\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{enumitem} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Année 1998}, allbordercolors = white} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S : l'intégrale de mars à décembre 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 1997~\decofourright \\[7pt] L'intégrale d'avril à décembre 1997}} \vspace{0,25cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{0,25cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 1997} \dotfill \pageref{Pondichery}\medskip \hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 1997} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord}\medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1997} \dotfill \pageref{Antilles}\medskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 1997} \dotfill \pageref{Asie}\medskip \hyperlink{Etranger1}{Centres étrangers I juin 1997} \dotfill \pageref{Etranger1}\medskip \hyperlink{Etranger2}{Centres étrangers II juin 1997} \dotfill \pageref{Etranger2}\medskip \hyperlink{Etranger3}{Centres étrangers III juin 1997} \dotfill \pageref{Etranger3}\medskip \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 1997} \dotfill \pageref{LaReunion}\medskip \hyperlink{Metropole1}{Métropole groupe 1 juin 1997} \dotfill \pageref{Metropole1}\medskip \hyperlink{Metropole2}{Métropole groupe 2 juin 1997} \dotfill \pageref{Metropole2}\medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1997} \dotfill \pageref{Polynesie}\medskip \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 1997} \dotfill \pageref{Antillessept}\medskip \hyperlink{Etrangersept}{Centres étrangers septembre 1997} \dotfill \pageref{Etrangersept}\medskip \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1997} \dotfill \pageref{Metropolesept}\medskip \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 1997} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\medskip \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau octobre 1997} \dotfill \pageref{Sportifs}\medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 1997} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\medskip \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie décembre 1997} \dotfill~ \pageref{Caledonie} \medskip } \begin{center} Tapuscrit : Denis Vergès \end{center} ~ \newpage %%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 1997 \label{Pondichery} \hypertarget{Pondichery}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{avril 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat S Pondichéry avril 1998~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}} \medskip \begin{enumerate} \item On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges et sept boules noires. On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tous les tirages sont équiprobables. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p_{1}$ que les deux boules tirées soient rouges ? \item Quelle est la probabilité $p_{2}$ que les deux boules tirées soient noires ? \item Quelle est la probabilité $p_{3}$ que les deux boules tirées soient de même couleur ? \item Quelle est la probabilité $p_{4}$ que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ? \end{enumerate} \item On dispose aussi d'une deuxième urne U$_{2}$ contenant quatre boules rouges et six boules noires. On tire maintenant deux boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables. On considère les évènements suivants : $R$ : \og Les trois boules tirées sont rouges \fg $D$ : \og Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur \fg $B$ : la boule tirée dans l'urne U$_{2}$ est rouge \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $R$. \item Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ? \item Calculer la probabilité conditionnelle $p_{D}$(B) de l'évènement B sachant que l'évènement $D$ est réalisé. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On considère le polynôme P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$, où $z$ est un nombre complexe. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : \[\mathrm{P}(z) = \left(z^{2}+ az + b\right)\left(z^{2} + 4z + 20\right).\] \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation P$(z) = 0$. \item Placer dans un repère orthonormal direct \Ouv, les images M,\: N, P et Q des nombres complexes respectifs $m=-2+4\text{i},\;n=-2-4\text{i}, \;p=2+3\text{i}$ et $q=2-3\text{i}$. \item[\textbf{4.}] \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre complexe $z$ vérifiant $\displaystyle\frac{z-p}{z-m}= \text{i}$. Placer son image K. \item En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul l'affixe du point L, quatrième sommet du carré MKPL. \item Déterminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (KL) et de l'axe des abscisses. \item Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 4 cm, on note A le point d'affixe 1, B le point d'affixe i, (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et (D) la droite d'équation $y = 1$. À tout point $M$ du plan, d'affixe $z$ distincte de i, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$, telle que \[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$, avec $z$ distinct de i, tels que $z' = 1$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $z$ distinct de i, $z'\overline{z}' = 1$. Interpréter géométriquement ce résultat. \item Montrer que, pour tout point $M$ n'appartenant pas à la droite (D), $\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}}$ est un imaginaire pur. En déduire que les droites (A$M'$) et (B$M$) sont perpendiculaires. \item Déduire des questions 2. a. et b. une construction du point $M'$ lorsque $M$ est un point non situé sur la droite (D). Préciser la position du point $M'$ lorsque $M$ appartient à la droite (D) privée du point B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit P un point du cercle (C), distinct du point A. En utilisant la question 2. b., représenter l'ensemble $E$ des points $M$ tels que $M' =$ P. \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3 = 1$. \item En utilisant ce qui précède, et sans aucun calcul, représenter l'ensemble $F$ des points $M$ dont les affixes $z$ sont les solutions dans $\C$ de l'équation : $\left(\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\right)^3 = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x\text{e}^{x}+1}\] On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; unité graphique : 4~cm. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{$\star$} \textbf{étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[g(x) = x + 2 - \text{e}^{x}.\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~+\infty[$ et déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule dans $[0~;~+\infty[$. On note $\alpha$ cette solution. \item Prouver que $1,14 < \alpha<1,15$. \end{enumerate} \item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{$\star$} \textbf{Étude de la fonction $f$ et tracé de la courbe $\mathcal{C}$} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$, \[f'(x)=\frac{\text{e}^{x}g(x)}{(x\text{e}^{x}+1)^{2}}.\] \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que pour tout réel positif $x$, \[ f(x)=\frac{1- \text{e}^{-x}}{x+\text{e}^{-x}} \] \item[\textbf{b.}] En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat trouvé. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Établir que $f(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha+ 1}$. \item En utilisant l'encadrement de $\alpha$ établi dans la question \textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \item \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \[f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{x\text{e}^{x}+1}\quad \text{avec}\: u(x) = \text{e}^{x} - x\text{e}^{x}-1. \] \item Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. En déduire le signe de $u(x)$. \item Déduire des questions précédentes la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite (T). \end{enumerate} \item Tracer $\mathcal{C}$ et (T). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et étude d'une suite} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive F de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ ; on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ établie dans la question \textbf{B. 2.} \item On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente (T) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. Calculer, en cm$^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$. Donner une valeur décimale au mm$^{2}$ près de l'aire $\mathcal{A}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose \[v_{n} = \int_{n}^{n+1}f(x)\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$. On donnera des valeurs décimales approchées à 10$^{-2}$ près de $v_{0}$,\:$v_{1}$ et $v_{2}$. \item Interpréter graphiquement $v_{n}$. \item Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$ \[f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\:\textrm{d}x\leqslant f(n)\] En déduire la monotonie de la suite $(v_{n})$ à partir de $n = 1$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 1997 \label{AmeriqueduNord} \hypertarget{AmeriqueduNord}{} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité pour qu'elle perde la partie suivante est $0,7$. On note, pour $n$ entier naturel ou nul : $G_{n}$ l'évènement \og Juliette gagne la $n$-ième partie \fg $P_{n}$ l'évènement \og Juliette perd la $n$-ième partie \fg \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités $p\left( G_{1}\right) ,$ $p\left(G_{2}/G_{1}\right) $ et $p\left( G_{2}/P_{1}\right) .$ En déduire la probabilité $p\left( G_{2}\right).$ \item Calculer $p\left(P_{2}\right).$ \end{enumerate} \item On pose, pour $n$ entier naturel non nul, $x_{n}=p\left( G_{n}\right) $ et $y_{n}=p\left(P_{n}\right).$ \begin{enumerate} \item Déterminer pour $n$ entier naturel non nul les probabilités $p\left(P_{n+1}/G_{n}\right) $ et $p\left( G_{n+1}/P_{n}\right).$ \item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \index{Suite!et probabilité} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l} x_{n+1}= 0,6x_{n}+0,3y_{n}\\ y_{n+1}= 0,4x_{n}+0,7y_{n} \end{array} \right. \] \end{enumerate} \item Pour $n$ entier naturel non nul, on pose \[ v_{n}=x_{n}+y_{n}\text{ et }w_{n}=4x_{n}-3y_{n} \] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left( v_{n}\right) $ est constante de terme général égal à $1.$ \index{Suite!constante} \item Montrer que la suite $\left(w_{n}\right) $ est géométrique et exprimer $w_{n}$ en fonction de $n.$ \index{Suite!géométrique} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire du 3. l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n.$ \item Montrer que la suite $\left( x_{n}\right) $ converge et déterminer sa limite. \index{Suite!convergente} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan orienté, ABC est un triangle rectangle en A, direct, non isocèle. H est le pied de la hauteur issue de A. Le point D est tel que ACD est un triangle rectangle en A, isocèle et direct. O est le pied de la hauteur issue de D dans le triangle OBC. K est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle DAO. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Montrer que la rotation $r$ de centre A et d'angle + $\dfrac{\pi}{2}$ transforme la droite (CB) en la droite (DO), puis le triangle AHC en le triangle AKD. En déduire que AHOK est un carré. \item Montrer que les droites (AB) et (KH) sont sécantes. (On pourra montrer que l'hypothèse \og (AB) et (KH) parallèles \fg{} conduit à l'égalité \og AO = AD \fg{} et que ceci est contradictoire avec les hypothèses de l'énoncé). \item En déduire qu'il existe une homothétie $h$ qui transforme le triangle AKD en le triangle BHA. \item On considère la transformation composée $s = h \circ r$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'image des points H, C et A par $s$. \item Identifier cette transformation et donner ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On considère l'équation différentielle (E) : \[y'' + 2y' + 5y = 2x + 3.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax + b$ soit solution de cette équation. \item Soit $g$ une fonction numérique définie sur $\R$. Montrer que $g$ vérifie (E) si et seulement si $g - f$ vérifie l'équation \[(\text{E}') :\quad y'' + 2y' + 5y = 0.\] \item Résoudre (E$'$) et en déduire la solution générale de (E). \item Déterminer la fonction numérique $h$, solution particulière de (E) vérifiant les conditions initiales $h(0) = 1$ et $h'(0) = 1$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \medskip La partie D est indépendante des parties B et C. \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité 3 cm). On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 - 2x + 2\right).\] On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout $x$ réel, $x^2 - 2x + 2 > 0$. \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier le sens de variation de $f$ sur $\R$. \item Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Représenter $(\mathcal{C})$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ : on montrera que la droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C})$ et on placera les points d'abscisse $0$ et $2$ ainsi que les tangentes à la courbe en ces points. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse à l'intersection de $(\mathcal{C})$ et de $(\Delta)$. On pose, pour tout réel $x,\quad \varphi(x) = f(x) - x$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $\varphi''(x)$ de $\varphi(x)$. En déduire que $\varphi$ est strictement décroissante sur $\R$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $\varphi$ en $- \infty$. \item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, \[\varphi(x) = x\left[\dfrac{2\ln x}{x} + \dfrac{\ln \left(1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)}{x} - 1 \right]\] En déduire la limite de $\varphi$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On pose J = [0,3~;~0,4]. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $x \longmapsto x^2 - 2x + 2$ est décroissante sur J. En déduire que si $x$ appartient à J alors $f(x)$ appartient à J. \item \begin{enumerate} \item Prouver que pour tout $x$ de J, $\left|f'(x)\right| \leqslant 0,95$ (on pourra montrer que $f'$ est croissante sur J). \item En déduire que pour tout $x$ de J, $|f(x) - \alpha| \leqslant 0,95|x - \alpha|$. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : \[u_{0} = 0,3\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\quad u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Prouver que pour tout $n$ : $\bullet~~$ $u_{n} \in \text{J}$ $\bullet~~$ $\left|u_{n+1} - \alpha \right| \leqslant 0,95\left|u_{n} - \alpha\right|$ $\bullet~~$ $\left|u_{n} - \alpha \right| \leqslant 0,1 \times (0,95)^n$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$. \item Déterminer un entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n$ supérieur ou égal à $n_{0}$, $\left|u_{n} - \alpha \right| \leqslant 10^{-3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D} \medskip On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre les droites d'équation $x = 0, x = \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$. On se propose de déterminer une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en unités d'aire. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{4}$ a pour équation $y = - \dfrac{24}{25}x + \dfrac{6}{25} + \ln \dfrac{25}{16}$. \item Soient les points E d'abscisse $0$ et F d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ de la courbe $\mathcal{C}$. Montrer que la droite (EF) a pour équation $y = 2\left(\ln \dfrac{5}{8}\right)x + \ln 2$. \item On admet que sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$ la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de (T) et en dessous de (EF). \begin{enumerate} \item Montrer que \[\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left(- \dfrac{24}{25} + \dfrac{6}{25} + \ln \dfrac{25}{16}\right)\:\text{d}x \leqslant \mathcal{A} \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left(2\left(\ln \dfrac{5}{8}\right)x + \ln 2\right)\:\text{d}x.\] \item En déduire que $\ln \dfrac{5}{4} \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{4}\ln \dfrac{5}{2}$. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $5 \cdot 10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 1997 \label{Antilles} \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane juin 1997~\decofourright}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}} \medskip Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique est 1~cm. On considère les points A, B , C d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = (3\sqrt{3} - 2) + \text{i}(3 + 2\sqrt{3}) \quad z_{\text{B}} = (-\sqrt{3} - 1) + \text{i}(\sqrt{3} - 1) \quad z_{\text{C}} = (1 - 4\sqrt{3}) + \text{i}(- 4 - \sqrt{3})\] \medskip \begin{enumerate} \item On se propose de placer les points A, B et C dans le repère \Ouv{} à l'aide du compas. Pour cela on considère la rotation $R$ de centre O et d'angle de mesure $- \dfrac{2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $R$. \item Vérifier que $R$ transforme le point A en le point A$_{0}$ d'affixe : $4 - 6\text{i}$. On admettra que $R$ transforme les points B et C en les points B$_{0}$ et C$_{0}$ d'affixes respectives $2 + 2\text{i}$ et $- 2 + 8\text{i}$. \item Placer les points A$_{0}$, B$_{0}$, C$_{0}$ puis, à l'aide du compas, les points A, B, C. (La construction de A sera justifiée). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $z_{\text{A}}- z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$. \item En déduire que le point O est le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{A},~1),~(\text{B},~- 1),~(\text{C},~1)\}$. \end{enumerate} \item Soit l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ du plan tels que : \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right\| = \left\|\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right\|\] \begin{enumerate} \item Vérifier que B appartient à $\mathcal{C}$. \item Déterminer puis tracer l'ensemble $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Déterminer puis tracer l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ du plan tels que : \[2\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{A}}- 3\vect{M\text{B}}\right\|\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \medskip Voici le plan de la salle 308 du lycée Dupont. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10,6) \multido{\n=1+1}{5}{\psline(\n,2)(\n,6)} \multido{\n=6+1}{5}{\psline(\n,2)(\n,6)} \multido{\n=2+1}{5}{\psline(1,\n)(5,\n)} \multido{\n=2+1}{5}{\psline(6,\n)(10,\n)} \rput{90}(5.5,4){allée centrale} \psframe(4,0)(7,1)\rput(5.5,0.5){Bureau} \multido{\n=2+1}{4}{\uput[u](0.5,\n){R\n}} \end{pspicture} \end{center} Le premier jour de l'année scolaire, les élèves de la classe de TS1 sont invités par leur professeur principal à s'installer au hasard des places disponibles dans cette salle. La classe de TS1 comporte 28 élèves. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de répartitions possibles des places inoccupées ? \item Calculer à $10^{-1}$ près, les probabilités des évènements suivants : $A$ : \og les huit places du rang R4 sont toutes occupées \fg{} ; $B$ : \og il y a autant d'élèves à gauche qu'à droite de l'allée centrale \fg. \end{enumerate} \item Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. Soit $X$ la variable aléatoire \og nombre de places inoccupées au rang R4 \fg. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Calculer son espérance mathématique. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème \hfill 5 points}} \medskip \textbf{Partie I} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 1}{x} \right) - \dfrac{1}{x + 1}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ et étudier le sens de variation de $f$. \item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ et lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ et en déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$. \item Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct \Oij, l'unité graphique est 5~cm. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[g(x) = x \ln \left(\dfrac{x + 1}{x} \right)\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$. Déduire de la partie I le sens de variation de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. \item Vérifier que $g = h \circ k$ avec $h$ et $k$ les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ par : \[h(x) = \dfrac{\ln (1 + x)}{x} \quad \text{et}\quad k(x) = \dfrac{1}{x}.\] En déduire la limite de $g$ en $+ \infty$ et en $0$. \item Donner le tableau des variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à 1. On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire en cm$^2$ du domaine ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient : \[1 \leqslant x \leqslant \lambda \quad \text{et} \quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\] En utilisant les résultats de la partie II, \begin{enumerate} \item Calculer $\mathcal{A}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$. \item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$. \item Justifier l'affirmation : \og L'équation $\mathcal{A}(\lambda) = 5$ admet une solution unique notée $\lambda_{0}$ \fg, puis donner un encadrement de $\lambda_{0}$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite numérique définie sur $\N$ par : \[u_{n} = \left(\dfrac{n + 1}{n} \right)^n.\] Montrer, en remarquant que $\ln \left(u_{n}\right) = g(n)$, que : \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite croissante. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente, et préciser sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 1997 \label{Asie} \hypertarget{Asie}{} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{ \Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 1997~\decofourright}}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne contient deux boules blanches et $n$ noires, indiscernables au toucher. Un joueur tire simultanément deux boules de l'urne et on note $A_{2}$ l'évènement : \og le joueur a tiré deux boules blanches \fg. Déterminer $n$ pour que la probabilité $p\left(A_{2}\right)$ de l'évènement $A_{2}$ soit égale à $\dfrac{1}{15}$ ? \item Dans \textbf{toute la suite du problème} on prend $n = 4$. \textbf{A -} ­ Un joueur tire simultanément deux boules de l'urne et on note : $A_{0}$ l'évènement : \og le joueur a tiré deux boules noires \fg{} ; $A_{1}$ l'évènement : \og le joueur a tiré une boule noire et une blanche \fg{} ; $A_{2}$ l'évènement : \og le joueur a tiré deux boules blanches \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements $A_{0}$ et $A_{1}$. \item Lors de ce tirage, le joueur marque trois points pour chaque boule blanche tirée et marque deux points pour chaque boule noire tirée. Soit $X$ le nombre de points marqués. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. Déterminer E($X$). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{B - } ­Après ce premier tirage, le joueur remet les boules noires tirées dans l'urne et laisse les boules blanches tirées de côté, puis effectue un nouveau tirage simultané de deux boules. Soit $B_{i}$ l'évènement : \og on obtient $i$ boule(s) blanche(s) lors du deuxième tirage \fg{} ($i = 0,~ 1$ ou $2$). \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Donner $p\left(B_{0}/A_{2}\right)$ et en déduire $p\left(B_{0} \cap A_{2}\right)$. Calculer de même $p\left(B_{0} \cap A_{1}\right)$ et $p(B_{0} \cap A_{0})$. En déduire que $p\left(B_{0}\right) = \dfrac{41}{75}$. \item[\textbf{b.}] Montrer de même que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{2}{75}$. En déduire $p\left(B_{1}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} \medskip On considère le plan complexe $P$ muni du repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item Soit le polynôme $P$ tel que, pour tout $z$ de $\C$, \[P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4.\] Déterminer les réels $u$ et $v$ tels que $P(z) = (z - 2)\left(z^2 + uz + v\right)$ et résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$. \item On note $\alpha$ la solution de l'équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugué de $\alpha$. Soit A, B et C les points d'affixes respectives $\alpha,~\beta$ et 2, I le milieu de [AB] et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe du point $r$(B) et en déduire la nature du quadrilatère OACB. \item Soit $f$ l'application de $P$ privé du point C dans $P$ qui au point $M$ d'affixe $z$ ($z \neq 2$) associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \dfrac{z - (1 + \text{i})}{z - 2}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer $f$(A) et $f$(B). Déterminer le point E tel que $f$(E) = C. \item Quelles distances représentent les réels $|z - (1 + \text{i})|$ et $|z - 2|$ ? En déduire que si $M$ appartient à la médiatrice de [AC], $M'$ appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles de centres respectifs O et O$'$ et de rayons $r$ et $2r$ tangents extérieurement en A, de diamètres respectifs [AB] et [AA$'$]. Soit $M$ un point quelconque de $\mathcal{C}$, distinct de A et de B, et $M'$ le point de $\mathcal{C}'$ tel que le triangle A$MM'$ soit rectangle en A (on prendra pour la figure $r = 2$~cm) \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer en justifiant les réponses : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le rapport de l'homothétie $h_{1}$ de centre A qui transforme $\mathcal{C}$ en $\mathcal{C}'$ ; \item le centre I de l'homothétie $h_{2}$ distincte de $h_{1}$ qui transforme $\mathcal{C}$ en $\mathcal{C}'$. Placer I sur la figure. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item On note $M_{1} = h_{1}(M)$ Montrer que $M_{1}$ est le point de $\mathcal{C}'$ diamétralement opposé à $M'$. Déterminer $h_{2}(M)$ et en déduire que la droite $\left(MM'\right)$ passe par un point fixe, lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ privé des points A et B. \end{enumerate} \item La droite $\left(MM'\right)$ recoupe $\mathcal{C}$ en $N$ et $\mathcal{C}'$ en $N'$. Quelle est l'image de $N$ par $h_{2}$ ? Montrer que $\left(\vect{\text{A}N},~\vect{\text{A}M}\right) = \left(\vect{\text{A}N'},~\vect{\text{A}M'}\right) \quad \mod(\pi)$ et en déduire que le triangle A$NN'$ est rectangle en A. \item Soit $\omega$ milieu de $[MM']$. Montrer que $\omega$ appartient à un cercle fixe dont on donnera le centre et le rayon (on pourra utiliser le milieu D de [OO$'$]). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Pour tout entier $n$ strictement positif on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f_{n}(x) = \dfrac{(\ln x)^n}{x^2}.\] On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère \Oij{} orthogonal (unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses, 10~cm sur l'axe des ordonnées). \bigskip \textbf{Partie A - Étude pour} \boldmath $n = 1$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f_{1}(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(x)$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{1}$ ? \item Étudier le sens de variation de $f_{1}$ et donner le tableau des variations de $f_{1}$. \item Déterminer une équation de la tangente en $x_{0} = 1$, à la courbe $\mathcal{C}_{1}$. \textbf{Étude pour} \boldmath $n = 2$ \unboldmath \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f_{2}(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{2}(x)$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{2}$ ? \item Calculer $f_{2}^{\prime}(x)$ et donner le tableau des variations de $f_{2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f_{1}(x) - f_{2}(x)$ ; en déduire la position relative de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \item Tracer $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip $n$ étant un entier naturel non nul, on pose $I_{n} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f_{n}(x)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item On pose $F(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}$. Calculer $F'(x)$, en déduire $I_{1}$. \item En utilisant une intégration par parties montrer que : \[I_{n+1} = - \dfrac{1}{\text{e}} + (n + 1)I_{n}.\] \item Calculer $I_{2}$ puis l'aire en cm$^2$ du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la question 2. de la partie C, montrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel non nul : \[\dfrac{1}{n!}I_{n} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}\left(1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!} \right)\] \item En utilisant un encadrement de $\ln x$ sur $[1~;~\text{e}]$, montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul : \[0 \leqslant I_{n} \leqslant 1 .\] \item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!} \right)$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Asie juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Etranger1 juin 1997 \label{Etranger1} \hypertarget{Etranger1}{} \lfoot{\small{Centres étrangers I}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers I juin 1997~\decofourright}}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher. $U_{1}$ contient $n$ boules blanches et 3 boules noires ($n$ est un entier supérieur ou égal à 1). $U_{2}$ contient 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire au hasard une boule de $U_{1}$ et on la met dans $U_{2}$, puis on tire au hasard une boule de $U_{2}$ et on la met dans $U_{1}$ ; l'ensemble de ces opérations constitue une épreuve. \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'évènement A : \og après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ \fg. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ peut s'écrire : \[p(A) = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{n + 2}{n + 3} \right).\] \item Déterminer la limite de $p(A)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item On considère l'évènement B : \og après l'épreuve, l'urne $U_{2}$ contient une seule boule blanche \fg. Vérifier que la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$ peut s'écrire \[p(B) = \dfrac{6}{4(n + 3)}.\] \item Un joueur mise 20~francs et effectue une épreuve. À l'issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dans $U_{2}$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Si $U_{2}$ contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit $2n$ francs ; \item Si $U_{2}$ contient 2 boules blanches, le joueur reçoit $n$ francs ; \item Si $U_{2}$ contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi le joueur n'a aucun intérêt à jouer tant que $n$ ne dépasse pas 10.? Dans la suite, on considère $n > 10$ et on introduit la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l'épreuve, l'urne $U_{2}$ contient une seule boule blanche, $X = 2n - 20$). \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \item On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l'espérance mathématique est strictement positive. Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne $U_{1}$ contient au moins 25 boules blanches. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique est 1~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = \left(3\sqrt{3} - 2\right) + \text{i}\left(3 + 2\sqrt{3}\right) \quad ; \quad z_{\text{B}} = \left(- \sqrt{3} - 1\right) + \text{i}\left(\sqrt{3}- 1\right)\quad ;\] \[z_{\text{C}} = \left(1 - 4\sqrt{3}\right) + \text{i}\left(- 4 - \sqrt{3}\right).\] \medskip \begin{enumerate} \item On se propose de placer les points A, B et C dans le repère \Ouv{} à l'aide du compas. Pour cela on considère la rotation $R$ de centre O et d'angle de mesure $- \dfrac{2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $R$. \item Vérifier que $R$ transforme le point A en le point A$'$ d'affixe : $4 - 6\text{i}$. On admettra que $R$ transforme les points B et C en les points B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $2 + 2\text{i}$ et $? 2 + 8\text{i}$. \item Placer les points A$'$, B$'$, C$'$ puis, à l'aide du compas, les points A, B, C. (La construction du point A sera justifiée). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $z_{\text{A}} - z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$. \item En déduire que le point O est le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~ 1),~(B,~- 1),~(C,~1)\}$. \end{enumerate} \item Soit l'ensemble $C$ des points $M$ du plan tels que : \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que B appartient à $C$. \item Déterminer puis tracer l'ensemble $C$. \end{enumerate} \item Déterminer puis tracer l'ensemble $D$ des points $M$ du plan tels que : \[2.\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right \| = \left\|M\vect{\text{A}} - 3\vect{M\text{B}}\right\|.\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} \medskip Dans le plan complexe $P$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, on donne les points A d'affixe 2i, B d'affixe 2 et I milieu de [AB] (on prendra 2~cm pour unité graphique). \medskip On considère la fonction $f$ qui, à tout point $M$ distinct de A, d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : ? \[z' = \dfrac{2z}{z - 2\text{i}}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet comme points invariants le point O et un deuxième point dont on précisera l'affixe. \item Déterminer les images par $f$ des points B et I. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque distinct de A et de O. Établir que : \[\left\{\begin{array}{l c l} \left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right)&=&\left(\vect{M\text{A}}~;~\vect{M\text{O}} \right) + k2\pi,~k \in \Z\\ \text{O}M'&=&2\dfrac{\text{MO}}{\text{MA}} \end{array}\right. \] \item Soit $(\Delta)$ la médiatrice de [OA]. Montrer que les transformés par $f$ des points de $(\Delta)$ appartiennent à un cercle ($C$) que l'on précisera. \item Soit ($\Gamma$) le cercle de diamètre [OA], privé du point A. Montrer que les transformés par $f$ des points de ($\Gamma$) appartiennent à une droite (D) que l'on précisera. \item Tracer $(\Delta)$, ($\Gamma$), ($C$), (D) sur une même figure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ différent de 1 par : \[f(x) = \dfrac{\text{e}^{- x}}{2(1 - x)}\] On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, et lorsque $x$ tend vers $1$. Interpréter graphiquement ces résultats. \item Vérifier que, pour tout $x$ différent de 1, $f(x)$ peut s'écrire : \[f(x) = \dfrac{\text{e}^{- x}}{- x}\times \dfrac{x}{2(x - 1)}\] En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f^\prime(x) = \dfrac{x\text{e}^{- x}}{2(1 - x)^2}$. \item Étudier les variations de $f$. \item Montrer que $f$ admet un minimum que l'on précisera sur l'intervalle $]-\infty~;~ 1[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'équation différentielle (E) : \[y'' + 2y' + y = 0\] où $y$ est une fonction numérique deux fois dérivable sur $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre (E). \item On considère les solutions de (E) dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que ces solutions s'écrivent sous la forme : $\left(ax + \dfrac{1}{2} \right)\text{e}^{- x}$. On note alors : \[h_{a}(x) = \left(ax + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{- x}.\] où $a$ est un nombre réel. \item Faire l'étude du sens de variation de $h_{a}$ selon les valeurs de $a$ et montrer que, pour tout réel $a$ différent de 0,~ $h_{a}$ admet un extremum pour une valeur de $x$ que l'on déterminera en fonction de $a$. \item On note $\mathcal{C}_{a}$ la courbe représentative de $h_{a}$ et $S_{a}$ le point de $\mathcal{C}_{a}$ correspondant à l'extremum de $h_{a}$ ; vérifier que, pour tout réel $a$ différent de $0,~ S_{a}$ est un point de $\Gamma$, la courbe définie dans la partie A. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Sur la feuille donnée en annexe, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les courbes $\mathcal{C}_{a}$ pour $a = \dfrac{1}{4}$ et pour quatre autres valeurs de $a$ : $- 2,~ 0,~ 1$ et $2$. \medskip \begin{enumerate} \item Sur cette feuille annexe, construire $\Gamma$ et ses droites asymptotes. \item Pour chacune des courbes $\mathcal{C}_{a}$ tracées (autres que $\mathcal{C}_{\frac{1}{4}}$), déterminer la valeur correspondante de $a$ en indiquant la méthode utilisée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D} \medskip Dans cette partie, on considère la fonction $h_{a}$ obtenue pour $a = \dfrac{1}{4}$. Soit $\lambda$ un nombre réel supérieur à $- 2$ ; on appelle D$_{\lambda}$ l'ensemble des points du plan limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{\frac{1}{4}}$ et la droite d'équation $x = \lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $I = \displaystyle\int_{- 2}^{\lambda}h_{\frac{1}{4}}(t)\:\text{d}t$ en fonction de $\lambda$ ; on pourra utiliser une intégration par parties ou se servir de l'équation différentielle (E). \item Soit $\mathcal{A}(\lambda)$ la mesure en unités d'aire de l'aire D$_{\lambda}$ ; quelle est la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(5,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-2.8}{5}{x 4 div 0.5 add 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.775}{5}{x 2 neg mul 0.5 add 2.71828 x exp div}\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.18}{5}{0.5 2.71828 x exp div}\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-1.35}{5}{x 0.5 add 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=gray]{-0.9}{5}{x 2 mul 0.5 add 2.71828 x exp div} \rput(-3.3,-3){$a = \frac{1}{4}$}\rput(-1.75,-3.2){$a = $}\rput(-0.9,-3.3){$a = $} \rput(-2.7,4.2){$a = $}\rput(-1.4,4.2){$a = $} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Etranger1 juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Etranger2 juin 1997 \label{Etranger2} \hypertarget{Etranger2}{} \lfoot{\small{Centres étrangers II}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers II juin 1997~\decofourright}}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il y ait eu incident, est égale à $\dfrac{1}{50}$ ; \item la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche est égale \`a $\dfrac{1}{500}$ ; \item la probabilité qu'un incident se produise est égale à $\dfrac{1}{100}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On pourra noter : $A$ l'évènement \og l'alarme se déclenche \fg{}; $I$ l'évènement \og un incident se produit \fg{}; $\overline{A}$ et $\overline{I}$ leurs évènements contraires respectifs. Ainsi, par exemple, $A \cap \overline{I}$ représente l'évènement \og l'alarme se déclenche sans qu'il y ait incident \fg. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l'alarme se déclenche. En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche. \item Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ? \item L'alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Les assureurs estiment qu'en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item \np{5000} F pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ; \item \np{15000} F pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas ; \item \np{1000} F lorsque l'alarme se déclenche par erreur. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour. Soit $X$ la variable représentant le coût journalier des anomalies pour l'entreprise. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Quel est le coût journalier moyen des anomalies ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit l'intégrale : K $= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos (2x )\:\text{d}x$. À l'aide de deux intégrations par parties successives, montrer que : K $ = \dfrac{\text{e}^{\pi} - 1}{5}$. \item Soient I $= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos^2 x\:\text{d}x$ et J $ = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \sin^2 x\:\text{d}x$. Calculer I + J et I $-$ J. En déduire les valeurs de I et J. \item Linéariser $\cos^2 x$ et $\sin^2 x$. Retrouver directement les valeurs de I et de J à l'aide de ce résultat et de la première question. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit \Oij{} un repère orthonormal du plan. On considère la courbe $(\mathcal{C})$ de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 3\cos t\\ y &=& 2\sin t \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{décrit l'intervalle}~ [0~;~2\pi]\] \begin{enumerate} \item Reconnaître la nature de la courbe $(\mathcal{C})$ et en donner l'équation cartésienne. Tracer $(\mathcal{C})$ (unité graphique 2~cm). \item Exprimer en fonction de $t$, l'affixe $z$ d'un point $M(t)$ de $(\mathcal{C})$. \item Soit A le point d'affixe 2. Pour tout point $M$ de $(\mathcal{C})$, on construit le point $M'$ tel que le triangle A$MM'$ soit direct, rectangle en A et tel que: A$M' = \dfrac{\text{A}M}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $M'$ est l'image de $M$ par une similitude directe que l'on précisera. \item Exprimer l'affixe $z'$ de $M'$ en fonction de $t$. \item En déduire une représentation paramétrique de l'ensemble des points $M'$ lorsque $M$ décrit $(\mathcal{C})$. \item Montrer que $M'$ appartient à la courbe $(\mathcal{C}')$ d'équation cartésienne: \[(x - 2)^2 + \dfrac{4}{9}(y + 1)^2 = 1.\] Montrer que $(\mathcal{C}')$ est une conique dont on précisera le centre. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle} \medskip On cherche dans cette partie à résoudre l'équation différentielle (E) : \[y'' - 2y' + y = - x + 1\] c'est-à-dire qu'on cherche à déterminer l'ensemble des fonctions numériques $g$ deux fois dérivables sur $\R$ et telles que, pour tout réel $x : g''(x) - 2g'(x) + g(x) = - x + 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y'' - 2y' + y = 0$. \item Déterminer deux nombres réels $m$ et $p$ tels que la fonction $u$ définie par: $u(x) = mx + p$ soit solution de l'équation différentielle (E). \item Démontrer qu'une fonction g est solution de (E) si et seulement si la fonction $g - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$). \item Résoudre l'équation différentielle (E). \item Déterminer la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ solution de (E) et telle que : $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude d'une solution de l'équation différentielle} \medskip Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par : \[f(x) = x\text{e}^x - x - 1.\] Soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. Démontrer que la droite (D) d'équation $y = -x - 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x : f'(x) = x\text{e}^x + \text{e}^x - 1$. \item Étudier le signe de $\text{e}^x - 1$ et celui de $x\text{e}^x$. \item En déduire le sens de variation de $f$. \end{enumerate} \item Tracer $(\mathcal{C})$ et (D). \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$. On note $a$ celle qui est positive. Montrer que : $0,8 \leqslant a \leqslant 0,81$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Détermination d'une valeur approchée de} \boldmath $a$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x_{0}$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $x_{0}$ et on note $x_{1}$ l'abscisse du point d'intersection de (T) et de l'axe des abscisses. Établir la relation : $x_{1} = x_{0} - \dfrac{f\left(x_{0}\right)}{f'\left(x_{0}\right)}$. \medskip On considère la fonction $\varphi$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par la relation \[(1) : \quad \varphi(x) = x - \dfrac{f(x)}{f^{\prime}(x)}.\] L'étude faite dans la partie B du problème montre que $\varphi$ est définie sur $]0~;~+\infty[$. On remarquera que c$\varphi(a) = a$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout $x > 0 :\quad \varphi'(x) = \dfrac{f(x)f^{\prime\prime}(x)}{[f'(x)]^2}$. (on utilisera la relation (1) sans expliciter ni $f(x)$ ni $f'(x)$. \item Calculer $f''(x)$. \item Démontrer que $f'$ et $f''$ sont croissantes sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item En déduire que, si $x$ appartient à l'intervalle $[a~;~ 0,81]$ : \[0 \leqslant \varphi'(x) \leqslant \dfrac{f(0,81)f^{\prime\prime}(0,81)}{[f^{\prime}(0,8)]^2}.\] \item Démontrer, à l'aide de l'inégalité des accroissements pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[a~;~0,81]$ : \[0 \leqslant \varphi(x) - a \leqslant 10^{- 2}(x - a).\] \item En déduire que, si $a \leqslant x \leqslant 0,81$, alors : $a \leqslant \varphi(x) \leqslant 0,81$. \end{enumerate} \item On pose : $x_{0} = 0,81,~x_{1} = \varphi\left(x_{0}\right)$ et $x_{2} = \varphi\left(x_{1}\right)$· \begin{enumerate} \item Démontrer que $x_{2}$ est une valeur approchée par excès à $10^{- 6}$ près de $a$. \item Donner, à l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée de $x_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Etranger2 juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Etranger3 juin 1997 \label{Etranger3} \hypertarget{Etranger3}{} \lfoot{\small{Centres étrangers III}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers III juin 1997~ \decofourright}}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Six personnes jouent au bowling. On appelle \og strike \fg{} le fait de renverser toutes les quilles d'un seul lancer de boule. Parmi les six personnes, quatre d'entre elles, qui ont l'expérience du jeu, réussissent le \og strike \fg{} avec une probabilité égale à $\dfrac{3}{4}$. Les deux autres débutantes, réussissent le \og strike \fg{} avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{4}$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Un des six joueurs désigné par le hasard se prépare à lancer la boule. On note $E$ l'évènement : \og c'est un des quatre joueurs expérimentés\fg. $\overline{E}$ est l'évènement contraire. On note enfin $S$ l'évènement: \og le joueur fait \og strike \fg{}\fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $E \cap S$ : \og le joueur est expérimenté et réussit son \og strike \fg{} \fg. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $\overline{E} \cap S$ : \og le joueur est débutant et réussit son \og strike \fg{} \fg. \item En déduire la probabilité de l'évènement $S$. \item Un \og strike\fg{} vient d'être réussi. Quelle est la probabilité pour que le joueur qui l'a réussi soit un débutant ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Parmi les six joueurs, on choisit un joueur A expérimenté, et un joueur B débutant. Ils jouent chacun quatre parties ; une partie consistant à lancer une seule boule : si c'est \og strike \fg, la partie est gagnée, sinon, elle est perdue. La probabilité de gagner une partie est donc égale à $\dfrac{3}{4}$ pour le joueur A et à $\dfrac{1}{4}$ pour le joueur B. \medskip \begin{enumerate} \item On note $X$ le nombre de parties gagnées par le joueur A ; donner la loi de probabilité de $X$ (on donnera les résultats sous forme de fractions de dénominateur 256). \item On note $Y$ le nombre de parties gagnées par le joueur B ; on suppose que la loi de probabilité de $Y$ est donnée par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $Y= y_i$ &0&1& 2 &3 &4\\ \hline Probabilité de $Y = y_i$&$\dfrac{81}{256}$&$\dfrac{108}{256}$& $\dfrac{54}{256}$ & $\dfrac{12}{256}$& $\dfrac{1}{256}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Si $x_i$ et $y_i$ sont des éléments de l'ensemble $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4\}$, on suppose que les évènements \og $X = x_i$ \fg{} et \og $Y = y_i$ \fg{} sont indépendants. Calculer la probabilité de l'évènement \og $X < Y$\fg{} c'est-à-dire que le joueur B gagne davantage de parties que le joueur A. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Soit $\left(\text{O},~\vect{\text{OA}},\:\vect{\text{OB}},\: \vect{\text{OC}}\right)$ un repère orthonormal de l'espace, supposé direct. \medskip \begin{enumerate} \item Soit G l'isobarycentre des points A, B, C. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées du point G. \item Montrer que la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC). \end{enumerate} \item On considère les points: A$'(2~;~0~;~0)$, B$'(0~;~2~;~0)$, C$'(0~;~0~;~3)$. Ces trois points définissent un plan noté (A$'$B$'$C$'$). \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du produit vectoriel $\vect{\text{A}'\text{B}'} \wedge \ \vect{\text{A}'\text{C}'}$ et en déduire qu'une équation cartésienne du plan (A$'$B$'$C$'$) est $3x + 3y + 2z = 6$. \item Montrer que le point M$(x~;~y~;~z)$ appartient à la droite (AC) si, et seulement s'il existe un nombre réel $k$ tel que : $\left\{\begin{array}{l c l} x& =& 1 - k\\ y&=& 0\\ z&=& k \end{array}\right.$. \item Calculer alors les coordonnées du point K commun à la droite (AC) et au plan (A$'$B$'$C$'$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le point L commun à la droite (BC) et au plan (A$'$B$'$C$'$) a pour coordonnées $(0~;~4~;~-3)$. \item Montrer que les droites (AB), (A$'$B$'$) et (KL) sont parallèles. \item Caractériser l'intersection des deux plans (ABC) et (A$'$B$'$C$'$), à l'aide de points définis précédemment. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit $\left(\text{O},~\vect{\text{OA}},\:\vect{\text{OB}},\: \vect{\text{OC}}\right)$ un repère orthonormal de l'espace, supposé direct. Soit M un point de l'espace de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on note H son projeté orthogonal sur le plan (ABC) et K son projeté orthogonal sur la droite (AB). \medskip \begin{enumerate} \item Soit G l'isobarycentre des points A, B, C. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées du point G. \item Montrer que la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC). \item Donner une équation cartésienne de ce plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que : $\left|\vect{\text{MA}} \cdot \vect{\text{OG}}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{MH}$. \item Calculer, en fonction de $x, y, z$, la distance de M au plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En interprétant la norme $\left\|\vect{\text{MA}} \wedge \vect{\text{MB}}\right\|$ du produit vectoriel des vecteurs $\vect{\text{MA}}$ et $\vect{\text{MB}}$ comme une aire, exprimer la distance MK en fonction de cette norme. \item En déduire que : MK $= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2z^2 + (1 - x - y)^2}$. \end{enumerate} \item On se place dans le plan (OAB) d'équation $z = 0$ et on considère l'ensemble $(\Gamma)$ des points du plan (OAB) qui sont équidistants du point O et du plan (ABC). \begin{enumerate} \item Montrer que $(\Gamma)$ ne contient aucun point de la droite (AB). \item Soit M$(x~;~y~;~0)$ un point du plan (OAB), n'appartenant pas à la droite (AB). En utilisant les résultats des questions 2. et 3. calculer la valeur du rapport $\dfrac{\text{MH}}{ \text{MK}}$. \item En déduire la nature de l'ensemble $(\Gamma)$ ; en donner un foyer, la directrice associée et l'excentricité. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème } \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère, dans cette partie, la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = (x - 1)\left(1 + \text{e}^{- x}\right).\] On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 4~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ pour tout $x$ réel. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f'$. \item En déduire le signe de $f'(x),\: x$ appartenant à $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de $f$. \item Préciser les limites de $f$ en $+\infty$ et en $- \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $(C)$ en $+ \infty$. \item Étudier le position relative de la courbe $(C)$ et de la droite $(\Delta)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'abscisse du point de $(C)$ où la tangente est parallèle à $(\Delta)$. \item Écrire une équation de cette tangente $(T)$. \end{enumerate} \item Tracer dans le repère \Oij, les trois courbes $(C)$,\: $(\Delta)$ et $(T)$. On se limitera aux points dont l'abscisse est comprise entre $0$ et $4$. \item Pour tout $x$ réel supérieur ou égal à 1, on considère $E$ l'ensemble des points M du plan, de coordonnées $(t~;~y)$ vérifiant \[1 \leqslant t \leqslant x,\quad t - 1 \leqslant y \leqslant f(t).\] Exprimer, à l'aide d'une intégrale, l'aire de l'ensemble $E$ (on ne cherchera pas à calculer cette intégrale), en unités d'aire. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à 1, on note $A(x)$ l'intégrale \[\displaystyle\int_1^x (t - 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Préciser le sens de variation sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ de la fonction $A$ qui, à $x$ associe $A(x)$. \item Montrer à l'aide d'une intégration par parties, que $A(x) = \dfrac{1}{\text{e}} - x\text{e}^{- x}$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} A(x)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation d'inconnue $x$ réelle $A(x) = \dfrac{1}{2\text{e}}$ admet une seule solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. \item Vérifier que : $2,6 < \alpha < 2,7$. \end{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $[1~;~+\infty[$ par : $h(x) = 1 + \ln (2x)$. \begin{enumerate} \item Justifier que $h$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$. \item Montrer que l'équation $A(x) = \dfrac{1}{2\text{e}}$ équivaut à l'équation $h(x) = x$. \end{enumerate} \item On considère les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par : $u_0 = 2,\: v_0 = 3$ et pour tout entier naturel $n,\: u_{n+ 1} = h\left(u_n\right)$ et $v_{n+ 1} = h\left(v_n\right)$· (On admettra que pour tout entier naturel $n,\: u_n$ et $v_n$ appartiennent à l'intervalle $[1~;~+\infty[$. \begin{enumerate} \item Établir par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : \[u_n \leqslant v_n \leqslant \alpha \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n.\] (On pourra utiliser la croissance de la fonction $h$). \item En déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près, par défaut. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% Etranger3 juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% La Réunion juillet 1997 \label{LaReunion} \hypertarget{LaReunion}{} \lfoot{\small La Réunion} \rfoot{\small juillet 1997} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juillet 1997~\decofourright}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Une urne contient 8 jetons : trois jetons noirs et carrés, trois jetons noirs et ronds, un jeton vert et carré, un jeton vert et rond. L'épreuve consiste à extraire, au hasard, deux jetons de l'urne selon une procédure qui est déterminée par le lancer d'une pièce truquée : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]si l'on obtient \og PILE \fg, on extrait les deux jetons simultanément, \item[$\bullet~~$]si l'on obtient \og FACE \fg, on extrait les deux jetons successivement avec remise. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Lors du lancer de la pièce, la probabilité d'apparition de \og PILE\fg{} est $\dfrac{7}{15}$. On note : $P$ l'évènement \og on obtient PILE \fg{} ; $F$ l'évènement \og on obtient FACE\fg{} ; $A$ l'évènement \og les deux jetons tirés ont la même forme OU la même couleur\fg{} ; $E_{1}$ l'évènement \og obtenir deux jetons de la même couleur \fg{} ; $E_{2}$ l'évènement \og obtenir deux jetons de la même forme \fg{} ; $E_{3}$ l'évènement \og obtenir deux jetons de la même forme ET de la même couleur \fg. \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions.} \begin{enumerate} \item On lance la pièce. \begin{enumerate} \item On suppose que l'on a obtenu \og PILE \fg. Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements $E_{1}$,\, $E_{2}$ et $E_{3}$. En déduire que la probabilité de l'évènement $A$, sachant que $P$ est réalisé, est $\dfrac{11}{14}$. \item On suppose que l'on a obtenu \og FACE\fg. Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements $E_{1}$,\, $E_{2}$ et $E_{3}$. En déduire que la probabilité de l'évènement $A$, sachant que $F$ est réalisé, est $\dfrac{13}{16}$. \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement $A$ ? \item Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2, on répète $n$ fois l'épreuve, de manière indépendante. Déterminer la probabilité $p_{n}$ pour que l'évènement $A$ se réalise à chaque épreuve. Pour quelles valeurs de $n$, a-t-on $p_{n}> \dfrac{1}{2}$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. À tout point $M$ du plan d'affixe $z$, différente de zéro, on associe les points $M'$ et $M''$ d'affixes respectives $z'$ et $z''$ définies par $z'= \text{i}z$ et $z'' = z^2$. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Cas particulier} \medskip Soit A le point d'affixe $a=2 - \text{i}$ et B le point d'affixe $b = 2 + \text{i}$. On appelle A$'$ et A$''$ les points associés à A, On appelle B$'$ et B$''$ les points associés à B. \begin{enumerate} \item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes $a'$ et $a^2$ des points A$'$ et A$''$. Prouver que A est le milieu du segment [A$'$A$''$]. \item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes $b'$ et $b''$ des points B$'$ et B$''$. \item Calculer, sous forme algébrique, $\dfrac{b - b''}{b - b'}$. \item En déduire la nature du triangle B B$'$B$''$. Représenter sur une figure les points A, A$'$, A$''$, B, B$'$ et B$''$. \end{enumerate} \item Cas général $M$ est un point quelconque d'affixe $z$ différente de zéro. $N$ est le point d'affixe $\overline{z}$. $N'$ et $N''$ sont les points associés au point $N$. On pose $z = x + \text{i}y$ où $x \in \R$ et $y \in \R$. \begin{enumerate} \item Prouver que, si $z \neq 1$, l'angle $\left(\vect{MM'},\,\vect{MM''} \right)$ a pour mesure un argument de $\dfrac{z - 1}{\text{i} - 1}$. \item Déterminer une relation entre $x$ et $y$ pour que $\dfrac{z - 1}{\text{i} - 1}$ soit réel. \item Montrer que les points $M,\, M'$ et $M''$ sont alignés si et seulement si $y = - x + 1$. (1) \item On suppose que l'affixe de $M$ est différente de 1 et que la relation (1) est vérifiée. Prouver que $NN'N''$ est un triangle rectangle en $N$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points} \medskip \parbox{0.65\linewidth}{Dans le plan orienté, OIKJ désigne le carré de c\^oté 1 tel que $+ \dfrac{\pi}{2}$ soit une mesure de $\left(\vect{\text{OI}},\, \vect{\text{OJ}} \right)$. A est un point quelconque de la droite (IJ) différent de I. $s$ désigne la similitude directe de centre O qui transforme le point I en le point A. Les images de J, K et A par $s$ sont respectivement notées J$'$, K$'$ et A$'$.}\hfill \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(2.5,2.5) \psframe(0,0.5)(2,2.5) \psline(0,2.5)(2.5,0) \uput[dl](2,0.5){I} \uput[ul](0,2.5){J} \uput[dl](0,0.5){O} \uput[ur](2,2.5){K} \uput[ur](2.3,0.3){A}\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.3,0.2) \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilat\`ere OAK$'$J$'$ ? \item Prouver que les points J$'$, A et A$'$ sont alignés. \item Comparer les angles $\left(\vect{\text{OI}},\,\vect{\text{OA}}\right)$ et $\left(\vect{\text{OA}},\,\vect{\text{OA}'}\right)$. \item Reproduire le dessin ci-dessus en prenant OI = 5 cm et construire les points J$'$, K$'$ et A$'$. (la construction sera expliquée) \item Prouver que A$'$O = A$'$K$'$. \end{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté au rep\`ere orthonormal direct $\left(\text{O},\,\vect{\text{OI}},\,\vect{\text{OJ}} \right)$, on note dorénavant $a$ l'affixe du point A et $\alpha$ un argument de $a$. \begin{enumerate} \item Prouver que $a - 1$ admet pour argument $- \dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{3\pi}{4}$. \item En utilisant la symétrie d'axe (IJ), prouver que $\left(\vect{\text{OI}},\,\vect{\text{OA}}\right) = \left(\vect{\text{KA}},\,\vect{\text{KI}}\right)$. En déduire qu'un argument de $a - (1 + \text{i})$ admet pour mesure $- \alpha - \dfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que si $z'$ désigne l'affixe du point $M'$ image du point $M$ d'affixe $z$ par $s$, \, $z' = az$. \item Déterminer $k'$ et $a'$ les affixes respectives des points K$'$ et A$'$ en fonction de $a$. \item On note $z_{1}$ et $z_{2}$ les affixes respectives de $\vect{\text{KK}'}$ et de $\vect{\text{K}'\text{A}'}$. En utilisant la question 2., prouver que $z_{1}$ est un réel et que $z_{2}$ est un imaginaire pur. \end{enumerate} \item Prouver que K$'$ est le projeté orthogonal de A$'$ sur la droite (JK). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME } \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal $\mathcal{R}$ = \Oij. L'unité graphique est 4 cm. Dans tout le problème $I$ désigne l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\\ \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} \medskip On appelle $f_0$ et $f_1$ les fonctions définies sur $I$ par $f_0(x) = \text{e}^x$ et $f_1(x) = x\text{e}^x.$ $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont les courbes représentatives de $f_0$ et de $f_1$ dans le repère $\mathcal{R}$. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_1$ en $+~\infty$. \item Étudier le signe de $f'_1$, sur $I$ et dresser le tableau de variation de $f_1$. \end{enumerate} \item Vérifier que pour tout $x \in I,~ f'_1(x) = f_0(x) - f_1 (x) ~~ (1)$ \item Soit $x \in I$ . On appelle $M_0$ et $M_1$ les points de $\mathcal{C}_0$ et de $\mathcal{C}_1$ d'abscisse $x$. Déterminer selon les valeurs de $x$ les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$. \item Les graphiques \begin{enumerate} \item Comment peut-on construire $\mathcal{C}_0$ à partir de la courbe d'équation $y = \text{e}^x$~ ? Dessiner $\mathcal{C}_0$. \item Placer les points de $\mathcal{C}_1$ d'abscisses 0, 1, 2 en précisant les tangentes à $\mathcal{C}_1$ en ces points.\\ \item Dessiner $\mathcal{C}_1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} \medskip On se propose de fabriquer, à la suite de $f_0$ et de $f_1$ des fonctions $f_2,\,f_3,\,\ldots ,\, f_n$, dérivables sur $I$ et satisfaisant aux conditions : \[(2) \left\{ \begin{array}{l c l} \multicolumn{3}{l}{ \text{pour tout}~ x ~\text{élément de}~ I,~ \text{pour tout}~ n~ \text{entier naturel non nul,}}\\ f^{\prime}_{n}(x) & = & f_{n - 1}(x) - f_n(x)\\ f_n(0) & = & 0 \end{array} \right.\] \medskip \begin{enumerate} \item On pose pour tout $x$ de $I,~ g_n(x) = f_n(x)\text{e}^x$ ,~ c'est-à-dire $f_n(x) = g_n(x)\text{e}^{- x}$. \begin{enumerate} \item Calculer $f^{\prime}_n(x)$ en fonction de $g_n(x)$ et de $g'_n(x)$ pour tout $x$ de $I$. \item Montrer que $f_n$ satisfait aux conditions (2) si et seulement si \[(3) \left\{ \begin{array}{l c l} \multicolumn{3}{l}{ \text{pour tout}\, x\,\text{élément de}\, I,\, \text{pour tout}\, n\, \text{entier naturel non nul,}}\\ g^{\prime}_{n}(x) & = & \text{e}^xf_{n - 1}(x) \\ g_n(0) & = & 0 \end{array} \right.\] \end{enumerate} \item Calcul de $f_2$. (On rappelle que $f_1(x) = x\text{e}^{-x}$.\\ \begin{enumerate} \item Calculer $g^{\prime}_2(x)$ puis $g_2(x)$~ pour $x \in I$.\\ \item En déduire $f_2(x)$. \item Montrer par récurrence que pour tout $x$ élément de $I$, pour tout $n$ entier naturel non nul, \[f_n(x) = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} \medskip Soit $a$ un élément non nul fixé dans $I$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n(a) = \displaystyle\int_0^a f_n(x)\: \text{d}x$\, où $f_{n}$ est la fonction définie dans la deuxième partie. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $I_0(a).$ \item En utilisant les conditions (2), montrer que pour tout $n \geqslant 1,~$ \[I_n(a) - I_{n-1}(a) = -~\dfrac{a^n}{n!}\text{e}^{-a}.\] \item En déduire que pour tout $n > 0 ,~ I_n(a) = 1 - \left(\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{a^k}{k!} \right)\text{e}^{-a}$. \item Dans cette question, on pose $a = 1$. On appelle $(u_n)$ la suite numérique définie pour tout $n \in \N$ par : \[u_n = 1 - \left(\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \right)\text{e}^{-1} = \int\limits_0^1 f_n(x)\: \text{d}x.\] On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $\mathcal{R}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_n \geqslant 0$ et donner une interprétation géométrique de $u_n$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, et pour tout $x \in [0~;~1],$ $f_n(x) \leqslant \dfrac{1}{n!}x^n.$ \item En déduire l'encadrement : pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{(n + 1)!}$,\, puis la limite de $u_n$. \item Déduire enfin que : ~$\text{e} = \displaystyle\lim_{n \to +~\infty} \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \right).$ \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin La Réunion juillet 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Metropole1 juin 1997 \label{Metropole1} \hypertarget{Metropole1}{} \lfoot{\small{Métropole groupe 1 bis}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole groupe 1 bis\footnote{Amiens, Lille, Paris Créteil, Versailles, Rouen, Aix-Marseille, Montpellier, Nice-Corse, Toulouse} juin 1997~\decofourright}}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Trois dés cubiques sont placés dans une urne. Deux de ces dés sont normaux : leurs faces sont numérotées de 1 à 6. Le troisième est spécial : trois de ses faces sont numérotées 6, les trois autres sont numérotées 1. On tire de l'urne, simultanément et au hasard, deux dés parmi les trois et on les lance. On note $A$ l'évènement : \og les deux dés tirés sont normaux \fg. On note $B$ l'évènement : \og les deux faces supérieures sont numérotées 6 \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Définir l'évènement contraire de $A$ que l'on notera $\overline{A}$. \item Calculer les probabilités de $A$ et de $\overline{A}$? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $p(B/A)$, probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé, puis $p(B \cap A)$. \item Calculer $p(B)$. \end{enumerate} \item Calculer $p(A/B)$, probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} ayant comme unité graphique 4~cm. On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, $-1$ et i. \medskip On considère l'application $f$ de P$-\{\text{A}\}$ dans $P$ qui, à tout point $M$ de P$-\{\text{A}\}$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{z + 1}{z - 2\text{i}}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice. \item Déterminer l'affixe du point C$'$ image de C. Quelle est la nature de quadrilatère ACBC$'$ ? \item Montrer que le point C admet un unique antécédent par $f$ que l'on notera C$'$. Quelle est la nature du triangle BCC$'$ ? \end{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de l'argument et du module de $z'$. \item Déterminer, en utilisant la question précédente, quels sont les ensembles suivants : \begin{enumerate} \item l'ensemble E$_{1}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre réel strictement négatif. \item l'ensemble E$_{2}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul \item l'ensemble E$_{3}$ des points $M$ dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé \Ouv. L'unité graphique est 3~cm. Tout point $M$ du plan est repéré par son affixe $z$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que $|z| = 3$. \item On considère la transformation $T$ qui à tout point $M$ du plan distinct de O associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{1}{2}\left(z - \dfrac{1}{z} \right).\] \begin{enumerate} \item Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction du module et de l'argument de $z$. \item Déterminer et représenter l'ensemble $E'$, dont les éléments sont les points $M'$ images des points $M$ de $E$. Préciser ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Soit $N$ le point d'affixe $- \dfrac{1}{z}$. Montrer que $M'$ est le milieu de $[MN]$. \item Soit A le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Montrer que, lorsque le point $M$ décrit la demi-droite [OA) privée du point O, le point $N$ décrit une demi-droite D. Tracer D. \item Montrer que l'image de la demi-droite [OA) privée du point O par la transformation $T$ est une partie d'une hyperbole $H$. Représenter H après avoir donné ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME}\hfill 11 points} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Soit la fonction $\varphi$ définie dans $\R$ par \[\varphi(x) = \text{e}^x + x + 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $\varphi$ et ses limites en $+ \infty$ et $- \infty$. \item Montrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ a une solution et une seule $\alpha$ et que l'on a : \[-1,28 < \alpha < - 1,27\] \item En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\] et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} du plan (unité graphique : 4~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x \varphi{x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}$. En déduire le sens de variation de $f$. \item Montrer que $f(\alpha) = \alpha + 1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$. \item Soit T la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. Donner une équation de T et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à T. \item Chercher les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$. Démontrer que la droite D d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à D. \item Faire le tableau de variations de $f$. \item Tracer sur un même dessin $(\mathcal{C})$, T et D. La figure demandée fera apparaître les points de $(\mathcal{C})$ dont les abscisses appartiennent à $[-2~;~4]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip On considère la fonction $g$, définie sur [0~;~1] par : \[g(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right).\] On note $(\mathcal{L})$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij, I le point défini par $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$, A le point d'abscisse 0 de $(\mathcal{L})$ et B son point d'abscisse 1. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier brièvement les variations de $g$. \item Donner une équation de la tangente en A à $(\mathcal{L})$. \item On note P l'intersection de cette tangente avec le segment [IB]. Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA. \item On admet que la courbe $(\mathcal{L})$ est située entre les segments [AP] et [AB]. Montrer alors que : \[\ln 2 + \dfrac{1}{4} \leqslant \int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x \leqslant \ln \sqrt{2(1 + \text{e})}.\] \item Au moyen d'une intégration par parties, justifier que : \[ \int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (1 + \text{e}) - \int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x.\] \item En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole 1 juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Metropole 2 juin 1997 \label{Metropole2} \hypertarget{Metropole2}{} \lfoot{\small{Métropole groupe 2 bis}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S groupe 2 bis\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes, Nantes, Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg} juin 1997~\decofourright}} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher. \medskip \begin{enumerate} \item On effectue quatre tirages successifs d'une boule sans remise. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche. \item Calculer la probabilité de tirer une boule blanche au cours de ces quatre tirages. \end{enumerate} \item On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise. Répondre aux mêmes questions qu'à la question 1. \item $n$ étant un nombre entier strictement positif, on effectue $n$ tirages successifs avec remise. On appelle $P_{n}$ la probabilité d'obtenir au cours de ces $n$ tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage. \begin{enumerate} \item Calculer $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{n}$. \item Soit $S_{n}= P_{1} + P_{2} + P_{3} + \cdots + P_{n}$. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de $S_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 (obligatoire)} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, (unité graphique 3~cm). On désigne par A le point d'affixe $i$. À tout point $M$ du plan, distinct de A, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par : \index{Affixe} \[ z' =\frac{z^{2}}{\text{i} - z} \] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les points $M$ confondus avec leur image $M'$. \item Étant donné un complexe $z$ distinct de i, on pose : $z= x + \text{i}y $ et $z'=x'+ \text{i}y'$, avec $x, y, x', y'$ réels. Montrer que : \[ x' = \frac{-x\left(x^{2}+y^{2}-2y\right)}{x^{2}+(1 - y)^{2}} \] En déduire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points M dont l'image $M'$ est située sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble $\mathcal{E}$ . \item Trouver une relation simple liant les longueurs O$M$, A$M$ et O$M'$. En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ du plan tels que $M$ et $M'$ soient situés sur un même cercle de centre O. Dessiner l'ensemble $\mathcal{F}$. \item Dans toute cette question, on considère un point $M$ d'affixe $z$, situé sur le cercle de centre A et de rayon ${\dfrac{1}{2}}$. $M'$ est le point d'affixe $z'$ correspondant, et G l'isobarycentre des points A, $M$ et $M'$. Calculer l'affixe $z_{G}$ de G en fonction de $z$. Montrer que G est situé sur un cercle un centre O dont on précisera le rayon. Après avoir comparé les angles $\left(\vect{u},~\vect{\text{OG}}\right)$ et $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$, effectuer la construction de G. En déduire celle de $M'$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 (spécialité)} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe P est muni du repère orthonormal direct \Ouv. On fera une figure, à compléter au fur et à mesure des questions. On prendra 1~cm pour unité de longueur. On considère le point J de coordonnées $\left(2\sqrt{3}~;~ 6\right)$ et le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [OJ ]. On note I son centre. Les points A, de coordonnées $\left(2\sqrt{3}~;~0\right)$, et B, de coordonnées (0~;~6), sont les projetés orthogonaux de J, respectivement sur les axes $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$. On remarquera que le cercle $(\mathcal{C})$ est circonscrit au rectangle OAJB. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $S$ la similitude directe de centre O transformant B en A. \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de cette similitude. \item Déterminer les images I$'$, J$'$, A$'$ des points I, J et A par la similitude $S$. \item Soit $M$ un point quelconque du cercle $(\mathcal{C})$, et $M'$ son image par la similitude $S$. Quel est l'ensemble $(\mathcal{C}')$ décrit par $M'$ lorsque $M$ décrit $(\mathcal{C})$ ? Représenter $(\mathcal{C}')$ puis démontrer que, quel que soit le point $M$ du cercle $(\mathcal{C})$, les points $M$, A et $M?$ sont alignés. \end{enumerate} \item Soit $\Omega$ le point de coordonnées $\left(4 + 2\sqrt{3}~;~2\right)$. On considère la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que J est l'image de J$'$ par $R$. \item Pour tout point $M$ du plan P, on note $M'$ son image par $S$ et $M''$ l'image de $M'$ par $R$. Déterminer l'image de J par la transformation $R \circ S$ (composée de $R$ et de $S$), puis une mesure de l'angle de vecteurs $\left(\vect{\text{J}M},~\vect{\text{J}M''}\right)$, où $M$ est distinct de J . \item Montrer que J$M = \text{J}M''$. En déduire une relation entre les vecteurs $\vect{\text{J}M}$ et $\vect{\text{J}M''}$, et conclure quant à la nature de la transformation $R \circ S$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Dans tout le problème, on se place dans un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est $2$ cm. \textbf{Partie I : Étude d'une fonction }\boldmath $g$ \unboldmath \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\left] 0~;~+\infty\right[ $ par : \[ g\left( x\right) = x\ln x - x + 1 \] et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $g$ en $0$ et $+\infty.$ \item Etudier les variations de $g.$ En déduire le signe de $g\left( x\right) $ en fonction de $x.$ \item On note $\mathcal{C}^{\prime}$ la représentation graphique de la fonction $x\mapsto\ln x$ dans le repère $\left( O;\vect{\imath}% ,\vect{\jmath}\right) .$ Montrer que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ ont deux points communs d'abscisses respectives $1$ et $e$ et que, pour tout $x$ élément de [1~;~e], on a : \index{Points!communs} \[x\ln x - x + 1 \leqslant \ln x\] On ne demande pas de représenter $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. \item \begin{enumerate} \item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale : \[J=\int_{1}^{e}\left(x - 1\right) \ln x\,\text{d}x\] \item Soit $\Delta$ le domaine plan défini par : \[\Delta=\left\{ M\left(x~;~y\right) ; 1\leqslant x\leqslant \text{e}\quad \text{et}\quad g(x) \leqslant y \leqslant \ln x \right\}\] Déterminer, en cm$^{2},$ l'aire de $\Delta.$ Donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II : Étude d'une fonction }\boldmath $f.$\unboldmath \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\left]1~;~+\infty\right[$ par : \[ f\left(x\right) =\frac{1}{x-1}\ln x \] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $1$. Pour l'étude de la limite en $1$, on pourra utiliser un taux d'accroissement. \item Déterminer le tableau de variation de $f.$ On pourra remarquer que $f'\left(x\right) $ s'écrit facilement en fonction de $g\left(x\right).$ \item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III : Étude de l'équation }$f\left( x\right) =\frac{1}% {2}.$ \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f\left(x\right) =\frac{1}{2}$ admet une unique solution notée $\alpha$ et que \[ 3,5<\alpha<3,6 \] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\left]1~;~+\infty\right[$ par : \[ h\left( x\right) =\ln x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que $\alpha$ est solution de l'équation $h\left( x\right) =x.$ \item Étudier le sens de variation de $h.$ \item On pose $I=\left[ 3,4\right].$ Montrer que pour tout $x$ élément de $I$ on a $h\left(x\right) \in I$ et \[\left| h'\left(x\right) \right| \leqslant\frac{5}{6}\] \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(u_{n}\right) $ par : \[u_{0} = 3\text{et pour tout }n \geqslant 0 \text{ } u_{n+1} = h\left(u_{n}\right)\] Justifier successivement les trois propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n,$ \[\left|u_{n+1}-\alpha\right| \leqslant \frac{5}{6}\left| u_{n} - \alpha\right|\] \item Pour tout entier naturel $n,$% \[\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant \left( \frac{5}{6}\right)^{n}\] \item La suite $\left(u_{n}\right) $ converge vers $\alpha.$ \end{enumerate} \item Donner un entier naturel $p,$ tel que des majorations précédentes on puisse déduire que $u_{p}$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. Indiquer une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha.$ \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole 2 juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 1997 \label{Polynesie} \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \emph{Les questions $1, 2$ et $3$ sont indépendantes}. \emph{Tous les résultats de calcul de probabilité seront donnés sous forme d'une fraction irréductible.} \medskip Une classe de terminale S d'un lycée compte $30$ élèves dont $10$ filles. \medskip \begin{enumerate} \item À chaque séance du cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard trois élèves. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : $A$ : \og Exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons \fg $B$ : \og Les trois élèves interrogés sont de même sexe \fg $C$ : \og Il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés. \fg \item Parmi les 19 internes de la classe, on compte 4 filles. On choisit au hasard dans cette classe deux délégués de sexes différents. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : $D$ : \og Les deux délégués sont internes \fg $E$ : \og Un seul de deux délégués est interne \fg. \item À la fin de chaque séance le professeur désigne au hasard un élève qui effacera le tableau. Un même élève peut être désigné plusieurs fois. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $p_{n}$ pour que le tableau soit effacé au moins une fois par une fille à l'issue de $n$ séances. \item Déterminer le nombre minimal de séances pour que $p_{n} > \np{0,9999}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points $M_{n}$ d'affixes \[z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\text{i} \right)^n \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\] où $n$ est un entier naturel. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $z_{0}$ et $n$. Donner $z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}$ et $z_{4}$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. \item Placer les points $M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}$ et $M_{4}$ (unité graphique : 4~cm). \item Déterminer la distance O$M_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'on a $M_{n}M_{n+1} = \dfrac{\sqrt{5}}{2^n}$ pour tout $n$ entier naturel. \item On pose $L_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} M_{k}M_{k+1}$ (c'est-à-dire $L_{n} = M_{0}M_{1} + M_{1}M_{2} + \cdots + M_{n}M_{n+1}$). Déterminer $L_{n}$ en fonction de $n$ puis la limite de $L_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M_{0}},~\vect{\text{O}M_{n}}\right)$ en fonction de $n$. Pour quelles valeurs de $n$ les points O, $M_{0}$ et $M_{n}$; sont-ils alignés ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On considère dans un plan (P) un triangle équilatéral ABC de côté $a$ ($a$ est un réel strictement positif). \medskip \begin{enumerate} \item Construire le barycentre D du système $\{(\text{A}~;~2), (\text{B}~;~- 2), (\text{C}~;~- 1)\}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}$ en fonction de $a$. \item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que le triangle BCD est rectangle en B. \end{enumerate} \item Calculer les distances CD, BD et AD en fonction de $a$. \item Pour tout point $M$ du plan, on pose $f(M) = 2 M\text{A}^2 - 2 M\text{B}^2 - M\text{C}^2$ et on désigne par (F) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $f(M) = 0$. \begin{enumerate} \item Vérifier que C appartient à (F). \item Exprimer $f(M)$ en fonction de la distance $M$D et de $a$. \item Déterminer et construire (F). \end{enumerate} \item Pour tout point $M$ du plan, on pose $g(M) = 2 \vect{M\text{C}} \cdot \vect{\text{DB}} + a^2$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble (G) des points $M$ du plan tels que $g(M) = a^2$. \item Soit I le point d'intersection autre que C des ensembles (F) et (G). Montrer que le triangle CDI est équilatéral. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f\left( x\right) = x - 1+\left( x^{2}+2\right) \text{e}^{-x}% \] On note $\left(\mathcal{C}\right) $ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2~cm). \medskip \textbf{Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire.} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ g\left(x\right) = 1 - \left( x^{2}-2x + 2\right)\text{e}^{-x}% \] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item Calculer la dérivée de $g$ et déterminer son signe. \item En déduire le tableau de variation de $g.$ \item Démontrer que l'équation $g\left(x\right) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ puis justifier que \[0,35\leqslant\alpha\leqslant0,36.\] \item En déduire le signe de $g.$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II : Étude de }$f$ \medskip \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item Déterminer $f'\left(x\right) $ pour tout $x$ réel. \item En déduire, à l'aide de la partie I, les variations de $f$ et donner son tableau de variation. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que : \[ f\left(\alpha\right) =\alpha\left(1 + 2\text{e}^{-\alpha}\right) \] \item À l'aide de l'encadrement de $\alpha$ déterminer un encadrement de $f\left(\alpha\right) $ d'amplitude $4 \times 10^{-2}.$ \end{enumerate} \item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}\right) $ en $+\infty.$ Préciser la position de $\left(\mathcal{C}\right) $ par rapport à $\Delta.$ \item Donner une équation de la tangente $T$ à $\left(\mathcal{C}\right) $ au point d'abscisse $0.$ \item Tracer $\Delta$, $T$ puis $\left(\mathcal{C}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a,$ $b$ et $c$ tels que la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ P\left(x\right) = \left(ax^{2} + bx + c \right)\text{e}^{-x}% \] soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto\left(x^{2}+2\right)\text{e}^{-x}.$ \item Calculer en fonction de $\alpha$ l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^{2}$ de la partie du plan limitée par $\left(\mathcal{C}\right)$, $\Delta$ et les droites d'équations $x = -\alpha$ et $x = 0.$ \item Justifier que : \[ \mathcal{A} = 4 \text{e}^{2\alpha}+8e^{\alpha} - 16 \] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III : Étude d'une suite} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de [1~;~2] : \[1 \leqslant f\left(x\right) \leqslant2\] \item Démontrer que pour tout $x$ de $\left[1~;~2\right] $ : \[0\leqslant f^{\prime}\left(x\right) \leqslant\frac{3}{4}\] \item En utilisant le sens de variation de la fonction $h$ définie sur [1~;~2] par : \[h\left(x\right) = f\left(x\right) - x\] démontrer que l'équation $f\left(x\right) = x$ admet une solution unique $\beta$ dans $\left[1~;~2\right].$ \item Soit $\left(u_{n}\right) $ la suite numérique définie par $u_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n,$ \[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ \[1 \leqslant u_{n} \leqslant 2\] \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ \[\left|u_{n+1}- \beta \right| \leqslant \frac{3}{4}\left|u_{n}- \beta \right|\] \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ \[\left|u_{n}-\beta\right| \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^{n}\] \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right) $ est convergente et donner sa limite. \item Trouver un entier $n_{0}$ tel que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_{0},$ on ait : \[\left| u_{n}-\beta \right| \leqslant 10^{-2}\] \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1997 \label{Antillessept} \hypertarget{Antillessept}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}} \medskip On dispose de 3 urnes U$_{1}$, U$_{2}$, U$_{3}$ contenant chacune 2 boules indiscernables. Dans U$_{1}$ une boule est marquée G, l'autre est marquée A ; dans U$_{2}$ une boule est marquée 3, l'autre est marquée 5 ; dans U$_{3}$ une boule est marquée $\dfrac{1}{2}$, l'autre est marquée 2. Une épreuve E consiste à tirer au hasard une boule dans chaque urne. On définit une suite $u$ de la façon suivante : si la boule tirée dans U$_{1}$ est marqué A, la suite est arithmétique, si elle est marquée G, la suite est géométrique ; la boule tirée dans U$_{2}$ désigne le premier terme $u_{0}$ et la boule tirée dans U$_{3}$ désigne la raison. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir : \begin{enumerate} \item une suite $u$ arithmétique ; \item une suite $u$ convergente ; \item une suite $u$ telle que $u_{4}$ soit un nombre entier pair. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir une suite $u$ qui ne soit pas convergente sachant qu'elle est géométrique. \item Un joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une suite numérique $u$ : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si $u$ est géométrique, il gagne 5~F; \item si $u$ est arithmétique et $u_{4} \leqslant 7$, il perd 4~F; \item si $u$ est arithmétique et $u_{4} > 7$, il perd 6~F. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain (algébrique) du joueur : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item donner la \og loi de probabilité \fg{} de $X$ ; \item calculer l'espérance de $X$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \medskip Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD de centre O tel que AB = 6~cm et $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. On définit les points P, Q, R, S de la façon suivante : \[\vect{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}},\quad \vect{\text{BQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}},\quad \vect{\text{CR}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{CD}},\quad \vect{\text{DS}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DA}}.\] \emph{Le but de l'exercice est de préciser la nature du quadrilatère} PQRS \emph{en utilisant deux méthodes différentes.} Placer les points P, Q, R et S sur une figure. \medskip \begin{enumerate} \item Première méthode : utilisant les nombres complexes \medskip On considère le repère orthonormal $\left(\text{A},~\vect{u},~\vect{v}\right)$, les vecteurs unitaires étant respectivement colinéaires et de même sens que $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$, l'unité étant le cm. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes $a,\: b,\: c,\: d$ respectives des points A, B, C, D. Calculer les affixes $p,\: q,\: r,\: s$ respectives des points P, Q, R, S. \item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{PQ}}$ et $\vect{\text{SR}}$, puis le quotient $\dfrac{s - p}{q - p}$. \item Interpréter géométriquement ces résultats et en déduire la nature du quadrilatère PQRS ? \end{enumerate} \item \textbf{Deuxième méthode : géométrique} \medskip On note $f$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images par $f$ de A et B. Montrer que l'image de P par $f$ est le point~Q. \item Déterminer les images de Q, R et S par $f$. \item En utilisant ce qui précède, préciser et justifier la nature du quadrilatère PQRS. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème \hfill 11 points}} \medskip \textbf{Partie A : étude d'une fonction numérique} \medskip On considère la fonction numérique définie par : \[\begin{array}{l l c l} f:& \R& \to&\R\\ &x &\longmapsto&f(x) = x + \text{e}^{- x} \end{array}\] Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal direct \Oij{} du plan, l'unité graphique est 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$, [on pourra écrire $f(x)$ sous la forme: $f(x) = \text{e}^{- x}\left(x\text{e}^x + 1\right)$]. \end{enumerate} \item Étudier les variations de $f$. \item Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathcal{C}$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$. \item Tracer $D$ et $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude d'une transformation du plan} \medskip Soit l'application $r$ du plan $(P)$ dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z'= \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)z.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le module et l'argument de $- \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et reconnaître $r$. \item On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$ où $x,\: y,\: x'$ et $y'$ sont quatre réels. Calculer $z$ en fonction de $z'$. En déduire $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. \item On suppose que le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{C}$, montrer que les coordonnées $x'$ et $y'$ de $M'$ image de $M$ par $r$ vérifient la relation : \[y' = - x' + \sqrt{2}\ln \left(x\sqrt{2}\right).\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Étude d'une fonction numérique } On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[g(x) = - x + \sqrt{2}\ln \left(x\sqrt{2}\right).\] Soit $\mathcal{C}'$ sa représentation graphique dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $g$. \item En utilisant éventuellement les résultats obtenus dans la partie B, tracer la courbe $\mathcal{C}'$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}} \ln \left(x\sqrt{2}\right)\:\text{d}x$ en utilisant une intégration par parties. \item Soit $D$ l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées vérifient : \[1 \leqslant x \leqslant \sqrt{2} \quad \text{et} \quad g(x)\leqslant y\leqslant f(x).\] Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine $D$ ; on en donnera une valeur approcheée \`a $10^{-2}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 1997 \newpage %%%%% Centres étrangers septembre 1997 \label{Etrangersept} \hypertarget{Etrangersept}{} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{septembre 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{ \Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers septembre 1997~\decofourright}}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par \[u_n = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{dx}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x\geqslant0, \quad 1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1$. \item En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, \quad $1 - \dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par \[v_n = \int_0^1 \dfrac{nx^n}{1 + x^n}\:\text{dx}.\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item En écrivant $\dfrac{nx^n}{1 + x^n}$ sous la forme $\dfrac{nx^{n-1}}{1 + x^n}\times x$ montrer, à l'aide d'une intégration par parties que $v_n = \ln 2 - \displaystyle\int_0^1 \ln \left( 1 + x^n\right)\:\text{d}x$. \item En utilisant l'inégalité vraie pour tout $t \geqslant 0 \:: 0 \leqslant \ln (1 + t) \leqslant t$ (inégalité l'on ne demande pas de démontrer), montrer que: \[0 \leqslant \int_0^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x\leqslant \dfrac{1}{n + 1}.\] \item En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \ln 2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier $n \geqslant 1 \::\: v_n + nu_n =n$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\left(1 - u_n\right) = \ln 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On appelle A et B les points d'affixes respectives $- 1$ et 1. Soit $M$ un point d'affixe $z_M$ différente de 0. On appelle $N$ le point d'affixe $\dfrac{1}{z_M}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que : \:AN $= \dfrac{\text{AM}}{\text{OM}}$. \item \emph{Dans toute la suite}, on suppose que le point $M$ appartient au cercle de centre B et de rayon $\sqrt 2$. On pose $z_M = x + \text{i}y, \: x \in \R,\: y \in \R$. \begin{enumerate} \item Démontrer que: $x^2 + y^2 = 2x + 1$. \item Prouver que: $\left|z_M + 1\right|^2 = 2\left|z_M\right|^2$. En déduire la longueur AM en fonction de OM. \end{enumerate} \item En utilisant la question 1. calculer la longueur AN. \begin{enumerate} \item En utilisant le résultat de la question 2. a., démontrer que: \[1 - \dfrac{1}{z_M} = \dfrac{1}{\left|z_M\right|^2}\left(z_M + 1\right).\] \item En déduire que les vecteurs $\vect{N\text{B}}$ et $\vect{\text{A}M}$ sont colinéaires. Lorsque $M$ n'est pas sur la droite (AB), indiquer la nature du quadrilatère ANBM. \item Démontrer que les normes des vecteurs $\vect{N\text{B}}$ et $\vect{\text{A}M}$ sont égales si et seulement si $\left|z_M\right| = 1$. Préciser quelles sont alors les deux positions possibles du point $M$. Dans ces deux cas, montrer que le quadrilatère ANBM est un carré. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct et de centre O. $M$ est un point du segment [AB], distinct de A et de B. On considère les carrés directs AMEF et MBGH de centres respectifs I et J. Les droites (AG) et (MH) se coupent en P{}. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure en prenant AB $= 15$ cm et $\vect{\text{A}M} = \dfrac13\vect{\text{AB}}$. Cette figure complétée au fur et à mesure de l'exercice. \item Une propriété des points I, P{}, J. On désigne par $h$ l'homothétie de centre P qui transforme A en G. \begin{enumerate} \item Montrer que $h(M) =$ H et $h$(E) $= M$. \item En déduire que l'image du carré AMEF est le carré GHMB. \item Préciser $h$(I). En déduire que les points I, P{}, J sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} On note $\Delta$ la droite passant par O et perpendiculaire à la droite (MH) en un point noté I. On appelle U le milieu du segment [AB] et $M'$ le point d'intersection des (ME) et (CD). \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Montrer que GM$'$ = AH \item Montrer que LJ $= \dfrac12$ G$M'$ et UJ $= \dfrac12$AH. En déduire que LJ = UJ. On démontrerait de même que IL = IU. \item En déduire que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [LU]. \end{enumerate} \item Justifier l'égalité PU = PL. \end{enumerate} N,B. La fin de la quatrième question de l'exercice a été supprimée car hors gramme désormais (elle traitait d'une conique définie par foyer et directrice. \bigskip \textbf{Problème \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le but du problème est l'étude et la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(x) &=&\dfrac{x^2}{\text{e}^x - 1}\quad \text{si}\:x \neq 0\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.\] Dans les parties A et B, on étudie des fonctions auxiliaires nécessaires à l'étude du signe de la dérivée de $f$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}h(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}h (x)$. \item Donner le tableau de variations de $h$ (on ne demande pas de construire la représentation graphique de $h$). \end{enumerate} \item En remarquant que $h (2) > $\:e, montrer qu'il existe dans ]0~;~1[ un unique réel $\alpha$ tel que $h(\alpha) = h(2)$. Vérifier que $0,40 < \alpha < 0,41$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = (2 - x)\text{e}^x - 2.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x)$. \item Dresser le tableau de variations de $g$ en indiquant en particulier $g(0)$ (on ne demande pas de construire la représentation graphique de $g$). \end{enumerate} \item En déduire l'existence d'un unique réel $\beta$ non nul tel que $g(\beta) = 0$. \item En déduire le signe de $g(x)$ en fonction de $x$. \item Recherche d'un encadrement de $\beta$. \begin{enumerate} \item Montrer que $1 < \beta < 2$. \item Montrer que $h(2 - \beta) = h(2)$, où $h$ est la fonction définie dans la partie A. \item En déduire que $\beta = 2 - \alpha$ et donner un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(x) &=&\dfrac{x^2}{\text{e}^x - 1}\quad \text{si}\:x \neq 0\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.\] On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Ouv (unité graphique 2 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est dérivable en 0 et préciser la tangente au point d'abscisse 0. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. \item Vérifier que, pour tout $x \neq 0$, on a $f(x) = \dfrac{x^2 \text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et donner une interprétation géométrique du résultat. \end{enumerate} \item Pour tout $x \neq 0$, montrer que $f'(x) = \dfrac{x}{\left(\text{e}^x - 1\right)^2}g(x)$. ($g$ est la fonction définie à la partie B) \item Dresser alors le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} Dans ce qui suit, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $x \longmapsto - x^2$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Calculer $f(x) + x^2$. \item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}$. \item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(f(x) + x^2\right) = 0$ et donner une interprétation géométrique du résultat. \end{enumerate} \item Tracer sur le même graphique les courbes $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}_f$ et la droite $(T)$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0. \end{enumerate} %%% fin Centres étrangers septembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 1997 \label{Metropolesept} \hypertarget{Metropolesept}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 1997~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}} \medskip Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item s'il a arrêté le $n$-ième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant [le $(n + 1)$-ième] est 0,8 ; \item s'il a laissé passer le $n$-ième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6; \item la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans tout l'exercice, si $E$ est un évènement, on note $p(E)$ la probabilité de $E,\: \overline{E}$ l'évènement contraire de $E$. On note $P(E/F)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ sachant que $F$ est réalisé. $A_{n}$ est l'évènement \og le gardien arrête le $n$-ième tir \fg. On a donc $P\left(A_{1}\right) = 0,7$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, pour $n \geqslant 1$, les valeurs de $P\left(A_{n+1}/A_{n}\right)$ et $P\left(A_{n+1}/\overline{A_{n}}\right)$. \item Exprimer $P\left(A_{n+1} \cap A_{n}\right)$ et $P\left(A_{n+1} \cap \overline{A_{n}}\right)$ en fonction de $P\left(A_{n}\right)$. \item En déduire que, pour tout entier strictement positif $n \geqslant 1$, on a : \[P\left(A_{n+1} \right) = 0,2P\left(A_{n} \right) + 0,6.\] \end{enumerate} \item On pose à présent, pour $n \geqslant 1$,\: $p_{n} = P\left(A_{n}\right)$ et $u_{n} = p_{n}- 0,75$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. \item En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Montrer que $\left(p_{n}\right)$ admet une limite que l'on calculera. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 4 points}} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm), on considère : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le point A d'affixe $a = 5 - \text{i}\sqrt{3}$ ; \item le point B tel que le triangle OAB soit équilatéral direct, c'est-à-dire $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$. \item le milieu Q de [OB]. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que B a pour affixe $b = 4 + 2\text{i}\sqrt{3}$. En déduire l'affixe $q$ de Q. \item Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$ du point K tel que ABQK soit un parallélogramme. \item Démontrer que $\dfrac{z_{\text{K}} - a}{z_{\text{K}}}$ est imaginaire pur. Qu'en déduit-on pour le triangle OKA ? Préciser la nature du quadrilatère OQAK. \item Placer les points A, B, Q et K dans le plan. \end{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $c = \dfrac{2a}{3}$. \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{z_{\text{K}} - b}{z_{\text{K}} - c}$. Que peut-on en déduire pour les points B, C et K ? \item Placer C sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 4 points}} \medskip $n$ et $c$ étant deux entiers naturels non nuls, le but de l'exercice est de comparer le PGCD de $(cn)$ et de $2n + 1$ au PGCD de $c$ et de $2n + 1$ et de déterminer selon les valeurs de $n$ le PGCD des deux nombres $A = 3n$ et $B = 2n + 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $n$ et $2 n + 1$ sont premiers entre eux. \item En utilisant le théorème de Bezout démontrer que pour tout entier naturel $c$ non nul le PGCD de $(cn)$ et de $2n + 1$ est égal au PGCD de $c$ etde $2n+ 1$. \item En déduire que le PGCD de $A$ et $B$ est le PGCD de $3$ et de $(2n + 1)$. \item Déterminer le PGCD de $3$ et de $(2n + 1)$ selon les valeurs de $n$ en utilisant, par exemple, les 3 valeurs possibles du reste dans la division euclidienne de $n$ par 3. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème \hfill }} Dans ce problème, on étudie quelques propriétés de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = x^2 + \text{e}^{2x}.\] \begin{center} \textbf{I. Études des variations de} \boldmath$f$\unboldmath \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer, pour tout nombre réel $x, f^{\prime}(x)$ et $f''(x)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a $f''(x) > 0$. \item En déduire que l'équation $f'(x) = 0$ admet sur $\R$ une solution et une seule qu'on note $\alpha$. \item Vérifier la double inégalité $- 0,5 < \alpha < - 0,4$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser, suivant les valeurs du nombre réel $x$, le signe de $f'(x)$ . \item Calculer $\lim\limits_{x \to -~\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +~\infty} f(x)$. \item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$. \item Tracer, en se limitant à l'intervalle $\left[-~2~;~\frac{1}{2}\right]$ la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm). \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{II. Interprétation géométrique de} \boldmath$f$ \unboldmath \end{center} On note $\Gamma$ la courbe représentative, dans le repère \Oij{} introduit dans la partie I, de la fonction $g$ définie par : \[g(x) = \text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer la distance O$M$ du point O au point $M$ de $\Gamma$ d'abscisse $x$ en fonction de $f(x)$. \item Traduire alors les résultats obtenus dans la partie I en une propriété concernant la variation de la distance O$M$ quand $M$ parcourt $\Gamma$. \end{enumerate} \item Soit $A$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $\alpha$ ($\alpha$ a été introduit dans la partie I ; on rappelle que $f'(\alpha) = 0 )$. \begin{enumerate} \item Écrire une équation de la tangente $T$ à $\Gamma$ en $A$. \item Quelle relation peut-on écrire entre les c{\oe}fficients directeurs des droites (O$A)$ et $T$ ? Interpréter géométriquement le résultat obtenu. \item On note $\beta$ l'abscisse du point d'intersection de la droite $T$ avec l'axe $(\text{O},~ \vect{\imath})$. Calculer en fonction de $\alpha$ et en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\Gamma$, la tangente $T$ et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = \beta$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 1997 \label{Polynesiesept} \hypertarget{Polynesiesept}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \emph{Les questions $1, 2$ et $3$ sont indépendantes}. \emph{Tous les résultats de calcul de probabilité seront donnés sous forme d'une fraction irréductible.} \medskip Une classe de terminale S d'un lycée compte $30$ élèves dont $10$ filles. \medskip \begin{enumerate} \item À chaque séance du cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard trois élèves. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : $A$ : \og Exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons \fg $B$ : \og Les trois élèves interrogés sont de même sexe \fg $C$ : \og Il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés. \fg \item Parmi les 19 internes de la classe, on compte 4 filles. On choisit au hasard dans cette classe deux délégués de sexes différents. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : $D$ : \og Les deux délégués sont internes \fg $E$ : \og Un seul de deux délégués est interne \fg. \item À la fin de chaque séance le professeur désigne au hasard un élève qui effacera le tableau. Un même élève peut être désigné plusieurs fois. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $p_{n}$ pour que le tableau soit effacé au moins une fois par une fille à l'issue de $n$ séances. \item Déterminer le nombre minimal de séances pour que $p_{n} > \np{0,9999}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points $M_{n}$ d'affixes \[z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\text{i} \right)^n \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\] où $n$ est un entier naturel. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $z_{0}$ et $n$. Donner $z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}$ et $z_{4}$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. \item Placer les points $M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}$ et $M_{4}$ (unité graphique : 4~cm). \item Déterminer la distance O$M_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'on a $M_{n}M_{n+1} = \dfrac{\sqrt{5}}{2^n}$ pour tout $n$ entier naturel. \item On pose $L_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} M_{k}M_{k+1}$ (c'est-à-dire $L_{n} = M_{0}M_{1} + M_{1}M_{2} + \cdots + M_{n}M_{n+1}$). Déterminer $L_{n}$ en fonction de $n$ puis la limite de $L_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M_{0}},~\vect{\text{O}M_{n}}\right)$ en fonction de $n$. Pour quelles valeurs de $n$ les points O, $M_{0}$ et $M_{n}$; sont-ils alignés ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On considère dans un plan (P) un triangle équilatéral ABC de côté $a$ ($a$ est un réel strictement positif). \medskip \begin{enumerate} \item Construire le barycentre D du système $\{(\text{A}~;~2), (\text{B}~;~- 2), (\text{C}~;~- 1)\}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}$ en fonction de $a$. \item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que le triangle BCD est rectangle en B. \end{enumerate} \item Calculer les distances CD, BD et AD en fonction de $a$. \item Pour tout point $M$ du plan, on pose $f(M) = 2 M\text{A}^2 - 2 M\text{B}^2 - M\text{C}^2$ et on désigne par (F) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $f(M) = 0$. \begin{enumerate} \item Vérifier que C appartient à (F). \item Exprimer $f(M)$ en fonction de la distance $M$D et de $a$. \item Déterminer et construire (F). \end{enumerate} \item Pour tout point $M$ du plan, on pose $g(M) = 2 \vect{M\text{C}} \cdot \vect{\text{DB}} + a^2$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble (G) des points $M$ du plan tels que $g(M) = a^2$. \item Soit I le point d'intersection autre que C des ensembles (F) et (G). Montrer que le triangle CDI est équilatéral. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f\left( x\right) = x - 1+\left( x^{2}+2\right) \text{e}^{-x}% \] On note $\left(\mathcal{C}\right) $ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2~cm). \medskip \textbf{Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire.} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ g\left(x\right) = 1 - \left( x^{2}-2x + 2\right)\text{e}^{-x}% \] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item Calculer la dérivée de $g$ et déterminer son signe. \item En déduire le tableau de variation de $g.$ \item Démontrer que l'équation $g\left(x\right) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ puis justifier que \[0,35\leqslant\alpha\leqslant0,36.\] \item En déduire le signe de $g.$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II : Étude de }$f$ \medskip \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item Déterminer $f'\left(x\right) $ pour tout $x$ réel. \item En déduire, à l'aide de la partie I, les variations de $f$ et donner son tableau de variation. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que : \[ f\left(\alpha\right) =\alpha\left(1 + 2\text{e}^{-\alpha}\right) \] \item À l'aide de l'encadrement de $\alpha$ déterminer un encadrement de $f\left(\alpha\right) $ d'amplitude $4 \times 10^{-2}.$ \end{enumerate} \item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}\right) $ en $+\infty.$ Préciser la position de $\left(\mathcal{C}\right) $ par rapport à $\Delta.$ \item Donner une équation de la tangente $T$ à $\left(\mathcal{C}\right) $ au point d'abscisse $0.$ \item Tracer $\Delta$, $T$ puis $\left(\mathcal{C}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a,$ $b$ et $c$ tels que la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ P\left(x\right) = \left(ax^{2} + bx + c \right)\text{e}^{-x}% \] soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto\left(x^{2}+2\right)\text{e}^{-x}.$ \item Calculer en fonction de $\alpha$ l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^{2}$ de la partie du plan limitée par $\left(\mathcal{C}\right)$, $\Delta$ et les droites d'équations $x = -\alpha$ et $x = 0.$ \item Justifier que : \[ \mathcal{A} = 4 \text{e}^{2\alpha}+8e^{\alpha} - 16 \] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III : Étude d'une suite} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de [1~;~2] : \[1 \leqslant f\left(x\right) \leqslant2\] \item Démontrer que pour tout $x$ de $\left[1~;~2\right] $ : \[0\leqslant f^{\prime}\left(x\right) \leqslant\frac{3}{4}\] \item En utilisant le sens de variation de la fonction $h$ définie sur [1~;~2] par : \[h\left(x\right) = f\left(x\right) - x\] démontrer que l'équation $f\left(x\right) = x$ admet une solution unique $\beta$ dans $\left[1~;~2\right].$ \item Soit $\left(u_{n}\right) $ la suite numérique définie par $u_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n,$ \[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ \[1 \leqslant u_{n} \leqslant 2\] \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ \[\left|u_{n+1}- \beta \right| \leqslant \frac{3}{4}\left|u_{n}- \beta \right|\] \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ \[\left|u_{n}-\beta\right| \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^{n}\] \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right) $ est convergente et donner sa limite. \item Trouver un entier $n_{0}$ tel que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_{0},$ on ait : \[\left| u_{n}-\beta \right| \leqslant 10^{-2}\] \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau octobre 1997 \label{Sportifs} \hypertarget{Sportifs}{} \lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}} \rfoot{\small{septembre 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau septembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}} \medskip On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[\left\{\begin{array}{l c c} u_{0}&=& 0\\ u_{n+1}&=&\dfrac{3u_{n} + 1}{4} \end{array}\right. \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c c} v_{0}&=& 2\\ v_{n+1}&=&\dfrac{3v_{n} + 1}{4} \end{array}\right.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},\:u_{2},\:u_{3}$ d'une part et $v_{1},\:v_{2},\:v_{3}$ d'autre part. \item Dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 5~cm), tracer les droites $D$ et $\Delta$ d'équations respectives $y = \dfrac{3x + 1}{4}$ et $y = x$. Utiliser $D$ et $\Delta$ pour construire sur l'axe des abscisses, les points A$_{1}$, A$_{2}$, A$_{3}$ d'abscisses respectives $u_{1},\:u_{2},\:u_{3}$, ainsi que les points B$_{1}$, B$_{2}$, B$_{3}$ d'abscisses respectives $v_{1},\:v_{2},\:v_{3}$. \item On considère la suite $\left(s_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n = u_{n} + v_{n}$ \begin{enumerate} \item Calculer $s_{0},\:s_{1},\: s_{2},\: s_{3}$. À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite $\left(s_{n}\right)$ ? \item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite $\left(s_{n}\right)$ est une suite constante. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(d_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $d_{n} = v_{n}- u_{n}$. Montrer que la suite $\left(d_{n}\right)$ est une suite géométrique. Donner l'expression de $d_{n}$ en fonction de $n$. \item En utilisant les résultats des questions 3. b. et 4. b., donner l'expression de $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent. Préciser leurs limites. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \medskip Le plan est rapporté \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). On considère les points A et C d'affixes respectives $a$ et $c$. On suppose que les points O, A, C ne sont pas alignés. On note B le point image de A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et D le point image de C par la rotation de centre O et d' angle $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a = 3 + \dfrac{1}{4}\text{i}$ et $c = \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Placer sur une figure les points O, A, B, C, D (on justifiera la construction du point C). \emph{Dans les questions suivantes, on revient au cas général} On suppose que les points B et C sont distincts. \item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{BC}}$. Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires. \item On désigne par I le milieu du segment [AC]. En utilisant les affixes de deux vecteurs que l'on précisera, démontrer que la médiane (OI) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que BD = 2OI. \item La médiane issue de O dans le triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan orienté, on considère quatre points E, F, G, H non alignés, tels que EFGH soit un parallélogramme de centre O. On désigne par A l'image de G par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. On désigne par B l'image de H par la rotation $r'$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On note I le milieu du segment [GH]. \medskip \begin{enumerate} \item Placer ces différents éléments sur une figure. L'objet de cet exercice est de démontrer que la médiane (OI) du triangle OGH est une hauteur du triangle OAB. À cet effet, on propose deux méthodes. \medskip \item \textbf{Emploi des nombres complexes} \medskip On rapporte le plan complexe à un repère orthonormal direct d'origine O, tel que l'affixe du point G est égale à 1. On note $z$ l'affixe du point H. Calculer les affixes des points I, A et B en fonction de $z$. Prouver que les points O et I sont distincts ainsi que les points A et B. Montrer que la droite (OI) est perpendiculaire à la droite (AB). \item \textbf{Emploi de transformations} \medskip On désigne par $h$ l'homothétie de centre G et de rapport 2. \begin{enumerate} \item Déterminer les images par $h$ des points O et I. \item Déterminer l'image par $r'$ du point E. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème \hfill 11 points}} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = x \ln \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)\quad \text{si}\quad x > 0 \quad \text{et} \quad f(0) = 0.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 5~cm). Le but du problème est d'étudier certaines propriétés de la fonction $f$. \begin{center} \textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire} \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) - \dfrac{2}{x^2 + 1}\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $g'$ de $g$. Montrer que pour tout $x \in ]0~;~+\infty[,\:g'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 1\right)}{x\left(x^2 + 1\right)^2}$. \item Étudier le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $g$ en 0. \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau des variations de $g$. \item En déduire qu'il existe un unique nombre réel $\alpha> 0$ tel que $g(\alpha) = 0$. Vérifier que $0,5 < \alpha< 0,6.$\\ \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On ne demande pas de construire la courbe représentative de la fonction $g$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{B. Étude de la fonction}~ \boldmath $f$ \unboldmath \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, on a $f'(x) = g(x)$. En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $xf(x)$. (On pourra poser $h = \dfrac{1}{x^2}$). \item En déduire que $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item Étude de $f$ en 0. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en 0. (On pourra écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = x \ln (x^2 + 1) - 2x \ln x$ et on utilisera le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$.) \item Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$. Préciser la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $0$. \end{enumerate} \item Encadrement de $f(\alpha)$. \begin{enumerate} \item Prouver que, pour tout élément $x$ de $[0,5~;~\alpha],\:0 < f'(x) < f'(0,5)$. \item En déduire que, pour tout élément $x$ de $[0,5~;~\alpha],\: 0 < f(\alpha) - f(0,5) < (\alpha - 0,5) f'(0,5),$\: puis que $0 < f (\alpha) - f(0,5) < \dfrac{1}{10} f'(0,5).$ \item En déduire une valeur décimale approchée de $f(\alpha)$ à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} \item Dresser le tableau des variations de $f$. Donner l'allure de la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{C. Calcul d'une aire} \end{center} Soit $\lambda$, un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0~;~1]$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale $J_{\lambda} = \displaystyle\int_{\lambda}^1 f(x)\:\text{d}x.$ Donner une interprétation géométrique de cette intégrale. \item Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to 0} J_{\lambda}.$ On admet que cette limite est l'aire de la partie du plan constituée des points dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient : $\left\{ \begin{array}{@{0} @{~\leqslant~ } c @{~\leqslant~} c} x & 1\\ y & f(x) \end{array}\right.$ En déduire la valeur de cette aire exprimée en cm$^2$. \end{enumerate} %%%% fin Sportifs de haut-niveau octobre 1997 \newpage %%%% Amérique du Sud novembre 1997 \label{AmeriqueSud} \hypertarget{AmeriqueSud}{} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}} \medskip Monsieur M est chargé de ventes à domicile pour le bénéfice d'une association. À chaque personne sollicitée, il propose l'achat d'un livre seul, ou d'une cassette seule, ou l'achat d'un livre et d'une cassette. Après un premier bilan de son activité, monsieur M estime que la probabilité qu'une personne visitée choisie au hasard achète un livre (évènement L) est 0,2, la probabilité qu'elle achète une cassette (évènement C) est $0,1$ et la probabilité qu'elle n'achète rien (évènement R) est $0,75$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements suivants : $D$ : \og La personne visitée achète un livre ou une cassette \fg. $E$ : \og La personne visitée achète un livre et une cassette \fg. $F$ : \og La personne visitée achète seulement un livre \fg. $G$ : \og La personne visitée achète seulement une cassette \fg. \item Sachant que la personne visitée a acheté un livre, quelle est la probabilité qu'elle ait acheté aussi une cassette ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Monsieur M se présente successivement chez $n$ personnes choisies au hasard. Calculer la probabilité $p_{n}$ qu'une personne au moins lui achète un livre ou une cassette. Comment faut-il choisir l'entier naturel $n$ pour avoir $p_{n} > 0,9$ ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan orienté, on donne un triangle ABC direct dont les angles sont aigus (c'est-à-dire que chacun des angles $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}} \right),\: \left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BA}} \right),\: \left(\vect{\text{CA}},~\vect{\text{CB}}\right)$ admet une mesure comprise entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$). AEB est le triangle équilatéral tel que $\left(\vect{\text{AE}},~\vect{\text{AB}} \right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. ACF est le triangle équilatéral tel que $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AF}} \right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. On présentera les données sur une figure que l'on complétera progressivement. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, démontrer que : CE = BF et $\left(\vect{\text{EC}},~\vect{\text{BF}} \right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. \item Les droites (EC) et (BF) se coupent en un point I. Démontrer que le cercle $\left(C_{1}\right)$ circonscrit au triangle AEB et le cercle $\left(C_{2}\right)$ circonscrit au triangle ACF passent par le point I. \item Soit M le milieu de [EC] et N le milieu de [BF]. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle AMN est équilatéral direct. \item Démontrer que le cercle $(C)$ circonscrit au triangle AMN passe aussi par le point I. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème \hfill 11 points}} \medskip La partie I est l'étude d'une fonction auxiliaire $g$ nécessaire à l'étude de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1 + \ln x}{x}.\] L'étude de la fonction $f$ fait l'objet de la partie II. La partie III est l'étude de deux suites numériques associées. \bigskip \textbf{Partie I} \medskip On considère la fonction numérique $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = x^2 - 2 \ln x.\] /medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $g$. \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1 + \ln x}{x}.\] On appelle $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal ? (unité graphique 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = \dfrac{x}{2}$? est asymptote à la courbe $(C)$. \item Déterminer la position de $(C)$ par rapport à ($\Delta$) sur $]0~;~+ \infty[$. Montrer, en particulier, que ($\Delta$) coupe $(C)$ en un point A que l'on déterminera. \end{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$. Dresser le tableau de variation de $f$. \item Montrer qu'il existe un point B, et un seul, de la courbe $(C)$ où la tangente (T) à $(C)$ est parallèle à ($\Delta$). Préciser les coordonnées de B. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$. Justifier l'encadrement : $0,34 < \alpha < 0,35$. \item Tracer la courbe $(C)$ et les droites ($\Delta$) et (T). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III} \medskip On considère la suite numérique $\left(x_{n}\right)$ définie par $x_{n} = \text{e}^{\frac{n - 2}{2}}$ pour tout nombre entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(x_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. \item Montrer que $\left(x_{n}\right)$ est une suite croissante. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $a_{n} = 4\displaystyle\int_{x_{n}}^{x_{n+1}} \left[f(x) - \dfrac{x}{2}\right]\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de $a_{n}$. \item Montrer que $a_{n} = \dfrac{2n + 1}{2}$ pour tout nombre entier naturel $n$. En déduire que $\left(a_{n}\right)$ est une suite arithmétique. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 1997 \label{Caledonie} \hypertarget{Caledonie}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{décembre 1997}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle Calédonie décembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}} \medskip Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d'un répondeur. Quand l'artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois. Quand un client téléphone, il a quatre chances sur cinq d'obtenir le répondeur et une chance sur cinq d'obtenir l'artisan. On note $P(E)$ la probabilité d'un évènement $E$ et $p(E/F)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$. Un client téléphone à l'artisan. On note : \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[ ] $R$ l'évènement \og le client obtient le répondeur \fg{}; \item[ ] $A$ l'évènement \og l'artisan est présent \fg{} ; \item[ ] $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ ; \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $P(R)$, ainsi que les probabilités conditionnelle $P(R/A)$ et $P\left(R/\overline{A}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $P(R)$ en fonction de $P(R/A),\: P\left(R/\overline{A}\right)$ et $P(A)$. \item En déduire l'égalité $\dfrac{4}{5} = - \dfrac{2}{3}P(A) + 1$ et calculer la probabilité que l'artisan soit présent. \end{enumerate} \item Un client téléphone; il obtient le répondeur. Déterminer la probabilité que l'artisan soit présent. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation d'inconnue complexe $z$ : \[z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\] Résoudre cette équation dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. Écrire les solutions sous forme trigonométrique. \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). Les points I et J du plan ont pour affixes respectives : $z_{\text{I}} = - \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{\text{J}} = - \sqrt{3} - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Tracer le cercle de centre O et de rayon 2, et placer les points I et J sur la figure. \item Montrer que le point J est l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \item En déduire la nature du triangle OIJ. \end{enumerate} \item Soit B le milieu du segment [OI]. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point B et placer le point B sur la figure. \item Préciser la nature du triangle JBO. \end{enumerate} \item Soit A le point du plan défini par l'égalité vectorielle $\vect{\text{BA}} = - \dfrac{1}{2} \vect{\text{OJ}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point A et placer le point A sur la figure. \item Vérifier que le point A est l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. \item Montrer que le point A est le barycentre des points J, O, B affectés de coefficients que l'on déterminera. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 15~cm). Soit $t$ un nombre réel positif. On note $M(t)$ le point de $P$ de coordonnées $(x(t)~;~y(t))$ définies par : \renewcommand\arraystretch{1.8} \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t)&=&\text{e}^{-\frac{t}{2}}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}t\right)\\ y(t)&=&\text{e}^{-\frac{t}{2}}\sin \left(\dfrac{\pi}{2}t\right). \end{array}\right.\] \renewcommand\arraystretch{1} Quand $t$ varie dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$, le point $M(t)$ parcourt une courbe paramétrée notée $\Gamma$. On a représenté sur la figure donnée, la partie de $\Gamma$ correspondant aux valeurs de $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~6]. Le but de l'exercice est d'étudier des propriétés géométriques de certains points de $\Gamma$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $t$, l'affixe $z(t)$ du point $M(t)$. \item Préciser le module et un argument de $z(t)$. \end{enumerate} \item Tracer les points $M(0),\: M(1), M(2),\: M(3)$ et $M(4)$ sur la figure donnée en annexe. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, exprimer $z(t + 1)$ en fonction de $z(t)$. En déduire que $M(t + 1)$ est l'image de $M(t)$ par la similitude directe de centre O, de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On note $s$ cette similitude. \item Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, exprimer $z(t + 2)$ en fonction de $z(t)$. Justifier que $M(t + 2)$ est l'image de $M(t)$ par une homothétie $h$ dont on précisera les éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque réponse. \begin{enumerate} \item Les points $M(2)$ et $h(M(0))$ sont confondus. \item Les points $M(1)$ et $M(3)$ sont symétriques par rapport au point O. \item Les points $M(n)$, où $n$ est un entier naturel, sont les points d'intersection de $\Gamma$ avec les axes de coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{unit=4cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(1,1) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0.55,0.55){$\Gamma$} \parametricplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{90 t mul cos 2.71828 t 2 div exp div 90 t mul sin 2.71828 t 2 div exp div} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème \hfill 11 points}} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}~\textrm{et}~g(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}\] On note $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 4~cm). \begin{center} \textbf{A. Étude des fonctions \boldmath$f$\unboldmath et \boldmath$g$\unboldmath}\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur $\R$. \item Calculer les limites de $f$ en $+~\infty$ et $-~\infty$. Préciser les éventuelles asymptotes à $\mathcal{C}$. \item Prouver que le point $\Omega$ de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}$. \item On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point $\Omega$. Déterminer le coefficient directeur de $T$. \item Représenter $T$ et $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En observant que, pour tout nombre réel $x$, on a $g(x) = f(- x)$ , montrer que $\Gamma$ est l'image de $\mathcal{C}$ par une symétrie que l'on déterminera. \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) + g(x) = 1.$ En déduire que $\Gamma$ est l'image de $\mathcal{C}$ par une autre symétrie que l'on déterminera. \item Déterminer le c{\oe}fficient directeur de la tangente $T'$ à $\Gamma$ au point $\Omega.$ \item Représenter $T'$ et $\Gamma$ sur la figure de la question 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{B. Calcul d'une aire} \end{center} On note $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$ et $J = \displaystyle\int_{0}^1 g(t)\:\text{d}t$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant l'égalité de la question A. 2. b., calculer $I + J$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $t,~\dfrac{1}{1 + \text{e}^{-t}}$ peut s'écrire sous la forme $\dfrac{\text{e}^t}{\text{e}^t + 1}$. \item En déduire une primitive $G$ de $g$ sur $\R$, puis la valeur de $J$. \end{enumerate} \item Calculer la valeur de $I$. \item \begin{enumerate} \item Prouver que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0~;~+ \infty[,$ $ f(x) \leqslant g(x)$. \item On note $\Delta$ l'ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient \[\left\{ \begin{array}{r c l} 0 &\leqslant x\leqslant & 1,\\ f(x) &\leqslant y \leqslant& g(x) \end{array} \right.\] On note $A$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine $A$. Exprimer $A$ en fonction de $I $ et $J$. Donner une approximation décimale de $A$ à $10^{- 2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{C. Étude d'une fonction définie par une intégrale} \end{center} On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = \text{e}^x \ln \left(1 + \text{e}^{- x}\right)~ \textrm{et}~ H (x) = \int_{0}^x h(t)\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0, +~\infty[$ ~$h(x)$ est strictement positif. \item En déduire que $H$ est strictement croissante sur $[0, +~\infty[$. \end{enumerate} \item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$. Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ $h(x) = h'(x) + g(x)$. En déduire $H (x)$ en fonction de $x$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0, +~\infty[$, \[h(x) = \dfrac{\ln \left(1 + \text{e}^{- x}\right)}{\text{e}^{-x}}.\] En déduire la limite de $h$ en $+~\infty$. \item Déterminer la limite de $H$ en $+~\infty$. Prouver finalement que $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} [H(x) - x] = 1 - 2\ln 2.$ Interpréter graphiquement ce dernier résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 1997 \end{document}