20 	& 21 	& 11 	& 13 	& 5 	& 5\\
18 	& 32 & 25 	& 25 	& 17 	& 16 	& 10 	& 10\\
20 	& 25 & 31 	& 19 	& 13 	& 13 	& 14 	& 5\\
21 	& 25 & 19 	& 31 	& 13 	& 21 	& 4 	& 12\\
11 	& 17 & 13 	& 13 	& 11 	& 6 	& 4 	& 3 \\
13 	& 16 & 13 	& 21 	& 6 	& 20 	& 3 	& 13\\
5 	& 10 & 14 	& 4 	& 4 	& 3 	& 9 	& 1\\
5 	& 10 & 5 	& 12 	& 3 	& 13 	& 1 	& 10
\end{pmatrix}$.
 
Déterminer le nombre de parcours allant de E \`a H en 4 chemins pédestres. 

Les citer tous. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip 
 
Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente en minutes \`a la billetterie du parc en fonction de l'heure. 

Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h \`a 16 h. \newpage

On obtient le relevé suivant : \medskip

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(19,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(19,12)
\psset{xunit=.6cm,yunit=.3cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(19,24)
\uput[dl](19.5,0){$x$} \uput[dl](0,24.5){$y$}
\psdots[linewidth=1pt](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2)
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, \`a 10 h, il y avait 14 minutes d'attente \`a la billetterie.
 
On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui \`a l'heure associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente. 

On choisit de modéliser cette situation \`a l'aide de la fonction $f$ définie par :
\[f(x)=a\,x^2 + b\,x + c\] 
avec $a$, $b$, $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points $(9\,;9)$, $(11\,;20)$ et $(16\,;2)$ appartiennent \`a la représentation graphique de $f$. 
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les trois réels $a$, $b$ et  $c$.
\item En utilisant ce mod\`ele, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut \^etre inférieure \`a dix minutes. 
\end{enumerate} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Antilles-Guyane \fg, septembre 2016}

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées: Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).

D'une semaine sur l'autre les abonnés peuvent changer d'activité.

Au 1\up{er} septembre 2015, il y a 10\,\% des abonnés inscrits en Pilates, 85\,\% en Step et 5\,\% en Zumba.

D'apr\`es l'analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d'une semaine sur l'autre :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item si l'abonné était en Pilates, la semaine suivante il conserve Pilates dans 30\,\% des cas, sinon
il choisit Step dans 10\,\% des cas et Zumba dans 60\,\% des cas;
\item si l'abonné était en Step, la semaine suivante il conserve Step dans 30\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 50\,\% des cas et Zumba dans 20\,\% des cas;
\item si l'abonné était en Zumba, la semaine suivante il conserve Zumba dans 20\,\% des cas, sinon il choisit Pilates dans 20\,\% des cas et Step dans 60\,\% des cas.
\end{list}
\medskip


On consid\`ere qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année.\medskip

Soit $E_n = \begin{pmatrix}p_n& s_n& z_n\end{pmatrix}$, la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et Z, $n$ semaines apr\`es le 1\up{er} septembre 2015.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, la matrice $E_0$\,.
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z.
\item On donne $M$ la matrice carrée $3 \times 3$ de transition respectant l'ordre P, S et Z.

\[M = \begin{pmatrix}0,3&0,1&0,6\\
0,5 &0,3& 0,2\\
0,2 &0,6& 0,2\end{pmatrix}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Préciser la signification du coefficient $0,5$ dans la matrice $M$.
		\item Calculer $E_1$\,.
		\item Déterminez la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines.
	\end{enumerate}
\item Peut-on affirmer, \`a $10^{-2}$ pr\`es, qu'au bout de 6 semaines environ 1/3 des abonnés se répartissent dans chaque activité ?
\item Au 1\up{er} septembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. 

Combien peut-on prévoir d'abonnés dans chaque activité, 8 semaines apr\`es cette date ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne $E$ correspondant \`a l'état probabiliste stable.
		\item Vérifier cette conjecture.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, 16 novembre 2016}

Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons.

Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est de 0,7.

Par contre, lorsqu'il ne  réussit pas un plongeon, la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est égale  \`a 0,2.

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.

L'état \og plongeon réussi \fg{} est noté $R$.

L'état \og plongeon non réussi \fg{} est noté $\overline{R}$.

Pour tout entier naturel $n > 1$, la probabilité que Pierre réussisse son $n$-i\`eme plongeon est notée $a_n$\,, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son $n$-i\`eme plongeon est notée $b_n$\,.

La matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du syst\`eme lors du $n$-i\`eme plongeon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $R$ et $\overline{R}$.
\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe, les sommets $R$ et $\overline{R}$ étant classés dans cet ordre.
\item Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}$.
\item Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatri\`eme plogeon.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,~a_{n+1} =  0,5\,a_n + 0,2$.
\item Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale \`a $0,41$, le ma\^itre-nageur demande \`a Pierre de faire une pause.

On cherche alors \`a déterminer au bout de combien d'essais Pierre arr\^ete sa série de plongeons.

On cherche donc \`a déterminer le plus petit entier naturel $n \geqslant 1$ tel que $a_n \leqslant 0,41$.

Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre \`a la question posée.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
Affecter \`a $N$ la valeur $1$\\
$A$ prend la valeur $1$\\
\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que \ldots \ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm}$N$ prend la valeur \ldots \ldots.\\
\hspace{0.5cm}$A$ prend la valeur \ldots \ldots.\\
Fin Tant que\\
 \\
\textbf{Sortie}\\ 
Afficher \ldots \ldots \ldots\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par :\[u_n = a_n - 0,4.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n  \geqslant 1,\: a_n = 0,6 \times  0,5^{n-1} + 0,4$.
		\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \leqslant 0,41$.
		\item Au bout de combien d'essais Pierre arr\^ete-t-il sa série de plongeons ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 24 novembre 2016 (6 points)}

\emph{Les parties A et B peuvent \^etre traitées de fa\c{c}on indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un groupe de touristes a réservé toutes les chambres d'un h\^otel-restaurant \`a Venise qui propose tous les soirs \`a ses pensionnaires le choix entre un menu gastronomique et un menu traditionnel.

On consid\`ere, pour la modélisation, que chaque soir les clients choisissent un des deux menus et que le restaurant est réservé aux clients de l'h\^otel.

Une étude sur les habitudes des clients montre que, si un soir donné, un client choisit le menu gastronomique, il choisit également le menu gastronomique le soir suivant dans 60\,\% des cas.

Si le client choisit le menu traditionnel un soir donné, il choisit également le menu traditionnel le soir suivant dans 70\,\% des cas.

\smallskip

Afin de mieux prévoir ses commandes pour la saison estivale, le gérant souhaite conna\^itre la proportion de clients choisissant le menu gastronomique ou le menu traditionnel \`a partir du 1\up{er} juin 2015.  Ce soir-l\`a, 55\,\% des clients ont choisi le menu gastronomique.

\smallskip

On note $g_0$ la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 1\up{er}~juin 2015 ; on a donc $g_0 = 0,55$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal \`a 1, on note $g_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne le menu gastronomique le $n$-i\`eme soir apr\`es le 1\up{er} juin 2015.

Ainsi, $g_1$ est la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 2~juin 2015.

De la m\^eme fa\c{c}on, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal \`a 1, on note $t_n$ la probabilité qu'un client, choisi au hasard, prenne le menu traditionnel le $n$-i\`eme soir apr\`es le 1\up{er} juin 2015.
\smallskip

On note $P_n$ la matrice $\left(g_n \quad  t_n\right)$ correspondant \`a l'état probabiliste au $n$-i\`eme soir.

\smallskip

On note G l'état \og le client choisit le menu gastronomique \fg{} et T l'état \og le client choisit le menu traditionnel \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets G et T.
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on admet que la matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est $M = \begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.


\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $P_0$ correspondant \`a l'état initial.
		\item Calculer la probabilité qu'un client choisisse le menu gastronomique le 4 juin 2015. On arrondira le résultat au centi\`eme.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $P = (g \quad  t)$ correspondant \`a l'état stable du graphe probabiliste.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'h\^otel propose également \`a ses clients des balades en gondole sur les canaux de Venise.

Le graphe ci-dessous représente les principaux canaux de Venise empruntés par le gondolier.

\hfill\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\cnodeput(0.3,4.8){R}{R}
\cnodeput(3.3,5.4){L}{L}
\ncline{R}{L}\ncput*{5}
\cnodeput(5,4.8){C}{C}\ncline{L}{C}\ncput*{6}
\cnodeput(5.3,3.5){P}{P}\ncline{C}{P}\ncput*{3}
\cnodeput(3.3,4){S}{S}\ncline{L}{S}\ncput*{4}
\cnodeput(3.5,2.4){G}{G}\ncline{C}{S}\ncput*{3}
\cnodeput(1.5,2){U}{U}\ncline{P}{G}\ncput*{4}
\cnodeput(4,0.5){M}{M}\ncline{S}{G}\ncput*{2}
\ncline{G}{M}\ncput*{6}\ncline{G}{U}\ncput*{5}\ncline{M}{U}\ncput*{10}
\ncline{U}{R}\ncput*{7}\ncline{U}{S}\ncput*{4}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabular}{c@{:~}l}
C & Ca'Pesaro\\G & Palazzo Grimani di San Luca\\L & Palazzo Labia\\M & Piazza San Marco\\P & Ponte Di Rialto\\R & Piazzale Roma\\S & Campo Di San Polo\\U & Universita Ca'Foscari\\
\end{tabular}}
\hfill\null

Chaque ar\^ete représente un canal et chaque sommet un lieu de la ville.

Le poids de chaque ar\^ete représente la durée de parcours, exprimée en minutes, entre deux lieux de la ville en empruntant les canaux.


Le gondolier employé par l'h\^otel inspecte réguli\`erement les canaux pour en vérifier la navigabilité.

Il souhaite optimiser son trajet en inspectant une fois et une seule chaque canal.

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'un tel trajet est possible et indiquer quels sont les lieux possibles de départ et d'arrivée.
\item Déterminer la durée pour effectuer ce trajet.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, mars 2017}

Les jeunes abonnés (c'est-\`a-dire de moins de 12 ans) inscrits \`a une médiath\`eque se voient proposer une formule d'emprunt mensuel unique: chaque mois, chacun de ces abonnés peut choisir d'emprunter exclusivement soit un livre, soit un film en DVD. On suppose d'une part que le nombre d'inscrits ne varie pas et d'autre part que tous les abonnés de moins de 12 ans respectent cette formule et réalisent un emprunt chaque mois.

Les statistiques réalisées lors des mois précédents sur les choix d'emprunt des jeunes abonnés permettent au responsable de la médiath\`eque de constater que l'on peut modéliser ainsi la situation, d'un mois \`a l'antre:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 89\,\% des jeunes abonnés ayant choisi d'emprunter un livre, optent encore pour un livre le mois suivant;
\item parmi les jeunes abonnés ayant emprunté un film, 14\,\% changent le mois suivant en décidant de choisir un livre.
\end{list}


Lors du lancement de cette formule d'emprunt, en janvier 2016, 80\,\% des abonnés de moins de 12 ans empruntent un livre.

Chaque mois, on choisit au hasard un abonné de moins de 12 ans de cette médiath\`eque, et pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un livre le $n$-i\`eme mois apr\`es
janvier 2016;
\item $b_n$ la probabilité que cet abonné emprunte un film le $n$-i\`eme mois apr\`es
janvier 2016;
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-i\`eme mois apr\`es janvier 2016.
\end{list}


Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}a_0&b_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, o\`u
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item A est l'état \og le jeune abonné choisit d'emprunter un livre \fg{} ;
\item B est l'état \og le jeune abonné choisit d'emprunter un film \fg.
\end{list}

		\item Donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe, en prenant les sommets A et B dans cet ordre.
		\item Déterminer la répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt, en février 2016 et en mars~2016.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}  = 0,89\,a_n + 0,14\,b_n$\,.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1} = 0,75\,a_n + 0,14$.
		\item Pour déterminer au bout de combien de mois le pourcentage de jeunes abonnés empruntant un livre deviendra pour la premi\`ere fois strictement inférieur \`a 60\,\%, on décide de programmer un algorithme. Modifier l'algorithme ci-dessous pour qu'il permette d'afficher la réponse \`a cette question.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{X}
\emph{Initialisation}\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l}
	$a$ prend la valeur 0,8\\
	$n$ prend la valeur 1
\end{tabular}\\
\emph{Traitement}\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{l}
Tant que $a \geqslant 0,6$\\
\hspace{1cm}$a$ prend la valeur $0,85 \times a + 0,14$\\
Fin Tant que
\end{tabular}\\
\emph{Sortie}\\
\hspace{0.7cm}Afficher $n$
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
	
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = a_n  - 0,56$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser son terme initial.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$\: :\: $a_n = 0,24 \times  0,75^n + 0,56$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $a_n < 0,6$ et interpréter le résultat dans le contexte.
		\item \`A long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'un jeune abonné choisisse d'emprunter un livre ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 26 avril 2017}

Alexis part en voyage dans l'Est des états-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :
\begin{center}
Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).\end{center}

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,9.5)
\rput(.5,8.5){\circlenode{C}{C}}
\rput(12,9){\circlenode{B}{B}}
\rput(10.5,7){\circlenode{N}{N}}
\rput(8,6){\circlenode{W}{W}}
\rput(3,3.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(4.5,0.5){\circlenode{M}{M}}
\ncarc[arcangle=20]{C}{B}\ncput*{130}
\ncarc[arcangle=-30]{N}{B}\ncput*{170}
\ncarc[arcangle=30]{W}{N}\ncput*{140}
\ncarc[arcangle=20]{C}{W}\ncput*{120}
\ncarc[arcangle=20]{C}{A}\ncput*{100} 
\ncarc[arcangle=-50]{C}{M}\ncput*{150}
\ncarc[arcangle=20]{M}{W}\ncput*{160}
\ncarc[arcangle=-50]{M}{N}\ncput*{250}
\ncarc[arcangle=20]{A}{W}\ncput*{130}
\end{pspicture}
\end{center}

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles caractéristiques du graphe permettent d'affirmer qu'il existe un trajet qui permet \`a Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
		\item Donner un exemple d'un tel trajet.
	\end{enumerate}
\item Alexis veut relier Boston \`a Miami.
	
En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le co\^ut de ce trajet.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice d'adjacence $P$ de ce graphe en classant les sommets par ordre alphabétique.
		\item Alexis souhaite aller d'Atlanta \`a Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
		
Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces
trajets.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 2 juin 2017 (4 points)}

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu'elle a sélectionnés. Elle a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux \`a visiter et les ar\^etes représentent les routes ou pistes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\begin{tabular}{c}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10.5,5.7)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,0.5){A}{B} \cnodeput(2.,2){B}{R} 
\cnodeput(1.5,5){C}{H} \cnodeput(3.5,3.5){D}{G}
\cnodeput(4.5,0){E}{V} \cnodeput(6.5,2.5){F}{L}
\cnodeput(6,5){G}{M}\cnodeput(8,5){H}{D}
\cnodeput(10,0){I}{J}
\ncarc{A}{B} \ncarc{B}{C}  
\ncarc{B}{D} \ncarc{D}{E} 
\ncarc{E}{G} \ncarc{E}{F}  
\ncarc{D}{F} \ncarc{C}{G}
\ncarc{G}{F} \ncarc{G}{H}
\ncarc{G}{I}  \ncarc{F}{I}
\ncarc{A}{E} \ncarc{E}{G}
\ncarc{E}{I}  
\end{pspicture}
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{r@{:~}l}
B & Le lagon bleu.\\H & Rocher Hvitserkur.\\M & Lac de M\'yvatn.\\
D & Chute d'eau de Dettifoss.\\J & Lagune glaci\`ere de J\"okuls\'arl\'on.\\R & Capitale Reykjavik.\\
G & Geyser de Geysir.\\L & Massif du Landmannalaugar.\\V& Ville de Vik.\\
\end{tabular}
\end{tabularx}
\end{center}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ordre du graphe.
		\item Déterminer si le graphe est connexe.
		\item Déterminer si le graphe est complet.
	\end{enumerate}
\item Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.
\item On appelle $M$ la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l'ordre alphabétique. On donne ci-dessous une partie de la matrice $M$ ainsi que la matrice $M^4$ :
	
\[M = \begin{pmatrix}	
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 
\ldots&\ldots&\ldots&1 &1 &1 &0 &0 &1\\ 
\ldots&\ldots&\ldots&1 &0 &0 &0 &0 &0\\ 
\ldots&\ldots&\ldots&0 &1 &1 &1 &0 &0 \end{pmatrix}\quad  M^4=
\begin{pmatrix}
12 	&3 &16 	&8 	&14 &13 &15 &2 	&10\\
3 	&5 &5 	&6 	&9 	&11 &6 	&3 	&12\\
16 	&5 &24 	&11 &23 &21 &26 &5 	&20\\
8 	&6 &11 	&10 &13 &14 &9 	&3 	&14\\
14 	&9 &23 	&13 &28 &29 &29 &8 	&30\\
13 	&11&21 	&14 &29 &38 &32 &15 &40\\
15 	&6 &26 	&9 	&29 &32 &43 &14 &34\\ 
2 	&3 &5 	&3 	&8 	&15 &14 &15 &21\\ 
10 	&12&20 	&14 &30 &40 &34 &21 &49
\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item Il manque certains coefficients de la matrice $M$. 
		
		Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.
		\item Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d'aller de B \`a D.
	\end{enumerate}
\item \ \par\begin{minipage}{8cm}
Sur le graphe pondéré ci-contre, on a indiqué sur les ar\^etes les distances en kilom\`etre entre les différents lieux.\medskip


Déterminer \`a l'aide de l'algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d'aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d'eau de Dettifoss).

Préciser alors le trajet \`a emprunter.	\end
{minipage}
\hfill 
\begin{minipage}{8cm}
{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,0.5){A}{B} \cnodeput(2.,2){B}{R} 
\cnodeput(1.5,5){C}{H} \cnodeput(3.5,3.5){D}{G}
\cnodeput(4.5,0){E}{V} \cnodeput(6.5,2.5){F}{L}
\cnodeput(6,5){G}{M}\cnodeput(8,5){H}{D}
\cnodeput(10,0){I}{J}
\ncarc{A}{B}\ncput*{50} \ncarc{B}{C} \ncput*{222} 
\ncarc{B}{D}\ncput*{100} \ncarc{D}{E} \ncput*{170}
 \ncarc{E}{F}\ncput*{122}  
\ncarc{D}{F}\ncput*[npos=0.325]{141} \ncarc{C}{G}\ncput*{295}
\ncarc{G}{F}\ncput*{316} \ncarc{G}{H}\ncput*{50}
\ncarc{G}{I}\ncput*{420}  \ncarc{F}{I}\ncput*{220}
\ncarc{A}{E}\ncput*{220}\ncarc{E}{G}\ncput*[npos=0.4]{450}
\ncarc{E}{I}\ncput*{192}
\end{pspicture}}
\end{minipage}

\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 5 juin 2017}

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.

En 2015, l'opérateur Alpha poss\`ede 30\,\% du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient \`a l'opérateur Bravo.

On étudie l'évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l'un ou l'autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l'opérateur Alpha soit chez l'opérateur Bravo.

On estime que, chaque année :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 12\,\% des abonnés de l'opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l'opérateur Bravo.
\item 86\,\% des abonnés de l'opérateur Bravo lui restent fid\`eles, les autres le quittent pour l'opérateur Alpha.
\end{list}
\smallskip

On modélise cette situation par un graphe probabiliste \`a deux sommets Alpha et Bravo :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $A$ est l'év\`enement: \og l'abonné est chez l'opérateur Alpha \fg{} ;
\item $B$ est l'év\`enement: \og l'abonné est chez l'opérateur Bravo \fg.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner ce graphe probabiliste.

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est : $M = \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$.

On note pour tout entier naturel $n$ :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Alpha l'année $2015 + n$ ;
\item $b_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Bravo l'année $2015 + n$.
\end{list}

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.
\item Donner $a_0$ et $b_0$\,.
\item Montrer qu'en 2018, il y aura environ 44,2\,\% des abonnés chez l'opérateur Alpha.
\item Les deux opérateurs voudraient conna\^itre la répartition de l'ensemble des abonnés sur le long terme. On note $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ l'état stable de la répartition des abonnés.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont solutions du syst\`eme $\left\{\begin{array}{l}
0,12\,x - 0,14\,y =0\\
		x + y = 1
		\end{array}\right.$.
		\item Résoudre le syst\`eme précédent dans l'ensemble des réels.
		\item Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d'un grand nombre d'années. Arrondir les pourcentages \`a 0,1\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un opérateur fran\c{c}ais doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I \`a l'approche de la saison touristique. \`A ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le co\^ut des tron\c{c}ons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.

L'opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.\medskip

Dans le graphe ci-dessous :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item les sommets représentent les stations de ski;
\item les ar\^etes représentent les différents tron\c{c}ons qu'il est possible de déployer;
\item le poids de chaque ar\^ete correspond au co\^ut associé, en milliers d'euros.
\end{list}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,7.5)
%\psgrid
\psset{arrowsize=2.5pt 3} 
\cnodeput(0.5,5){A}{A} \cnodeput(0.5,7){B}{B} 
\cnodeput(4.5,6){C}{C} \cnodeput(6.8,4){D}{D}
\cnodeput(6,1.8){E}{E} \cnodeput(2,1){F}{F}
\cnodeput(0.5,0.5){G}{G}\cnodeput(1.3,2.5){H}{H}
\cnodeput(3,4){I}{I}
\ncarc{A}{B}\ncput*{5}\ncarc{A}{C}\ncput*{25}
\ncarc{B}{C}\ncput*{30}\ncarc{C}{D}\ncput*{20}
\ncarc{D}{E}\ncput*{20}\ncarc{D}{I}\ncput*{15}
\ncarc{E}{I}\ncput*{15}\ncarc{E}{F}\ncput*{20}
\ncarc{F}{G}\ncput*{5}\ncarc{F}{H}\ncput*{10}
\ncarc{G}{H}\ncput*{20}\ncarc{H}{I}\ncput*{20}
\ncarc{A}{I}\ncput*{15}\ncarc{A}{H}\ncput*{10}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher \`a déployer, entre les stations C et G.
\item Déterminer, en milliers d'euros, le co\^ut de ce tracé.
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 13 juin 2017}

Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat \`a l'élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter \`a cette élection et ils ont le choix entre  deux candidats A et B. 

Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d'avis. 

Un institut de sondage consulte chaque mois le m\^eme échantillon d'adhérents et recueille leurs intentions de vote. 

Il observe que l'évolution de l'état de l'opinion peut \^etre modélisée de la fa\c{c}on suivante. \medskip

Chaque mois, 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 5\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d'avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B. 
\item 3\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A. 
\end{list}\smallskip

Au début de la campagne électorale, 65\,\% des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce mod\`ele par un graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B o\`u 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $A$ est l'év\`enement : \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A\fg{} ; 
\item $B$ est l'év\`enement :  \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B \fg. 
\end{list}\smallskip

Dans la suite de l'exercice, on note 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le $n$-i\`eme mois apr\`es le début de la campagne. On a donc $a_0 = 0,65$. 
\item $b_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le $n$-i\`eme mois apr\`es le début de la campagne. 
\end{list}

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant aux intentions de vote le $n$-i\`eme mois apr\`es le début de la campagne. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$. 
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B. 
		\item écrire la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$. 

\item On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l'état stable associé \`a ce graphe.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du syst\`eme :
\[\left\{\begin{array}{l}
0,05\,a - 0,03\,b=0\\
a+b=1
\end{array}\right.\]
 
\item Résoudre le syst\`eme précédent. 
\item Interpréter dans le contexte de l'exercice la solution obtenue \`a la question \textbf{3. b}\,. 
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :$$a_{n+ 1} = 0,92\,a_n + 0,03$$ 
		\item On consid\`ere la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n - 0,375$. 

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire : $$a_n = 0,275 \times  0,92^n + 0,375$$ 
	\end{enumerate}
\item La campagne électorale dure 11~mois. 

Si la modélisation de l'institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles-Guyane \fg, 14 juin 2017}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le plan d'un centre de vacances. Les ar\^etes représentent les allées et les sommets, les carrefours. On a indiqué sur chaque ar\^ete la longueur en m\`etre des allées entre deux carrefours.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.25)(6.2,3.25)
\psset{linewidth=1pt}
\psset{fillstyle=solid}
\psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,1.5){A}{A}\cnodeput(1,3){B}{B}\cnodeput(1.5,0){C}{C}\cnodeput(3.5,3){D}{D}\cnodeput(3.5,0){E}{E}\cnodeput(4.5,1.5){F}{F}\cnodeput(6,1.5){G}{G}
 \ncarc{C}{A}\ncput*{110}
 \ncarc{A}{B}\ncput*{75}
 \ncarc{B}{C}\ncput*{30}
 \ncarc{C}{E}\ncput*{72}
 \ncarc{E}{B}\ncput*{42}
 \ncarc{B}{D}\ncput*{50}
 \ncarc{D}{F}\ncput*{103}
 \ncarc{F}{E}\ncput*{40}
 \ncarc{E}{G}\ncput*{93}
 \ncarc{G}{F}\ncput*{80}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le service d'entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour C, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles ? Justifier la réponse.
\item Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.
\item Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du
centre ou \`a l'extérieur. On constate chaque jour que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 5 \% des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain ;
\item 20 \% des vacanciers ayant déjeuné \`a l'extérieur s'inscrivent pour déjeuner au centre de
vacances le lendemain.
\end{list}

On note $D$ l'état \og Déjeuner au centre de vacances \fg{} et $E$ l'év\`enement \og Déjeuner \`a l'extérieur \fg.

\begin{enumerate}
\item Construire un graphe modélisant cette situation.
\item écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre
alphabétique.
\item Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. 

Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxi\`eme jour ? Le cinqui\`eme jour ?
\item L'état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ est-il stable ?
\item Peut-on affirmer qu'\`a terme, si les comportements des vacanciers restent les m\^emes, 75~\% des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 16 juin 2017}

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Le graphe pondéré représenté ci-dessous illustre le trajet qu'Alex doit suivre en marchant dans les rues de sa ville et le nombre d'animaux virtuels qu'il doit combattre sur la route suivie 


\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm, yunit=.9cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(3,3)
\psset{linewidth=1pt}
\cnodeput(-.3,-.6){B}{B} \cnodeput(.9,.6){D}{D} 
\cnodeput(-.6,2.5){A}{A} \cnodeput(-1.9,.2){O}{O}
\cnodeput(-1.1,-2.7){C}{C} \cnodeput(.5,-3){E}{E}
\cnodeput(3,3){F}{F}
 \ncarc[arcangle=10]{B}{D}\ncput*{5} \ncarc[arcangle=-10]{D}{A}\ncput*{7}
\ncarc[arcangle=-30]{A}{O}\ncput*{2} \ncarc[arcangle=-30]{O}{C}\ncput*{4}
 \ncarc[arcangle=-20]{C}{E}\ncput*{4} \ncarc[arcangle=-20]{E}{F}\ncput*{8}
\ncarc[arcangle=-10]{F}{D}\ncput*{6} \ncarc[arcangle=-10]{D}{E}\ncput*{1}
\ncarc[arcangle=-10]{E}{B}\ncput*{3} \ncarc[arcangle=-10]{B}{A}\ncput*{2}
\ncarc[arcangle=10]{O}{B}\ncput*{5} \ncarc[arcangle=-10]{B}{C}\ncput*{1}
\end{pspicture}
\end{center}

\`A l'aide d'un algorithme, déterminer le nombre minimal de créatures qu'Alex doit combattre s'il part du point O pour arriver au point F de la ville. Détailler les étapes de l'algorithme.

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Alex retrouve d'autres personnes, ayant le m\^eme jeu, dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu'ils ont combattues.

Le premier jour, 8 personnes se sont retrouvées dans le parc. Le second jour, on comptait 25 personnes et le troisi\`eme jour, 80 personnes se sont retrouvées dans le parc.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$, o\`u $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels et $x$ un nombre entier compris entre 1 et 10. On admet que la fonction $f$ modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le $x$-i\`eme jour.

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé par un syst\`eme de trois équations \`a trois inconnues $a$, $b$ et $c$.
\item Vérifier que ce syst\`eme est équivalent \`a l'équation $A\,X=B$ avec :\[A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 1 \\9 & 3 & 1 \\\end{pmatrix} \, \text{, }\: X=\begin{pmatrix}a \\b \\c \\\end{pmatrix}\:\text{ et }\: B=\begin{pmatrix}8 \\25\\80 \\\end{pmatrix} \]
\item Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}0,5 & -1 & 0,5 \\-2,5 & 4 & -1,5 \\3 & -3 & 1 \\\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $M\times A$.
\item Que représente la matrice $M$ pour la matrice $A$ ?
\end{enumerate}
\item Le parc de la ville a une capacité d'accueil de \np{2500} personnes.

Selon ce mod\`ele, le parc risque-t-il de refuser d'accueillir des personnes un de ces dix jours ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole -- Réunion \fg, 21 juin 2017}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Dans un jeu vidéo, une suite d'énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories: les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.

Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes : 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item la premi\`ere énigme est facile ;
\item si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale \`a 0,15 ; 
\item si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale \`a 0,1. 
\end{list}

Pour $n \geqslant 1$, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que l'énigme numéro $n$ soit facile (de catégorie A) ;
\item $b_n$ la probabilité que l'énigme numéro $n$ soit difficile (de catégorie B) ; 
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste pour l'énigme numéro $n$. 
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la matrice $P_1$\,.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
\item écrire la matrice $M$ associée \`a ce graphe, puis donner la matrice ligne $P_2$\,.
\item Sachant que, pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $a_n + b_n = 1$, montrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$, on a : 
\[a_{n+1} = 0,75\,a_n + 0,1\]

\item Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on pose $v_n = a_n - 0,4$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$ : 
\[a_n = 0,8\times 0,75^n + 0,4\]

		\item Préciser la limite de la suite $\left(v_n\right)$\,.
		\item Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d'avoir \`a résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Une des énigmes consiste \`a réaliser un parcours en un minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L'étiquette de chaque ar\^ete indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu'elle relie. Par exemple, le temps de parcours de C vers D, ou de D \`a C, est égal \`a quatre minutes.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-3.5)(11.5,3.5)
\cnodeput(0,0){A}{A}
\cnodeput(2,-3){B}{B}
\cnodeput(2,3){C}{D}
\cnodeput(4,0){D}{C}
\cnodeput(7,3){E}{E}
\cnodeput(11,0){F}{F}
\cnodeput(7,-3){G}{G}
\ncline{A}{B}\ncput*{2} 
\ncline{A}{C}\ncput*{10}
 \ncline{A}{D}\ncput*{6}
\ncline{C}{D}\ncput*{4}
\ncline{D}{B}\ncput*{3} 
\ncline{D}{E}\ncput*{9} 
\ncline{D}{G}\ncput*{12} 
\ncline{B}{G}\ncput*{15} 
\ncline{C}{E}\ncput*{3} 
\ncline{E}{F}\ncput*{1} 
\ncline{E}{G}\ncput*{4} 
\ncline{G}{F}\ncput*{4} 
\end{pspicture}
\end{center}

Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de A \`a G en minimisant son temps de parcours ? Expliquer la démarche utilisée.

\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 22 juin 2017}
 
Pour l'année scolaire, un professeur propose aux él\`eves de sa classe le choix entre deux
types d'accompagnement: \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg.

Chaque semaine, un él\`eve doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements
proposés.

La premi\`ere semaine, 20\,\% des él\`eves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et
tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg. On admet que, chaque semaine,

\begin{list}{\textbullet}{}
\item20\,\% des él\`eves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine
s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante;
\item30\,\% des él\`eves ayant choisi \og Approfondissement \fg{} une certaine semaine
s'inscrivent en \og Ouverture culturelle \fg{} la semaine suivante.
\end{list}

\smallskip

On s'intéresse \`a l'évolution de la répartition des él\`eves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines.

On interroge au hasard un él\`eve de la classe et on suit son choix d'option au fil des semaines.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $A$ l'état \og l'él\`eve a choisi Approfondissement\fg{} et $B$ l'état \og l'él\`eve a choisi Ouverture culturelle \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
		\item écrire la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate}
\item On note $P_1$ la matrice traduisant l'état probabiliste de la premi\`ere semaine. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}0,2& 0,8\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M^2$ puis déterminer la probabilité que l'él\`eve ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la troisi\`eme semaine.
		\item  \`A long terme, quelle est la probabilité qu'un él\`eve choisisse \og Approfondissement\fg{} ?
 	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $n$ on note:
	
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que l'él\`eve interrogé ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la $n$-i\`eme semaine,
\item $b_n$ la probabilité que l'él\`eve interrogé ait choisi \og Ouverture culturelle\fg{} lors de la $n$-i\`eme semaine.
\end{list}

Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :  \[a_{n+1} = 0,5\,a_n + 0,2\]

\item On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : \[a_n = 0,4 - 0,4 \times  0,5^n\]

Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation suivante :\[0,4 - 0,4 \times 0,5^n > 0,399.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline		
\textbf{Variables} &$N$ est un entier naturel\\
&$A$ est un nombre réel\\ \hline
\textbf{Initialisation}& Affecter \`a $N$ la valeur 1\\
&Affecter \`a $A$ la valeur 0,2\\ \hline
\textbf{Traitement} &\ldots\ldots\\	
&\hspace{0,8cm}
\begin{tabular}{|l}
Affecter \`a $A$ la valeur $0,5 \times  A + 0,2$\\
\ldots\ldots
\end{tabular}\\
&\ldots \ldots\\ \hline
\textbf{Sortie}& Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ? 
		
		Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Métropole (copies volées) \fg, 28 juin 2017}

En 2016, un institut de sondage m\`ene une enqu\^ete régionale sur la mani\`ere dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item la catégorie A, composée des assurés qui paient en agence ;
\item la catégorie B, composée des assurés qui paient en ligne.
\end{list}

\smallskip
 
En 2016, 92\,\% des assurés paient en agence.

On admet que, d'une année \`a l'autre, 4\,\% des assurés de la catégorie A passent \`a la catégorie B et que 1 \% des assurés de la catégorie B passent \`a la catégorie A.

On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un assuré fait partie d'une seule catégorie.

Pour tout entier naturel $n$, on consid\`ere l'année $(2016 + n)$ et on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie A cette année-l\`a,
\item $b_n$ la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie B cette année-l\`a,
\item $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$. Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,92 & 0,08\end{pmatrix}$.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation \`a l'aide d'un graphe probabiliste.

On notera $A$ l'état \og l'assuré est de catégorie A \fg{} et $B$ l'état \og l'assuré est de catégorie B \fg{}.
\item On admet que la matrice de transition $M$ associée \`a cette situation est $M = \begin{pmatrix}0,96&0,04\\0,01 &0,99\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $P_1$ en fonction de $M$ et de $P_0$\,.
\item En déduire la probabilité qu'un assuré soit de catégorie A en 2017. Arrondir le résultat au centi\`eme.
\end{enumerate}
\item Soit $P = \begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état stable du graphe.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left\{\begin{array}{l} - 0,04\,a + 0,01\,b=0\\a + b=1	\end{array}\right.$.
\item Résoudre le syst\`eme précédent. 

Quelle conclusion peut-on tirer quant \`a la répartition \`a long terme des assurés ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,95\,a_n + 0,01$.

On admet que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = 0,2 + 0,72 \times 0,95^n$ et que la suite $\left( a_n \right)$ est décroissante.

\item On souhaite déterminer au bout de combien d'années moins d'un assuré sur deux sera de catégorie~A. 

Recopier et compléter l'algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.7\linewidth}{|p{3cm}|X|} \hline
\textbf{\textsf{Variables}} & $A$ est un nombre réel\\
 & $N$ est un entier naturel\\\hline
\textbf{\textsf{Initialisation}}& Affecter \`a $A$ la valeur 0,92\\
& Affecter \`a $N$ la valeur 0 \\
\hline
\textbf{\textsf{Traitement}} & Tant que \dotfill \\
&\hspace{1em} Affecter \`a $N$ la valeur \dotfill\\
&\hspace{1em} Affecter \`a $A$ la valeur \dotfill\\
&Fin Tant que\\
\hline
\textbf{\textsf{Sortie}} & Afficher \ldots\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item La proportion d'assurés de catégorie A va-t-elle devenir inférieure \`a 0,5 ? 

Si oui, \`a partir de quelle année ? Expliquer la démarche choisie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles-Guyane \fg, 7 septembre 2017}\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos réservé \`a ses habitants.

Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.

Le 1\up{er} janvier 2017, la ville compte 5\,\% d'abonnés parmi ses habitants. Ces derni\`eres années, le responsable du service location a constaté que :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 93\,\% des abonnements sont renouvelés;
\item 1\,\% des habitants qui n'étaient pas abonnés l'année précédente souscrivent un abonnement.
\end{list}

On note $A$ l'état :  \og un habitant est abonné \fg{} et $P$ l'état: \og un habitant n'est pas abonné \fg.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ la probabilité qu'un habitant soit abonné l'année $2017 + n$ et $p_n$ la probabilité qu'un habitant ne soit pas abonné l'année $2017 + n$.

La matrice ligne $R_n = \begin{pmatrix}a_n& p_n\end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du nombre d'abonnés l'année $2017 + n$.

Ainsi $R_0 = \begin{pmatrix}a_0& p_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,05 &0,95\end{pmatrix}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P o\`u le sommet A représente l'état \og un habitant est abonné\fg{} et P l'état \og un habitant n'est pas abonné \fg.
\item  Déterminer la matrice de transition $T$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis P des sommets.
\item  Déterminer $R_1$\,.
\item  Déterminer l'état probabiliste en 2021.

Les résultats seront arrondis au milli\`eme.
\item  On admet qu'il existe un état stable $\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $x$ et $y$ sont solutions du syst\`eme : $\left\{\begin{array}{l}-7\,x+y=0\\x + y=1\end{array}\right.$.
		\item Déterminer l'état stable de ce graphe.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

 
\parbox{0.45\linewidth}{
\textbf{Partie B}

\medskip
Le responsable du service de location souhaite vérifier l'état des pistes cyclables reliant les parkings \`a vélos de location disposés dans la ville. \medskip

On modélise la disposition des lieux par le graphe étiqueté ci-contre dont les sommets représentent les parkings \`a vélo. \medskip

Les poids des ar\^etes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d'un parking \`a l'autre en suivant la piste cyclable.} \hfill
\parbox{5.8cm}{%
{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0.2,0.2)(5.8,5.8)
\cnodeput(0.5,1){A}{A} \cnodeput(2,5.5){B}{B}
\cnodeput(2.5,2.5){C}{C} \cnodeput(2,0.5){D}{D}
\cnodeput(5.25,2){E}{E} \cnodeput(5.5,5.5){F}{F}
\cnodeput(3,4.5){G}{G} 
\ncline{A}{B}\ncput*{6} \ncline{B}{C}\ncput*{5} \ncline{C}{A}\ncput*{5} 
\ncline{B}{G}\ncput*{5} \ncline{C}{G}\ncput*{4} \ncline{G}{F}\ncput*{7} 
\ncline{F}{E}\ncput*{4} \ncline{E}{G}\ncput*{2} \ncline{E}{D}\ncput*{9} 
\ncline{D}{A}\ncput*{2} \ncline{C}{D} \ncput*{2}
\end{pspicture}}}
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'\`a la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le m\^eme chemin ?
\item  Le responsable est pressé. 

Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A \`a F.
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, 12 septembre 2017}\medskip

Dans une commune, l'école de musique propose des cours d'éveil musical.

En 2013, 20\,\% des enfants de la commune suivaient les cours d'éveil musical de cette école. Chaque année, 70\,\% des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante, et par ailleurs, 20\,\% des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y ajouter.

Pour tout entier naturel $n$, on note:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $c_n$ la proportion des enfants de la commune inscrits \`a cet éveil musical en $(2013 + n)$,
\item $d_n$  la proportion des enfants de la commune qui ne sont pas inscrits \`a cet éveil musical en $(2013 + n)$,
\item  $E_n = \begin{pmatrix}c_n& d_n\end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $(2013 + n)$.
\end{list}

Ainsi, on a $E_0 = \begin{pmatrix}0,2 &0,8\end{pmatrix}$.

\smallskip

On choisit au hasard un enfant de la commune.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste. On note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $C$ l'état \og l'enfant est inscrit aux cours d'éveil musical \fg
\item $D$ l'état \og l'enfant n'est pas inscrit aux cours d'éveil musical \fg
\end{list}

\item  Déterminer la matrice de transition $A$, c'est-\`a-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel $n$, l'égalité  $E_{n+1} = E_n \times  A$.
\item  Déterminer $E_1$ et $E_2$\,.
\item  Déterminer l'état probabiliste stable en justifiant votre réponse. Interpréter les
résultats.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, on a $c_n + d_n = 1$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,5\,c_n + 0,2$.

On admet pour la suite de l'exercice que tout entier naturel $n$,\: $c_n = - 0,2 \times 0,5^n + 0,4$.
\item Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Proposer un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits \`a cet éveil musical \`a partir de 2013 jusqu'\`a l'année $(2013 + n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur.
		\item La proportion des enfants de la commune inscrits \`a cet éveil musical franchira-t-elle le seuil de 39\,\% ? Si oui, indiquer l'année en expliquant la démarche.
	\end{enumerate}
\item  Le directeur de cette école affirme que si ce mod\`ele d'évolution reste valable, la proportion d'enfants de la commune inscrits \`a cet éveil musical dépassera le seuil de 50\,\%. 
	
Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 23 novembre 2017}

\medskip

\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} de cet exercice peuvent \^etre traitées de fa\c{c}on indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour les déplacements entre les principales villes d'une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d'abonnement bus (PassBus), soit la carte d'abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.

Une étude récente montre que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la mani\`ere suivante :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 10\,\% des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain ;
\item 15\,\% des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et T o\`u le sommet B représente l'état \og abonné PassBus \fg{} et T l'état \og abonné PassTrain \fg.\index{graphe probabiliste}
\item Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre B, T des sommets.\index{matrice de transition}
\item En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25\,\% de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75\,\%.

Quelle sera la part, en 2019, des abonnements PassBus dans l'ensemble des abonnements ? 

Donner le résultat en pourcentage arrondi \`a $0,1$\,\%.
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.\index{etat stable@état stable}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.

Les sommets représentent les villes et les ar\^etes représentent les voies ferrées.

Sur les ar\^etes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilom\`etre entre les villes de la région.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0.6,0.3)(13.6,6.4)
\cnodeput(1,4.2){A}{A}
\cnodeput(4.2,6){B}{B}
\cnodeput(4.2,3.5){C}{C}
\cnodeput(9.7,6){D}{D}
\cnodeput(9.7,2.9){E}{E}
\cnodeput(5.7,0.7){F}{F}
\cnodeput(11.2,1.8){G}{G}
\cnodeput(13.2,4.2){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{20}
\ncline{A}{C}\ncput*{28}
\ncline{A}{F}\ncput*{80}
\ncline{B}{C}\ncput*[npos=0.6]{26}
\ncline{B}{D}\ncput*{82}
\ncline{B}{E}\ncput*{78}
\ncline{B}{F}\ncput*[npos=0.7]{54}
\ncline{C}{E}\ncput*{70}
\ncline{D}{E}\ncput*{20}
\ncline{D}{H}\ncput*{36}
\ncline{E}{F}\ncput*{20}
\ncline{E}{G}\ncput*{16}
\ncline{F}{G}\ncput*{40}
\ncline{H}{G}\ncput*{24}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet le plus court pour aller de la ville A \`a la ville H. Préciser la longueur en kilom\`etre de ce trajet.\index{algorithme de Dijkstra}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Nouvelle-Calédonie \fg, 28 novembre 2017}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En 2012, un village ne comptait qu'un seul médecin, Albert. 

Début 2013, un nouveau médecin, Brigitte, s'installe dans ce village.

\`A l'arrivée de Brigitte, 90\,\% des habitants du village choisirent Albert comme médecin, les autres choisirent Brigitte. 

On suppose que chaque habitant du village est patient du m\^eme médecin, Albert ou Brigitte, tout au long d'une année. 

On observe, \`a partir de 2013, que chaque année :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item13\,\% des patients d'Albert changent de médecin et deviennent des patients de
Brigitte ;
\item8\,\% des patients de Brigitte deviennent des patients d'Albert.
\end{list}

\medskip

On choisit au hasard un habitant de ce village. Pour tout entier naturel $n$,

$a_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient d'Albert pour l'année $(2013+n)$,

$b_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient de Brigitte pour l'année $(2013+n)$,

$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ est la matrice correspondant \`a l'état probabiliste de l'année $(2013 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
\item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,791& 0,209\end{pmatrix}$.
\item Exprimer $P_n$ en fonction de $P_0$\,, $M$ et $n$.
\item En déduire la matrice ligne $P_4$ et interpréter le résultat. Les résultats seront arrondis au milli\`eme.
\item Déterminer l'état stable $\begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ de la répartition des patients des médecins Albert et Brigitte. 

En donner une interprétation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le médecin Albert, qui officie dans le village A, doit rendre visite \`a un patient d'un village voisin G. 

Il a construit le graphe ci-dessous o\`u les sommets représentent les villages alentours. Sur les ar\^etes sont indiquées les distances en kilom\`etres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\cnodeput(0.3,2.8){A}{A}
\cnodeput(2.3,3.8){B}{B}
\cnodeput(5.3,4.8){C}{C}
\cnodeput(3.6,2.5){D}{D}
\cnodeput(0.6,1){E}{E}
\cnodeput(4.5,0.3){F}{F}
\cnodeput(6.3,2.3){G}{G}
\ncline{A}{B}\ncput*{8}\ncline{A}{D}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{13}
\ncline{B}{C}\ncput*{23}\ncline{B}{D}\ncput*{9}
\ncline{C}{D}\ncput*{10}\ncline{C}{F}\ncput*{4}\ncline{C}{G}\ncput*{3}
\ncline{D}{F}\ncput*{7}\ncline{E}{F}\ncput*{13}\ncline{F}{G}\ncput*{9}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer le plus court chemin pour aller du village A au village G.

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Pondichéry \fg, 4 mai 2018}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent \^etre traitées de fa\c{c}on indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{minipage}{8cm}Le graphe pondéré ci-contre représente les différents lieux A, B, C, D, E, F, G et H dans lesquels
Louis est susceptible de se rendre chaque jour. 

Le lieu A désigne son domicile et G le lieu de son site de travail. 

Le poids de chaque ar\^ete représente la distance, en kilom\`etres, entre les deux lieux reliés par l'ar\^ete.
\medskip

Déterminer le chemin le plus court qui permet \`a Louis de relier son domicile \`a son travail. On
pourra utiliser un algorithme. \medskip

Préciser la distance, en kilom\`etres, de ce chemin.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.575cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(15,11)
%\psgrid
\rput(2.3,9.7){\circlenode{C}{C}}
\rput(3.5,6.4){\circlenode{B}{B}}
\rput(10.2,8.3){\circlenode{D}{D}}
\rput(8,5){\circlenode{E}{E}}
\rput(1.4,1.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(7,0.5){\circlenode{F}{F}}
\rput(14,6){\circlenode{G}{G}}
\rput(12.5,1.8){\circlenode{H}{H}}
\ncarc[arcangle=-30]{C}{A}\ncput*{56}
\ncarc[arcangle=20]{A}{B}\ncput*{47}
\ncarc[arcangle=20]{A}{E}\ncput*{23}
\ncarc[arcangle=20]{A}{F}\ncput*{30}
\ncarc[arcangle=20]{C}{B}\ncput*{10}
\ncarc[arcangle=20]{B}{E}\ncput*{20}
\ncarc[arcangle=20]{C}{D}\ncput*{15}
\ncarc[arcangle=20]{E}{D}\ncput*{42}
\ncarc[arcangle=20]{D}{G}\ncput*{15}
\ncarc[arcangle=20]{E}{F}\ncput*{28}
\ncarc[arcangle=20]{E}{H}\ncput*{40}
\ncarc[arcangle=20]{F}{H}\ncput*{28}
\ncarc[arcangle=20]{G}{H}\ncput*{23}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d'utiliser lors de ses trajets quotidiens soit les transports en commun  soit le covoiturage.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{}
  \item S'il a utilisé les transports en commun lors d'un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son
prochain déplacement avec une probabilité de $0,53$ ;
  \item s'il a utilisé le covoiturage lors d'un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de $0,78$.
\end{list}


Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1\up{er} janvier 2018.\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
  \item $c_n$ la probabilité que Louis utilise le covoiturage $n$ jour(s) apr\`es le 1\up{er} janvier 2018;
  \item $t_n$ la probabilité que Louis utilise les transports en commun $n$ jour(s) apr\`es le 1\up{er} janvier 2018 ;
  \item la matrice ligne $P_n = \left(c_n \quad t_n\right)$ traduit l'état probabiliste $n$ jour(s) apr\`es le 1\up{er}  janvier 2018.
\end{list}
\medskip

Le 1\up{er} janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser l'état probabiliste initial $P_0$\,.
		\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
On notera \og C \fg{} et \og T \fg{} ses deux sommets :
		
\begin{list}{\textbullet}{}
  \item \og C\fg{} pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;
  \item \og T\fg{} pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.
\end{list}
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l'ordre alphabétique.
\item  Calculer l'état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\item  Soit la matrice ligne $P = (x \quad y)$ associée \`a l'état stable du graphe probabiliste.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs exactes de $x$ et de $y$ puis en donner une valeur approchée \`a $0,01$ pr\`es.
		\item Selon ce mod\`ele, peut-on dire qu'\`a long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage
que les transports en commun ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Liban \fg, 29 mai 2018}

\medskip

Dans un pays, deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. \medskip

Une étude rév\`ele que chaque année:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}, 70\,\% se réabonnent \`a ce m\^eme opérateur et 30\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone};
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{GenialPhone}, 55\,\% se réabonnent \`a ce m\^eme opérateur et 45\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{Efficaceréseau}.
\end{list}

On note $E$ l'état \og la personne poss\`ede un contrat chez l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} \fg{} et $G$ l'état \og la personne poss\`ede un contrat chez l'opérateur \emph{GenialPhone} \fg{}.
\medskip

\`A partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On note également:}
\item $e_n$ la probabilité que le client poss\`ede un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} au 1\up{er} janvier $(2018+n)$;
\item $g_n$ la probabilité que le client poss\`ede un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone} au 1\up{er} janvier $(2018+n)$;
\item $P_n = \begin{pmatrix} e_n & g_n \end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du syst\`eme au 1\ier{} janvier $(2018+n)$.
\end{list} 

Au 1\up{er} janvier 2018, on suppose que 10\,\% des clients poss\`edent un contrat chez \emph{EfficaceRéseau}. On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
 \item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.
 
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
  \item Vérifier qu'au 1\ier{} janvier 2020, environ 57\,\% des clients ont un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}.
  \end{enumerate} 
  
\item
\begin{enumerate}
  \item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_n\times M$.
  
  Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$\,.
  
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 0,25\,e_n + 0,45$.
  \end{enumerate}  

\item
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de fa\c{c}on \`a ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1\up{er} janvier $(2018+n)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|l|}
\hline 
$E\longleftarrow 0,1$\\
$G \longleftarrow 0,9$\\
Pour $I$ allant de 1 \`a $N$\hspace*{3cm}\\
\hspace*{1cm} $E \longleftarrow \cdots \times E + \cdots $\\
\hspace*{1cm} $G \longleftarrow \cdots$\\
Fin Pour\\
Afficher $E$ et $G$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $N=3$. Arrondir au centi\`eme.

\item Déterminer l'état stable du syst\`eme et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}
  
 \end{enumerate} 

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Amérique du Nord \fg, 29 mai 2018}
%
\medskip

\medskip

Deux entreprises concurrentes \og Alphacopy \fg{} et \og B\^etacopy \fg{} proposent des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d'entretien sur un secteur donné. 

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année:}
\item 15\,\% des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez B\^etacopy. Les autres restent fid\`eles \`a Alphacopy;
\item 25\,\% des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez B\^etacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Alphacopy. Les autres restent fid\`eles \`a B\^etacopy.
\end{list}

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{On définit les év\`enements suivants:}
\item $A$: \og le client est sous contrat avec  l'entreprise Alphacopy \fg{};
\item $B$: \og le client est sous contrat avec l'entreprise B\^etacopy \fg{}.  
\end{list}

\smallskip

\`A partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d'entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel $n$:

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy l'année $2017+n$;
\item $b_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise B\^etacopy l'année $2017+ n$.
\end{list}

On note $P_n=\begin{pmatrix} a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2017+n$.

\smallskip

L'objectif de l'entreprise Alphacopy est d'obtenir au moins 62\,\% des contrats d'entretien des photocopieurs.\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition $M$ associée \`a ce graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique.
\item Montrer que $P = \begin{pmatrix} 0,625 & 0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice.
\item \`A votre avis, l'entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif?
\end{enumerate}\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

En 2017, on sait que 46\,\% des clients ayant un contrat d'entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l'entreprise Alphacopy.

On a ainsi $P_0=\begin{pmatrix} 0,46 & 0,54\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n \times M$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$a_{n+1}= 0,85\,a_n + 0,25\,b_n$$ puis que
\[a_{n+1} = 0,60\,a_n + 0,25.\]

\item \`A l'aide de l'algorithme ci-dessous, on cherche \`a déterminer en quelle année l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3.5cm}|}
\hline
$n \leftarrow 0$\\
$a\leftarrow 0,46$\\
Tant que \ldots\ldots\ldots\\
\hspace*{1cm} $n\leftarrow n+1$\\
\hspace*{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
Fin Tant que\\
Afficher $2017+n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.
\item Quelle est l'année en sortie de l'algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=a_n-0,625$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme~$u_0$\,.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier $n$, \[a_n=-0,165 \times 0,60^n + 0,625.\]
\item Résoudre par le calcul l'inéquation $a_n \geqslant 0,62$.

Quel résultat de la question \textbf{2.} retrouve-t-on?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Centres étrangers \fg, 11 juin 2018}

\medskip

Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en l'absence de maintenance.

Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item fonctionnel (F) ;
\item  en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse;
\item défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.
\end{list}

La société a observé que d'un jour sur l'autre :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item  concernant les automates fonctionnels, 90\,\% le restent et 10\,\% deviennent
en sursis;
\item concernant les automates en sursis, 80\,\% le restent et 20\,\% deviennent
défaillants.
\end{list}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-apr\`es qui représente les évolutions possibles de l'état d'un automate.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowscale=1.5,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(7.5,1)
\cnodeput(0,0){A}{\large F}\cnodeput(3,0){B}{\large S}\cnodeput(6,0){C}{\large D}
\ncline{->}{A}{B}\ncline{->}{B}{C}
%\ncloop{A}{A}\ncloop{B}{B}\ncloop{C}{C}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{\ldots}
\nccircle[angleA=-90]{->}{C}{0.4cm}\Bput{1}
\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.4cm}\Aput{\ldots}
\uput[u](1.5,0){\ldots}\uput[u](4.5,0){\ldots}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  Interpréter le nombre 1 qui appara\^it sur ce graphe.
		\item  Voici la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée \`a  ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D.

Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
	\end{enumerate}
\item  \`A compter d'une certaine date, la société rel\`eve chaque jour \`a  midi l'état de
ses automates. 

On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
	
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f_n$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle $n$-i\`eme jour;
\item $s_n$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le $n$-i\`eme jour;
\item $d_n$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le $n$-i\`eme jour.
\end{list}

On note alors $P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste le $n$-i\`eme jour.

Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels: on a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_1$\,.
		\item Montrer que, le 3\up{\`eme} jour, l'état probabiliste est $\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$.
		\item Vérifier que ce graphe poss\`ede un unique état stable $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.
		
Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1\,f_n + 0,8\,s_n$\,.
		\item On vérifierait de m\^eme que pour tout entier naturel $n$, \[d_{n+1} = 0,2\,s_n + d_n \quad \text{et } \:f_{n+1} = 0,9\,f_n\,.\]
		
Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au bout duquel 30\,\% des automates ne fonctionnent plus.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$D \gets 0$\\
$S \gets \ldots$\\
$F \gets 1$\\
$N \gets 0$\\
Tant que \ldots\\
\hspace{1cm}$D \gets 0,2 \times S + D$\\
\hspace{1cm}$S \gets 0,1 \times F + 0,8 \times S$\\
\hspace{1cm}$F \gets 0,9 \times F$\\
\hspace{1cm}$N \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\
Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle supérieure \`a  30\,\% ?
		\item  Dans le codage de la boucle \og Tant que \fg, l'ordre d'affectation des variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Antilles -- Guyane \fg, 19 juin 2018}\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
\bigskip

Franck joue en ligne sur internet.
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Apr\`es plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item quand il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale \`a $0,65$ ;
\item  quand il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale \`a $0,42$.
\end{list}
\medskip

On note $G$ l'état : \og Franck gagne la partie \fg{} et $P$ l'état : \og Franck perd la partie \fg.\medskip

Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel $n$ non nul:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $g_n$ la probabilité que Franck gagne la $n$-i\`eme partie;
\item $p_n$ la probabilité que Franck perde la $n$-i\`eme partie.
\end{list}
\medskip

Dans cette période, Franck a gagné la premi\`ere partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés G et P.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item écrire la matrice de transition $M$ dans l'ordre G - P.
		\item Calculer la probabilité que Franck gagne la troisi\`eme partie.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer l'état stable du syst\`eme et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice,
 \end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
 \medskip
 

\parbox{0.48\linewidth}{Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu'il doit combattre.\medskip

On a représenté ci-contre le graphe modélisant ces
catacombes.

Les sommets représentent les salles et les ar\^etes représentent les couloirs.

Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque couloir.}\hfill
\parbox{8.5cm}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.1)(8,5.5)
\psset{arcangle=20} \cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2,5){B}{B} \cnodeput(2.5,0.5){C}{C} \cnodeput(5,3){D}{D} \cnodeput(6,0.7){E}{E} \cnodeput(7,4.5){F}{F} \cnodeput(7.5,2){G}{G}
\ncarc{A}{B} \ncput*{11}\ncarc{A}{C} \ncput*{12}\ncarc{B}{C} \ncput*{18}\ncarc{B}{D} \ncput*{7}\ncarc{B}{F} \ncput*{22}\ncarc{D}{E} \ncput*[npos=0.35]{4}\ncarc{D}{F} \ncput*{3}\ncarc{E}{F} \ncput*{11}\ncarc{E}{G} \ncput*{7}
\ncarc{F}{G} \ncput*{5}\ncarc{C}{D} \ncput*{5}\ncarc{C}{E} \ncput*{19}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il est possible, au départ d'une salle quelconque, d'y revenir apr\`es
avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
		\item Donner un tel chemin.
	\end{enumerate}
\item Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l'adversaire final en salle G.
	
Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle A \`a la salle G en passant une
et une seule fois par tous les couloirs ?
\item Une fois arrivé en salle G, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de
monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
	
Déterminer ce trajet minimal et préciser le nombre de monstres affrontés.
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Asie \fg, 21 juin 2018 (4 points)}
 
\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins \`a vélo. Le premier jour, tr\`es motivée, Lisa se rend au travail \`a vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail \`a vélo ou en voiture.\medskip


Elle se rend compte que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de $0,7$ ;
\item si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu'elle reprenne la voiture le lendemain est de $0,5$.
\end{list}

Cette situation peut \^etre modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B o\`u :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $A$ est l'év\`enement \og Lisa prend le vélo \fg{} ;
\item B est l'év\`enement \og Lisa prend la voiture \fg.
\end{list}

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que Lisa aille au travail \`a vélo le jour $n$ ;
\item $b_n$ la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour $n$.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste.
		\item En déduire la matrice de transition $M$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $a_1$ et $b_1$ correspondant \`a l'état initial.
		\item Calculer la probabilité arrondie au centi\`eme que Lisa prenne le vélo le 8\up{\`eme} jour.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, on a : $a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,5\,b_n$\,.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $a_{n+1} = 0,2\,a_n + 0,5$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < 0,626$.
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 1$\\
$A \gets 1$\\
Tant que \ldots faire\\
\hspace{1cm}$A \gets \ldots$\\
\hspace{1cm}$N \gets \ldots $\\ 
Fin Tant que\\ \hline	
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur de $N$ apr\`es exécution de l'algorithme? \par Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extrait de la session \og Métropole -- La Réunion \fg, 22 juin 2018}\medskip

\parbox{12cm}{%
\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}
Un parcours sportif est composé d'un banc pour abdominaux, de haies et d'anneaux. Le graphe orienté ci-contre indique les différents parcours conseillés partant de D et terminant \`a F.
\medskip

Les sommets sont: D (départ), B (banc pour abdominaux), H (haies), A (anneaux) et F (fin du parcours).\medskip

Les ar\^etes représentent les différents sentiers reliant les sommets.}
\hfill
\parbox{5.12cm}{%
\psset{unit=0.8cm}
\SpecialCoor
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {2.9}
\def\ymin {-3.3}   \def\ymax {3.3}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\cnodeput(3;108){D}{D}
\cnodeput(3;36){H}{H}
\cnodeput(3;-36){A}{A}
\cnodeput(3;-108){F}{F}
\cnodeput(3;-180){B}{B}
%%% tracés des ar\^etes et des étiquettes
\ncline{D}{H} % \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} % \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} % \nbput{40} %%% DB
\ncline[ArrowInsidePos=0.6]{H}{B} % \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} % \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} % \naput{26} %%% HA
\ncline[ArrowInsidePos=0.6]{A}{B} % \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} % \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} % \nbput{14} %%% BF
\end{pspicture}}\bigskip

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ordre du graphe ?
\item On note $M$ la matrice d'adjacence de ce graphe o\`u les sommets sont rangés dans l'ordre alphabétique.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $M$.
\item On donne
$M^3 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$.

Assia souhaite aller de D \`a F en faisant un parcours constitué de 3 ar\^etes.

Est-ce possible ? 

Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter? Préciser ces trajets.
\end{enumerate}

\item Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.

Lors d'un entra\^inement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de D \`a F. 

Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {3.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
\SpecialCoor
%%% définitions des points 
\cnodeput(3;108){D}{D}
\cnodeput(3;36){H}{H}
\cnodeput(3;-36){A}{A}
\cnodeput(3;-108){F}{F}
\cnodeput(3;-180){B}{B}
%%% tracés des ar\^etes et des étiquettes
\ncline{D}{H} \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} \nbput{40} %%% DB
%\ncarc[ArrowInsidePos=0.6]{H}{B}
\ncline[ArrowInsidePos=0.6]{H}{B} 
\nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} \naput{26} %%% HA
\ncline[ArrowInsidePos=0.6]{A}{B} \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} \nbput{14} %%% BF
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée T. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

\smallskip

La matrice d'adjacence $N$ associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés en ordre alphabétique, est :

\[N =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

Compléter l'annexe 1 \`a rendre avec la copie, en ajoutant les ar\^etes nécessaires au graphe orienté correspondant \`a la matrice $N$.\vspace{1cm}

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}\\
\psset{unit=1cm}
\SpecialCoor
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\cnodeput(3;108){D}{D}
\cnodeput(3;36){H}{H}
\cnodeput(3;-36){A}{A}
\cnodeput(3;-108){F}{F}
\cnodeput(3;-180){B}{B}
\cnodeput(0,0){T}{T}
%%% tracés des ar\^etes et des étiquettes
\ncline{D}{H} % \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} % \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} % \nbput{40} %%% DB
\ncline[ArrowInsidePos=0.6]{H}{B} % \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} % \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} % \naput{26} %%% HA
\ncline[ArrowInsidePos=0.6]{A}{B} % \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} % \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} % \nbput{14} %%% BF
%\psdots[dotscale=1.5](0,0) \uput[ur](0,0){T}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extrait de la session \og Polynésie \fg, 22 juin 2018 (4 points)}\medskip

Un journaliste britannique d'une revue consacrée \`a l'automobile doit tester les autoroutes fran\c{c}aises. 

Pour remplir sa mission, il décide de louer une voiture et de circuler entre six grandes villes fran\c{c}aises : Bordeaux~(B), Lyon~(L), Marseille~(M), Nantes~(N), Paris~(P) et Toulouse(T).
\smallskip

Le réseau autoroutier reliant ces six villes est modélisé par le graphe ci-dessous sur lequel les sommets représentent les villes et les ar\^etes les liaisons autorouti\`eres entre ces villes.

\begin{center}
{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(7,6.5)
\cnodeput(2.5,2){A}{N}
\cnodeput(2.,6){B}{P}
\cnodeput(3.5,3.5){C}{L}
\cnodeput(5.5,3.2){D}{M}
\cnodeput(1.5,.5){E}{B}
\cnodeput(6.5,0.5){F}{T}
\ncarc[arcangle=30]{A}{B}\ncarc[arcangle=-30]{C}{B}
\ncarc[arcangle=70]{B}{F}\ncarc[arcangle=-60]{B}{E}
\ncarc[arcangle=-30]{C}{A}\ncarc[arcangle=90]{C}{E}
\ncarc[arcangle=30]{C}{F}\ncarc[arcangle=-30]{D}{C}
\ncarc[arcangle=30]{D}{F}\ncarc[arcangle=-30]{A}{E}\ncarc[arcangle=30]{F}{E}
\end{pspicture}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ordre du graphe ?
		\item Le graphe est-il complet ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On admet que le graphe est connexe. 
		
		Le journaliste envisage de parcourir chacune des liaisons modélisées sur le graphe une fois et une seule. 
		
		Est-ce possible? Justifier la réponse.
		\item Le journaliste va-t-il pouvoir louer sa voiture dans un aéroport parisien, parcourir chacune des liaisons une et une seule fois puis rendre la voiture dans le m\^eme aéroport ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  On nomme $G$ la matrice d'adjacence du graphe (les villes étant rangées dans l'ordre
alphabétique). 

On donne :

\[G = \begin{pmatrix}
0 &\ldots &0 &1 &1 &1 \\
\ldots&0 &1 &1 &1 &1\\ 
0 &1 &\ldots &0 &\ldots &1\\ 
1 &1 &0 &0 &1 &0 \\
1 &1 &\ldots &1 &0 &1\\ 
1 &1 &1 &0 &1 &0 
\end{pmatrix} \quad 
\text{et} \quad G^3 = \begin{pmatrix}
10 &13 &5 &10 &11 &12\\
13 &12 &8 &11 &13 &12\\
5 &8 &2 &5 &5 &7\\
10 &11 &5 &6 &10 &7\\
11 &13& 5 &10 &10 &12\\
12 &12 &7 &7 &12 &8
\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence.
		\item Alors qu'il se trouve \`a Paris, le rédacteur en chef demande au journaliste d'\^etre \`a Marseille exactement trois jours plus tard pour assister \`a une course automobile. Le journaliste décide chaque jour de s'arr\^eter dans une ville différente. 
		
Déterminer le nombre de trajets possibles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps nécessaire en minutes pour parcourir chacune des liaisons autorouti\`eres.

\begin{center}
{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(7,6.5)
\cnodeput(2.5,2){A}{N}
\cnodeput(2.,6){B}{P}
\cnodeput(3.5,3.5){C}{L}
\cnodeput(5.5,3.2){D}{M}
\cnodeput(1.5,.5){E}{B}
\cnodeput(6.5,0.5){F}{T}
\ncarc[arcangle=30]{A}{B}\ncput*{222} \ncarc[arcangle=-30]{C}{B}\ncput*{268}
\ncarc[arcangle=70]{B}{F}\ncput*{391}\ncarc[arcangle=-60]{B}{E}\ncput*{340}
\ncarc[arcangle=-30]{C}{A}\ncput*{396}\ncarc[arcangle=90]{C}{E}\ncput*{336}
\ncarc[arcangle=30]{C}{F}\ncput*{305}\ncarc[arcangle=-30]{D}{C}\ncput*{214}
\ncarc[arcangle=30]{D}{F}\ncput*{236}\ncarc[arcangle=-30]{A}{E}\ncput*{206}
\ncarc[arcangle=30]{F}{E}\ncput*{153}
\end{pspicture}}
\end{center}

Le journaliste se trouve \`a Nantes et désire se rendre le plus rapidement possible \`a Marseille.

Déterminer un trajet qui minimise son temps de parcours.
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Extrait de la session \og Amérique du Sud \fg, 17 novembre 2014}
%
%\medskip
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

\cnodeput(9.5,0.8){M}{M}
\ncline{B}{Z}\ncput*{4,40}
