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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2021 }}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
2021~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale Spécialité mathématiques 2021\\[9pt] (candidats libres)}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\phantomsection
\hypertarget{Sommaire}{}
\index{sommaire@\emph{sommaire}}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\Large 

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord  mai 2021} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\\
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 19 juin 2021} \dotfill \pageref{Polynesie}\\
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\end{tabularx}
 
\vspace{1cm}

\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

%À la fin de chaque exercice cliquer sur {\blue *} pour aller à l'index
\newpage ~
\newpage
%%%%%%%%%%% Amérique du Nord 28 mai 2019
\phantomsection
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord mai 2021~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip


Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
\item[$\bullet~~$]si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme. 

On note $D$ l'évènement \og l'athlète est dopé \fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. 

On admet que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à 0,08.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.\index{arbre}
\item Démontrer que $P(T) = 0,083$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?\index{probabilite conditionnelle@probabilité conditionnelle}
		\item Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement \og un athlète présentant un test positif est dopé \fg{} est supérieure ou égale à $0,95$.

Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question \textbf{1.} on suppose que les organisateurs décident de contrôler $5$ ~athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.\index{loi de Bernoulli}
		\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.\index{esperance@espérance}
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?
	\end{enumerate}
\item Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement \og au moins un athlète contrôlé présente un test positif\fg{} soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.

Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

\smallskip

Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \index{suite}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0		&=	&0,6\\
u_{n+1}	&=	&0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right)
\end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1] et dresser son tableau de variations.\index{tableau de variations}
\item Résoudre dans l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$.
\end{enumerate}

On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.\index{suite}

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
		\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
		\item Le biologiste a programmé en langage Python la fonction \textbf{menace()} ci-dessous:\index{programme Python}

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}%\hline
def menace() :\\
\quad u = 0,6\\
\quad n = 0\\
\quad while u > 0,02 :\\
\hspace{1cm} u = 0,75*u*(1-0,15*u)\\
\hspace{1cm} n = n+1\\
\quad return n\\ %\hline
\end{tabular}
}
\end{center}

Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\smallskip

\textbf{Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} 
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE 
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.\index{droites paralleles@droites parallèles}
\end{enumerate}

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points I et J.
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{IJ}},~\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont coplanaires.\index{vecteurs coplanaires}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}

\[d_1  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&3 + t\\
y 	&=& 8 - 2t\\
z	&=& - 2 + 3t\\
\end{array}\right. , t \in \R\quad \text{et}\quad 
d_2  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&4 + t\\
y 	&=&1 + t\\
z	&=&8 + 2t\\
\end{array}\right. , t \in \R.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.\index{droites paralleles@droites parallèles}
\item Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
\item Montrer que le point L(4~;~0~;~3) est le projeté orthogonal du point M(5~;~3~;~1) sur le plan $\mathcal P$.\index{projete orthogonal@projeté orthogonal}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice au choix du candidat}}

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

\bigskip

\textbf{Exercice A  \hfill 5 points}

\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
\hspace{1.25cm}$\bullet~~$Fonction exponentielle\\
\hspace{1.25cm}$\bullet~~$Convexité\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. 

On justifiera chaque réponse. 

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Pour tous réels $a$ et $b$,\, $\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}$.\index{fonction exponentielle}

\smallskip
\textbf{Affirmation 2 :} Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x$ admet pour équation réduite $y = 2x + 1$.\index{tangente}

\smallskip
\textbf{Affirmation 3 :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{3}{x} = 0$.

\smallskip
\textbf{Affirmation 4 :} L'équation $1 - x + \text{e}^{-x} = 0$ admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0~;~2].

\smallskip
\textbf{Affirmation 5 :} La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x$ est convexe.\index{convexite@convexité}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice B} \hfill 5 points}
 
\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés : \\ 
\hspace{1cm}$\bullet~~$Fonction logarithme népérien\\
\hspace{1cm}$\bullet~~$Convexité\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$, deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point A(1~;~4).

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.8)(6.4,4.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray](0,-1)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.8)(6.4,4.4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{6.4}{x ln 1 add 4 mul x div}
\psline[linewidth=1.25pt](0,4)(6.4,4)\uput[u](5.8,4){$T$}
\uput[u](5.8,1.9){\red $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](1,4){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,\, 
\text{où }\, a \text{ et}\, b \text{ sont deux nombres réels}.\]\index{fonction logarithme neperien@fonction logarithme népérien}

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

\[f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.\]

\item En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.\index{tableau de variations}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

\[f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.\]\index{derivee seconde@dérivée seconde}

\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède un unique point d'inflexion B dont on précisera les coordonnées.\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Nord mai 2021
\newpage
%%%%%%%%%%%  Polynésie 2 juin 2021
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{2 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 2 juin 2021~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ \no 2}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite \textbf{4 exercices} : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \np{10000}$ et pour tout entier naturel $n$ : \index{suite}

\[u_{n+1} = 0,95u_n + 200.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2 = \np{9415}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}

\[u_n > \np{4000}.\]

		\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Justifier qu'elle converge.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par: $v_n = u_n - \np{4000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$.
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison égale à $0,95$.\index{suite geometrique@suite géométrique}
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :

\[u_n = \np{4000} + \np{6000} \times 0,95^n.\]

		\item Quelle est la limite de la suite $\left(v_n\right)$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item En 2020, une espèce animale comptait \np{10000} individus. L'évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu'à partir de l'année 2021, cette population baissera de 5\,\% chaque début d'année.

Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire $200$ individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.

Une responsable d'une association soutenant cette stratégie affirme que : \og l'espèce ne devrait pas s'éteindre, mais malheureusement, nous n'empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population \fg.

Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.

Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7\,\% des habitants sont infectés par cette maladie. 

Parmi les individus infectés, 20\,\% sont déclarés négatifs.

Parmi les individus sains, 1\,\% sont déclarés positifs.

Une personne est choisie au hasard dans la population.

On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$M$ l'évènement : \og la personne est infectée par la maladie\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$T$ l'évènement: \og le test est positif \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.\index{arbre}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ?
		\item Montrer que la probabilité que son test soit positif est de \np{0,0653}.
	\end{enumerate}
\item On sait que le test de la personne choisie est positif. 

Quelle est la probabilité qu'elle soit infectée ?\index{probabilite conditionnelle@probabilité conditionnelle}

On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
\item On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d'individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.\index{loi de Bernoulli}
		\item Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif.

On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur égale à 1.\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

On considère le point M tel que $\vect{\text{BM}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BH}}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2.75)(4.5,5.5)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,5.5)\uput[u](0,5.5){$z$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(4.5,-1.8)\uput[dr](4.5,-1.8){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-4,-2)\uput[dl](-4,-2){$x$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2.4,-1.16)(0.5,-2.4)(2.85,-1.1)(2.85,2.6)(0,3.6)(-2.4,2.3)%BCDHEF
\psline[linewidth=1.25pt](-2.4,2.3)(0.5,1.06)(2.85,2.6)%FGH
\psline[linewidth=1.25pt](0.5,1.06)(0.5,-2.4)%GC
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-2.4,-1.16)(2.85,2.6)
\psdots(-0.65,0.093) \uput[ul](-0.65,0.093){M}
\uput[d](-2.4,-1.16){B} \uput[d](0.5,-2.4){C} \uput[d](2.85,-1.1){D} 
\uput[r](2.85,2.6){H} \uput[ur](0,3.6){E} \uput[l](-2.4,2.3){F} 
\uput[d](0,0){A} \uput[u](0.5,1.06){G}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points B, D, E, G et H.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.
		\item On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$.
		
Montrer que l'aire du triangle EGD est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées de M sont $\left(~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~; ~\dfrac{1}{3}\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le vecteur $\vect{n}(-1~;~1~;~1)$ est normal au plan (EGD).\index{vecteur normal}
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EGD) est: $- x + y + z - 1 = 0$.\index{equation cartesienne de plan@équation cartésienne de plan}
		\item Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M. 
		
Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est:\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\[\mathcal{D} \, :\, \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\dfrac{2}{3} - t\\
y&=&\dfrac{1}{3} + t\\
z&=&\dfrac{1}{3} + t
\end{array}\right., \, t \in \R\]
\renewcommand\arraystretch{1}
	\end{enumerate}
\item Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux
percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(2,6.8)
\psline[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-4.2,0.6)(-0.5,2.6)(0,4.2)(-2.9,6.2)%DMEG
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](-2.9,6.2)(-4.2,0.6)(-0.5,2.6)%GDM
\psline[linewidth=2pt](-4.2,0.6)(0,4.2)(-2.9,6.2)%DEG
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.9,2.3)\uput[ur](1.9,2.3){$x$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-6.4,0.9)\uput[ul](-6.4,0.9){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,6.2)\uput[u](0,6.2){$z$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(1.3,1.55)(1.3,5.8)(-2.9,6.2)(-4.2,4.6)(-4.2,0.6)%ABFGHDA
\psline[linewidth=1.25pt](-4.2,4.6)(0,4.2)(1.3,5.8)%HEF

\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](1.3,1.55)(-2.9,2.1)(-2.9,6.2)%BCG
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-2.9,2.1)(-4.2,0.6)%CD

\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](-0.5,2.6)(0,4.2)%ME

\uput[d](-0.5,2.6){M}
\uput[r](1.3,1.55){B} \uput[ul](-2.9,2.1){C} \uput[d](-4.2,0.6){D} 
\uput[l](-4.2,4.6){H} \uput[r](0,4.2){E} \uput[r](1.3,5.8){F} 
\uput[d](0,0){A} \uput[u](-2.9,6.2){G}
\end{pspicture}
\end{center}

Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM.

	\begin{enumerate}
		\item Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.
		
Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$.
		\item En déduire le volume de la pyramide GEDM.
		
\emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule }

\emph{$V = \dfrac{b \times h}{3}$ où 
$b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE au choix du candidat \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.}

\textbf{Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}

\medskip

\textbf{EXERCICE A}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle, convexité, dérivation, }\\ \textbf{équations différentielles}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

\medskip

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe
représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ :

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-3,-0.95)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-0.95)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.25}{3.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{-1.5}{2.5}{ 2 x sub}
\uput[ul](-1.6,2){\red $\mathcal{C}$}\uput[ur](0,2){A}\uput[ur](2,0){B}
\uput[d](3.4,0){\small $x$}\uput[l](0,3.4){\small $y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On considère les points A(0~;~2) et B(2~;~0).

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par A et que la droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A, donner par lecture graphique :\index{lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.\index{lecture graphique}
\item Un intervalle sur lequel la fonction $f$ semble convexe.\index{convexite@convexité}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

On note $(E)$ l'équation différentielle\index{equation differentielle@équation différentielle}

\[y' = -y + \text{e}^{-x}.\]

On admet que $g :\,  x \longmapsto  x\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner toutes les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(H)$ : 
$y' = -y$.\index{equation differentielle@équation différentielle}
\item En déduire toutes les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$.\index{equation differentielle@équation différentielle}
\item Sachant que la fonction $f$ est la solution particulière de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$, déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie 3}\end{center}

On admet que pour tout nombre réel $x$,\, $f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x \in \R,\, f'(x) = (-x - 1) \text{e}^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x \in \R$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\R$.\index{tableau de variations}

On ne précisera ni la limite de $f$ en $- \infty$ ni la limite de $f$ en $+ \infty$.

On calculera la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $\R$.\index{extremum}
	\end{enumerate}
\item On rappelle que $f''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.\index{derivee seconde@dérivée seconde}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer pour tout $x \in \R,\, f''(x)$.
		\item Peut-on affirmer que $f$ est convexe sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ ?\index{convexite@convexité}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE B}

\medskip

\fbox{\textbf{Principaux domaines abordés: Fonction logarithme népérien, dérivation}}

\medskip

Cet exercice est composé de deux parties.

\medskip

Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième.

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie 1 : Étude d'une fonction auxiliaire}\end{center}

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~4] par : 

\[f(x) = - 30x + 50 + 35\ln x.\]\index{fonction logarithme neperien@fonction logarithme népérien}

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~4], montrer que: 
		
\[f'(x) = \dfrac{35- 30x}{x}.\]\index{derivee@dérivée}

		\item Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~4].
		\item En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle.\index{tableau de variations}
	\end{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle [1~;~4] puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
\item  Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in [1~;~4]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Optimisation}

\medskip

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l'intervalle [1~;~4], l'analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l'expression donnée en milliers d'euros par :

\[B(x) = - 15x^2 + 15x +35x \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item D'après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend \np{2500}~litres de jus de fruits.

On donnera une valeur approchée à l'euro près de ce bénéfice.
\item Pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~4], montrer que $B'(x) = f(x)$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des résultats de la \textbf{partie 1}, donner les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [1~;~4].
		\item En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l'entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  fin Polynésie 2 juin 2021
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Asie 1 7 juin 2021
\hypertarget{Asie1}{}

\label{Asie1}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{7 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 7 juin 2021 Jour 1~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte \np{1000}~abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10\,\% de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = \np{1000}$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\,  u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.
\item La fonction Python nommée \og suite \fg{} est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).\index{programme Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def suite( n) :\\
\quad u = \np{1000}\\
\quad for i in range(n) :\\
\qquad  u = 0,9*u + 250\\
\quad return u\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$,
$u_n \leqslant  \np{2500}$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.\index{suite croissante}
		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - \np{2500}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = \np{- 1500}$.\index{suite geometrique@suite géométrique}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que :
		
\[u_n = - \np{1500} \times  0,9^n + \np{2500}.\]
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera \np{2200}.\index{programme Python}

Déterminer cette année.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm et de centre $\Omega$.

Les points P, Q et R sont définis par $\vect{\text{AP}} = \dfrac{3}{4}\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AQ}} = ~\dfrac{3}{4}\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{FR}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{FG}}$.\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ avec : $\vect{\imath} = \dfrac{1}{8}\vect{\text{AB}},\, \vect{\jmath}= \dfrac{1}{8}\vect{\text{AD}}$ et 

$\vect{k} = \dfrac{1}{8}\vect{\text{AE}}$.

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(11,12)
%\psgrid
\pspolygon(0,1.7)(6.5,0)(6.5,7.2)(0,8.9)%BCGF
\uput[d](0,1.7){B}\uput[d](6.5,0){C}\uput[u](6.5,7.2){G}\uput[u](0,8.9){F}
\psline(6.5,0)(10,2.6)(10,9.8)(6.5,7.2)%CDHG
\uput[r](10,2.6){D}\uput[u](10,9.8){H}
\psline(10,9.8)(3.5,11.5)(0,8.9)%HEF
\uput[u](3.5,11.5){E}
\psline[linestyle=dashed](0,1.7)(3.5,4.3)(3.5,11.5)%BAE
\uput[d](3.5,4.3){A}\uput[r](5,5.73){$\Omega$}
\psline[linestyle=dashed](3.5,4.3)(10,2.6)%AD
\psline[linestyle=dashed](3.5,4.3)(6.5,7.2)%AG
\psline[linestyle=dashed](3.5,11.5)(6.5,0)%EC
\psdots(0.88,2.35)(3.5,9.7)(5,5.73)(1.625,8.475)
\uput[u](0.88,2.35){P}\uput[l](3.5,9.7){Q}\uput[u](1.625,8.475){R}
\uput[u](3.0625,3.975){$\vect{\imath}$}\uput[u](4.3125,4.0875){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](3.5,5.2){$\vect{k}$}
\psline{->}(3.5,4.3)(3.0625,3.975) \psline{->}(3.5,4.3)(4.3125,4.0875) \psline{->}(3.5,4.3)(3.5,5.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8~;~2~;~8). 

Donner les coordonnées des points P et Q.
\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~-5~;~1)$ est un vecteur normal au plan (PQR).\index{vecteur normal}
\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est $x - 5y + z - 6 = 0$.\index{equation cartesienne de plan@équation cartésienne de plan}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On note L le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (PQR).\index{projete orthogonal@projeté orthogonal}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont (4~;~4~;~4).
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan (PQR) et passant par $\Omega$.\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{14}{3}~;~ \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3}\right)$
\item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan (PQR).
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes).

Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac. 

On gagne si le tirage est constitué d'une voyelle \textbf{et} d'une consonne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de tirages possibles.\index{nombre de combinaisons}
		\item Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Les questions 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul. 

Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien.

On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur (c'est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
		\item Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste
favorable au joueur ?\index{esperance@espérance}	
	\end{enumerate}
\item Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants. 
		\item Calculer $P(X \geqslant 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{EXERCICE au choix du candidat \hfill 5 points}\end{center}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B}

\medskip

\textbf{EXERCICE -- A}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Principaux domaines abordés}\\
-- convexité\\
-- fonction logarithme\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Partie I : lectures graphiques}

\medskip

$f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.8)(7,1.2)
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,-0.8)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.8+0.2}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](-7,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-0.8)(7,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{7}{x 2 mul 1 add x dup mul x add 2.5 add div}
\uput[u](0,1){\red Courbe de la fonction dérivée $f'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0$.\index{lecture graphique}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les variations de la fonction dérivée $f'$.
		\item En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.\index{convexite@convexité}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : étude de fonction}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$.
\item En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau.\index{tableau de variations}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. 
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
 	\end{enumerate}
\item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in  \R$,\,  $f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}$.

Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE -- B}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Principaux domaines abordés}\\
-- Étude de fonction, fonction exponentielle\\
-- Équations différentielles\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Considérons l'équation différentielle\index{equation differentielle@équation différentielle}

\[y'= -0,4y + 0,4\]

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ + \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle. 
		\item En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.\index{equation differentielle@équation différentielle}
\item Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $p$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\e^{-0,4t}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $p$ en $+ \infty$.\index{limite de fonction}
\item Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6\e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\e^{-0,4t}\right)^2}$ pour tout $t \in  [0~;~+ \infty[$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près à l'aide d'une calculatrice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $p$ désigne la fonction de la partie II.

Vérifier que $p$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0,4y(1 - y)$ avec la condition initiale 
$y(0) = \dfrac{1}{10}$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0~;~ + \infty[$.\index{equation differentielle@équation différentielle}
\item Dans un pays en voie de développement, en l'année 2020, 10\,\% des écoles ont accès à internet. 

Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet. 

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année 2020.

La proportion des écoles ayant accès à internet à l'instant $t$ est modélisée par $p(t)$.

Interpréter dans ce contexte la limite de la question II 1 puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question II 3. b. ainsi que la valeur $p(0)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  fin Asie 1 7 juin 2021
\newpage
%%%%%%%%%%% Asie 2 7 juin 2021
\hypertarget{Asie2}{}

\label{Asie2}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{8 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 8 juin 2021 Jour 2~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}

\medskip


\emph{Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.\\
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.\\
 AUCUNE JUSTIFICATION n'est demandée. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2 - 2x - 1\right)\e^x.\]\index{fonction exponentielle}

\textbf{A.} La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x - 2)\e^x$.

\textbf{B.} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$.\index{fonction decroissante@fonction décroissante}

\textbf{C.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.\index{limite de fonction}
\item  On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5 + \e^x}$.

Sa courbe représentative dans un repère admet :

\textbf{A.} une seule asymptote horizontale ;\index{asymptote}

\textbf{B.} une asymptote horizontale et une asymptote verticale; 

\textbf{C.} deux asymptotes horizontales.
\item  On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f''}$ représentant la fonction dérivée seconde $f''$  d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3,5~;~6]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(7,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-3)(7,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{6}{x 3 exp 0.1 mul  x dup mul 0.4 mul sub 1.1 x mul sub 3 add}
\uput[u](6.8,0){$x$} \uput[r](0,4.8){$y$}
\uput[u](1.5,4){Courbe de la fonction dérivée seconde $f''$}
\end{pspicture}
\end{center}
\textbf{A.} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~3]$.\index{convexite@convexité}

\textbf{B.}  La fonction $f$ admet trois points d'inflexion.\index{point d'inflexion}

\textbf{C.} La fonction dérivée $f'$ de $f$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2].

\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 17n + 20$. \index{suite}

\textbf{A.} La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.

\textbf{B.} La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\textbf{C.} L'un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à \np{2021}.
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,\,

 $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.

On considère la fonction \og seuil \fg{} suivante écrite en Python :\index{programme Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil {} :\\
\quad u = 2\\
\quad n = 0\\
\quad while u < 45 :\\
\qquad u = 0,75*u + 5\\
\qquad n = n+1\\
\quad return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Cette fonction renvoie :

\textbf{A.} la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant  45$ ;
 
\textbf{B.} la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n  < 45$ ;
 
\textbf{C.} la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci- dessous.\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L
est défini par: $\vect{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\vect{\text{AI}}$. N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).\index{projete orthogonal@projeté orthogonal}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(6,10)
\pspolygon(0.5,0.5)(4,0)(4,7.2)(0.5,7.7)%BCGF
\uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](4,0){C} \uput[ul](4,7.2){G} \uput[ul](0.5,7.7){F} 
\psline(4,0)(5,1.4)(5,8.6)(4,7.2)%CDHG
\uput[r](5,1.4){D} \uput[ur](5,8.6){H} \uput[d](1.5,1.9){A} \uput[dr](4.5,0.7){K}\uput[l](1.5,5.5){I}
\uput[r](5,7.3){L}
\psline(5,8.6)(1.5,9.1)(0.5,7.7)%HEF
\uput[u](1.5,9.1){E}
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.5,1.9)(1.5,5.5)%AI
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.5,1.9)(0.5,0.5)%AB
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.5,1.9)(5,1.4)%AD
\psline[linestyle=dashed](4.5,0.7)(1.5,1.9)(5,7.3)%KAL
\psline[linestyle=dashed](1.5,5.5)(1.5,9.1)
\psline(4.5,0.7)(5,7.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AI}}\right)$. 

On admet que le point L a pour coordonnées $\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AK}}$ et $\vect{\text{AL}}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(6~;~-3~;~2)$ est un vecteur normal au plan (AKL).\index{vecteur normal}
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).\index{equation cartesienne de plan@équation cartésienne de plan}
		\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (AKL).\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}
		\item En déduire que le point N de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).\index{projete orthogonal@projeté orthogonal}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : 

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times  (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base. 
		\item Calculer la distance du point D au plan (AKL).
		\item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée \og Tickets coeurs! \fg.

Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,3)
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(0,\n)(3,\n)}
\rput(1.5,2.5){$\heartsuit$}\rput(0.5,1.5){$\heartsuit$}\rput(2.5,0.5){$\heartsuit$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une
même colonne ou sur une même diagonale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
\item Montrer que la probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.
\item Lorsqu'un joueur génère un ticket, la société prélève 1~\euro{}sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$~\euro. Le jeu est-il favorable au joueur?\index{esperance@espérance}
\item Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.\index{loi binomiale}
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X  =  5)$.
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X \geqslant 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE au choix du candidat \hfill5 points}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B}

\medskip

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B}

\medskip

\textbf{EXERCICE -- A}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Principaux domaines abordés}\\
-- Suites\\
-- Équations différentielles\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres. 

Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l'écart entre sa taille et la taille maximale.

\bigskip

\textbf{Partie I : modèle discret}

\medskip

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$~mètre.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l'observation. On a ainsi $u_0 = 1$.

Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l'égalité :\index{suite}

\[u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20 - u_n\right)\,  \text{pour tout entier naturel}\,  n.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_1 = 1,95$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\,  $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$.
		\item On pose pour tout entier naturel $n$,\,  $v_n = 20 - u_n$. 
		
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.\index{suite geometrique@suite géométrique}
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\,  $u_n = 20 - 19 \times 0,95^n$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : modèle continu}

\medskip

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour. 

D'après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l'équation différentielle

\[(E) \qquad y' = 0,05(20 - y)\]\index{equation differentielle@équation différentielle}

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée.

Soit la fonction $L$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[L(t) = 20 - 19\e^{-0,05t}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu'on a également $L(0) = 1$.
\item On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L'$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l'instant $t$.
	\begin{enumerate}
		\item Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.
		\item Calculer la limite de la fonction dérivée $L'$ en $+\infty$. 
		
Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l'exercice ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE -- B}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Principaux domaines abordés}\\
-- Suites, étude de fonction\\
-- Fonction logarithme\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x - \ln (x - 1).\]\index{fonction logarithme neperien@fonction logarithme népérien}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.\index{suite}

\bigskip

\textbf{Partie I :}

\medskip

La feuille de calcul ci-dessous a permis d'obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1 &$n$&$u_n$\\ \hline
2 &0&10\\ \hline
3& 1&\np{7,80277542}\\ \hline
4& 2&\np{5,88544474}\\ \hline
5& 3&\np{4,29918442}\\ \hline
6& 4&\np{3,10550913}\\ \hline
7& 5&\np{2,36095182}\\ \hline
8& 6&\np{2,0527675}\\ \hline
9& 7&\np{2,00134509}\\ \hline
10& 8&\np{2,0000009}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
\item À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II :}

\medskip

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x - \ln (x - 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.\index{limite de fonction}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1~;~ +\infty[$,\,  $f'(x) = \dfrac{x - 2}{x - 1}$.
		\item En déduire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$, complété par les limites.\index{tableau de variations}
		\item Justifier que pour tout $x
\geqslant  2$,\,  $f(x) \geqslant  2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \geqslant  2$ pour tout entier naturel $n$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.\index{suite decroissante@suite décroissante}
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.\index{suite convergente}
\item On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  fin Asie 2 8 juin 2021
\newpage
%%%%%%%%%%%  Centres étrangers 1 9 juin 2021
\hypertarget{Centresetrangers1}{}

\label{Centresetrangers1}

\lfoot{\small{Centres étrangers candidats libres}}
\rfoot{\small{9 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers 9  juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres  Sujet 1\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte.\\
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\e^{-2x}.\]\index{fonction exponentielle}

On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.

Quel que soit le réel $x$, \,$f''(x)$ est égal à :\index{derivee seconde@dérivée seconde}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(1 - 2x)\e^{-2x}$& \textbf{b.~~} $4(x - 1)\e^{-2x}$&\textbf{c.~~} $4\e^{-2x}$&\textbf{d.~~}
$ (x+2)\e^{-2x}$
\end{tabularx}
\end{center}
\item Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. Le nombre de combinaisons possibles est :\index{nombre de combinaisons}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{1728}&\textbf{b.~~} \np{1320}&\textbf{c.~~} \np{220}&\textbf{d.~~} \np{33}
\end{tabularx}
\end{center}
\item On donne ci-dessous la représentation graphique de $f'$ fonction dérivée d'une fonction $f$ définie sur [0~;~7].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-4.5)(7.5,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=5,subgridwidth=0.1pt](-1,-4.5)(7.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.95,-4.5)(7.5,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{2 x sub x 5 sub mul 0.4 mul 2.71828 x 0.25 mul exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le tableau de variation de $f$  sur l'intervalle [0~;~7] est :\index{tableau de variations}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](3.25,0.9){3,25}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.4,0.2)(3,0.8)\psline{->}(3.5,0.8)(5.2,0.2)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](2.5,0.9){2}\uput[u](4,0.9){5}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.2,0.8)(2.3,0.2)\psline{->}(2.7,0.2)(3.8,0.8)\psline{->}(4.2,0.8)(5.3,0.2)
\end{pspicture}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](2.5,0.9){2}\uput[u](4,0.9){5}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.2,0.2)(2.3,0.8)\psline{->}(2.7,0.8)(3.8,0.2)\psline{->}(4.2,0.2)(5.3,0.8)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](3.25,0.9){2}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.4,0.2)(3,0.8)\psline{->}(3.5,0.8)(5.2,0.2)
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.

Une étude statistique montre que 2,8\,\% des puces ont le défaut A, 2,2\,\% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4\,\% des puces n'ont aucun des deux défauts.

La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est:\index{probabilite@probabilité}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,05&\textbf{b.~~} 0,004&\textbf{c.~~} 0,046&\textbf{d.~~} On ne peut pas le savoir
\end{tabularx}
\end{center}

\item On se donne une fonction $f$, supposée dérivable sur $\R$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.

On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.5,0.9){$- \infty$}\uput[u](3.25,0.9){$-1$}\uput[u](5.1,0.9){$+\infty$}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.9,0.2)(3,0.8)\psline{->}(3.5,0.8)(4.6,0.2)
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[u](5,0){$- \infty$}
\uput[d](3.25,1){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

D'après ce tableau de variation :

\textbf{a.~~} $f'$ est positive sur $\R$.

\textbf{b.~~} $f'$ est positive sur $] - \infty~;~ - 1]$ 

\textbf{c.~~} $f'$ est négative sur $\R$

\textbf{d.~~} $f'$ est positive sur $[- 1~;~ +\infty[$
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.

D'après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17\,\% de la population française. 

Parmi ces utilisateurs réguliers, 32\,\% sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans. (Source : TNS-Sofres)

\bigskip

\textbf{Partie A} :

\medskip

On interroge une personne au hasard et on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item $R$ l'évènement : \og La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun \fg.
\item $J$ l'évènement : \og La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représentez la situation à l'aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l'énoncé.\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.8cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~~}}
		{\TR{$J$}
		\TR{$\overline{J}$}
 		}
\pstree{\TR{$\overline{R}$~~}}
		{\TR{$J$}
		\TR{$\overline{J}$}
		}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité $P(R \cap J)$.
\item D'après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11\,\% de la population française.

Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n'utilisant pas régulièrement les transports en commun est 0,056 à $10^{-3}$ près.
\item En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} :

\medskip

Lors d'un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun. 

La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, la loi de $X$ et préciser ses paramètres.\index{loi binomiale}
\item Calculer $P(X = 5)$ et interpréter le résultat.
\item Le recenseur indique qu'il y a plus de 95\,\% de chance pour que, parmi les $50$ personnes interrogées, moins de $13$ d'entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.

Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.\index{intervalle de confiance}
\item Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.

Elle propose alors à ses \np{5000}~collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.

En mai 2020, seuls $200$ d'entre eux ont choisi le télétravail.

Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que $85$\,\% de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.\index{suite}

Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi $a_0 = 200$.

\bigskip

\textbf{Partie A }:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$,\,
$a_{n+1} = 0,85a_n + 450$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par: $v_n = a_n - \np{3000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.\index{suite geometrique@suite géométrique}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\,
$a_n = \np{- 2800} \times  0,85^n + \np{3000}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à \np{2500}, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }:

\medskip

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite 
$\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1}  = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}\]

où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de $n$ mois après le mois de mai 2020.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ définie pour tout $x \in  [0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2}$ est 
strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 
		\[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1}  \leqslant  4.\]\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
		
		\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$,

\[0  \leqslant 4 - u_n \leqslant 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.\]

En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{EXERCICE au choix du candidat} \hfill 5 points}

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.}

\medskip

\textbf{EXERCICE A - Géométrie dans l'espace}

\medskip

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points suivants :

\[\text{A}(2~;~-1~;~0), \text{B}(3~;~-1~;~2), \text{C}(0~;~4~;~1) \: \: \text{et S} (0~;~1~;~4).\]\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\1\\- 1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ABC).\index{vecteur normal}
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).\index{equation cartesienne de plan@équation cartésienne de plan}
		\item Montrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
\item  Soit $(d)$ la droite orthogonale au plan (ABC) passant par S. Elle coupe le plan (ABC) en H.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}
		\item Montrer que les coordonnées du point H sont H(2~;~2~;~3).
	\end{enumerate}
\item  On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est $V = \dfrac{ \text{\small aire de la base} \times \text{\small hauteur}}{3}$.

 Calculer le volume du tétraèdre SABC.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur SA.
		\item On indique que SB $= \sqrt{17}$.

En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{ASB}}$ approchée au dixième de degré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE B - Équations différentielles}

\bigskip 

\textbf{Partie A :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[g(x) = 2\e^{\frac{-1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x - 2.\]\index{fonction exponentielle}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réel $x$ :

\[g'(x) = \dfrac{-2}{3}\text{e}^{- \frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}.\]

\item En déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur $\R$.\index{tableau de variations}
\item Déterminer le signe de $g(x)$, pour tout $x$ réel.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle

\[(E) :\qquad  3y' + y = 0.\]\index{equation differentielle@équation différentielle}

Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point M(0~;~2).
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = 2\text{e}^{- \frac{1}{3}x}\]\index{fonction exponentielle}

et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point M(0~;~2) admet une équation de la forme :\index{tangente}

\[y= - \dfrac{2}{3}x + 2.\]

		\item Étudier, sur $\R$, la position de cette courbe 
$\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $\left(\Delta_0\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit A le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$,\, $a$ réel quelconque.

Montrer que la tangente $\left(\Delta_a\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A coupe l'axe des abscisses en un point P d'abscisse $a + 3$.
\item Expliquer la construction de la tangente $\left(\Delta_{-2}\right)$  à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse $- 2$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Centres étrangers 1
\newpage
%%%%%%%%  Centres étrangers 2
\hypertarget{Centresetrangers2}{}

\label{Centresetrangers2}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Centres étrangers candidats libres}}
\rfoot{\small{10 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 10 juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres  Sujet 2\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Pour chacune des cinq questions, quatre
réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte.

\smallskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}

\textbf{Barème :} une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

\bigskip

\textbf{Question 1 :}

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$  par $g(x)= x^2 + 2x - \dfrac{3}{x}$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:\index{tangente} 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~} $y=7(x - 1)$&\textbf{b.~~} $y = x - 1$&\textbf{c.~~} $y = 7x + 7$&\textbf{d.~~}$ y = x +1$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par $v_n = \dfrac{3n}{n + 2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\index{suite}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 1$&
\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 3$ &  \textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = \dfrac{3}{2}$ &\textbf{d.~~} On ne peut pas la déterminer\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}\index{limite de suite}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?\index{loi binomiale}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}\np{0,1662}&\textbf{b.~~} 0,4&\textbf{c.~~} \np{0,1115}&\textbf{d.~~} \np{0,8886}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3\e^x - x$.\index{fonction exponentielle}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\small}X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$
&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty $&\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =  -\infty$&\textbf{d.~~} On ne peut pas déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}/index{limite de fonction}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

Un code inconnu est constitué de 8 signes. 

Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a
donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.

Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}environ 0,3 seconde&\textbf{b.~~}environ 8 heures&\textbf{c.~~}environ 3 heures&
\textbf{d.~~}environ 470 heures\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait \np{10560} panneaux solaires.

On observe, chaque année, que 2\,\% des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.

\bigskip

\textbf{Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite}

\medskip

On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \np{10560}$ et, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = 0,98u_n +250$, où $u_n$  est le nombre de panneaux solaires au 1\up{er} janvier de l'année $2020 +n$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
		\item  On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à \np{12000}.
		
À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce
problème.
		\item  Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur
cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.\index{programme Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
u $= \np{10560}$\\
n$ =0$\\
while  \ldots \ldots :\\
\qquad u $= \ldots \ldots$ \\
\qquad n $= \ldots \ldots$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leqslant \np{12500}$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.\index{suite convergente}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$  par $v_n = u_n - \np{12500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ dont on précisera le premier terme.\index{suite geometrique@suite géométrique}
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$,\, $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$,\, $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
		
Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction}

\medskip

Une modélisation plus précise a permis d'estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l'aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \np{12500} - 500 \e^{-0,02x+1,4},\]\index{fonction exponentielle}

 où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.\index{tableau de variations}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\index{limite de fonction}
\item En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d'années le nombre de panneaux
solaires dépassera \np{12000}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG].\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

Il existe donc $a \in [0~;~1]$ tel que $\vect{\text{CJ}} =a \vect{\text{CG}}$.

On note $(d)$ la droite passant par I et parallèle à (FJ).

On note K et L les points d'intersection de la droite $(d)$ et des droites (AE) et (DH).

On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}},\, \vect{\text{AE}}\right)$. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Dans cette partie} \boldmath $a = \dfrac{2}{3}$ \unboldmath

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(9.5,7.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,3.65)(4.2,4.05)(8.9,5.6)(6.8,5.2)%KLJF
\psframe(2,0.5)(6.8,5.2)%ABFE
\psline(6.8,0.5)(8.9,2.4)(8.9,7.2)(6.8,5.2)%BCGF
\psline(8.9,7.2)(4.2,7.2)(2,5.1)%GHE
\psline[linestyle=dashed](2,0.5)(4.2,2.4)(4.2,7.2)%ADH
\psline[linestyle=dashed](8.9,2.4)(4.2,2.4)
\psdots(2,0.5)(6.8,0.5)(8.9,2.4)(4.2,2.4)%ABCD
\uput[dl](2,0.5){A} \uput[d](6.8,0.5){B} \uput[r](8.9,2.4){C} \uput[ul](4.2,2.4){D} 
\psdots(2,5.2)(6.8,5.2)(8.9,7.2)(4.2,7.2)(8.9,2.4)(8.9,4)(8.9,5.6)(3.1,3.85)%EFGHPJI
\uput[l](2,5.2){E} \uput[u](6.8,5.2){F} \uput[ur](8.9,7.2){G} \uput[u](4.2,7.2){H} \uput[r](8.9,4){P} 
\uput[r](8.9,5.6){J}\uput[d](3.1,3.85){I}
\psline(2,3.65)(6.8,5.2)(8.9,5.6)(4.2,4.05)%KFJL
\psline(-0.2,3.25)(2,3.65)(4.2,4.05)%KL
\psdots(2,3.65)(4.2,4.05)%KL
\uput[ul](2,3.65){K}\uput[dr](4.2,4.05){L}
\psline[linestyle=dashed](4.2,4.05)(8.9,4.9)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](8.9,3.2)(8.9,4.8)(8.9,6.4)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points F{}, I et J.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~;~\dfrac{2}{3}\right)$ est le point K.
		\item Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites $(d)$ et (DH).

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme. 
		\item Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.
		\item Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Cas général}

\medskip

On admet que les coordonnées des points K et L sont : K$\left(0~;~0~;~1- \dfrac{a}{2}\right)$ et L$\left(0~;~1~;~\dfrac{a}{2}\right)$.

On rappelle que $a \in [0~;~1]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de J en fonction de $a$.
\item Montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.
\item Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Justifier.
\item Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{EXERCICE au choix du candidat} \hfill 5 points}

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.}

\medskip

\textbf{EXERCICE A - Fonction ln}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. 

On possède un test de dépistage de cette maladie.

On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l'échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. 

Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.

Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses effectuées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer $X_n$ prend les valeurs 1 et $(n + 1)$. 
\item Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.

Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$& 1 &$n + 1$\\ \hline
$P\left(X_n = x_i\right)$&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Que représente l'espérance de $X_n$ dans le cadre de l'expérience ?\index{esperance@espérance}

Montrer que $E\left(X_n\right) =n + 1 - n \times  0,95^n$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[20~;~ +\infty[$ par $f(x) = \ln (x) + x \ln (0,95)$.

Montrer que $f$ est décroissante sur $[20~;~ +\infty[$.
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ sur $[20~;~ +\infty[$. 

Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.
\item En déduire le signe de $f$ sur $[20~;~ +\infty[$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

On cherche à comparer deux types de dépistages. 

La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus. 

La première méthode permet de diminuer le nombre d'analyses dès que $E\left(X_n\right)  < n$.

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d'analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum.

\bigskip

\textbf{EXERCICE B - Équation différentielle}

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction $f$ et résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \e^x+ ax + b\e^{-x}\]\index{fonction exponentielle}

où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d'un repère d'origine O, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-0.6)(3.2,6.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.2,-0.4)(3.2,6.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2.5}{2.71828 x exp x sub 2 2.71828 x exp div add} \uput[r](2,5){\red $\mathcal{C}$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{2}{3 2 x mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.\index{lecture graphique}
\item En utilisant l'expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$.
		\item Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.
		\item En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$, puis en déduire l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle :

\[(E):\quad  y' +y =2\e^x - x - 1\]\index{equation differentielle@équation différentielle}

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
		
\[g(x) = \e^x - x + 2\e^{-x}.\]

est solution de l'équation $(E)$.
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' + y = 0$.
		\item En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$. 
est solution de l'équation (E).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction $g$ sur $[1~;~+\infty[$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$, on a :

\[\e^{2x} - \e^x - 2 = \left(\e^x - 2\right)\left(\e^x + 1\right)\]

\item En déduire une expression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.
\item On admettra que, pour tout $x \in  [1~;~ +\infty[$,\, $\e^x - 2 > 0$.

 Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[1~;~ +\infty[$.\index{tableau de variations}
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Centres étrangers 2
\newpage
%%%%%%%%  Métropole Antilles--Guyane La Réunion
\hypertarget{Metropole1}{}

\label{Metropole1}

\lfoot{\small{Métropole sujet 1}}
\rfoot{\small{7 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 7 juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres Sujet 1\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip


\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
 Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
 Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni
n'enlève de point.\\
 Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de
la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}

\vspace{0.7cm}

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[ f(x) =\dfrac{\e^{2x}}{x}\]

On donne l'expression de la dérivée seconde $f''$ de $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:\index{derivee seconde@dérivée seconde}

\[f''(x)=\dfrac {2 \e^{2x} (2x^2-2x+1)}{x^3}.\]


\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$, dérivée de $f$, est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = 2\e^{2x}$ 					&\textbf{b.~~} $f'(x)=\dfrac{\e^{2x}(x-1)}{x^2} $\\[0.35cm]
\textbf{c.~~}$ f'(x) = \dfrac{\e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$& \textbf{d.~~} $f'(x)=\dfrac{\e^{2x}(1 + 2x)}{x^2} $.\\
\end{tabularx}

\item La fonction $f$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} est décroissante sur $]0~;~+\infty[ $ &\textbf{b.~~} est monotone sur $]0~;~+\infty[$\\
\textbf{c.~~}admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$		& \textbf{d.~~}admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$.
\end{tabularx}\index{minimum}
\item La fonction $f$ admet pour limite en $+ \infty$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $+\infty $ &\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~}$1$& \textbf{d.~~} $\e^{2x}$.
\end{tabularx}
\item La fonction $f$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} est concave sur $]0~;~+\infty[$ &\textbf{b.~~} est convexe  $]0~;~+\infty[$\\
\textbf{c.~~} est concave sur $\left]0~;~\frac{1}{2}\right] $& \textbf{d.~~} est représentée par une courbe
admettant un point d'inflexion.\\
\end{tabularx}\index{point d'inflexion}\index{convexite@convexité}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5\,\% des pièces
produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles :

\og positif \fg{} ou bien \og négatif \fg.

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

On note $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $D$ : \og la pièce est défectueuse \fg{} ;
\item $T$ : \og la pièce présente un test positif \fg {};
\item $\overline{D}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.
\end{itemize}

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une pièce présente un test positif sachant qu'elle défectueuse est
égale à $0,98$ ;\index{probabilite conditionnelle@probabilité conditionnelle}
\item la probabilité qu'une pièce présente un test négatif sachant qu'elle n'est pas
défectueuse est égale à $0,97$.
\end{itemize}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\textbf{PARTIE I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de la
chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
\item Démontrer que: $p(T) = \np{0.0775}$.
\end{enumerate}
\item On appelle \textbf{valeur prédictive positive} du test la probabilité qu'une pièce soit
défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un
test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95$.

Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s'il est efficace.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{PARTIE II}

\medskip

On choisit un échantillon de $20$ pièces dans la production de la chaîne, en assimilant
ce choix à un tirage avec remise. On note $X $ la variable aléatoire qui donne le nombre
de pièces défectueuses dans cet échantillon.

On rappelle que: $p(D) = 0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.\index{loi binomiale}
\item Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.

On donnera un résultat arrondi au centième.
\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.\index{esperance@espérance}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0.5cm}

Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert 
un assortiment de gâteaux individuels qu'elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19$~\textcelsius{} et les apporte sur la terrasse où la température est de  $25$~\textcelsius.

Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de $1,3$~\textcelsius.

\begin{center}
\textbf{I~-- Premier modèle}
\end{center}

On suppose que la vitesse de décongélation est constante c'est-à-dire que l'augmentation de la température est la même minute après minute.

 Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur.
 
  Ce modèle semble-t-il pertinent ? 
  
  \medskip
  
  \begin{center}
  \textbf{II~-- Second modèle}
  \end{center}
  \medskip

 On note $T_n$ la température des gâteaux  en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur ; ainsi $T_0=-19$
 
 On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante 
 
 \[\text{Pour tout entier naturel } n,\ T_{n+1}-T_n=-\np{0.06}\times \left(T_n - 25\right).\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier $n$, on a $T_{n+1}=\np{0.94}T_n + \np{1.5}$\index{suite}
\item Calculer $T_1$ et $T_2$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n\leqslant 25$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}

En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?
\item Étudier le sens de  variation de la suite $\left(T_n\right)$.
\item Démontrer que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
\item On pose pour tout entier naturel $n$, $U_n = T_n - 25$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_0$.\index{suite geometrique@suite géométrique}
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n=-44\times \np{0.94}^n+25$.
\item En déduire la limite de la suite $\left(T_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d'une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur.
		 
Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l'entier le plus proche.
		\item Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu'elle aime déguster lorsqu'ils sont encore frais, à la température de 10~\textcelsius.
Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.

\item Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution
la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $T_n \geqslant 10$.\index{programme Python}

\vspace{0.5cm}

\begin{minipage}[]{5cm}
\begin{tabular}[]{|p{4.5cm}|}
\hline
def seuil() :\\
\hspace{1.2em}n=0\\
\hspace{1.2em}T= \dotfill\\
\hspace{1.2em}while T\dotfill\\
\hspace{4em}T= \dotfill\\
\hspace{4em}n=n+1\\
\hspace{1.2em}return\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\hspace{1.5cm}
\begin{minipage}[]{5.6cm}
Recopier ce programme sur la copie
et compléter les lignes incomplètes
afin que le programme renvoie la valeur attendue.
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} au choix du candidat \hfill 5 points}

\medskip

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: Exercice A ou Exercice B 

Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.  

 \vspace{0.5cm}
 
\textbf{\textsc{exercice A .}}

\vspace{0.75cm}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
Principaux domaines abordés :\\

Géométrie de l'espace rapporté  à un repère orthonormé ; orthogonalité dans l'espace\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}

\begin{minipage}[]{7.5cm}
Dans un repère orthonormé \Oijk {} on considère\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] le point A de coordonnées (1~;~3~;~2),

 \item[$\bullet$]le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\\end{pmatrix}$

\item[$\bullet$] la droite $d$ passant par l'origine O du repère et admettant pour vecteur directeur $\vect{u}$. 
\end{itemize}

Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{7cm}
\psset{coorType=2,unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(4,3)
\pstThreeDCoor[xMin=0,xMax=3,yMin=-1.5,yMax=3.5,zMin=-1.5,zMax=2.5,IIIDticks]
\pstThreeDDot(1,3,2)\pstThreeDDot(1,3,0)\pstThreeDDot(2.5,2.5,0)\pstThreeDPut(2.5,2,0){$M_0$}
\pstThreeDPut(1,3.1,2.2){A}\pstThreeDPut(1,3,-0.3){A'}
\pstThreeDLine[linewidth=1.25pt]{->}(0,0,0)(1,1,0)\pstThreeDLine[linewidth=0.5pt]{-}(-2,-2,0)(4,4,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{-}(2.5,2.5,0)(1,3,2)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(1,3,2)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(1,0,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{-}(1,3,0)(1,3,2)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{-}(2.5,2.5,0)(1,3,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linestyle=dashed]{->}(0,0,0)(1,3,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(0,0,1)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt]{->}(0,0,0)(0,1,0)
\pstThreeDLine[linewidth=1pt,linestyle=dashed]{-}(0,0,0)(0,2.5,0)
\pstThreeDPut(1,-0.25,0){$\vect{\imath}$}\pstThreeDPut(0,1,0.15){$\vect{\jmath}$}
\pstThreeDPut(0,-0.2,1){$\vect{k}$}\pstThreeDPut(0,-0.1,-0.15){O}
\pstThreeDPut(0.9,0.65,0){$\vect{u}$}
\end{pspicture}

\end{minipage}


 \begin{enumerate}
\item  Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}

\item Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t~;~t~;~0)$.
\begin{enumerate}
\item On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que: 

\[AM^2 = 2t^2 - 8t+ 14.\] 

\item Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2~;~2~;~0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. 

On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal. 
\end{enumerate}
\item Démontrer que les droites $(AM_0)$ et $d$ sont orthogonales. 

\item On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1~;~3~;~0)$.\index{projete orthogonal@projeté orthogonal}

Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $(AA'M_0)$ le plus proche du point O, origine du repère. 

\item Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$. 

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire  

d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base. 
\end{enumerate}

 \vspace{0.75cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice B}}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
Principaux domaines abordés :\\
Équations différentielles ; fonction exponentielle.\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

On considère l’équation différentielle 

\[(E)\quad  y'= y + 2x\e^x.\]\index{fonction exponentielle}

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble $\R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation. 

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = x^2\e^x$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u'$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$. 

\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[g(x)=f(x) - u(x)\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle: $y' = y$.\index{equation differentielle@équation différentielle}

On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.

\item À l'aide de la résolution de l'équation différentielle $y' = y$, résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\end{enumerate}
\item. Étude de la fonction $u $
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $u' (x)$ pour $x$ variant dans $\R$. 

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\R$ (les limites ne sont pas demandées).\index{tableau de variations}

\item Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.\index{concavite@concavité}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Métropole Antilles--Guyane La Réunion sujet 1
\newpage
%%%%%%%%%%  Métropole Antilles--Guyane La Réunion sujet 2
\hypertarget{Metropole2}{}

\label{Metropole2}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 8 juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres Sujet 2\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. \\
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

L'espace  est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

On considère :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}$ passant par les points A$(1~;~1~;~ -2)$ et B$(-1~;~3~;~2)$. 
\item[$\bullet~~$]La droite $\mathcal{D}'$ de représentation paramétrique :\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -4 +3t\\
y&=&\phantom{-}6 - 3t\\
z&=&\phantom{-}8 - 6t
\end{array}\right.$\quad avec $t \in \R$.
\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + my- 2z + 8 = 0$ où $m$ est un nombre réel.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Question 1} : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}'$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} M$_1(-1~;~3~;~-2)$&\textbf{b.~~} M$_2(11~;~-9~;~-22)$&\textbf{c.~~} M$_3(-7~;~9~;~ 2)$&\textbf{d.~~}M$_4(-2~;~3~;~4)$
\end{tabularx}
\end{center}
\textbf{Question 2} : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}'$ est :\index{vecteur directeur}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\vect{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}$&\textbf{b.~~}$\vect{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$&\textbf{c.~~}$\vect{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}$&\textbf{d.~~}$\vect{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}
\textbf{Question 3} : Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}sécantes &\textbf{b.~~} strictement parallèles&\textbf{c.~~}non coplanaires&\textbf{d.~~}
confondues
\end{tabularx}
\end{center}
\textbf{Question 4} : La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$m =-1$ &\textbf{a.~~} $m = 1$&\textbf{c.~~}$m = 5$&\textbf{d.~~}$m =-2$
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.

Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40\,\% la proportion de chats porteurs de la maladie.

On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.

Ce test possède les caractéristiques suivantes.

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90\,\% des cas.
\item[$\bullet~~$] Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ : \og Le chat est porteur de la maladie\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$ : \og Le test du chat est positif\fg ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{M}$ et $\overline{T}$ désignent les évènements contraires des évènements $M$ et $T$ respectivement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation par un arbre pondéré.\index{arbre}
		\item Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
		\item Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.
		\item On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.\index{probabilite conditionnelle@probabilité conditionnelle}
	\end{enumerate}
\item On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de $20$ chats au hasard. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire $X$.\index{loi binomiale}
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif.
		\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.\index{esperance@espérance}
	\end{enumerate}		
\item Dans cette question, on choisit un échantillon de $n$ chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise. On note $p_n$ la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p_n = 1 - 0,55^n$.
		\item ~
		
\begin{minipage}{6cm}Décrire le rôle du programme ci-contre écrit en langage Python, dans lequel la variable $n$ est un entier naturel et la variable $P$ un nombre réel.\index{programme Python}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{6cm}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil():\\
\qquad $n=0$\\
\qquad $P=0$\\
\qquad while $P< 0,99$ :\\
\qquad \quad $n = n+1$\\
\qquad \quad $P=1 - 0,55**n$\\
\qquad return $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
		\item Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1}  = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.\]\index{suite}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~

\parbox{0.7\linewidth}{
La copie d'écran ci-contre présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des
termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient 
$\dfrac{4}{u_n}$,  (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux
chiffres pour les parties décimales).

À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de $\dfrac{4}{u_n}$  en fonction de $n$.

Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question \textbf{5.}), et d'en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ (question \textbf{6.}).}\hfill
\parbox{0.25\linewidth}{
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
n&u_n&\dfrac{4}{u_n}\\ \hline
0 &1,00 &4\\ \hline
1 &0,80 &5\\ \hline
2 &0,67 &6\\ \hline
3 &0,57 &7\\ \hline
4 &0,50 &8\\ \hline
5 &0,44 &9\\ \hline
6 &0,40 &10\\ \hline
7 &0,36 &11\\ \hline
8 &0,33 &12\\ \hline
9 &0,31 &13\\ \hline
10 &0,29& 14 \\ \hline
11 &0,27& 15 \\ \hline
12 &0,25 &16\\ \hline
\end{array}$}

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item Que peut-on conclure des questions \textbf{2.} et \textbf{3.} concernant la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$.

Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique.\index{suite arithmetique@suite arithmétique}

Préciser sa raison et son premier terme. 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{EXERCICE au choix du candidat} \hfill 5 points}

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.}

\textbf{Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués
dans un encadré.}

\medskip

\textbf{Exercice A}

\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Fonction logarithme; dérivation\\ \hline
\end{tabular}

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

On désigne par $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

\[h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x^2}.\]\index{fonction logarithme neperien@fonction logarithme népérien}

On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+ \infty$.
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~ +\infty[$,\, $h'(x) = \dfrac{1 - 2|n (x)}{x^3}$.
\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.\index{tableau de variations}
\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$ et vérifier que : $\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$.
\item Déterminer le signe de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f_1(x) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2}\qquad \text{et}\qquad f_2(x) = x - 2 - \dfrac{2\ln (x)}{x^2}.\]

On note $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, on a : 

\[f_1(x) - f_2(x) = h(x).\]

\item Déduire des résultats de la Partie 1 la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.

On justifiera que leur unique point d'intersection a pour coordonnées $(\alpha~;~\alpha)$.

On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $h(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B}

\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Fonction exponentielle; dérivation; convexité\\ \hline
\end{tabular}

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la
fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.

À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.\index{lecture graphique}
\item La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.\index{convexite@convexité}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div  neg}
\rput(1,-1.5){Courbe représentant la \textbf{dérivée} $f'$ de la fonction $f$.}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

\smallskip

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (x + 2)\e^{-x}.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,

\[f(x) = \dfrac{x}{\e^{x}}+ 2\e^{- x}.\]

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.\index{limite de fonction}

Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.\index{asymptote}

On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,\, $f'(x) = (- x - 1)\e^{-x}$.
		\item Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.\index{tableau de variations}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction~$f$.\index{convexite@convexité}

Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Métropole Antilles--Guyane La Réunion sujet 2 juin 2021
\newpage
%%%%%%%%%   Métropole  sujet 1 septembre 2021
\hypertarget{Metropolesep1}{}

\label{Metropolesep1}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 13 septembre 2021~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}\\[7pt]Candidats libres}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. \\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune
justification n'est demandée.}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Le graphique ci-contre donne la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

On notera $f'$ la fonction dérivée de $f$.

On donne les points A de coordonnées (0~;~5) et B de coordonnées (1~;~20). Le point C est le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ ayant pour abscisse $-2,5$.
La droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

\smallskip

Les questions 1 à 3 se rapportent à cette même fonction $f$.}\hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(1.5,22)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.05pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-4)(1.5,22)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{1}{10 x mul 5 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-0.7}{1}{15 x mul 5 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-5}{0}{0.82085 x  mul 3.694 add neg}
\psdots(1,20)(-2.5,-1.6417)(0,5)
\uput[r](0,5){A}\uput[r](1,20){B}\uput[d](-2.5,-1.6417){C}\uput[l](0.6,19){$\red \mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On peut affirmer que:\index{lecture graphique}
	\begin{enumerate}
		\item $f'(-0,5) = 0$
		\item si $x \in ]- \infty~;~-0,5[$, alors $f'(x) < 0$
		\item $f'(0) = 15$
		\item la fonction dérivée $f'$ ne change pas de
signe sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur $\R$ par 

$f(x) = (ax + b)\text{e}^x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et que sa courbe coupe l'axe des abscisses en son point de coordonnées $(-0,5~;~ 0)$.\index{fonction exponentielle}

On peut affirmer que:
	\begin{enumerate}
		\item $a = 10$ et $b = 5$ 
		\item $a = 2,5$ et $b = -0,5$ 
		\item $a = -1,5$ et $b = 5$ 
		\item $a = 0$ et $b = 5$
	\end{enumerate}
\item On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : 

\[f''(x) = (10x + 25)\text{e}^x.\]\index{derivee seconde@dérivée seconde}\index{convexite@convexité}

On peut affirmer que :
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est convexe sur $\R$
		\item La fonction $f$ est concave sur $\R$
		\item Le point C est l'unique point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$
		\item $\mathcal{C}_f$ n'admet pas de point d'inflexion\index{point d'inflexion}
	\end{enumerate}
\item On considère deux suites $\left(U_n\right)$ et  $\left(V_n\right)$ définies sur $\N$ telles que : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n$,\, $U_n \leqslant V_n$;
\item[$\bullet~~$] $\displaystyle\lim_{n \to+ \infty}  V_n= 2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On peut affirmer que:\index{suites}

	\begin{enumerate}
		\item la suite $\left(U_n\right)$ converge 
		\item pour tout entier naturel $n$,\, $V_n \leqslant 2$		
		\item la suite $\left(U_n\right)$ diverge
		\item la suite $\left(U_n\right)$ est majorée
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2, commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$ par:

\[ f(x) = \dfrac{4x}{1 + 3x}\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item On admet que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite}
		\item On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $P$ tel que : $1 - u_{P} < E$.\index{programme Python}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
def seuil($E$):\\
\quad u = 0,5\\
\quad n = 0 \\
\quad  while \dotfill\\
\quad \quad u = \dotfill\\
\quad \quad n = n + 1\\
\quad return n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E= 10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :

\[v_n  = \dfrac{u_n}{1 - u_n}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 4.\index{suite geometrique@suite géométrique}
		
En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \dfrac{v_n}{v_n + 1}$. 
		\item Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$ , on a : 
		
		\[u_n = \dfrac{1}{1 + 0,25^n}.\]

Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3, commun à tous les candidats \hfill 6 points}

\medskip

Dans le parc national des Pyrénées, un chercheur travaille sur le déclin d'une espèce protégée dans les lacs de haute-montagne : le \og crapaud accoucheur \fg.

Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.

\begin{center}\textbf{Partie I : Effet de l'introduction d'une nouvelle espèce.}\end{center}

Dans certains lacs des Pyrénées, des truites ont été introduites par l'homme afin de permettre des activités de pêche en montagne. Le chercheur a étudié l'impact de cette introduction sur la
population de crapauds accoucheurs d'un lac.

Ses études précédentes l'amènent à modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps par la fonction $f$ suivante : 

\[f(t) = \left(0,04t^2 - 8t + 400\right)\text{e}^{\frac{t}{50}} + 40 \, \text{ pour }\,  t \in [0~;~120]\]\index{fonction exponentielle}

La variable $t$ représente le temps écoulé, en jour, à partir de l'introduction à l'instant $t = 0$ des truites dans le lac, et $f(t)$ modélise le nombre de crapauds à l'instant $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de crapauds présents dans le lac lors de l'introduction des truites.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~120] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer, en faisant apparaitre les étapes du calcul, que pour tout nombre réel $t$ appartenant à 
l'intervalle [0~;~120] on a : 

\[f'(t) = t(t - 100)\text{e}^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}.\]

\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~120], puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle (on donnera des valeurs approchées au centième).
\item Selon cette modélisation:
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de jours $J$ nécessaires afin que le nombre de crapauds atteigne son minimum. Quel est ce nombre minimum ?
		\item Justifier que, après avoir atteint son minimum, le nombre de crapauds dépassera un jour $140$ individus.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera $140$ individus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards}\end{center}

Une des principales causes du déclin de cette espèce de crapaud en haute montagne est une maladie, la \og Chytridiomycose \fg, provoquée par un champignon.\index{probabilite@probabilité}

Le chercheur considère que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Les trois quarts des lacs de montagne des Pyrénées ne sont pas infectés par le champignon, c'est-à-dire qu'ils ne contiennent aucun têtard (larve du crapaud) contaminé.
\item[$\bullet~~$]Dans les lacs restants, la probabilité qu'un têtard soit contaminé est de $0,74$.
\end{itemize}

Le chercheur choisit au hasard un lac des Pyrénées, et y procède à des prélèvements.

\emph{Pour la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième lorsque cela est nécessaire.}

Le chercheur prélève au hasard un têtard du lac choisi afin d'effectuer un test avant de le relâcher.
 
On notera $T$ l'évènement \og Le têtard est contaminé par la maladie\fg{} et $L$ l'évènement \og Le lac est infecté par le champignon \fg.

On notera $\overline{L}$ l'évènement contraire de $L$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l'énoncé :\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$L$~~}}
	{\TR{$T$}
	\TR{$\overline{T}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{L}$~~}}
	{\TR{$T$}\taput{0}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{1}
	}	
}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité $P(T)$ que le têtard prélevé soit contaminé est de $0,185$.\index{probabilite@probabilité}
\item Le têtard n'est pas contaminé. Quelle est la probabilité que le lac soit infecté ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice au choix du candidat \hfill 5 points}

\medskip
 
\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.}

\textbf{Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}

\medskip

\textbf{Exercice A}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Géométrie de l'espace rapporté à un repère orthonormé.\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

On considère le cube ABCDEFGH donné en annexe. 

On donne trois points I, J et K vérifiant :

\[\vect{\text{RI}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{EH}},\qquad   \vect{\text{EJ}} = \dfrac{1}{4}  \vect{\text{EF}}, \qquad  \vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{4}  \vect{\text{BF}}\]

Les points I, J et K sont représentés sur la figure donnée en annexe, à compléter et à rendre avec la copie.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.
\item Démontrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (IJK).\index{vecteur normal}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est $4x + 4y + 4z - 5 = 0$.\index{equation cartesienne de plan@équation cartésienne de plan}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BC).\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}
\item En déduire les coordonnées du point L, point d'intersection de la droite (BC) avec le plan (IJK).
\item Sur la figure en annexe, placer le point L et construire l'intersection du plan (IJK) avec la face (BCGF).
\item Soit M$\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right)$. Montrer que les points I, J, L et M sont coplanaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés:\\
Fonction logarithme.\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

\[h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x}.\]\index{fonction logarithme neperien@fonction logarithme népérien}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$.\index{limite de fonction}
\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
\item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~ +\infty[$, on a:

\[h'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}.\]

\smallskip

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0~;~ +\infty[$. 

Justifier que l'on a : $0,5 < \alpha < 0,6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Dans cette partie, on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0~;~ +\infty[$ par : 

\[f(x) = x \ln (x) - x ;\qquad  g(x) = \ln (x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij.

Pout tout nombre réel $a$ strictement positif, on appelle:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en son point d'abscisse $a$ ;
\item[$\bullet~~$] $D_a$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ en son point d'abscisse $a$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Les courbes  $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ainsi que deux tangentes $T_a$ et $D_a$ sont représentées ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2)(7,6)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.06pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6.9,5.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{7}{x ln x mul x sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{7}{x ln}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0.01}{7}{1.833 x mul 6.254 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0.01}{7}{0.162 x mul 0.833 add}
\uput[u](1,1){\blue $D_a$}\uput[r](2.9,-1){\red $T_a$}\uput[l](4.3,2){\red $\mathcal{C}_f$ }
\uput[r](0.2,-1.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
%\psplotTangent[linecolor=red]{6.25}{4cm}{x ln}
%\psplotTangent[linecolor=blue]{6.25}{4cm}{1 x div}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](6.25,0)(6.25,5.204)
\uput[d](6.25,0){$a$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On recherche d'éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la droite $D_a$ a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{a}$.
\item Justifier que la droite $T_a$ a pour coefficient directeur $\ln (a)$.
\end{enumerate}

On rappelle que dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$sont perpendiculaires si et seulement si $mm' = -1$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer qu'il existe une unique valeur de $a$, que l'on identifiera, pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{\large À COMPLÉTER SEULEMENT PAR LES ÉLÈVES AYANT CHOISI DE TRAITER L'EXERCICE A}

\vspace{2.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,9.5)
\psframe[linewidth=1.25pt](0.5,0.5)(6,6)%BCGF
\psline[linewidth=1.25pt](6,0.5)(8.7,3.2)(8.7,8.7)(6,6)%CDHG
\psline[linewidth=1.25pt](8.7,8.7)(3.2,8.7)(0.5,6)%HEF
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.2,3.2)(8.7,3.2)%BAD
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](3.2,3.2)(3.2,8.7)%AE
\uput[d](3.2,3.2){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](6,0.5){C} \uput[dr](8.7,3.2){D} 
\uput[u](3.2,8.7){E} \uput[ul](0.5,6){F} \uput[u](6,6){G} \uput[ur](8.7,8.7){H} 
\uput[u](2.525,8.025){I} \uput[ul](4.575,8.7){J} \uput[l](0.5,1.875){K}
\psdots(3.2,3.2)(0.5,0.5)(6,0.5)(8.7,3.2)(3.2,8.7)(0.5,6)(6,6)(8.7,8.7)(2.525,8.025)(4.575,8.7)(0.5,1.875)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%   fin Métropole  sujet 1 septembre 2021
\newpage
%%%%%%%%%   Métropole  sujet 2 septembre 2021
\hypertarget{Metropolesep2}{}

\label{Metropolesep2}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 13 septembre 2021 J2~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}\\[7pt]Candidats libres}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).\index{probabilite@probabilité}

Parmi ces courriels, 8\,\% sont du \og spam \fg, c'est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu'il est souhaitable de ne pas ouvrir.

On choisit au hasard un courriel reçu par l'entreprise.

Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l'entreprise permettent d'affirmer que :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]La probabilité que le courriel choisi soit classé comme \og indésirable\fg{} sachant que c'est un spam est égale à $0,9$.
\item[$\bullet~~$]La probabilité que le courriel choisi soit classé comme \og indésirable\fg{} sachant que ce n'est pas un spam est égale à $0,01$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On note :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$S$ l'évènement \og le courriel choisi est un spam \fg ;
\item[$\bullet~~$]$I$ l'évènement \og le courriel choisi est classé comme indésirable par le logiciel de messagerie \fg.
\item[$\bullet~~$]$\overline{S}$ et $\overline{I}$ les évènements contraires de $S$ et $I$ respectivement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Modéliser la situation étudiée par un arbre pondéré, sur lequel on fera apparaître les probabilités associées à chaque branche.\index{arbre}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu'il soit classé indésirable est égale à $0,072$.
		\item Calculer la probabilité que le message choisi soit classé indésirable.
		\item Le message choisi est classé comme indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un message de spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard $50$ courriels parmi ceux reçus par l'entreprise. On admet que ce choix se ramène à un tirage au hasard avec remise de $50$ courriels parmi l'ensemble des courriels reçus par l'entreprise.

On appelle $Z$ la variable aléatoire dénombrant les courriels de spam parmi les $50$ choisis.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$, et quels sont ses paramètres ?\index{loi binomiale}
		\item Quelle est la probabilité que, parmi les 50 courriels choisis, deux au moins soient du spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\[5pt]
 Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\index{geometrie dans l'espace@géométrie dans l'espace}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + 2t\\
y &=& -2 + t\\ 
z&=&4 - t
\end{array}\right., t\, \in \R$.\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{Réponse A :} M$(2~;~1~;~-1)$; & \textbf{Réponse B :} N$(-3~;~-4~;~6)$ ;\\
\textbf{Réponse C :} P$(-3~;~-4~;~2)$ ; & \textbf{Réponse D :} Q$(-5~;~-5~;~1)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le vecteur $\vect{\text{AB}}$ admet pour coordonnées : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{Réponse A :} $\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$;& \textbf{Réponse B :}$\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ;\\
\textbf{Réponse C :} $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$& \textbf{Réponse D :} $\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{Réponse A :}$\left\{\begin{array}{l c l}x=1+2t\\y = t\\z = 2\end{array}\right., t \in \R$&
\textbf{Réponse B :} $\left\{\begin{array}{l c l}x =2 - t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \R$\\
\textbf{Réponse C :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \R$&
\textbf{Réponse D :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array}\right., t \in \R$
\end{tabularx}
\end{center}


\item Une équation cartésienne du plan passant par le point C et orthogonal à la droite $\Delta$ est :\index{equation cartesienne de plan@équation cartésienne de plan}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{Réponse A :} $x - 2y + 4z - 6 = 0$ ;& \textbf{Réponse B :} $2x + y - z + 1 = 0$ ;\\
\textbf{Réponse C :} $2x + y - z- 1 = 0$ ;& \textbf{Réponse D :} $y + 2z - 5 = 0$.
\end{tabularx}
\end{center}


\item On considère le point D défini par la relation vectorielle $\vect{\text{OD}} = 3\vect{\text{OA}} - \vect{\text{OB}} - \vect{\text{OC}}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{Réponse A :} \parbox[t]{4cm}{$\vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ sont\\ coplanaires ;} &\textbf{Réponse B :} $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{BC}}$ ;\\
\textbf{Réponse C :} \parbox[t]{4cm}{D a pour coordonnées\\ $(3~;~-1~;~-1)$ ;} &\textbf{Réponse D :} \parbox[t]{4cm}{les points A, B, C et D\\ sont alignés.}
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie I}\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x - \text{e}^{-2x}.\]\index{fonction exponentielle}

On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.\index{limite de fonction}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}


Dans le repère orthonormé \Oij, on appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par:

\[g(x) = \text{e}^{-x}.\]

 La courbes $\mathcal{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le \textbf{graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.}

\smallskip

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathcal{C}$ le plus proche de l'origine O du repère et d'étudier la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t~;~\text{e}^{-t}\right)$ de la courbe $\mathcal{C}$.

On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance O$M$.

On a donc: $h(t) = \text{O}M$, c'est-à-dire :

\[h(t) = \sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $t$,

\[h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.\]

où $f$ désigne la fonction étudiée dans la \textbf{Partie I}.
		\item Démontrer que le point A de coordonnées $\left(\alpha~;~\text{e}^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la longueur O$M$ est minimale.
		

Placer ce point sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item On appelle $T$ la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente}
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.
		
On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à $\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha}$.

On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration:

\emph{Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D'$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm'$ est égal à $-1$.}

		\item Démontrer que la droite (OA) et la tangente $T$ sont perpendiculaires. 
		
Tracer ces droites sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE au choix du candidat \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.\\[5pt]
Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.\\[5pt]Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}

\medskip

\textbf{Exercice A}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Suites numériques ; raisonnement par récurrence.\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par:

\[u_0 = 16 \quad ;\quad  v_0 = 5 \;;\]

et pour tout entier naturel $n$ :\index{suite}

\renewcommand\arraystretch{2}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&\dfrac{3u_n + 2v_n}{5}\\
v_{n+1}&=& \dfrac{u_n + v_n}{2}
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $v_1$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n - v_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,1$.\index{suite geometrique@suite géométrique}
		
En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.
		\item Préciser le signe de la suite $\left(w_n\right)$  et la limite de cette suite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = - 0,4 w_n$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\end{enumerate}
		
On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu'on a alors: pour tout entier naturel $n$,\, $v_n \geqslant v_0 = 5$.
\begin{enumerate}[resume]
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant 5$.\index{demonstration par recurrence@démonstration par récurrence}
		
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. On admet ce résultat, et on appelle $\ell'$ la limite de $\left(v_n\right)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\ell = \ell'$.
		\item On considère la suite $\left(c_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $c_n = 5u_n + 4v_n$.
		
Démontrer que la suite $\left(c_n\right)$ est constante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = c_n$. 

En déduire que, pour tout entier naturel $n$ ,\, $c_n = 100$.
		\item Déterminer la valeur commune des limites  $\ell$ et $\ell'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Fonction logarithme, limites, dérivation.\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique dans un repère orthonormé de la fonction $f$
définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{2\ln (x) - 1}{x}.\]

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2.2)(5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2.1)(5,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{5}{x ln 2 mul 1 sub x div}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul l'unique solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$.

On donnera la valeur exacte de $\alpha$ ainsi que la valeur arrondie au centième.
\item Préciser, par lecture graphique, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\index{lecture graphique}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:

\[g(x) = [\ln (x)]^2 - \ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $0$.\index{limite de fonction}
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : $g'(x) = f(x)$, où $f$ désigne la fonction définie dans la partie I.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

On fera figurer dans ce tableau les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$, ainsi que la valeur du minimum de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Démontrer que, pour tout nombre réel $m > - 0,25$, l'équation $g(x) = m$ admet exactement deux solutions.
\item Déterminer par le calcul les deux solutions de l'équation $g(x) = 0$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=3.25cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(3.25,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.08pt](-1,-1)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.99,-0.75)(3.25,2.6)
\uput[l](1.5,1.5){\red $\Gamma$}\uput[ur](-0.75,2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{x 1 2.71828 2 x mul exp div sub}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{1 2.71828  x  exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2021
\hyperlink{Sommaire}{Sommaire}\hfill\hyperlink{Index}{Index}

\newpage

\phantomsection
\hypertarget{Index}{}
\setlength{\columnsep}{1.5cm}
\printindex
\end{document}