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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
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\begin{document}

%\setlength\parskip{3pt}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat Spécialité : l'intégrale 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat spécialité 
~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale de mai à novembre
 2025}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\phantomsection
\hypertarget{Sommaire}{}
\index{sommaire@\emph{sommaire}}

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\Large

\hyperlink{AmeriqueNord1}{Amérique du Nord J1 -- 21 mai 2025} \dotfill \pageref{AmeriqueNord1}\\
\hyperlink{AmeriqueNord2}{Amérique du Nord J2 -- 22 mai 2025} \dotfill \pageref{AmeriqueNord2}\\
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\hyperlink{Polynesie2}{Polynésie J2 -- 18 juin 2025} \dotfill \pageref{Polynesie2}\\
\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie -- 2 septembre 2025} \dotfill \pageref{Polynesiesep}\\
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\hyperlink{AmeriSud1}{Amérique du Sud J1 -- 13 novembre 2025}\dotfill \pageref{AmeriSud1}\\
\hyperlink{AmeriSud2}{Amérique du Sud J2 -- 14 novembre 2025}\dotfill \pageref{AmeriSud2}\\
\hyperlink{NCaledo1}{Nouvelle-Calédonie J1 -- 20 novembre  2025} \dotfill \pageref{NCaledo1}\\
\hyperlink{NCaledo2}{Nouvelle-Calédonie J2 -- 21 novembre  2025} \dotfill \pageref{NCaledo2}\\
\end{tabularx}
\vspace{1cm}

\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

%À la fin de chaque exercice cliquer sur {\blue *} pour aller à l'index
\newpage ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%% Amerique du Nord Jour 1 21 mai 2025
\phantomsection
\hypertarget{AmeriqueNord1}{}
\label{AmeriqueNord1}
\lfoot{\small{Amérique du Nord - sujet 1}}
\rfoot{\small{21 mai 2025}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

%-dALLOWPSTRANSPARENCY
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2025~\decofourright\\[7pt]Jour 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large \textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}\index{probabilités}

\medskip

Pour accéder au réseau privé d'une entreprise depuis l'extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item 25~\% des connexions transitent via le serveur A;
\item 15~\% des connexions transitent via le serveur B;
\item le reste des connexions s'effectue via le serveur C.
\end{itemize}

\medskip

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

\medskip

On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs :

\begin{itemize}
\item 90~\% des connexions via le serveur A sont stables;
\item 80~\% des connexions via le serveur B sont stables;
\item 85~\% des connexions via le serveur C sont stables.
\end{itemize}

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse au hasard à l'état d'une connexion effectuée par un employé de l'entreprise. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og La connexion s'est effectuée via le serveur A\fg{};
\item $B$ : \og La connexion s'est effectuée via le serveur B\fg{};
\item $C$ : \og La connexion s'est effectuée via le serveur C\fg{};
\item $S$ : \og La connexion est stable\fg.
\end{itemize}

On note $\overline{S}$ l'évènement contraire de l'évènement $S$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l'énoncé.\index{arbre pondéré}

%%	%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
%%\begin{center}
%%	% Racine à Gauche, développement vers la droite
%%\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%%	% Styles (MODIFIABLES)
%%	\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
%%	\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%%	\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%%	\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
%%	% Dimensions (MODIFIABLES)
%%	\def\DistanceInterNiveaux{3}
%%	\def\DistanceInterFeuilles{0.65}
%%	% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
%%	\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%%	\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%%	\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%%	\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%%	% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%%	\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$$};
%%	\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A$};
%%	\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$S$};
%%	\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{S}$};
%%	\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$B$};
%%	\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$S$};
%%	\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{S}$};
%%	\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
%%	\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$S$};
%%	\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{S}$};
%%	% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%%	\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%	\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%	\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%		\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%	\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%	\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%	\draw[fleche] (R.east)--(Rc.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%	\draw[fleche] (Rc.east)--(Rca.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%	\draw[fleche] (Rc.east)--(Rcb.west) node[etiquette] {$\dots$};
%%\end{tikzpicture}
%%\end{center}
%%	%:-+-+-+-+- Fin

%%%Version pstree
\begin{center}
%\bigskip
{%\small
\psset{levelsep=2.5cm,nodesepB=4pt, treesep=7mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\ncput*{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\ncput*{$\cdots$}
			                \TR{$\overline S$}\ncput*{$\cdots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\ncput*{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\ncput*{$\cdots$}
			                \TR{$\overline S$}\ncput*{$\cdots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}\ncput*{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\ncput*{$\cdots$}
			                \TR{$\overline S$}\ncput*{$\cdots$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
%\bigskip
\end{center}

\item Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à $0,12$.
\item Calculer la probabilité $P\left(C \cap \overline{S}\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,855$.
\item On suppose désormais que la connexion est stable.

Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B.\index{probabilité conditionnelle}

\emph{On donnera la valeur arrondie au millième}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
D'après la \textbf{partie A}, la probabilité qu'une connexion soit \textbf{instable} est égale à $0,145$.

\begin{enumerate}
\item Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie un échantillon de 50 connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard. On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

\smallskip

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables au réseau de l'entreprise, dans cet échantillon de 50 connexions.

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Donner la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables. \emph{On donnera la valeur arrondie au millième}.
	\end{enumerate}

\item Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de $n$ connexions, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On note $X_{n}$ la variable aléatoire égale aux nombres de connexions instables et on admet que $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et 0,145.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.
		\item Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que la probabilité $p_{n}$ est supérieure ou égale à 0,99.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse à la variable aléatoire $F_{n}$ égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de $n$ connexions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On a donc $F_{n}=\dfrac{X_{n}}{n}$, où $X_{n}$ est la variable aléatoire définie à la question \textbf{2.}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance $E\left(F_{n}\right)$.\index{espérance}

On admet que $V\left(F_{n}\right)=\dfrac{0,123975}{n}$.

		\item Vérifier que : $P\left(\left|F_{n}-0,145\right| \geqslant 0,1\right) \leqslant \dfrac{12,5}{n}$
		\item Un responsable de l'entreprise étudie un échantillon de \np{1000} connexions et constate que pour cet échantillon $F_{1000}=0,3$. II soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$, par :\index{suite}

\[u_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+1}{u_{n}+2}\]

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

\begin{enumerate}
\item Calculer le terme $u_{1}$.
\item On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$, par :

\[a_{n}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}-1}\]

On admet que la suite $\left(a_{n}\right)$ est bien définie.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$.

		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=3 a_{n}-1$.

		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à~1,

\[a_{n} \geqslant 3 n-1\]\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}

		\item En déduire la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item On souhaite étudier la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}-1}$.

		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\end{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python :\index{Python}

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabularx}{8cm}{|l @{\quad} X|}\hline
	1& \textbf{def} algo(p):\\
	2& \quad u=2\\
	3& \quad n=0\\
	4& \quad \textbf{while} u-1>p:\\
	5& \quad\quad u=(2*u+1)/(u+2)\\
	6& \quad\quad n=n+1\\
	7& \quad \textbf{return} (n,u)\\ \hline
\end{tabularx}
\end{ttfamily}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Interpréter les valeurs \texttt{n} et \texttt{u} renvoyées par l'appel de la fonction \texttt{algo(p)} dans le contexte de l'exercice.
		\item Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p=0,001$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\index{Vrai--Faux}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :\index{représentation paramétrique de droite}


\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-}3 - 2 t \\
y&=&-1 \\
z&=&\phantom{-}2 - 6 t
\end{array} \quad, \text { où } t \in \R\right.\]

On considère également les points suivants :

\begin{itemize}
\item A$(3~;~-3~;~-2)$
\item B$(5~;~-4~;~-1)$
\item C le point de la droite $(d)$ d'abscisse 2
\item H le projeté orthogonal du point B sur le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + 3z -7 = 0$
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Affirmation 1}

La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.\index{droites non coplanaires}

\bigskip

\textbf{Affirmation 2}

Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite $(d)$ a pour équation cartésienne :

\[x + 3z + 3= 0\]

\bigskip

\textbf{Affirmation 3}

Une mesure, exprimée en radian, de l'angle géométrique $\widehat{\mathrm{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.\index{calcul d'angle}

\bigskip

\textbf{Affirmation 4}

La distance BH est égale à $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.\index{calcul de distance}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

La \textbf{partie C} est indépendante des parties \textbf{A} et \textbf{B}.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\R$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.

On précise également que :
\begin{itemize}
\item La courbe $\mathcal{C}_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~1)$.
\item La courbe $\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2~;~0)$ et $(1~;~0)$.
\end{itemize}\index{lecture graphique}

\begin{center}
%\begin{tikzpicture}%compiler avec pgfplots
%\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
%x={15mm}, y={6mm}, %échelle originale : x=20mm
%xmin=-3, xmax=5, ymin = -8, ymax= 7, %limites du graphique
%xtick = {-2,...,4}, ytick={-7,...,6},
%tick label style={font=\footnotesize},
%minor tick num = 0, grid=major, axis lines =center]
%\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{\footnotesize 0}};
%\addplot [line width=1.2pt, color=red, smooth, samples=300, domain= -3:5]{(x^2+3*x+1)*exp(-x)};
%\node[red] at(axis cs: 2.2,2) {$ \mathcal{C}_1 $};
%\addplot [line width=1.2pt, color=blue, dashed, smooth, samples=300, domain= -3:5]{(-x^2-x+2)*exp(-x)};
%\node[blue] at(axis cs: 2.2,-1.1) {$ \mathcal{C}_2 $};
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}

%Version en pstricks:
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.6cm} %sur le sujet original : xunit=2cm
\begin{pspicture*}(-3.,-8.)(5.,7.)
% Configuration de la grille et des axes
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,gridwidth=0.25pt](0,0)(-3,-8)(5,7)
%Axes
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,ticks=xy]{->}(0,0)(-2.99,-7.99)(5,7)
\uput[-135](0,0){\footnotesize 0}
% Courbe C1 : (x^2+3*x+1)*exp(-x)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{-3}{5}{x dup mul 3 x mul add 1 add 2.71828 x neg exp mul}
\uput[0](2.2,2){\red $\mathcal{C}_1$}
% Courbe C2 : (-x^2-x+2)*exp(-x)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed,plotpoints=2000]{-3}{5}{x dup mul neg x sub 2 add 2.71828 x neg exp mul}
\uput[0](2.2,-1.1){\blue $\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.
	\item Justifier que l'équation réduite de la tangente à la
courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y=2x + 1$.\index{equation de tangente@équation de tangente}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère $(E)$ l'équation différentielle \index{equation différentielle@équation différentielle}

\[y+y’=(2x + 3) \e^{-x},\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f_{0}$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{0}(x)=\left(x^{2}+3 x\right) \e^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right): y+ y'= 0$.
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item On admet que la fonction $g$ décrite dans la \textbf{partie A} est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

Déterminer alors l'expression de la fonction $g$.
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right) \e^{-x}\]\index{fonction exponentielle}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0.

On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$.\index{limite de fonction}

\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\left(-x^{2}-x+1\right) \e^{-x}$.\index{calcul de dérivée}
		\item Déterminer le signe de la fonction dérivée $f’$ sur $\R$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0;+\infty[$.\index{signe d'une fonction}
\item On notera $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x)=\left(-x^{2}-5 x-7\right) \e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.\index{primitive}

Soit $\alpha$ un nombre réel positif.

Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\alpha$.\index{calcul d'aire}
\end{enumerate}
%%% fin Amerique du Nord Jour 1 21 mai 2025
\newpage
%%% Amerique du Nord Jour 2 22 mai 2025
\phantomsection
\hypertarget{AmeriqueNord2}{}
\label{AmeriqueNord2}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{22 mai 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 22 mai 2025~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}
%	La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$.

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

\medskip

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.}

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.
\item Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.
\item On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de \textbf{points} marqués après cette série de lancers.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $T$ en fonction de $N$.
		\item En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\item Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

\medskip

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

\medskip

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1\up{er},\, 2\up{e},\, \ldots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1},\, X_{2},\, \ldots,\, X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

\medskip

On pose $\quad M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n = 50$.

	\begin{enumerate}
		\item Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
		\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
		\item Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.
		\item En déduire que la probabilité de l'évènement \og  $19<M_{50}<25$ \fg{}  est strictement supérieure à 0,85.
	\end{enumerate}
\item Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

	\og Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$\fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI\up{e} siècle.

\bigskip

On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par :

\[u_{0}=2 \quad \text { et, pour tout entier naturel } n,\quad  u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$.
		\item Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\quad $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $\sqrt{x} =x$.
		\item Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
	On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(u_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\quad $\ln (2)=2^{n} \ln \left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction ln et la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

Une équation de la droite T est $y = x - 1$.

Les points $\mathrm{A}_{0}$, $\mathrm{A}_{1}$, $\mathrm{A}_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée~0.

\begin{center}
%		\begin{tikzpicture}%compiler avec pgfplots
%			\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma, x={45mm}, y={45mm}, xmin=-0.2,  xmax=2.2,    ymin = -0.2,     ymax=1.2, xtick ={1,2},    ytick={0.5,1},
%				tick label style={font=\footnotesize}, grid=none, axis lines =center]
%				\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.6:2.2 ]{ln(x)};
%				\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{\footnotesize 0}};
%				\node[red] at(axis cs: 1.9,0.58) {$ \mathscr{C}$};
%				\addplot [line width=1pt,color=red,blue,samples=10,domain= 0.6:2.2 ]{x-1};
%				\node [blue] at(axis cs: 1.9,0.8) {T};
%				\fill (axis cs: 2,0) circle (1pt) node[above] {A$_0$};
%				\fill (axis cs: 1.414,0) circle (1pt) node[above] {A$_1$};
%				\fill (axis cs: 1.189,0) circle (1pt) node[above] {A$_2$};
%			\end{axis}
%		\end{tikzpicture}
\psset{xunit=4.5cm, yunit=4.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(2.2,1.2)
\psaxes[linewidth=0.8pt,labels=none,Dx=1,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,1.2)
% Graduations manuelles
\psline[linewidth=0.5pt](1,-0.05)(1,0.05)
\rput[t](1,-0.1){\footnotesize 1}
\psline[linewidth=0.5pt](2,-0.05)(2,0.05)
\rput[t](2,-0.1){\footnotesize 2}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.05,0.5)(0.05,0.5)
\rput[r](-0.1,0.5){\footnotesize 0{,}5}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.05,1)(0.05,1)
\rput[r](-0.1,1){\footnotesize 1}
\rput[tr](-0.05,-0.05){\footnotesize 0}
% Courbe logarithme en rouge
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{0.6}{2.2}{x ln}
\rput[l](1.9,0.58){\red $\mathscr{C}$}
\psplot[linewidth=1pt, linecolor=blue, plotpoints=10]{0.6}{2.2}{x 1 sub}
\rput[l](1.9,0.8){\blue T}
% Points
\psdot[dotsize=2pt, linecolor=black](2,0)
\rput[b](2,0.05){A$_0$}
\psdot[dotsize=2pt, linecolor=black](1.414,0)
\rput[b](1.414,0.05){A$_1$}
\psdot[dotsize=2pt, linecolor=black](1.189,0)
\rput[b](1.189,0.05){A$_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99~;~1,01[$.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $]0,99 ~;~1,01[$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près.
		\item En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$.
\item Déduire des questions \textbf{1. c.} et \textbf{2. b.} de la \textbf{partie B} une approximation de $\ln (2)$.
	\end{enumerate}

\item On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel \texttt{Briggs(a)} renvoie une approximation de $\ln (a)$.

On rappelle que l'instruction en langage Python \texttt{sqrt(a)} correspond à $\sqrt{a}$.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabularx}{8cm}{|X|}\hline
\textbf{from} math \textbf{import}*\\
\textbf{def} Briggs(a):\\
\quad n = 0\\
\quad \textbf{while} a >= 1.01:\\
	\quad \quad a = \textbf{sqrt}(a)\\
	\quad \quad n = n+1\\
	\quad L =\dots\\
	\textbf{return} L\\ \hline
	\end{tabularx}
	\end{ttfamily}
\end{center}
\end{enumerate}

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

\medskip

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.40\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\pspolygon(1.5,0.6)(5,0.9)(5,4.4)(1.5,4.1)%ABFE
\psline(5,4.4)(4,5.4)(0.5,5.1)(1.5,4.1)%FGHE
\psline(0.5,5.1)(0.5,1.6)(1.5,0.6)%HDA
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.6)(4,1.9)(4,5.4)%DCG
\psline[linestyle=dashed](5,0.9)(4,1.9)%CB
\uput[dl](1.5,0.6){A} \uput[dr](5,0.9){B} \uput[r](4,2){C} \uput[l](0.5,1.6){D}
\uput[l](1.5,4.1){E} \uput[r](5,4.4){F} \uput[ul](4,5.4){G} \uput[ul](0.5,5.1){H}
\uput[dr](3.25,0.75){I} \uput[r](5,2.65){J} \uput[l](1.5,2.35){K}\uput[u](2.25,1.75){L}
\uput[l](0.5,3.35){M}
\psdots(1.5,0.6)(5,0.9)(4,1.9)(0.5,1.6)(1.5,4.1)(5,4.4)(4,5.4)(0.5,5.1)(3.25,0.75)(5,2.65)(1.5,2.35)(2.25,1.75)(0.5,3.35)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 :} \og $\vect{\text{JH}} = 2\vect{\text{BI}} + \vect{\text{DM}} - \vect{\text{CB}} $ \fg

\textbf{Affirmation 2 :} \og Le triplet de vecteurs $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AH}},~\vect{\text{AG}}\right)$ est une base de l'espace. \fg

\textbf{Affirmation 3 :} \og $\vect{\text{IB}} \cdot \vect{\text{LM}} = - \dfrac 14$. \fg

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

\begin{itemize}[label={$\bullet~$}]
\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$
\item les points A$(2~;~0~;~-1)$ et B$(5~;~-3~;~7)$
\end{itemize}

\textbf{Affirmation 4 :} \og Le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont parallèles.\fg

\textbf{Affirmation 5 :} \og Le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par B a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ \fg

\textbf{Affirmation 6 :} \og La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.\fg

\smallskip

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&-12 + 2k\\
y &=&\phantom{-}6\\
z &=&\phantom{-}3 - \phantom{-}5k
\end{array}\right., \text{où}\, \:k \in \R\]

\textbf{Affirmation 7 :} \og Les droites (AB) et $(d)$ ne sont pas coplanaires. \fg

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par

\[f(x) = \e^x \sin (x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi]$,\:

\[f'(x) = \e^x[\sin(x) + \cos(x)].\]

		\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse~$0$.
		\item Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
		\item En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\e^x \sin (x) \geqslant x$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip


On note

\[I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \sin (x)\, \text{d}x\quad  \text{et}\quad J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \cos (x)\, \text{d}x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux
 relations suivantes :

\[I= 1+J \qquad \text{et}\qquad I= \e^{\frac{\pi}{2}} - J.\]

\item En déduire que $I = \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x$.

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(4,9)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](1.5708,0)(1.5708,1.5708)
\psline[linewidth=1.25pt](1.5708,1.5708)(1.5708,4.81)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.14159}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul}
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{0}{3.14159}{x}
\uput[ur](2.7,6.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](2.54,2.6){$\mathcal{C}_g$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.5708}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul}\psline[linewidth=1.25pt](1.5708,4.81)(1.5708,1.5708)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%%% fin Amerique du Nord Jour 2 22 mai 2025
\newpage
%%% Amerique du Nord Jour 2 sujet de secours 22 mai 2025
\phantomsection
\hypertarget{AmeriqueNords}{}
\label{AmeriqueNords}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2 (secours)}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{22 mai 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

	\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 22 mai 2025~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2 (secours) \\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
	\end{center}


%	La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x)=x \e^{-x}+2 x-1.\]

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

	On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$.

\bigskip

\textbf{Partie A: Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.\index{limite de fonction}
\item Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.\index{calcul de dérivée}
\item Montrer que pour tout réel $x$ :

\[f''(x)= (x-2) \e^{-x}\]

\item Étudier la convexité de la fonction $f$.\index{convexité}

\item Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\R$, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.\index{extremum}

Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

\item En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\R$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$.

Donner un encadrement de $\alpha$, au centième près.
\item On considère la droite $\Delta$ d'équation $y= 2x -1 $.

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.\index{position relative courbe--tangente}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip

	Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_{n}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$. On note

		\[I_{n}=\int_{1}^{n} x \e^{-x} \mathrm{~d} x\]

\begin{enumerate}
	\item À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_{n}$ en fonction de $n$.\index{intégration par parties}
	\item \begin{enumerate}
		\item Justifier que l'aire du domaine $D_{n}$ est $I_{n}$.\index{calcul d'aire}

		\item Calculer la limite de l'aire du domaine $D_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.\index{Vrai--Faux}

\bigskip
\Oijk{} est un repère de l'espace.

On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&\phantom{-}3 - \phantom{3}t \\ y&=&-2 + 3t \\ z&=&\phantom{-}1 + 4t\end{array},\, t \in \R\right.$ et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2x -3y + z - 6 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} 
La droite $\mathrm{D}'$, qui a pour représentation paramétrique \index{représentation paramétrique de droite}

$\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-6 t \\ z=9-8 t\end{array}, t \in \R\right.$, est parallèle à la droite D.

\item On admet que les points A$(-2 ~;~ 3 ~;~ 1)$, B$(1~;~ 3 ~;~-4)$ et C$(6 ~;~ 3 ~;~ 9)$ ne sont pas alignés.

\textbf{Affirmation :} La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et~C.\index{droite et plan orthogonaux}

\item \textbf{Affirmation :} La droite D est sécante avec la droite $\Delta$ qui a pour représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{lcl}x&=&-4+2 t' \\ y&=&\phantom{-}1-3 t' \\ z&=&\phantom{-}2+\phantom{2}t'\end{array} t' \in \R\right.$\index{droites sécantes}

\item \textbf{Affirmation :} Le point F$(-3~;~-3~;~3)$ est le projeté orthogonal du point E$(-5~;~0~;~2)$ sur le plan $P$.\index{projeté orthogonal}

\item \textbf{Affirmation :} Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P'$ d'équation $-3x + y - a^{2} z+3=0$ soit parallèle à la droite D.\index{droite et plan parallèles}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Note du rédacteur} \og pour certaines questions, il est indispensable que le repère soit orthonormé. \fg

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

\bigskip

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\,\%$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90\,\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus.

On constate que $62\,\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.\index{probabilités}


\bigskip

On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $C$ : \og la personne a été contaminée\fg{}
\item[ ] $V$ : \og la personne a été vaccinée\fg{}.
\end{description}

Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et %de : ce "de" est sur le sujet, ça me semble être une erreur de français.
la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(C \cap V)$.
		\item En déduire $P\left(\overline{C} \cap V\right)$.
	\end{enumerate}
\item Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.\index{arbre pondéré}

\begin{center}
%%% Version tikz
%\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
%% Styles (MODIFIABLES)
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%\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
%% Dimensions (MODIFIABLES)
%\def\DistanceInterNiveaux{3}
%\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
%% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
%\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
%\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
%\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$};
%\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$};
%\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$};
%\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V$};
%\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$};
%% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west);% node[etiquette] {$$};
%\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west);% node[etiquette] {$$};
%\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west);% node[etiquette] {$$};
%\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west);% node[etiquette] {$$};
%\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west);% node[etiquette] {$$};
%\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west);% node[etiquette] {$$};
%\end{tikzpicture}

\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=8mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}\ncput{}}
	                        {
	                        \TR{$V$}\ncput{}
			                \TR{$\overline V$}\ncput{}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{C}$}\ncput{}}
	                        {
	                        \TR{$V$}\ncput{}
			                \TR{$\overline V$}\ncput{}
	                        }	                        
      }
\end{center}

\item Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.\index{probabilité conditionnelle}
\item Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.
	\begin{enumerate}
		\item \og Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées.\fg
		\item \og Plus de 98\,\% de la population vaccinée n'a pas été contaminée.\fg{}
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population.

La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

\emph{On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est} $p = 0,02$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :\index{suite}
\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=0\\
u_{1}=\dfrac{1}{2}\\
u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n}
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Partie A : Conjecture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. 
Aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{7}{|>{\centering\arraybackslash}X}|}\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
$u_{n}$ \rule{0pt}{18pt}& 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & & & \\ [6pt]\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude d'une suite auxiliaire}

\medskip

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $w_{0}$.
\item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.\index{suite géométrique}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a :

\[u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}\]

\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$,\quad$ u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Étude de la suite \boldmath$\left(u_{n}\right)$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.\index{suite décroissante}
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.\index{suite convergente}
\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$.

Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

%%% fin Amerique du Nord Jour 2 sujet de secours 22 mai 2025
\newpage
%%% Asie Jour 1 11 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Asie1}{}
\label{Asie1}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{11 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 11 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace}

On considère :

\begin{itemize}
\item $\alpha$ un réel quelconque ;
\item les points A(1~;~1~;~0), B(2~;~1~;~0) et C$(\alpha~;~3~;~\alpha)$ ;
\item $(d)$ la droite dont une représentation paramétrique est :

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = \phantom{11} 2t\\
z = \phantom{1}- t
\end{array}
\right., \quad t \in \mathbb{R}
\]
\end{itemize}

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\textbf{Affirmation 1 :} Pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\vect{\jmath}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$.\index{points coplanaires}\index{vecteur normal}

\textbf{Affirmation 2 :} Il existe exactement une valeur de $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $(d)$ soient parallèles.\index{droites parallèles}

\textbf{Affirmation 3 :} Une mesure de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$ est $135\degres$.

\textbf{Affirmation 4 :} Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point H(1~;~2~;~2).\index{projeté orthogonal}

\textbf{Affirmation 5 :} La sphère de centre O et de rayon 1 rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.\index{sphère}

On rappelle que la sphère de centre $\Omega$
et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $\Omega$.

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise de jouets : un test \emph{de fabrication} et un test \emph{de sécurité}.\index{probabilités}

\medskip

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 95\,\% des jouets réussissent le test de fabrication ;
\item Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98\,\% réussissent le test de sécurité ;
\item 1\,\% des jouets ne réussissent aucun des deux tests.
\end{itemize}

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $F$ l'évènement : \og le jouet réussit le test de fabrication \fg{} ;
\item $S$ l'évènement : \og le jouet réussit le test de sécurité \fg.
\end{itemize}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.\index{arbre pondéré}
		\item Montrer que $P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = 0,2$.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.
\item Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 arrondi au centième.
\item Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication? Donner une valeur approchée du résultat au centième.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On
admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$.\index{loi binomiale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.\index{espérance}\index{variance}
\item Dans cette question, on pose $n = 150$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P\left(S_{150} = 145\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Déterminer la probabilité qu'au moins 94\,\% des jouets de ce lot réussissent le test de
fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par : $F_n = \dfrac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $E(F_n) = 0,95$ et que $V(F_n) = \dfrac{\np{0,0475}}{n}$.
		\item On s'intéresse à l'évènement $I$ suivant: \og la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre 93\,\% et 97\,\% \fg.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot
de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.\index{Bienaymé-Tchebychev} \index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $2$ ml d'un médicament.

On introduit la suite $\left(u_n\right)$
telle que le terme $u_n$ représente la quantité de médicament, exprimée en ml présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament.\index{suite}

On a $u_1 = 2$ et 

\begin{center}pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_{n+1} = 2 + 0,8u_n$.\end{center}

\subsection*{Partie A}

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur $u_2$.
\item Montrer par récurrence que :
\[u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{n-1} \,\text{pour tout entier naturel} \:n \:\text{strictement
positif.}\]\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}

\item Déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ et et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_N \geqslant 10$ admet-elle des solutions?

Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9$~mL. Justifier votre démarche.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps.

On définit pour cela la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

\[S_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n}.\]

On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante.\index{suite croissante}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $S_2$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

\[u_1 + u_2 + \dots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^n.\]

\item Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n$.
\item On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{c|l|}\cline{2-2}
1&def mystere(k):\\
2&\quad n = 1\\
3&\quad s = 2\\
4&\quad while s < k:\\
5&\quad\qquad n = n + 1\\
6&\quad\qquad s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n\\
7&\quad return n\\ \cline{2-2}
\end{tabular}
\end{center}

Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie \texttt{mystere(9)} ? 
\item Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $10$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par

\[f(x) = \frac{\e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\]\index{fonction exponentielle}

et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $g(x) = \e^{\sqrt{x}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
		\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que:\index{calcul de dérivée}

\[f'(x) = \dfrac{\e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt x - 1\right)}{4x\sqrt x}.\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.\index{limite de fonction}
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.\index{limite de fonction}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.\index{variations de fonction}

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
	\end{enumerate}
	
\item On pose  $I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\, \text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I$.\index{calcul d'intégrale}
		\item Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ et que:

\[f"(x) = \dfrac{\e^{\sqrt{x}}\left(x - 3\sqrt x + 3\right)}{8x^2\sqrt x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item En posant $X = \sqrt x$, montrer que $x - 3\sqrt x + 3 > 0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.\index{convexité}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%  fin Asie Jour 1 11 juin 2025
\newpage
%%% Asie Jour 2 12 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Asie2}{}
\label{Asie2}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{12 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}
	
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 12 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
	\end{center}
	
	\medskip
	
\medskip

\textbf{\textsc{\Large Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Toutes les probabilités, sauf indication contraire, seront arrondies à $10^{-3}$ dans cet exercice.\index{probabilités}

\og Le virus du chikungunya, transmis à l'homme par la piqûre du moustique tigre provoque chez les patients des douleurs articulaires aiguës qui peuvent être persistantes. En 2005, une importante épidémie de chikungunya a touché les îles de l'Océan Indien et notamment l'île de La Réunion, avec plusieurs centaines de milliers de cas déclarés. En 2007, la maladie a fait son apparition en Europe, puis fin 2013, aux Antilles et a atteint le continent américain en 2014 \fg{}.

\emph{(\href{https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya}{https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya})}

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus.

Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de $0,999$ ;
\item la probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de $0,005$.
\end{itemize}

On procède à un test de dépistage systématique dans une population cible.

Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

\begin{itemize}
\item $M$ l'évènement : \og l'individu choisi est atteint du chikungunya \fg.
\item $T$ l'évènement : \og le test de l'individu choisi est positif \fg.
\end{itemize}

On considère que le test est \emph{fiable} lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à $0,95$.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'un exemple}

\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P_{M}(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}

\og En mars 2005, l'épidémie s'est propagée rapidement dans l'ile de La Réunion, avec une flambée importante entre fin avril et début juin puis une persistance de la transmission virale durant l'hiver austral. Au total, $\np{270000}$ personnes ont été infectées pour une population totale de $\np{750000}$ individus \fg{}.\\
\emph{(\href{https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya}{https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya})}

Fin 2005, le laboratoire a effectué un test de dépistage massif de la population de l'île de La Réunion.

Dans cette partie, la population cible est donc la population de l'ile de La Réunion.

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner la valeur exacte de $P(M)$.
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré donné ci-dessous.\index{arbre pondéré}

%\hfill~
%\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
%	\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
%	\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%	\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%	\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
%	\def\DistanceInterNiveaux{3}
%	\def\DistanceInterFeuilles{0.9}
%	\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%	% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%	\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
%	\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$M$};
%	\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$T$};
%	\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
%	\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{M}$};
%	\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$T$};
%	\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
%	% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%	\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\ldots$};
%	\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\ldots$};
%	\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\ldots$};
%	\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\ldots$};
%	\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\ldots$};
%	\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\ldots$};
%\end{tikzpicture} \hfill~

\begin{center}
\psset{levelsep=2.5cm,nodesepB=4pt, treesep=0.8cm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}\ncput*{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$T$}\ncput*{$\cdots$}
			                \TR{$\overline{T}$}\ncput*{$\cdots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{M}$}\ncput*{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$T$}\ncput*{$\cdots$}
			                \TR{$\overline{T}$}\ncput*{$\cdots$}
	                        }
      }
\end{center}

\item Calculer la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.
\item Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.
\item Calculer la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.\index{probabilité conditionnelle}
\item Peut-on estimer que ce test est fiable? Argumenter.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Dépistage sur une population cible}

\medskip

Dans cette partie, on note $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible.\\
On cherche ici à tester la fiabilité du test de ce laboratoire en fonction de $p$.

\begin{enumerate}
\item Recopier, en l'adaptant, l'arbre pondéré de la question A3 en tenant compte des nouvelles données.\index{arbre pondéré}
\item Exprimer la probabilité $P(T)$ en fonction de $p$.
\item Montrer que $P_{T}(M) = \dfrac{999 p}{994 p+5}$.
\item Pour quelles valeurs de $p$ peut-on considérer que ce test est fiable ?
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : Étude sur un échantillon}

\medskip

Pendant l'épidémie, on admet que la probabilité d'être atteint du chikungunya sur l'ile de La Réunion est de $0,36$.

On considère un échantillon de $n$ individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant le nombre d'individus infectés dans cet échantillon parmi les $n$ tirés au sort.

On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,36$.\index{loi binomiale}


Déterminer à partir de combien d'individus $n$ la probabilité de l'évènement \og au moins un des $n$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus \fg est supérieure à $0,99$. Expliquer la démarche.

\bigskip

\textbf{\textsc{\Large Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=30$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}+10$.\\
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-20$.\index{suite}

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}$.
\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.\index{suite géométrique}
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\,  u_{n}=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Justifier la réponse.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[
\begin{cases}
w_{0}=45 \\
w_{n+1}=\dfrac{1}{2} w_{n}+\dfrac{1}{2} u_{n}+7
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $w_{1} = 44,5$.
\end{enumerate}

On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $w_{n}$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite.\index{Python}

\begin{center}
%\begin{verbatim}
\begin{tabular}{c| l|}\cline{2-2}
1&def suite(n):\\
2&\quad U=30\\
3&\quad W=45\\
4&\quad for i in range (1,n+1):\\
5&\quad\quad   U=U/2+10\\
6&\quad\quad  W=W/2+U/2+7\\
7&\quad return W\\ \cline{2-2}
%\end{verbatim}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]

\item L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme $w_{1}$. Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme $w_{n}$ ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ on a :\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}

\[w_{n}=10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ 34\]

		\item  On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, on a : $0 \leqslant 10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \leqslant \dfrac{10}{n}$.

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(w_{n}\right)$ ?\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{\Large Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace}

On considère :

\begin{itemize}
\item les points C$(3~;~0~;~0)$, D$(0~;~2~;~0)$, H$(-6~;~2~;~2)$ et J$\left(\dfrac{-54}{13}~;~\dfrac{62}{13}~;~0\right)$;
\item le plan $P$ d'équation cartésienne $2 x+3 y+ 6 z-6 = 0$ ;
\item le plan $P'$ d'équation cartésienne $x - 2 y + 3 z - 3 = 0$;
\item la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=- 8+\frac{1}{3} t \\ y = -1+\frac{1}{2} t \\ z=-4+t\end{cases}, \enskip t \in \R$
\end{itemize}

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 : } La droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$ et coupe ce plan en H.\index{droite et plan orthogonaux}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 : } La mesure en degré de l'angle $\widehat{\mathrm{D C H}}$, arrondie à $10^{-1}$, est $17,3^{\circ}$.\index{mesure d'angle}

\medskip

\textbf{Affirmation 3 : } Les plans $P$ et $P'$ sont sécants et leur intersection est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&3-3 t \\ y&=&0 \\ z&=&\phantom{3- 3}t\end{array}\right.,\enskip t \in \R$.\index{représentation paramétrique de droite}
\medskip

\textbf{Affirmation 4 : } Le point J est le projeté orthogonal du point H sur la droite (CD).\index{projeté orthogonal}

\medskip

\textbf{\textsc{\Large Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l'évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.

L'objectif de cet exercice est d'étudier cette modélisation.

La température est exprimée en degré Celsius et le temps est exprimé en minute.

Dans tout l'exercice, on se place sur l'intervalle de temps $[0~;~10]$.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température en fonction du temps sur l'intervalle $[0~;~10]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l'instant $t = 0$.\index{lecture graphique}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-5)(10,73)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n,)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10,70)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=10](0,0)(0,0)(10,70)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{60 x mul 40 add 2.71828 0.5 x mul exp div}
\uput[u](9.5,0){$t$ (min)}\uput[r](0,71){$\degres$ C}
\end{pspicture}
\end{center}

On appelle $f$ la fonction température représentée par la courbe ci-dessus.

On précise que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~10]$.

On admet que la fonction $f$ peut s'écrire sous la forme $f(t) = (at + b)\e^{-0,5 t}$ où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.\index{fonction exponentielle}

\begin{enumerate}[start=2]
	\item On admet que la valeur exacte de $f(0)$ est 40. En déduire la valeur de $b$.
	\item On admet que $f$ vérifie l'équation différentielle $(\mathrm{E}): y'+ 0,5 y= 60 \e^{-0,5 t}$. Déterminer la valeur de $a$.\index{equation différentielle@équation différentielle}
\end{enumerate}
\medskip 

\textbf{Partie B : Étude de la fonction $f$}
\medskip 

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~10]$ par

\[f(t) = (60 t+ 40)\e^{-0,5 t}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; 10]$, on a : $f'(t)=(40-30 t) \e^{-0,5 t}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~0]$.\index{variations de fonction}

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les images des valeurs présentes dans le tableau.

		\item Montrer que l'équation $f(t) = 40$ admet une unique solution $\alpha$ strictement positive sur l'intervalle $]0~;~10]$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps $t_{1}$ et $t_{2}$, exprimés en minute, par

\[\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)\,\rm{d} t\]\index{moyenne}

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que\index{intégration par parties}

\[\int_{0}^{4} f(t) \, \rm{d}t=320-\dfrac{800}{\e^{2}}\]

		\item En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.\index{}moyenne
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%  fin Asie Jour 2 12 juin 2025
\newpage
%%% Centresetrangers Jour 1 12 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Centresetrangers1}{}
\label{Centresetrangers1}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{12 juin 2025}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers 12 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip
%\begin{center}
%\Large\textbf{Épreuve d'enseignement de spécialité} \\
%\normalsize L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. \\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg est autorisé. \\
%\vspace{1em}
%
%%\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte.} \\
%%\textit{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}
%\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 6 points}

\emph{Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes}

\medskip

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui- même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

\subsection*{Partie A}

Le contrôle peut être

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item soit \og total \fg{} : l'employé du magasin scanne alors à nouveau l'ensemble des
articles du client ;
\item soit \og partiel\fg{} : l'employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier
qu'ils ont bien été scannés.
\end{itemize}

Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

Lorsqu'un contrôle total est déclenché, une erreur du client est détectée dans 30\,\% des cas.

Lorsqu'un contrôle partiel est effectué, dans $85\,\%$ des cas, il n'y a pas d'erreur.

\medskip

Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $T$ : \og Le contrôle est un contrôle total \fg ;
\item $E$ : \og Une erreur est détectée lors du contrôle\fg.
\end{itemize}

On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires de $T$ et $E$.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P\left(\overline{T} \cap E\right)$.\index{arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle.
\item Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur
a été détectée. \emph{On donnera la valeur arrondie au centième}.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche $15$ contrôles. La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p = 0,165$. La détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.\index{loi binomiale}
\item Déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. \emph{On donnera la valeur arrondie au centième}.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. \emph{On donnera la valeur arrondie au centième}.
\item On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99\,\%$.

Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché $20$ contrôles. On note $X_1,\: X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1,\: X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20~;~0,165)$.\index{somme de variables aléatoires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$.
\item On définit la variable aléatoire $S$ par $S = X_1 + X_2 + X_3$.\index{somme de variables aléatoires}

Justifier que $E(S) = 9,9$ et que $V(S) = \np{8,2665}$.\index{espérance}\index{variance}

Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$.

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$.\index{Bienaymé-Tchebychev} \index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 — Q. C. M. \hfill 4 points}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}\index{Q. C. M.}

Les quatre questions sont indépendantes.
 
Pour chaque question, une seule réponse correcte. Aucune justification n’est demandée.

Dans tout l'exercice, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé

\Oijk.\index{géométrie dans l'espace}

On considère:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item les points A$(-3~;~1~;~4)$ et B(1~;~5~;~2)
\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $4x + 4y -2z + 3 = 0$
\item la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 6 + 3t\\y&=&\phantom{-}1\\z&=&\phantom{-}9 - 5t
\end{array}\right.,$ où $t \in~\R$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les droites (AB) et $(d)$ sont:
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item sécantes non perpendiculaires.\index{droites sécantes}
		\item  perpendiculaires.\index{droites perpendiculaires}
		\item non coplanaires.\index{droites non coplanaires}
		\item parallèles.\index{droites parallèles}
	\end{enumerate}
\end{multicols}	
	
\item La droite (AB) est:

	\begin{enumerate}
		\item incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
		\item strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.\index{droite et plan parallèles}
		\item sécante et non orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
		\item orthogonale au plan $\mathcal{P}$.\index{droite et plan orthogonaux}
	\end{enumerate}


\item On considère le plan P' d'équation cartésienne $2x+y+6z+5 = 0$. 

Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont:
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item sécants et non perpendiculaires.
		\item perpendiculaires.\index{plans perpendiculaires}
		\item confondus.
		\item strictement parallèles.\index{plans parallèles}
	\end{enumerate}
\end{multicols}		

\item On considère le point C$(0~;~1~;~-1)$. La valeur de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au degré est: \index{calcul d'angle}
\begin{multicols}{4}
	\begin{enumerate}
		\item 90\degres
		\item 51\degres
		\item 39\degres
		\item 0\degres
	\end{enumerate}
\end{multicols}			
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill 6 points}

\subsection*{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] - 1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 4\ln(x + 1) - \dfrac{x^2}{25}\]\index{fonction logarithme népérien}

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.\index{limite de fonction}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$ , on a :
 \[f'(x) = \dfrac{100- 2x - 2x^2}{25(x+1)}\]\index{calcul de dérivée}

\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] - 1~;~+\infty[$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [2~;~6,5].\index{variations de fonction}\index{fonction croissante}
\item On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle [2~;~6,5] par $h(x) = f(x) - x$.

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ :


\[\begin{tablvar*}[stretch=1.4,intervalwidth=10em]{2}
\hline
x & 2 && m\approx 2,364 && 6,5\\
\hline
\variations{\mil{h(x)} & \bas{h(2)} && \haut{M\approx 2,265} &&  \bas{h(6,5)}} 
\hline
\end{tablvar*}\]

Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [2~;~6,5]$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}

\item On considère le script suivant, écrit en langage Python:\index{Python}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\quad \textbf{from} math \textbf{import *}\\
~\\
\quad \textbf{def} f(x):\\
\quad \qquad\textbf{return} 4*log(1+x)-(x**2)/25\\
~\\
\quad \textbf{def} bornes(n):\\
\quad \qquad p = 1/10**n\\
\quad \qquad x = 6\\
\quad \qquad \textbf{while} f(x)-x > 0:\\
\quad \qquad\qquad x = x + p\\
\quad \qquad\textbf{return} (x-p, x)\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

On rappelle qu'en langage Python:


\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la commande $\text{log} (x)$ renvoie la valeur $\ln x$ ; 
\item la commande c$**$d renvoie la valeur de $\text{c}^{\text{d}}$.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2).

On donnera les valeurs arrondies au centième.
		\item Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\emph{Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.}

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$, et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$\index{suite}

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout $n$ entier naturel,

\[2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 6,5.\]\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}
\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.\index{suite convergente}
\item On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x)~=~0$ sur l'intervalle [2~;~6,5].

Justifier que $\ell = \alpha$.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 4 points}

\subsection*{Partie A}

On considère l'équation différentielle 

\[(E_1) :\quad  y' + 0{,}48y = \dfrac{1}{250},\]\index{equation différentielle@équation différentielle}

où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 

$h(t) = \dfrac{1}{120}$.

Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.
\item Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 0,48y = 0$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À un instant $t = 0$, on introduit une population initiale de \np{30000} bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure.

On a donc $p(0) = 30$.

On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle $(E_2)$ :

\[p' = \dfrac{1}{250}p \times (120 - p)\]

Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ , on a $p(t) = \dfrac{1}{y(t)}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ : \quad $y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}$.
\item On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $(E_1)$, alors $p = \dfrac 1y$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.

Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ , on a :

\[p(t) = \dfrac{120}{1 + K\e^{-0,48t}}~ \text{avec}\: K\: \text{une constante réelle}.\] 
\item En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t)$. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse \np{60000}~individus.

\emph{On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.}
\end{enumerate}
%%% fin Centresetrangers Jour 1 12 juin 2025
\newpage
%%% Centresetrangers Jour 2 13 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Centresetrangers2}{}
\label{Centresetrangers2}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{13 juin 2025}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers 13 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip
%\begin{center}
%\Large\textbf{Épreuve d'enseignement de spécialité} \\
%\normalsize L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. \\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg est autorisé. \\
%\vspace{1em}
%
%%\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte.} \\
%%\textit{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}
%\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 6 points}

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au 1\up{er} janvier 2025, on introduit \np{6000} individus dans chacun des milieux A et B.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0,93$.\index{suite géométrique}

Pour tout entier naturel $n,\: u_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025+n$, exprimée en millier d'individus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.\index{limite de suite}

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_n)$ définie par 

\begin{center}$v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = -0,05v_n^2 +1,1v_n$.\end{center}

Pour tout entier naturel $n, v_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en millier d'individus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = -0,05x^2 + 1,1x.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~11].\index{fonction croissante}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a 

\[2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6.\]\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}

\item En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.\index{suite convergente}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

\begin{enumerate}
\item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à \np{3000} individus.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à \np{3000} individus.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.78\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
\item On considère le programme Python ci-contre.\index{Python}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
		\item Déterminer l'année affichée après exécution du programme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.19\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
n=0 \\
u = 6\\
v = 6 \\
\textbf{while} \ldots :\\
\qquad u = \ldots\\
\qquad v= \ldots\\
\qquad n = n+1\\
\textbf{print} (2025 + n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\section*{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{a+ \e^{-bx}}\]

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.\index{fonction exponentielle}

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=5cm,arrowsize=2pt 3,comma,algebraic}
\begin{pspicture*}(-4,-0.1)(33,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(33,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{33}{1/(1+2.71828^(-0.2*x))}
\psplotTangent[linewidth=0.5pt,linecolor=red]{0}{20}{1/(1+2.71828^(-0.2*x))}
\uput[dr](0,0.5){A}\uput[dr](10,1){B}\psdots[dotscale=1.5,dotstyle=+,dotangle=45](10,1)
\uput[d](30,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On considère les points A(0~;~0,5) et B(10~;~1).

On admet que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.\index{lecture graphique}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 1$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Justifier que $a = 1$.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).\index{coefficient directeur de droite}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.\index{calcul de dérivée}
		\item En déduire la valeur de $b$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{1+ \e^{-0,2x}}\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.\index{limite de fonction}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\index{variations de fonction}
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0,97$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $a$ par deux nombres entiers
consécutifs.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,\: $f(x) = \dfrac{\e^{0,2x}}{1 + \e^{0,2x}}$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\index{primitive}
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 40], c'est-à-dire:

\[I = \dfrac{1}{40}\displaystyle\int_0^{40} \dfrac{1}{1 + \e^{-0,2t}}\,\text{d}t.\]\index{valeur moyenne d'une fonction}

\emph{On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 4 points}

Le codage \og base64 \fg, utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères: les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.
Par exemple, \og gP3g \fg est une telle séquence.
Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte: les séquences \og m5C2 \fg et \og 5C2m \fg ne sont pas identiques.\index{arrangements et combinaisons}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de séquences possibles.
\item Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont
différents deux à deux.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule
		\item En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
		\item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
		\item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à 0,01 et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.\index{loi binomiale}
\item Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. \emph{On donnera
l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près}.
\item Que pensez-vous de l'affirmation suivante: \og La probabilité que plus de 16
caractères soient mal transmis est négligeable\fg ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.

On note $X_1,\: X_2,\: X_3$\: et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.\index{somme de variables aléatoires}

On admet que les variables aléatoires $X_1,\: X_2,\: X_3$\: et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en partie B.

On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.$

Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.\index{espérance}\index{variance}

\section*{Exercice 4 \hfill 4 points}

On se place dans un repère orthonormé \Oijk de l'espace.

On considère les points A(1~;~0~;~3), B$( -2~;~1~;~2)$ et C(0~;~3~;~2).\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.\index{points non alignés}
		\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal au plan (ABC).\index{vecteur et plan orthogonaux}
		\item En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne \index{equation de plan@équation de plan}

$-x + y + 4z - 11 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y- z + 2 = 0$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
		\item Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.\index{plans perpendiculaires}
	\end{enumerate}
\item Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.
\item Montrer que le point M(2~;~1~;~3) appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
\item Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan (ABC).

Que peut-on dire des trois plans (ABC), $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?
\end{enumerate}
%%% fin Centresetrangers Jour 2 13 juin 2025
\newpage
%%% Métropole Jour 1 17 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Metropole1}{}
\label{Metropole1}
\phantomsection

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 17 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On compte quatre groupes sanguins dans l'espèce humaine: A, B, AB et O.

Chaque groupe sanguin peut présenter un facteur rhésus. Lorsqu'il est présent, on dit que le rhésus est positif, sinon on dit qu'il est négatif.

Au sein de la population française, on sait que:\index{probabilités}


\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 45\,\% des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux 85\,\% sont de rhésus positif;
\item 10\,\% des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux 84\,\% sont de rhésus positif;
\item 3\,\% des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux 82\,\% sont de rhésus positif.
\end{itemize}
\smallskip

On choisit au hasard une personne dans la population française. 

On désigne par:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin A \fg{} ;
\item $B$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin B \fg ;
\item $AB$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin AB \fg ; 
\item $O$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin O \fg ;
\item $R$ l'évènement \og La personne choisie a un facteur rhésus positif \fg.
\end{itemize}

\medskip

Pour un évènement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ la probabilité de $E$.

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-contre en complétant les dix pointillés.\index{arbre pondéré}
\item Montrer que $p(B \cap R) = 0,084$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On précise que $p(R) = \np{0,8397}$.

Montrer que $p_O(R) = 0,83$.
\item On dit qu'un individu est \og donneur universel \fg lorsque son sang peut être transfusé à toute personne sans risque d'incompatibilité.

Le groupe O de rhésus négatif est le seul vérifiant cette caractéristique.

Montrer que la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel est de \np{0,0714}.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=4pt,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$AB$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$O$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}

%%% question 5
\begin{enumerate}[start=5]
\item Lors d'une collecte de sang, on choisit un échantillon de $100$ personnes dans la population d'une ville française. Cette population est suffisamment grande pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $100$~personnes
associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Déterminer à $10^{-3}$ près la probabilité qu'il y ait au plus 7 donneurs universels
dans cet échantillon.
		\item Montrer que l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à $7,14$ et
que sa variance $V(X)$ est égale à $6,63$ à $10^{-2}$ près.\index{espérance}\index{variance}
	\end{enumerate}
\item Lors de la semaine nationale du don du sang, une collecte de sang est organisée dans $N$ villes françaises choisies au hasard numérotées 1, 2,  3, ... , $N$ où $N$ est un entier naturel non nul.

On considère la variable aléatoire $X_1$ qui à chaque échantillon de 100 personnes de la ville 1 associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

On définit de la même manière les variables aléatoires $X_2$ pour la ville 2, ... , $X_N$ pour la ville $N$.

On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes et qu'elles admettent la même espérance égale à $7,14$ et la même variance égale à $6,63$.

On considère la variable aléatoire $M_N = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_N}{N}$.\index{somme de variables aléatoires}
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la variable aléatoire $M_N$ dans le contexte de l'exercice ?
		\item Calculer l'espérance $E(M_N)$.
		\item On désigne par $V(M_N)$ la variance de la variable aléatoire $M_N$.\index{espérance}\index{variance}

Montrer que $V(M_N) = \dfrac{6,63}{N}$.
		\item Déterminer la plus petite valeur de $N$ pour laquelle l'inégalité de Bienaymé- Tchebychev permet d'affirmer que:\index{Bienaymé-Tchebychev} \index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}

\[P(7 < M_N < 7,28) \geqslant 0,95.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. On admet~ qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa
fonction dérivée seconde.

\smallskip

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle ]0~;~3] ; 
\item la droite $T_{\text{A}}$,tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A(1~;~2) ;
\item la droite $T_{\text{B}}$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B(e~;~e).
\end{itemize}

\smallskip

On précise par ailleurs que la tangente $T_{\text{A}}$ passe par le point C(3~;~0).

\begin{center}
\psset{xunit=3.75cm,yunit=3.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.05)(3.3,3.3)
\uput[ur](1,2){A}\uput[ul](2.71828,2.71828){B}\uput[ur](3,0){C}\uput[ur](-0.2,3.15){$T_{\text{A}}$}
\uput[d](2.71828,0){e}\uput[l](0,2.71828){e}\uput[d](0.2,0){0,2}
\uput[dr](3,3.2){$T_{\text{B}}$}\uput[u](0.2,2.45){\red $\mathcal{C}_f$}
\multido{\n=0.0+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,-1)(\n,3.3)}
\multido{\n=-1+1}{5}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(3.3,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.3,3.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{3.3}{x}
\psplotTangent[linewidth=1pt]{1}{3}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}
\psplotTangent[linewidth=1pt]{2.71828}{4}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}
\psdots(1,2)(2.71828,2.71828)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,2.7128)(2.71828,2.71828)(2.71828,0)
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchsep=8pt,hatchcolor=blue,linecolor=blue]{(\psline(2.71828,2.71828)(1,-0.718)(1,2)\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.35pt,linecolor=red]{0.0025}{3.3}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}\textbf{Partie A :} Lectures graphiques\end{center}\index{lecture graphique}

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$.\index{nombre dérivé}
\item Combien de solutions l'équation $f'(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle ]0~;~3] ?
\item Quel est le signe de $f''(0,2)$ ?\index{convexité}
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{Partie B :} étude de la fonction $f$\end{center}

On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = x[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 ]\]\index{fonction logarithme népérien}

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2X^2- 3X + 2 = 0$.\index{equation du second degré@équation du second degré}

En déduire que $\mathcal{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
\item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$.\index{calcul de limite}

On admettra que la limite de $f$ en 0 est égale à 0.
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, \: $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$,\: $f''(x)= \dfrac 1x(4\ln x + 1)$.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.\index{convexité}
		\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente $T_{\text{B}}$ sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C :} Calcul d'aire\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la tangente $T_{\text{B}}$ a pour équation réduite $y = 2x - \e$.\index{equation de tangente@équation de tangente}


\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que\index{intégration par parties}

\[\displaystyle\int_1^{\e} x\ln x\, \text{d}x = \dfrac{\e^2 + 1}{4}.\]
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $T_{\text{B}}$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \e$.

On admet que $\displaystyle\int_1^{\e} x(\ln x)^2\,\text{d}x = \dfrac{\e^2 - 1}{4}$.\index{calcul d'aire}

En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\index{Vrai--Faux}

\medskip

On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A$(-1~;~0~;~5)$ et B$(3~;~2~;~-1)$.

\textbf{Affirmation 1 :} Une représentation paramétrique de la droite (AB) est \index{représentation paramétrique de droite}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}3 - 2t\\
y &=&\phantom{-}2- \phantom{2}t\\
z&=&- 1 + 3t
\end{array}\right.\:\text{avec } t \in \R.\]\index{}

\textbf{Affirmation 2 :}  Le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\ -2\\1\end{pmatrix}$  est normal au plan (OAB).\index{vecteur normal}

\item  On considère :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x &=&15+ \phantom{-}k\\y &=& \phantom{1}8 - \phantom{-}k\\z &=& - 6 + 2k \end{array}\right.$ avec \:$k\in \R$ ;

\item la droite $d'$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 + 4s\\ y &=& 2 + 4s\\z&=&1- 6s \end{array}\right.$ avec $s \in \R$.\index{représentation paramétrique de droite}
\end{itemize}

\textbf{Affirmation 3 :} Les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.
\item On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x- y + z + 1 = 0$.\index{droites non coplanaires}

\textbf{Affirmation 4 :}  La distance du point C$(2~;~-1~;~2)$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $2\sqrt 3$.\index{distance d'un point à une droite}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Une équipe de biologistes étudie l'évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie, sur le fond de la baie de l'Alycastre, près de l'île de Porquerolles.

La zone étudiée est d'une superficie totale de 20 hectares (ha), et au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait 1 ha de cette zone.

\begin{center}\textbf{Partie A :} étude d'un modèle discret\end{center}

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la superficie de la zone, en hectare, recouverte
par la posidonie au premier juillet de l'année $2024 + n$. Ainsi, $u_0 = 1$.

\smallskip

Une étude conduite sur cette superficie a permis d'établir que pour tout entier
naturel $n$ :\index{suite}

\[u_{n+1} = - 0,02u_n^2 + 1,3u_n.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025 d'après ce modèle.
\item On note $h$ la fonction définie sur [0~;~20] par 

\[h(x) = - 0,02x^2 + 1,3x.\]

On admet que $h$ est croissante sur [0~;~20].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: 1 \leqslant u_n  \leqslant u_{n+1} \leqslant 20$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On note $L$ sa limite.\index{suite convergente}
		\item Justifier que $L = 15$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la
posidonie dépassera les 14 hectares.
	\begin{enumerate}
		\item Sans aucun calcul, justifier que, d'après ce modèle, cela se produira.
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'en fin d'exécution, il affiche la réponse à la question des biologistes.\index{Python}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{Verbatim}[frame=single]
def seuil():
  n=0
  u= 1
  while ...... :
    n=......
    u=......
  return n
\end{Verbatim}
\end{minipage}

\begin{center} \textbf{Partie B :} étude d'un modèle continu\end{center}

On souhaite décrire la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie au cours du temps avec un modèle continu.

Dans ce modèle, pour une durée $t$, en année, écoulée à partir du premier juillet 2024, la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie est donnée par
$f(t)$, où $f$ est une fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ vérifiant :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $f(0) = 1$ ;
\item $f$ ne s'annule pas sur $[0~;~ +\infty[$ ;
\item $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ ;
\item $f$ est solution sur $[0~;~ +\infty[$ de l'équation différentielle \index{equation différentielle@équation différentielle}

\[(E_1) : \quad y' =0,02y(15 - y).\]

\end{itemize}

On admet qu'une telle fonction $f$ existe; le but de cette partie est d'en déterminer une expression.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = \dfrac{1}{f(t)}$.

Montrer que $g$ est solution de l'équation différentielle 

\[(E_2) : \quad y' = - 0,3y + 0,02.\]

\item Donner les solutions de l'équation différentielle $(E_2)$.
\item En déduire que pour tout $t \in  [0~;~ +\infty[$ :

\[f(t)=  \dfrac{15}{14\e^{-0,3t} + 1}.\]

\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.\index{limite de fonction}
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ l'inéquation $f(t) > 14$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
%%% fin Métropole Jour 1 17 juin 2025
\newpage
%%% Polynésie Jour 1 17 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Polynesie1}{}
\label{Polynesie1}
\phantomsection
\hypertarget{Index}{}
\setlength{\columnsep}{1.2cm}

\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 17 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\medskip

\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l'enfant aux États-Unis en 2020. L'étude, publiée dans la revue \emph{Clinical Pediatries}, révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines.

\smallskip

On sait qu'en 2020, 17\,\% de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83\,\% en zone urbaine.

\smallskip

L'étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2\,\% qui sont atteints d'allergie alimentaire.

L'étude révèle aussi que 9\,\% des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire. 

\smallskip

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.

\textbf{Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.}\index{probabilités}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $R$ L'évènement: \og l'enfant interrogé habite en zone rurale \fg ;
\item $A$ L'évènement: \og l'enfant interrogé est atteint d'allergie alimentaire \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité. Cet arbre pourra être complété par la suite.\index{arbre pondéré}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire.
		\item En déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire.
		\item L'enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.\index{probabilité conditionnelle}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On réalise une étude en interrogeant au hasard $100$ enfants des États-Unis.

On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.\index{loi binomiale}
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les $100$ interrogés soient atteints d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au
hasard.

\smallskip

L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires $A_1,\: A_2,\ldots, ,A_{20}$. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance $4$ et de variance $2,25$.\index{somme de variables aléatoires}


On considère la variable aléatoire:

\[M_{20} = \dfrac{A_1 + A_2 + \ldots + A_{20}}{20}.\]

\begin{enumerate}
\item Que représente la variable aléatoire $M_{20}$ dans le contexte de l'exercice ?
\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{20}$.\index{espérance}\index{variance}
\item Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que\index{inégalité de concentration}

\[P\left (2 < M_{20} < 6\right ) > 0,97.\]

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Deux avions sont en approche d'un aéroport.\index{géométrie dans l'espace}

On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk{} dont l'origine O est le pied de la
tour de contrôle, et le sol est le plan $P_0$ d'équation $z = 0$.

L'unité des axes correspond à 1 km.

On modélise les avions par des points.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-6,-1.8)(4.7,5.5)
%\psgrid
\psline{->}(-6,0.3)(4.7,-0.1)
\psline{->}(0,-1.8)(0,5.5)
\psline{->}(-3,-1)(3,1)
\multido{\n=-1.3+1.3,\nb=-2+2}{5}{\rput(0,\n){\small $\bullet$}\uput[l](0,\n){\small \nb}}
\multido{\n=-4.8+1.2,\na=0.25 +-0.05,\nb=-8+2}{8}{\rput(\n,\na){\small $\bullet$}\uput[d](\n,\na){\small \nb}}
\multido{\n=-2.4+0.6,\na=-0.8 +0.2,\nb=-8+2}{9}{\rput(\n,\na){\small $\bullet$}\uput[ul](\n,\na){\small \nb}}
\psline[linewidth=1.5pt](-4.1,5.5)(-1.7,-0.3)\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1.7,-0.3)(-1.4,-1)
\psline[linewidth=1.5pt](-6,5.5)(1,-0.4)\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-0.4)(1.8,-1)
\uput[d](4.6,-0.15){$x$}\uput[r](0,5.3){$z$}\uput[ul](3,1){$y$}
\uput[ur](-3.5,4){$d_{\text{A}}$}\uput[dl](-4.2,4){$d_{\text{B}}$}
\rput(-3.9,5){$\bullet$}\rput(-4.8,4.5){$\bullet$}
\uput[ur](-3.9,4.95){A}\uput[dl](-4.8,4.5){B}
\end{pspicture}
\end{center}

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en A$(-7~;~ 1~;~7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$.

L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_{\text{B}}$ passant par le point B dont une représentation paramétrique est :\index{représentation paramétrique de droite}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&-11 + 5t\\
y &=&-5 + \phantom{5}t\\
z &=&11 - 4t \end{array}\right.\:\text{où}\: t\:\text{décrit}\:\: \R\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_{\text{A}}$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.\index{représentation paramétrique de droite}
		\item Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'avion Alpha passe par la position E$(-3~;~-1~;~1)$.
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_{\text{E}}$ passant par E et perpendiculaire à la droite $d_{\text{A}}$ est:\index{equation de plan@équation de plan}

\[2x - y - 3z + 8 = 0.\]
		\item Vérifier que le point F$(-1~;~-3~;~3)$ est le point d'intersection du plan $P_{\text{E}}$ et de la droite $d_{\text{B}}$.
		\item Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de \np{3464} m, à 1 m près.
	\end{enumerate}
\item La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut \np{1852}~m).

Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f_0(x) = \e^{- x}\quad \text{et, pour }\: n \geqslant 1, \: \: f_n(x) = x^n\e^{-x}.\]\index{fonction exponentielle}

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude des fonctions \boldmath $f_n$ pour $n \geqslant 1$\unboldmath}

\medskip

On considère un entier naturel $n \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.
		
Montrer que pour tout $x \geqslant 0$,

\[f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}\e^{-x}.\]\index{calcul de dérivée}

		\item Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous:

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3.25)
\psframe(7,3.25)\psline(0,2.25)(7,2.25)\psline(0,2.75)(7,2.75)
\psline(1,0)(1,3.25)
\uput[u](0.5,2.65){$x$}\uput[u](1.2,2.65){$0$}\uput[u](4,2.65){$n$}\uput[u](6.6,2.65){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f'_n(x)$}\rput[u](2.5,2.5){+}\rput(4,2.5){0}\rput(5.5,2.5){$-$}
\uput[u](1.2,0){0}\uput[u](6.8,0){0}\uput[d](4,2.25){$\left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n$}
\psline{->}(1.5,0.4)(3.4,1.8)\psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4)
\rput(0.5,1.125){$f_n$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Justifier par le calcul que le point A$\left(1~;~\e^{-1}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude des intégrales \boldmath $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x$\unboldmath{} pour \boldmath $n \geqslant 0$\unboldmath}

\medskip

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_n$ sur [0~;1] et on considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d} x = \displaystyle\int_0^1 x^n \e^{-x}\,\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_{10}$\: et \: $\mathcal{C}_{100}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de $I_n$.\index{lecture graphique}
		\item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite
de la suite $(I_n)$ ?\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item Calculer $I_0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel.
		
Démontrer que pour tout $x \in [0~;~1]$,\:

\[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.\]

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :

\[0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.\]
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.\index{suite convergente}
\item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on~a :\index{intégration par parties}

\[I_{n+1} = (n + 1)I_n - \dfrac{1}{\e}.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.
		\item Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

On donne ci-dessous le script de la fonction \texttt{mystere}, écrite en langage Python.

On a importé la constante e.\index{Python}

\begin{center}
\begin{Verbatim}[frame=single]
     def mystere(n):
       I = 1 - 1/e
       L = [I]
       for i in range(n):
           I = (i + 1)*I - 1/e
           L.append(I) 
      return L
\end{Verbatim}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Que renvoie \texttt{mystere(100)} dans le contexte de l'exercice ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.\\ Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}
\index{Vrai--Faux}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle :\index{equation différentielle@équation différentielle}

\[(E )\quad y' = \dfrac 12y + 4.\]

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 :} Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par :

\[f(x) = k\e^{\frac 12 x} - 8, \quad \text{avec}\: \: k \in \R.\]

\item Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.

On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.\index{combinatoire}

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 :} Il y a \np{297024} possibilités pour former une telle équipe.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :\index{suite}

\[v_n = \dfrac{n}{2 + \cos (n)}.\]

\textbf{Affirmation 3 :} La suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.\index{suite divergente}
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points A(1~;~1~;~2),\: B$(5~;~- 1~;~8)$ et C(2~;~1~;~3).

\textbf{Affirmation 4 :} $\vect{\text{AB}} \cdot\vect{\text{AC}} = 10$ et une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est $30\degres$.\index{calcul d'angle}
\item On considère une fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty]$ dont la dérivée seconde est
définie sur $]0~;~+ \infty]$ par :

\[h''(x) = x \ln x - 3x.\]\index{convexité}

\textbf{Affirmation 5 :} La fonction $h$ est convexe sur $\left[\e^3~;~+\infty\right[$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE : exercice 3}

\vspace{2cm}

\psset{unit=10cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.09)(1.05,1.1)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-1,-1)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1.05,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{2.71828 x neg exp}\uput[u](0.75,0.47){\red $\mathcal{C}_0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x neg exp x mul}\uput[u](0.75,0.35){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=gray]{0}{1}{2.71828 x neg exp x  dup mul mul}\uput[u](0.75,0.27){\gray $\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{0}{1}{2.71828 x neg exp x 10 exp mul}\uput[u](0.75,0.06){\magenta $\mathcal{C}_{10}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{1}{2.71828 x neg exp x 100 exp mul}\uput[u](0.92,0.02){\green $\mathcal{C}_{100}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%% fin Polynésie Jour 1 17 juin 2025
\newpage
%%% Métropole Jour 2 18 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Metropole2}{}
\label{Metropole2}
\phantomsection
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2025}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 18 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans cet exercice on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours du week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.\index{probabilités}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

 Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation
au roller composée de deux séances de cours.

On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

\medskip

On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A$ : \og La personne chute pendant la première séance\fg ;
\item $B$ : \og La personne chute pendant la deuxième séance \fg.
\end{itemize}

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son événement contraire.

Des observations permettent d'admettre que $P(A) = 0,6$.

De plus on constate que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,3$ ;
\item Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,4$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.\index{arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité $P \left (\overline{A} \cap \overline{B} \right )$ et interpréter le résultat.
\item Montrer que $P(B) = 0,34$.
\item La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours.

Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.\index{probabilité conditionnelle}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.

On assimile le choix d'un échantillon de 100 personnes à un tirage avec remise.

On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0,24$.\index{loi binomiale}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, au moins $20$ personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?
		\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.\index{espérance}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On choisit au hasard une personne venue  un week-end au centre multisport. On note $T_1$ la variable  aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi et $T_2$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minutes avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.

On admet que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $T_1$ suit une loi de probabilité d'espérance $E(T_1) = 40$ et d'écart-type $\sigma(T_1) = 10$ ;
\item $T_2$ suit une loi de probabilité d'espérance $E(T_2) = 60$ et d'écart-type $\sigma(T_2) = 16$ ;
\item  les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes.
\end{itemize}

\medskip

On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès au activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a $T = T_1 + T_2$.\index{somme de variables aléatoires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.\index{espérance}
\item Montrer que la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à 356.
\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne
choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre $60$ et $140$ minutes est supérieure à $0,77$.\index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}\index{Bienaymé-Tchebychev}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item les points A$(-1~;~2~;~1)$, \:B$(1~;~-1~;~2)$ et C(1~;~1~;~1) ;
\item la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par:\index{représentation paramétrique de droite}

\[d : \:\: \left\{\begin{array}{l c l}
x& =& \frac 32 + 2t\\
y&=&2 +t\\
z&=&3 - t 
\end{array}\right. \:\text{avec}\: t \in\R ;\]
\item la droite $d'$ dont une représentation paramétrique est donnée par :

\[d : \:\: \left\{\begin{array}{l c l}
x& =&\phantom{3 - 2}s\\
y&=&\frac 32 + s\\
z&=&3 - 2s 
\end{array}\right. \:\text{avec}\: s \in\R ;\]
\end{itemize}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point S$\left(- \frac 12~;~1~;~4\right)$.\index{droites sécantes}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix} 1\\2\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).\index{vecteur normal}
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est:\index{equation de plan@équation de plan}

\[x + 2y + 4z - 7 = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.\index{points coplanaires}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point H$(-1~;~0~;~2)$ est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC).\index{projeté orthogonal}
		\item En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan (ABC) tel que S$M < \dfrac{\sqrt{21}}{2}$.\index{distance point-plan}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On considère un point $M$ appartenant au segment [CS]. On a donc $\vect{\text{C}M} = k\vect{\text{CS}}$ avec  $k$ réel de l'intervalle [0~;~1].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.
\item Existe-t-il un point $M$ sur le segment [CS] tel que le triangle ($M$AB) soit rectangle
en $M$ ?\index{vecteurs colinéaires}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\index{Vrai--Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par
\[u_n = \dfrac{1 + 5^n}{2 +3^n}.\]\index{suite}

\textbf{Affirmation 1 :} La suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac 53$.\index{suite convergente}
\item On considère la suite $(w_n)$ définie par:

\begin{center}$w_0 = 0$\: et, pour tout entier naturel\: $n, w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3$.\end{center}

\textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n,\: w_n \geqslant n$.\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) en page suivante.

On précise que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 8 ;
\item L'axe des abscisses est la tangente horizontale à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(12,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=15]{->}(0,0)(0,0)(12,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(12,8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{12}{x 0.0195 exp 1 sub 50 mul x ln  mul}
\uput[dr](11,5.6){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[ul](11,6){$T$}
\uput[u](8,4.3026){A}\psdot(8,4.3026)
\psline(-0.3,0)(8,4.3026)(16.3,8.6052)
\rput(6,-0.5){\emph{Fig. 1}}
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0) {O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Affirmation 3 :} D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble
de définition.\index{lecture graphique}

\item  \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout réel $x > 0,\quad \ln (x) - x + 1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.\index{signe d'une fonction}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

L'objet de cet exercice est l'étude de l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du
moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de $t$, à l'aide d'une fonction notée $d$ définie sur $[0 ~;~+\infty[$.

On a ainsi $d(0) = 0$.

Par ailleurs, on admet que cette fonction $d$ est dérivable sur son ensemble de
définition. On note $d'$ sa fonction dérivée.

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Sur la figure (Fig. 2) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_d$ de la fonction $d$ ;
\item la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_d$ au point A d'abscisse 4,7 ;
\item l'asymptote $\Delta$ à $\mathcal{C}_d$ en $+\infty$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-2)(17,24)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(17,24)
\rput(8.25,-2){$Fig. 2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{205 9 div 5 3 div x mul 205 9 div add 2.71828 0.6 x mul exp div sub}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(17,24)
\uput[ul](4.7,21){A}\uput[d](16,0){$t$}\uput[ul](7,23){$T$}
\psline(0,16.4)(8,24.3)\psdot(4.7,21)\uput[d](16,22.7){\blue $\mathcal{C}_d$}
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,22.778)(17,22.778)\uput[u](2,22.778){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Dans cette partie, aucune justification n'est attendue.}

\medskip

Avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions ci-dessous.\index{lecture graphique}

D'après ce modèle :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru $15$~m dans la zone de freinage ?
\item Quelle longueur minimale doit-être prévue pour la zone de freinage ?
\item Que vaut $d'(4,7)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On rappelle que $t$ désigne le temps écoulé, en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde $\left(\text{m}.\text{s}^{-1}\right)$, en fonction de $t$, par une fonction $v$ définie sur $[0~;~+\infty[$.

On admet que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la fonction $v$ est dérivable sur son ensemble de définition, et on note $v'$ sa
fonction dérivée ;
\item la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle \index{equation différentielle@équation différentielle}
\[(E) :\quad y' + 0,6y = \e^{-0,6t},\]

où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

On précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est égale à $12$ m.s$^{-1}$, c'est-à-dire $v(0) = 12$.

\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'équation différentielle 
		\[(E') :\quad y' + 0,6y = 0.\]\index{equation différentielle homogène@équation différentielle homogène}
		
Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = t\e^{-0,6t}$.
		
Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
		\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item En déduire que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a :
\[v(t) = (12+t)\e^{-0,6t}.\]\index{fonction exponentielle}
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on étudie la fonction $v$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $t \in [0~;~ +\infty[,\: v'(t) = (-6,2 - 0,6t)\e^{-0,6t}$.
		\item En admettant que:
		
\[v(t) = 12\e^{-0,6t} + \dfrac{1}{0,6} \times  \dfrac{0,6t}{\e^{0,6t}},\]
déterminer la limite de $v$ en $+\infty$.\index{limite de fonction}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $v$ et dresser son tableau de
variation complet. Justifier.\index{variations de fonction}
		\item Montrer que l'équation $v(t) = 1$ admet une solution unique $\alpha$, dont on
donnera une valeur approchée au dixième.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
	\end{enumerate}
\item Lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde, un système mécanique se déclenche permettant son arrêt complet.

Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

On rappelle que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ :

\[v(t) = (12 + t)\e^{-0,6t}.\]

On admet que pour tout réel $t$ dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ :

\[d(t) = \displaystyle\int_0^t v(x)\:\text{d}x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le
chariot entre les instants 0 et $t$ est donnée par : \index{intégration par parties}

\[d(t)= \e^{-0,6t} \left(- \dfrac53 t - \dfrac{205}{9}\right) + \dfrac{205}{9}.\]

\item On rappelle que le dispositif d'arrêt se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde.

Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.
\end{enumerate}
%%% fin Métropole Jour 2 18 juin 2025
\newpage
%%% Polynésie Jour 2 18 juin 2025
\phantomsection
\hypertarget{Polynesie2}{}
\label{Polynesie2}
\phantomsection
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 18 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\medskip

\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.\index{probabilités}

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs:  0 ou 1.

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en
transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon
contraire (1 devient 0 et 0 et devient 1).

La transmission est fidèle dans 90\,\% des cas, et donc contraire dans 10\,\% des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $V_n$ l'évènement : og la $n$-ième machine détient la valeur 1 fg;
\item $\overline{V_n}$ l'évènement : og la $n$-ième machine détient la valeur 0 fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.\index{arbre pondéré}

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{$V_1$~}}
{\pstree{\TR{$V_2~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$V_3$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V_3}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V_2}~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$V_3$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V_3}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

		\item Démontrer que $P(V_3) = 0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $p_n = P(V_n)$.

La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1 = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
		
\[p_{n+1} = 0,8p_n + 0,1.\]

		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

\[p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5.\]\index{demonstration par récurrence@démonstration par récurrence}

		\item Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction \texttt{simulation} qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.\index{Python}

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction \texttt{rand()} renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle [0~;~1[.

\begin{Verbatim}[frame=single]
1   def simulation(n): 
2      donnee = 1
3      liste = [donnee] 
4      for k in range(n):
5          if rand() <0.1
6             donnee = 1 - donnee
7          liste.append(donnee) 
9      return liste
\end{Verbatim}

\medskip

Par exemple, \texttt{simulation(3)} peut renvoyer [1,\: 0,\: 0,\: 1].Cette liste traduit :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines;
\item la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
\item la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
\item la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
\item Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1,\:1,\:1,\:1,\:1] et la probabilité que \texttt{simulation(6)} renvoie la liste [1,\: 0,\:1,\:0,\:0,\:1,\:1].\index{probabilités}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x \ln (x - 2).\]\index{fonction logarithme népérien}

Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.75,-17)(9,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-17)(9,17)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.0001}{9}{x 2 sub ln x mul}
\uput[ul](8,13){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$ ses limites aux bornes
de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.\index{lecture graphique}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]2~;~+\infty[$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x > 2}} f(x)$.

Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$ :

\[f'(x) = \ln (x - 2) + \dfrac{x}{x - 2}.\]\index{calcul de dérivée}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ par $g(x) = f'(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$, on a:

\[g'(x) = \dfrac{x - 4}{(x - 2)^2}.\]

		\item On admet que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}} g(x) = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$.

En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2~;~+\infty[$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.\index{variations de fonction}
		\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$,\: $g(x) > 0$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]2~;~+\infty[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.\index{convexité}
\item Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$
admet une tangente de coefficient directeur égal à $3$ ?\index{coefficient directeur de droite}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points suivants:

\begin{center}A(1~;~3~;~0), \quad B$(-1~;~4~;~5)$, \quad C(0~;~1~;~0) \quad et \quad D$(- 2~;~2~;~1)$.\index{géométrie dans l'espace}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.\index{points coplanaires}
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).\index{droite et plan orthogonaux}
		\item Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne:

\[2x - y + z + 1 = 0.\]

		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.\index{représentation paramétrique de droite}
	\end{enumerate}
\item On appelle H le point de coordonnées $\left(-\frac 23~ ~\frac 43~;~\frac 53\right)$.

Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).\index{projeté orthogonal}
\item On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par$ V = \dfrac 13 B \times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que DH $=\dfrac{2\sqrt 6}{3}$.
		\item En déduire le volume du tétraèdre ABCD.\index{volume de tétraèdre}
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 - 2k\\
y&=& - 3k\\
z&=&1 + \phantom{3}k\end{array}\right. \: \text{où}\:\: k \:\ \text{décrit}\:\: \R.\]\index{représentation paramétrique de droite}

La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\index{Vrai--Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7\}$ et 

$F = \{0~;~1~;~2~;~3~;~ 4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9\}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation \no 1 :} Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.\index{nuplet@$n$-uplets}\index{combinatoire}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré ABCD de côté 3.

\textbf{Affirmation \no 2 :} La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.\index{calcul d'aire}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4.5,-1)(4.5,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,0)(4.5,10)
\psframe[linecolor=blue,linewidth=1.35pt](3,3)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3.}{x dup mul}\psline(3,9)(3,0)(0,0)}
\uput[dl](0,0){\blue \small A}\uput[dr](3,0){\blue \small B}\uput[ur](3,3){\blue \small C}\uput[ul](0,3){\blue \small D}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.1}{3.1}{x dup mul}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :

\[J = \displaystyle\int_1^2 x \ln (x)\,\text{d}x.\]

\textbf{Affirmation \no 3 :} Une intégration par parties permet d'obtenir: $J = \dfrac{7}{11}$.\index{intégration par parties}

\item Sur $\R$, on considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y' = 2y - \e^x.\]\index{equation différentielle@équation différentielle}

\textbf{Affirmation \no 4 :} La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x + \e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item  Soit $x$ donné dans [0~;~1[. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[u_n = (x - 1)\e^n + \cos (n).\]

\textbf{Affirmation \no 5 :} La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty.$\index{suite divergente}
\end{enumerate}
%%% fin Polynésie Jour 2 18 juin 2025
\newpage
%%% Polynésie 2 septembre 2025
\phantomsection
\hypertarget{Polynesiesep}{}
\label{Polynesiesep}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{2 septembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}{\Large\textbf{%
			\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 2 septembre 2025~\decofourright\\[7pt]%
			Sujet 1\\[7pt]%
			ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

	\medskip

	\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

	En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire :

	\begin{itemize}[label*={\textbullet~}]
		\item Suivre à partir de 15 ans une formation de conduite accompagnée pendant 2 ans ;
		\item Suivre la formation classique (sans conduite accompagnée) à partir de 17 ans.
	\end{itemize}

	\medskip

	En France actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de con-duire, 16~\% choisissent la formation de conduite accompagnée, et parmi eux, 74,7~\% réussissent l'examen de conduite dès leur première tentative.


	En suivant la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est seulement de 56,8~\%.

	\bigskip

	On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l'examen de conduite et on considère les évènements $A$ et $R$ suivants :

	\begin{itemize}[label*={\textbullet~}]
		\item $A$ : \og le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée\fg{};
		\item $R$ : \og le jeune a eu le permis dès sa première tentative \fg{}.
	\end{itemize}

	\medskip

	\textbf{On arrondira les résultats à $\mathbf{10}^{\mathbf{-3}}$ près, si nécessaire.}

	\medskip

	\subsection*{Partie A}
		\begin{enumerate}
			\item Dresser un arbre de probabilités modélisant cette situation.
			\item \begin{enumerate}
				\item Démontrer que $P(R)= \np{0,59664}$.
			\end{enumerate}

			Dans la suite, on gardera la valeur 0,597 arrondie à $10^{-3}$ près.

			\begin{enumerate}[resume]
				\item Donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
			\end{enumerate}

			\item On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée ?

			\item Quelle devrait être la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée si on voulait que le taux de réussite global (quelle que soit la formation choisie) dès la première tentative à l'examen de conduite dépasse $70~\%$ ?
		\end{enumerate}

	\subsection*{Partie B}
		Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.

		\medskip

		On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

		\newpage

		\begin{enumerate}
			\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.

			\item Calculer $P(X \geqslant 6)$. Interpréter ce résultat.

			\item Déterminer $E(X)$ et $V(X)$.

			\item Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière, on note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de la variable $X$ et qu'en fait $E(Y)=22,53$ et $V(Y)=9,81$.

			\medskip

			On note alors $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative dans cette auto-école.

			\medskip

			\begin{enumerate}
				\item Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$.

				\item En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12. \index{Bienaymé-Tchebychev} \index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill (5 points)}

\medskip

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.


Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
		Année              & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\ \hline
		Nombre d'individus & 50   & 64   & 80   & 100  \\	\hline
	\end{tabularx}
\end{center}

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps.

Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty [$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000.

Dans son modèle, l'image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

	\subsection*{Partie A. Modèle 1}

	Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :
	$$
	y'=0,05 y-0,5 \quad\left(E_{1}\right)
	$$

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ avec la condition initiale $y(0)=50$.

		\item Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.
	\end{enumerate}

	\subsection*{Partie B. Modèle 2}

	Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :
	$$
	y'=0,05 y(1-0,00125 y)
	$$

	On note $f$ la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par :
	$$
	f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}
	$$

	et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

	\medskip

	À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

	\textbf{Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.}

	\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|>{\centering \arraybackslash}X|} 
\hline
  & Instruction & Résultat \\	
\hline
1 & $f(x):=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$	& $f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$  \\	
\hline
2 & $f'(x):=$ Dérivée $(f(x))$ & $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$ \\ 
\hline
3 & $f''(x):=$ Dérivée ( $f'(x)$ ) & $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$ \\ 
\hline
4 & Résoudre ( $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$ )  & $x \leqslant 20 \ln (15)$  \\		
\hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%	\begin{tblr}{|l|l|X[c]|} \hline
%		& Instruction
%		& Résultat                                       \\	\hline
%		1 & $f(x):=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$
%		& $f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$          \\	\hline
%		2 & $f'(x):=$ Dérivée $(f(x))$
%		& $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$ \\ \hline
%		3 & $f''(x):=$ Dérivée ( $f'(x)$ )
%		& $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$ \\ \hline
%		4 & Résoudre ( $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$ )
%		& $x \leqslant 20 \ln (15)$                      \\		\hline
%	\end{tblr}
	\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0)=50$ et que pour tout $x \in \R$ :
		$$
		f'(x)=0,05 f(x)(1-0,00125 f(x))
		$$

		On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $(E_{2})$ prenant la valeur initiale de 50 en 0.

		\item Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l'unité.

		\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $C$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.

		\item Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$.

		\item Démontrer le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel.

		\item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.
		\begin{enumerate}
			\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $C$.

			\item La direction de la réserve affirme :

			\og Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer \fg{}. La direction a-t-elle raison? Justifier.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill (5 points)}

\medskip
	On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :
	$$
	u_{n+1}=2+\ln \left(u_{n}^{2}-3\right).
	$$

	On admet que cette suite est bien définie.

	\subsection*{Partie A : Exploitation de programmes Python}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour que \texttt{suite(k)} qui prend en paramètre un entier naturel \texttt{k}, renvoie la liste des $k$ premières valeurs de la suite $(u_{n})$.

		\medskip

		\textbf{Remarque :} On précise que, pour tout réel strictement positif \texttt{a}, \texttt{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \texttt{a}.

%		\begin{center}
%		\begin{ttfamily}
%		\begin{tblr}{|X[10cm]|}\hline
%			def suite(k):\\
%			\quad	L = []\\
%			\quad	u = 5\\
%			\quad	for i in range(......):\\
%			\qquad	L.append(u)\\
%			\qquad	u=............\\
%			\quad	return(......)\\ \hline
%		\end{tblr}
%		\end{ttfamily}
%		\end{center}

		\begin{center}
		\begin{ttfamily}
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
			def suite(k):\\
			\quad	L = []\\
			\quad	u = 5\\
			\quad	for i in range(......):\\
			\qquad	L.append(u)\\
			\qquad	u=............\\
			\quad	return(......)\\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{ttfamily}
		\end{center}
		
		\item On a exécuté \texttt{suite(9)} ci-dessous. Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ et l'autre sur son éventuelle convergence.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
		%\begin{tblr}{|X|}\hline
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
>{}>{}>{} suite(9) \\
$\left[\right.$ 5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,\\
5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,\\
5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642$\left.\right]$\\ \hline
%		%\end{tblr}
\end{tabularx}
\end{ttfamily}
\end{center}

		\item On a ensuite créé la fonction \texttt{mystere(n)} donnée ci-dessous et exécuté \linebreak \texttt{mystere(10000)}, ce qui a renvoyé \texttt{1}.

		Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ ? Justifier.

\begin{center}
		\begin{ttfamily}
%		\begin{tblr}{|X[10cm]|}\hline
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
			def mystere(n):\\
			\quad L = suite(n)\\
			\quad	c = 1\\
			\quad	for i in range(n - 1):\\
			\qquad	if L[i] $>$ L[i + 1]:\\
			\qquad \quad c = 0\\
			\quad return c\\ \hline
%		\end{tblr}
\end{tabularx}
		\end{ttfamily}
		\end{center}

		\begin{center}
		\begin{ttfamily}
%		\begin{tblr}{|X|}\hline
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
		>{}>{}>{} mystere(10000)\\
		1\\ \hline
\end{tabularx}
		\end{ttfamily}
		\end{center}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie  B : Étude de la convergence de la suite ( $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{n}}$ )}

On considère la fonction $g$ définie sur $[2 ~;~+\infty [$ par :

\[g(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)\]

	On admet que $g$ est dérivable sur $\left[2 ~;~+\infty\left[\right.\right.$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $[2 ~;~+\infty[$.

	\item
		\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :

\[4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6.\]

		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie C : Étude de la valeur de la limite}

On considère la fonction $f$ définie sur [ 2 ; $+\infty$ [ par :

\[f(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)-x.\]

On admet que $f$ est dérivable sur $[2 ~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne le tableau de variations de $f$ suivant. On ne demande aucune justification.

%	\begin{center}
%		\begin{tikzpicture}
%			\tkzTabInit[lgt=3]
%			{$x$/0.7, variations de $f$/3}
%			{2,3,$+\infty$}
%			\tkzTabVar{-/0,+/{$\ln(6)-1$},-/$-\infty$}
%		\end{tikzpicture}
%	\end{center}

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
x & 2 && 3 && +\infty\\
%\hline
%f'(x) & & + & \barre[0] & - & \\
\hline
\variations{\mil{f(x)} & \bas{0} && \haut{\ln(6) - 1} &&  \bas{-\infty}} 
\hline
\end{tablvar}\]

	\begin{enumerate}
		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur \linebreak $[2 ~;~+\infty[$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<\beta$.

			\item Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.
		\end{enumerate}

		\item On note $\ell$ la limite de la suite $(u_{n})$.

		Justifier que $f(\ell)=0$ et déterminer $\ell$.
	\end{enumerate}

	\newpage

	\section*{Exercice 4 \hfill (5 points)}
	\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.}

	\medskip

	\emph{Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

	\bigskip

	\begin{enumerate}[itemsep=8mm]
		\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~ +\infty [$ par : $f(x)=x \ln(x)$.

		\textbf{Affirmation 1 :}

\[\int_{1}^{\e} f(x) \,\mathrm{d} x=\dfrac{\e^{2}+1}{4}\]

\item Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k \leqslant n$.

\textbf{Affirmation 2 :}

\[n \times\binom{ n-1}{k-1}=k \times\binom{ n}{k}\]

		\item Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

\medskip

Soit $d$ la droite de représentation paramétrique : \quad $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{2}t+1 \\
y&=&2 t+1 \\
z&=&-t
\end{array},\quad t \in \R\right.$.

Soit $d'$ la droite de représentation paramétrique : \quad $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t'-1 \\
y&=&-t'+2 \\
z&=&\phantom{-}t'+1
\end{array},\quad t' \in \R\right.$.

\medskip

Soit $P$ le plan d'équation cartésienne : $2 x + y-2 z+ 18 = 0$.

Soit A le point de coordonnées $(-1 ~;~-3 ~;~ 2)$ et B le point de coordonnées $(-5 ~;~-5~;~6)$.

On appelle plan médiateur du segment [AB] le plan passant par le milieu du segment [AB] et orthogonal à la droite (AB).

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} Le point A appartient à la droite $d$.

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.

\medskip

		\textbf{Affirmation 5 :} Le plan $P$ est le plan médiateur du segment [AB].
	\end{enumerate}
%%%   fin Polynésie septembre 2025
\newpage
%%%   Asie 5 septembre 2025
\phantomsection
\hypertarget{Asie3}{}
\label{Asie3}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{5 septembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 5 septembre 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x)=x \e^{-2 x}.\]

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ et on note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée.\\Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.}\index{Vrai--Faux}

\bigskip

	\textbf{Affirmation 1.} Pour tout réel $x$, on a $f'(x)=(-2x + 1) \e^{-2x}$.

	\bigskip

	\textbf{Affirmation 2.} La fonction $f$ est une solution sur $\R$ de l'équation différentielle :
	\[y'+2 y=\e^{-2 x}.\]\index{equation différentielle@équation différentielle}

	\bigskip

	\textbf{Affirmation 3.} La fonction $f$ est convexe sur $]-\infty ~;~ 1]$.\index{convexité}

	\bigskip

	\textbf{Affirmation 4.} L'équation $f(x)=-1$ admet une unique solution sur $\R$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}

	\bigskip

	\textbf{Affirmation 5.} L'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à $\dfrac{1}{4}-\dfrac{3 \e^{-2}}{4}$.\index{calcul d'intégrale}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
	\og \emph{Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est la droite qui passe par les trois points suivants }:

	\begin{itemize}[itemsep=0pt]
		\item \emph{le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets de ce triangle).}
		\item \emph{le centre de gravité de ce triangle situé à l'intersection des médianes de ce triangle.}
		\item \emph{l'orthocentre de ce triangle situé à l'intersection des hauteurs de ce triangle \fg{}}.
	\end{itemize}

%\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
%Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler.
%
%On considère un cube ABCDEFGH de côté une unité.
%
%L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\mathrm{A} ~;~ \vectt{AB} ~;~ \vectt{AD} ~;~ \vectt{AE}\right)$.
%
%On note I le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [BG].
%\end{minipage}
%\hfill
%\begin{tikzpicture}[x=(205:16mm),y=(0:32mm),z=(90:32mm),baseline={(E.base)}]
%	\draw [line width=1pt]
%	(1,0,0)node[below left]{B}--
%	(1,1,0)node[below right]{C}--
%	(1,1,1)node[below right]{G}--
%	(0,1,1)node[above right]{H}--
%	(0,0,1)node[above left](E){E}--
%	(1,0,1)node[below left]{F}--cycle
%	(1,0,1) --(1,1,1) (1,1,0)--(0,1,0)--(0,1,1);
%	\draw[line width=1pt,dashed] (0,0,0)node[above left]{A}--(0,1,0)node[above right]{D}
%	(0,0,0) -- (1,0,0) (0,0,0)--(0,0,1);
%\end{tikzpicture}

	\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
		Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler.

	On considère un cube ABCDEFGH de côté une unité.

	L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\mathrm{A} ~;~ \vectt{AB} ~;~ \vectt{AD} ~;~ \vectt{AE}\right)$.

	On note I le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [BG].
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.7cm, radius=0pt}
\def\xmin{-2}   \def\xmax{6.5} \def\ymin{-0.5}   \def\ymax{5.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
\Cnode*(0,0){B} \Cnode*(4,0){C} \Cnode*(0,4){F} \Cnode*(4,4){G}
\Cnode*(2,1){A} \Cnode*(6,1){D} \Cnode*(2,5){E} \Cnode*(6,5){H}
\psline(F)(G)(C)(B)(F)(E)(H)(D)(C)
\psline(G)(H)
\psline[linestyle=dashed](D)(A)(B) \psline[linestyle=dashed](E)(A)
%\Cnode*[radius=2pt,linecolor=blue](1,0.5){I} \Cnode*[radius=2pt,linecolor=blue](2,2){J}
\small
\uput[ul](A){A} \uput[dl](B){B} \uput[dr](C){C} \uput[r](D){D}
\uput[u](E){E} \uput[ul](F){F} \uput[dr](G){G} \uput[ur](H){H}
%\blue
% \uput[r](J){J} \uput[ul](I){I}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification les coordonnées des points A, B, G, I et J.

		\item \begin{enumerate}
			\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AJ).\index{equation de droite@équation de droite}

			\item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IG) est : \[\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} t \\ y=\phantom{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}t \\ z=\phantom{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}t\end{array} \right.\quad\text{ avec }t \in \R.\]

			\item Démontrer que les droites (AJ) et (IG) sont sécantes en un point S de coordonnées S$\left(\dfrac{2}{3} ~;~ \dfrac{1}{3} ~;~ \dfrac{1}{3}\right)$.\index{intersection de droites}
		\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(0 ~;~-1 ~;~ 1)$ est normal au plan (ABG).\index{vecteur normal}
			\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABG).\index{equation de plan@équation de plan}

			\item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vect{n}$ et passant par le point K de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2} ~;~ 0 ~;~ 1\right)$ est : \[\left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{1}{2} \\
 y= \phantom{\dfrac{1}{2}}- t \\
 z=1+t\end{array} \right.\quad\text{ avec }t \in \R.\]

Montrer que cette droite $(d)$ coupe le plan (ABG) en un point L de coordonnées L$\left(\dfrac{1}{2} ~;~ \dfrac{1}{2} ~;~ \dfrac{1}{2}\right)$.

			\item Montrer que le point L est équidistant des points A, B et G.
		\end{enumerate}

		\item Montrer que le triangle ABG est rectangle en B.

		\item
		\begin{enumerate}
			\item Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle ABG (aucune justification n'est attendue).

			\item Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés.\index{points alignés}
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 4,75 points}

Dominique répond à un QCM comportant 10 questions.

Pour chaque question, il est proposé 4 réponses dont une seule est exacte.

Dominique répond au hasard à chacune des 10 questions en cochant, pour chaque question, exactement une case parmi les 4.\index{probabilités}

Pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est donc $\dfrac{1}{4}$.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner les paramètres de cette loi.\index{loi binomiale}

\item Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près.

\item Donner l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.\index{espérance}

\item On suppose dans cette question qu'une bonne réponse rapporte un point et qu'une mauvaise réponse fait perdre 0,5 point. La note finale peut donc être négative.

On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(Y=10)$, on donnera la valeur exacte du résultat.
		\item À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive ? Justifier.
		\item Calculer $P(Y \leqslant 0)$, on donnera une valeur approchée au centième.
		\item Montrer que $Y=1,5 X-5$.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.\index{espérance}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill5,25 points}

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_{n}$ et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$.

Pour les parties \textbf{A} et \textbf{B} de l'exercice, on considère que :

\begin{itemize}
\item Si l'évènement $A_{n}$ est réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité 0,3.
\item Si l'évènement $A_{n}$ n'est pas réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité 0,7.
\end{itemize}

On suppose que $p_{1}=1$.

\subsection*{Partie A :}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesep=4pt,levelsep=2.5cm,treesep=0.8cm]{\TR{$A_1$}}%nodesepA=4pt,nodesepB=4pt
 {
 	\pstree{\TR{$A_2$}\naput{}}
 	  { 
 		  \TR{$A_3$}\naput{}
 		  \TR{$\overline{A_3}$}\ncput*{$0,7$}	   
 	  }
 	\pstree{\TR{$\overline{A_2}$}\nbput{}}
 	  {
 		  \TR{$A_3$}\naput{}
 		  \TR{$\overline{A_3}$}\nbput{}	   
      }
}
\bigskip
\end{center}

%\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
%	% Styles (MODIFIABLES)
%	\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
%	\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%	\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%	\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
%	% Dimensions (MODIFIABLES)
%	\def\DistanceInterNiveaux{3}
%	\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
%	% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
%	\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%	% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%	\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$A_1$};
%	\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A_2$};
%	\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A_3$};
%	\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_3}$};
%	\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_2}$};
%	\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A_3$};
%	\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_3}$};
%	% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%	\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west);
%	\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west);
%	\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west);
%	\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$0,7$};
%	\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west);
%	\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west);
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}

\item Montrer que $p_{3}=0,58$.

\item Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_{3}}\left(A_{2}\right)$, arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B :}

	Dans cette partie, on étudie la suite $\big(p_{n}\big)$ avec $n \geqslant 1$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous :\index{arbre pondéré}

%\begin{center}
%		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
%			% Styles (MODIFIABLES)
%			\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
%			\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%			\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%			\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
%			% Dimensions (MODIFIABLES)
%			\def\DistanceInterNiveaux{3}
%			\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
%			% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
%			\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%			\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%			\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%			\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%			% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%			\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
%			\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A_n$};
%			\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A_{n+1}$};
%			\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_{n+1}}$};
%			\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_n}$};
%			\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A_{n+1}$};
%			\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_{n+1}}$};
%			% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%			\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$p_n$};
%			\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west);
%			\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west);
%			\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) ;
%			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west);
%			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west);
%		\end{tikzpicture}
%	\end{center}
	
\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_{n}$}\naput{$p_n$}}
 	  { 
 		  \TR{$A_{n+1}$}\naput{}
 		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\nbput{}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A_{n}}$}\nbput{}}
 	  {
 		  \TR{$A_{n+1}$}\naput{}
 		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\nbput{}	   
      }
}
\bigskip
\end{center}		
	
	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=-0,4 p_{n}+0,7$.
		\end{enumerate}
On considère la suite $\big(u_{n}\big)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : 

$u_{n}=p_{n}-0,5$.

	\begin{enumerate}[resume]
	\item Montrer que $\big(u_{n}\big)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\index{suite géométrique}
	\item En déduire l'expression de $u_{n}$, puis de $p_{n}$ en fonction de $n$.
	\item Déterminer la limite de la suite $\big(p_{n}\big)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C :}

Soit $x \in ]0 ~;~ 1[$, on suppose que $P_{\overline{A_{n}}}\left(A_{n+1}\right)= P_{A_{n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=x$. On rappelle que $p_{1}=1$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=(1 - 2x) p_{n}+x$.

\item Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul :\index{démonstration par récurrence}
		\[p_{n}=\dfrac{1}{2}(1-2 x)^{n-1}+\dfrac{1}{2}\]

\item Montrer que la suite $\big(p_{n}\big)$ est convergente et donner sa limite.\index{suite convergente}
\end{enumerate}
%%%   fin Asie 5 septembre 2025
\newpage
%%%   Métropole, Amérique du Nord 9 septembre 2025
\phantomsection
\hypertarget{Metropolesep1}{}
\label{Metropolesep1}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{9 septembre}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole\footnote{Antilles--Guyane--Amérique du Nord} 9 septembre 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle\index{equation différentielle@équation différentielle}

\[(E)\: \qquad  y' + 0,4y = \e^{-0,4t}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\R$ qui sont solutions
de cette équation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par : $u(t) = t\e^{-0,4t}$.

Vérifier que $u$ est solution de $(E)$.
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.

On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(t) = f(t) - u(t)$.

Soit $(H)$ l'équation différentielle $y' + 0,4y = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}		
		
On admettra que la réciproque est vraie.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Résoudre l'équation différentielle $(H)$.
		\item En déduire les solutions de $(E)$.
		\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.

La glycémie en g $\cdot~\text{L}^{-1}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, écoulé depuis la fin
du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur [0~;~6] par :

\[f(t) = (t + 1)\e^{- 0,4t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $t \in [0~;~6],\: f'(t) = (- 0,4t + 0,6)\e^{-0,4t}$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~6] puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.\index{variations de fonction}
	\end{enumerate}
\item Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à $0,7~\text{g} \cdot \text{L}^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que sur l'intervalle [0~;~6] l'équation $f(t) = 0,7$ admet une unique
solution que l'on notera $\alpha$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
		\item Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est-
elle en hypoglycémie ?

On exprimera ce temps à la minute près.
	\end{enumerate}
\item On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g $\cdot~\text{L}^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.\index{moyenne}
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que:\index{intégration par parties}

\[\displaystyle\int_0^6 f(t)\: \text{d}t = - 23,75\e^{-2,4} + 8,75.\]

		\item Calculer la glycémie moyenne en g $\cdot \text{L}^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.\index{moyenne}
		\item En remarquant que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.43\linewidth}
On considère le cube ABCDEFGH.\\\index{géométrie dans l'espace}

On place le point M tel que $\vectt{BM} = \vectt{AB}$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\pspolygon(0.3,0.8)(3.3,0.5)(3.3,3.5)(0.3,3.8)%ABFE
\psline(3.3,0.5)(6.3,0.2)(3.3,3.5)(5.5,4.7)(2.2,5)(0.3,3.8)%BMFGHE
\psline[linestyle=dashed](3.3,0.5)(5.5,1.7)(2.2,2)(0.3,0.8)
\psline[linestyle=dashed](2.2,2)(2.2,5)%DH
\psline(5.5,1.7)(5.5,4.7)%BF
\psline(5.13,1.5)(5.5,1.7)(4.9,1.77)
\uput[dl](0.3,0.8){A} \uput[d](3.3,0.5){B} \uput[dr](5.5,1.7){C}
\uput[ur](2.2,2){D} \uput[l](0.3,3.8){E} \uput[u](3.3,3.5){F}
\uput[ur](5.5,4.7){G} \uput[u](2.2,5){H} \uput[r](6.3,0.2){M}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (FG) et (FM) sont perpendiculaires.\index{droites perpendiculaires}
\item Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.\index{points coplanaires}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{GM}}$ et $\vect{\text{AH}}$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (GM) est :\index{equation de droite@équation de droite}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + t\\
y&=&1 - t\\
z&=&1 - t
\end{array}\right. \:\text{ avec}\: t \in \R.\]

		\item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (AH) est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
y&=&k\\
z&=&k
\end{array}\right. \:\text{ avec}\: k \in \R.\]

Montrer que le point d'intersection de (GM) et (AH), que l'on nommera N, a pour
coordonnées (0~;~2~;~2).\index{droites sécantes}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle AMN est un triangle rectangle en A.\index{triangle rectangle}
		\item Calculer l'aire de ce triangle.\index{aire de triangle}
	\end{enumerate}
\item Soit J le centre de la face BCGF{}.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point J.
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{FJ}}$ est un vecteur normal au plan (AMN).\index{vecteur normal}
		\item Montrer que J appartient au plan (AMN). En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point F sur le plan (AMN).
	\end{enumerate}
\item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par la formule :
\[\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h,\]
\index{volume de tétraèdre}

$\mathcal{B}$ étant l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGFM.\index{volume de pyramide}
\end{enumerate}

\bigskip@

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[2~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \sqrt{3x - 2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(6.5,2.5)
%\psframe(6.5,2.5)\psline(1.5,0)(1.5,2.5)\psline(0,2)(6.5,2)
%\uput[u](0.75,1.9){$x$}\uput[u](1.75,1.9){$2$}\uput[u](6.1,1.9){$+\infty$}
%\rput(0.75,1){$f(x)$}\uput[u](1.75,0){2}\uput[d](6,2){$+ \infty$}
%\psline{->}(1.9,0.3)(5.65,1.55)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\[\begin{tablvar}[stretch=1.2,intervalwidth=8em]{1}
\hline
x & 2 && +\infty \\
\hline
\variations{\mil{f(x)} & \bas{2} &&  \haut{+\infty}}
\hline
\end{tablvar}\]

On admet que la suite $\left(u_n\right)$ vérifiant $u_0 = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ est bien définie.\index{suite}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6$.\index{démonstration par récurrence}
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.

On admet qu'elle est solution de l'équation $f(x) = x$. Déterminer la valeur de $\ell$.

\item On considère la fonction \texttt{rang} écrite ci-dessous en langage Python.

On rappelle que sqrt($x$) renvoie la racine carrée du nombre $x$.\index{Python}

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{>{\cellcolor{lightgray!50}}c l}
1&from math import *\\
2&\\
3&def rang(a) :\\
4&\quad  u = 6\\
5&\quad n=0\\
6& \quad while u > = a :\\
7&\qquad u = sqrt(3*u - 2)\\
8&\qquad n = n+1\\
9& \quad return n\\
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer que \texttt{rang}(2.000001) renvoie une valeur ?
		\item Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction \texttt{rang}($a$) renvoie-t-elle un résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la suite $\left(v_n\right)$ vérifiant $v_0 = 6$ et, pour tout $n$, entier naturel, $v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}$ est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$.
\item Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_n \ne 2$ et on pose :

\[w_n = \dfrac{v_n - 1}{v_n - 2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme $w_0$.\index{suite géométrique}
		\item On admet que, pour tout $n$ entier naturel,

\[w_n - 1 = \dfrac{1}{v_n - 2}.\]

En déduire que, pour tout $n$ entier naturel,

\[v_n = 2 + \dfrac{1}{1,25 \times 2^n - 1}\]

		\item Calculer la limite de $\left(v_n\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_n < 2,01$ en résolvant
l'inéquation.\index{inéquation}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$, les termes $v_n$ et $u_n$ appartiennent à l'intervalle ]1,99~;~2,01[.

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
 Chaque réponse doit être justifiée.\\\index{Vrai--Faux}
 Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat.

Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.\index{combinatoire}

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Le nombre de codes différents pouvant être générés est \np{5040}.
\item Une étude a permis de considérer que :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une personne choisisse l'audioguide sachant qu'elle a acheté
son billet en ligne est égale à 0,8 ;
\item la probabilité qu'une personne achète son billet en ligne est égale à $0,7$ ;
\item la probabilité qu'une personne opte pour une visite sans audioguide
est égale à 0,32.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} La probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide
sachant qu'il a acheté son billet au guichet est supérieure à deux tiers.
\item On choisit au hasard 12 visiteurs de ce musée.

On suppose que le choix de l'option \og audioguide \fg{} est indépendant d'un visiteur à l'autre.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} La probabilité qu'exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l'audioguide est égale à $924 \times \np{0,2176}^6$.

\item Lorsqu'une personne dispose d'un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :
\begin{itemize}
\item un premier d'une durée de cinquante minutes,
\item un deuxième d'une durée d'une heure et vingt minutes,
\item un troisième d'une durée d'une heure et quarante minutes.
\end{itemize}

Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$&50~min &1 h 20 min&1 h 40 min \\ \hline
$P(X = x_i)$& 0,1& 0,6&0,3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} L'espérance de $X$ est 77 minutes.\index{espérance}
\end{enumerate}
%%%   fin Métropole, Amérique du Nord 9 septembre 2025
\newpage
%%%   Métropole 10 septembre 2025
\phantomsection
\hypertarget{Metropolesep2}{}
\label{Metropolesep2}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{10 septembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 10 septembre 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l’ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit \og dominant \fg. Les scientifiques cherchent à modéliser l’apparition de ce phénomène.

\begin{center}\emph{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes}\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - Premier modèle}

\medskip

À partir d’un échantillon de données, on considère une première modélisation :

\begin{itemize}
\item chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0,4$ ;
\item la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d’une année sur
l’autre.
\end{itemize}

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d’années où El Niño est dominant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.\index{loi binomiale}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.
		\item Calculer $P(X \leqslant 2)$. Que signifie ce résultat dans le contexte de l’exercice ?
	\end{enumerate}
\item Calculer $E(X)$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Second modèle}

\medskip

Après une étude d’un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparait plus pertinente :

\begin{itemize}
\item si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu’il le soit
encore l’année suivante est $0,5$
\item par contre, si le phénomène El Niño n’est pas dominant une année, alors la
probabilité qu’il soit dominant l’année suivante est $0,3$.
\end{itemize}

On considère que l’année de référence est 2023.

On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $E_n$ l’évènement \og le phénomène El Niño est dominant l’année $2023 + n$ \fg ;
\item $p_n$ la probabilité de l’évènement $E_n$.
\end{itemize}

En 2023, El Niño n’était pas dominant. On a ainsi $p_0 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :\index{arbre pondéré}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E_n~$}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$E_{n+1}$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{E_{n+1}}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E_n}~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$E_{n+1}$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{E_{n+1}}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Justifier que $p_1 = 0,3$.
\item En vous aidant de l’arbre, montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :

\[p_{n+1} = 0,2p_n + 0,3\]\index{suite}
\end{enumerate}

On cherche à prévoir l’évolution de l’apparition du phénomène El Niño.

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $(p_n)$.\index{limite de suite}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_n \leqslant \dfrac38$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $(p_n)$.
		\item En déduire la convergence de la suite $(p_n)$.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On cherche à déterminer la limite de la suite $(p_n)$.\index{limite de suite}

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = p_n - \dfrac38$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 0,2 et préciser son premier terme.\index{suite géométrique}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
		
		\[p_n = \dfrac38\left(1 - 0,2^n\right).\]
		
		\item Calculer la limite de la suite $(p_n)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse.\\ Chaque réponse doit être justifiée.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\index{Vrai--Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.

\textbf{Affirmation 1 :}

Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3\sin(2x + \pi)$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère donné.\index{combinatoire}

\textbf{Affirmation 2 :}

Une équation de la tangente à $C$ au point d’abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est $y = 6x - 3\pi$.\index{equation de tangente@équation de tangente}

\item On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = (2x + 1)\ln (x)$.

\textbf{Affirmation 3 :}

La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac2x$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(t) = 45\e^{0,06t} + 20$.\index{primitive}

\textbf{Affirmation 4 :}

La fonction $g$ est l’unique solution de l'équation différentielle\index{equation différentielle@équation différentielle}

\begin{center}$(E_1) : \quad  y' + 0,06y = 1,2$ vérifiant $g(0) = 65$.\end{center}

\item On considère l’équation différentielle :

\[(E_2) :\quad y' - y = 3\e^{0,4x}\]

où $y$ est une fonction positive de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.

\textbf{Affirmation 5 :}

Les solutions de l’équation $(E_2)$ sont des fonctions convexes sur $\R$.\index{convexité}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~8] par

\[f(x) = \dfrac{10\ln \left(- x^2 + 7x + 9\right)}{x}\]

Soit $C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l’inéquation $- x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$.\index{inéquation}
\item En déduire que pour tout $x \in ]0~;~8]$, on a $f(x) \geqslant 0$.
\item Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

La courbe $C_f$ est représentée ci-dessous.

Soit $M$ le point de $C_f$ d’abscisse $x$ avec $x \in ]0~;~8]$.

On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées.

Dans cette partie, on s’intéresse à l’aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle O$NMP$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(8.5,10)
\psframe[linewidth=1.25pt,fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](6.8,3.438)
\psframe[fillcolor=gray,fillstyle=solid](6.8,0)(6.6,0.2)
\psframe[fillcolor=gray,fillstyle=solid](0,3.438)(0.2,3.238)
\uput[dl](0,0){O}\uput[l](0,3.438){$P$}\uput[ur](6.8,3.438){$M$}\uput[d](6.8,0){$N$}
\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!50,gridlabels=0](0,0)(9,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{8}{7 x mul 9 add x dup mul sub ln 10 mul x div}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false](0,0)(8.5,9.99)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,labels=none]{->}(1,1)
\uput[d](0.5,0){\small $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\small $\vect{\jmath}$}
\uput[ur](4,7.6){\blue $(\mathcal{C}_f)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$.
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle ]0~;~8],

\[\mathcal{A}(x) = 10 \ln \left(-x^2 + 7x + 9\right)\]\index{calcul d'aire}

\item Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l’aire du rectangle O$NMP$ est
maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère un réel strictement positif $k$.

On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à [3,5~;~8] pour laquelle l’aire $\mathcal{A}(x)$ devient inférieure ou égale à $k$.

Pour ce faire, on considère l’algorithme ci-dessous.\index{Python}

Pour rappel, en langage Python, $\ln (x)$ s’écrit log ($x$).

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{c l}
1&from math import *\\
2&\\
3&def A(x) :\\
4&\quad return 10*log (- 1* x**2 + 7*x + 9)\\
5&\quad \\
6&def pluspetitevaleur(k) :\\
7&\quad x = 3.5\\
8&\quad while A(x).......... :\\
9& \qquad x = x + 0.1\\
10&\quad return ...........
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l’algorithme.
\item Quel nombre renvoie alors l’instruction \texttt{pluspetitevaleur}(30) ?
\item Que se passe-t-il lorsque $k = 35$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace}

On considère les points 

\begin{center}A$(4~;~-1~;~3)$,\quad B$(-1~;~1~;~-2)$,\quad C(0~;~4~;~5) et D$(-3~;~-4~;~6)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.\index{points non alignés}
	\end{enumerate}

On admet qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : $29x + 30y - 17z = 35$.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? Justifier.\index{points coplanaires}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.

L’objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points A, B, C, D.

On définit le plan médiateur d’un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C’est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $P_1$ le plan médiateur du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du milieu du segment [AB].
		\item En déduire qu'une équation cartésienne de $P_1$ est : $5x - 2y + 5z = 10$.
	\end{enumerate}
\item On note $P_2$ le plan médiateur du segment [CD].
	\begin{enumerate}
		\item Soit M un point du plan $P_2$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$.
		
Exprimer MC$^2$ et MD$^2$ en fonction des coordonnées de M.

En déduire qu’une équation cartésienne du plan $P_2$ est : $-3x - 8y + z = 10$.
		\item Justifier que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -2 - 1,9t\\
y&= &\phantom{-2 - 1,9}t\\
z&= & \phantom{-}4 + 2,3t
\end{array}\right.\: \text{où}\: t \in \R\]

Démontrer que $\Delta$ est la droite d’intersection de $P_1$ et $P_2$.
\end{enumerate}

On note $P_3$ le plan médiateur du segment [AC].

On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_3$ est : $8x - 10y - 4z= - 15.$

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_3$ sont sécants.\index{plans sécants}
\item Justifier que le point d’intersection entre $\Delta$ et $P_3$ est le point H.
\end{enumerate}
%%%   fin Métropole 10 septembre 2025 Jour 2
\newpage
%%%   Amérique du Sud 13 novembre 2025 Jour 1
\phantomsection
\hypertarget{AmeriSud1}{}
\label{AmeriSud1}

\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{13 novembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 13 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.\index{probabilités}

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.
\item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$.
\end{itemize}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$, l'évènement \og l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{e}}$ jour \fg{} et $p_n$ la probabilité de $V_n$.

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la valeur de $p_2$.
		\item Montrer que $p_3 = 0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.\index{arbre pondéré}
		\item Sachant que le $3\up{\text{e}}$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ?\index{probabilité conditionnelle}

On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V_n~$}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V_n}~$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$}
	}
}
\end{center}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant  1,\:\:  p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$.
\item On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$.

Pour cela, on utilise une fonction appelée \texttt{repas} programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.\index{Python}
\end{enumerate}
\hspace{-0.5cm}\vspace{-0.5cm}

\begin{center}
{\footnotesize
\begin{ttfamily}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\multicolumn{1}{c}{Programme 1}&\multicolumn{1}{c}{Programme 2}&\multicolumn{1}{c}{Programme 3}\\ 
\begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2}
1&def repas(n):\\
2&~~p=1\\
3&~~L=[p]\\
4&~~for k in range(1,n):\\
5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\
6&~~~~L. append(p)\\
7&~~~return(L)\\ \cline{2-2}
\end{tabular}&
\begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2}
1&def repas(n):\\
2&~~p=1\\
3&~~L=[p]\\
4&~~for k in range(1,n+1):\\
5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\
6&~~~~L. append(p)\\
7&~~return(L)\\ \cline{2-2}
\end{tabular}&
\begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2}
1&def repas(n):\\
2&~~p=1\\
3&~~L=[p]\\
4&~~for k in range(1,n):\\
5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\
6&~~~~L.append(p+1)\\
7&~~return(L)\\ \cline{2-2}
\end{tabular}\\
\end{tabularx}
\end{ttfamily}
}
\end{center}

\begin{enumerate}[start=4]
\item	\begin{enumerate}
		\item Lequel de ces programmes permet d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ ? Aucune justification n'est attendue.
		\item Avec le programme choisi à la question \textbf{a.} donner le résultat affiché pour 
		
$n = 5$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n \geqslant 1,\:\: p_n = 0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875$.\index{démonstration par récurrence}
\item En déduire la limite de la suite $(p_n)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ Chaque réponse doit être justifiée.\\Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe.\index{combinatoire}

\textbf{Affirmation 1}

47 poignées de mains ont été échangées.
\item Une course oppose 18 concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun.

\textbf{Affirmation 2}

Il y a \np{4896} possibilités de distribuer ces prix.
\item Une association organise une compétition de course de haies qui permettra d'établir un podium (le podium est constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d'arrivée). Sept sportifs participent au tournoi. Jacques est l'un d'entre eux.

\textbf{Affirmation 3}

Il y a 90 podiums différents dont Jacques fait partie.

\item Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires de même loi donnée par le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$&$-2$&$-1$&2&5\\ \hline
$P(X = x_i)$&0,1 &0,4 &0,3 &0,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et on considère $Y$ la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires.\index{somme de variables aléatoires}

\textbf{Affirmation 4}

$P(Y=4) = 0,25$.

\item Un nageur s'entraîne dans l'objectif de parcourir le $50$ mètres nage libre en moins de $25$ secondes. Au fil des entraînements, il s'avère que la probabilité qu'il y parvienne s'établit à $0,85$.

Il effectue, sur une journée, $20$ parcours chronométrés sur $50$ mètres. On note $X$ la variable  aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de $25$ secondes lors de cette journée.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,85$.\index{loi binomiale}

\textbf{Affirmation 5}

Sachant qu'il a atteint au moins $15$ fois son objectif, une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins 18 fois est $0,434$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion de ce médicament.

On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\textbf{Partie A : lectures graphiques}\index{lecture graphique}

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.6)(7.6,2.4)
\psgrid[unit=0.8cm,gridlabels=0pt,gridcolor=gray!50,subgridcolor=lightgray!50](-1,-2)(16,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.4,-0.6)(7.6,2.4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{5 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[d](6.8,-.2){\footnotesize temps en heures}
\uput[r](0,2.2){\footnotesize concentration en g/L}
%%%
%\psset{linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.2pt}
%\psline(0,1)(7.5,1)
%\psline(0.25,0)(0.25,1) \psline(2.5,0)(2.5,1)
%\psline[linestyle=solid,linewidth=2pt]{[-]}(0.25,0)(2.5,0)
%\psline[linecolor=blue](1,0)(1,1.84)% maximum
\end{pspicture*}
\end{center}

On a représenté ci-dessus la courbe représentative de la fonction $f$. Avec la précision permise par le graphique, donner sans justification :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le temps écoulé depuis l'instant de l'ingestion de ce médicament et l'instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle.
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(t) \geqslant 1$.
\item La convexité de la fonction $f$ sur l' intervalle [0~;~8].\index{convexité}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : détermination de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère l'équation différentielle\index{equation différentielle@équation différentielle}

\[(E) \::\qquad y' +y = 5\e^{-t},\]

d'inconnue $y$, où $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

On admet que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E') : \:\: y' + y = 0$.
\item Soit $u$ la fonction définie sur l’intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $u(t) = at\e^{-t}$ avec $a \in \R$.

Déterminer la valeur du réel $a$ telle que la fonction $u$ soit solution de l'équation $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f(0) = 0$.

Déterminer l'expression de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Dans cette partie, on admet que $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 5t \e^{-t}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.\index{limite de fonction}

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ puis dresser son tableau de variation complet.\index{variations de fonction}
\item Démontrer qu’il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 1$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}

On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ des réels $t_1$ et $t_2$.
\item Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à 1 gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence.

Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie D : concentration moyenne}

\medskip

La concentration moyenne du médicament (en gramme par litre de sang) durant la première heure est donnée par :

\[T_m = \displaystyle\int_0^1 f(t) \:\text{d}t\]\index{valeur moyenne d'une fonction}

où $f$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 5t\e^{-t}$.

Calculer cette concentration moyenne.

On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près.

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace}

On considère les points

\begin{center}A$\left(2\sqrt 3~;~0~;~0\right)$,\quad  B(0~;~2~;~0), \quad C(0~;~0~;~1)\quad et \quad K$\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}~;~\dfrac32~;~0\right)$.\end{center}\index{représentation paramétrique de droite}

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2.3)
%\psgrid
\psline(-4,-2)\psline(3.9,-0.7)\psline(0,2.3)
\psline[linecolor=blue]{->}(-1.1,-0.55)\psline[linecolor=blue]{->}(1.7,-0.285)\psline[linecolor=blue]{->}(0,1.8)
\pspolygon(-3.5,-1.73)(3.4,-0.6)(0,1.8)%ABC
\psline(0,1.8)(1.55,-0.9)%CK
\uput[ul](-3.5,-1.73){A} \uput[ur](3.4,-0.6){B} \uput[ul](0,1.8){C} \uput[d](0,0){O} \uput[dr](1.55,-0.9){K}
\uput[u](-0.5,-0.3){\blue $\vect{\imath}$} \uput[u](0.6,-0.1){\blue $\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.8){\blue $\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (CK) est :\index{représentation paramétrique de droite}

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& \dfrac{\sqrt 3}{2}t\\
y&=&\phantom{-}\dfrac32 t\\
y&=&- t + 1
\end{array}\right. \: (t \in \R)\]
\renewcommand\arraystretch{1.}

\item Soit M$(t)$ un point de la droite (CK) paramétrée par un réel $t$.

Établir que OM$(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$.
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f(t) = \text{OM}(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.\index{variations de fonction}
		\item En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.
	\end{enumerate}
\item En déduire que le point H$\left(\dfrac{\sqrt3}{8}~;~\dfrac38~;~\dfrac34\right)$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite~(CK).
\item Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point H est l'orthocentre (intersection des hauteurs d'un triangle) du triangle ABC.\index{produit scalaire}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC).\index{droite et plan orthogonaux}
		\item En déduire une équation du plan (ABC).\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}
	\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}
%%%   fin Amérique du Sud 13 novembre 2025 Jour 1
\newpage
%%%   Amérique du Sud 14 novembre 2025 Jour 2
\phantomsection
\hypertarget{AmeriSud2}{}
\label{AmeriSud2}

\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{14 novembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Sud 14 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.\\
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.}\index{probabilités}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70\,\% des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80\,\% des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne
le point dans 45\,\% des cas.

\medskip

Abel est au service.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $S$ : \og Abel réussit son premier service \fg
\item $G$ : \og Abel gagne le point \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire l'évènement $S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.\index{arbre pondéré}
\item Calculer $P(S \cap G)$.
\item Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0,695$.
\item Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?\index{probabilité conditionnelle}
\item Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.\index{evènements indépendants@évènements indépendants}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85\,\% des cas.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On teste successivement $20$~balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.\index{loi binomiale}
		\item Calculer $P(X \leqslant 18)$.
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées ?
		\item Déterminer l'espérance de $X$.\index{espérance}
	\end{enumerate}
\item On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon
de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$.
	
On considère la variable aléatoire
	
\[M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.\index{somme de variables aléatoires}
		\item Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant  1 - \dfrac{12,75}{n}$.\index{inégalité de Bienaymé-Tchebychev}\index{Bienaymé-Tchebychev}
		\item En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75~;~0,95[ avec une probabilité
supérieure à $0,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.\index{Q. C. M.}

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition
choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\emph{Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}\index{représentation paramétrique de droite}
\item On considère la droite $\Delta_1$ de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - 3t\\
y &=& 4 + 2t\\
z &=&\phantom{4 +2}t
\end{array}\right.$, où $t \in  \R$
ainsi que la droite $\Delta_2$ de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -4 + \phantom{2}s\\
y& =& \phantom{-}2 + 2s\\
z& =& - 1 + \phantom{2}s
\end{array}\right.$, où $s \in \R$.
\begin{enumerate}\index{droites parallèles}
\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles.
\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales.
\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes.
\end{enumerate}
\item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 + \phantom{2}t\\
y &=& 3 - \phantom{2}t\\
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right.$, où $t \in R$,
et le plan $P$ d'équation cartésienne : $4x + 2y - z + 3 = 0.$
	\begin{enumerate}\index{equation de plan@équation de plan}
		\item La droite $d$ est incluse dans le plan $P$.
		\item La droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$.
		\item La droite $d$ est sécante au plan $P$.
	\end{enumerate}
\item On considère les points A(3~;~2~;~1), B(7~;~3 ~;~1), C$(-1~;~4~;~5)$ et D$(- 3~;~3~;~5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
		\item Les points A, B et C sont alignés.
		\item $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$ sont colinéaires.
	\end{enumerate}
\item On considère les plans $Q$ et $Q'$ d'équation cartésienne respective $3x - 2y + z + 1 = 0$ et $4x + y - z + 3 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Le point R$(1~;~1~;~-2)$ appartient aux deux plans.
		\item Les deux plans sont orthogonaux.\index{plans orthogonaux}
		\item Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation
paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& \phantom{17}t\\
y& =& \phantom{1}7t + 4 \\
z& =& 11t + 7
\end{array}\right.$, où $t \in \R$.\index{plans sécants}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip


On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$
par :\index{suite}
\[ \left\{\begin{array}{l c l}
v_0 &=& \ln (4)\\
v_{n+1} &=& \ln \left(- 1 +2\e^{v_n}\right)
\end{array}\right. \qquad \text{et} \qquad w_n = (- 1 + \e^{v_n}.\]

On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et
les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-contre.
		
Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui,
saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra
d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B.

\begin{tabular}{|l |l|}\hline
Formule 1 &LN($-1 + 2$ * EXP(B2))\\ \hline
Formule 2 &= LN($-1 + 2$ * EXP(B2))\\ \hline
Formule 3 &= LN($-1 + 2$ * EXP(A2))\\ \hline
\end{tabular}
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$.\index{suite croissante}
		\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre
conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$.\index{démonstration par récurrence}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
{\small
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{lightgray}\bf} c |c|c|c|}\hline
\rowcolor{lightgray}	& \bf A & \bf B & \bf C\\ \hline
1 	&$n$&$v_n$& $w_n$\\ \hline
2&0 & 1,38629436 &3\\ \hline
3& 1& 1,94591015 &6\\ \hline
4& 2& 2,56494936 &12\\ \hline
5& 3& 3,21887582 &24\\ \hline
6& 4& 3,8918203 &48\\ \hline
7& 5& 4,57471098 &96\\ \hline
8& 6& 5,26269019 &192\\ \hline
9& 7& 5,95324333 &384\\ \hline
10& 8& 6,6450909 7 &768\\ \hline
11& 9& 7,33758774 &1536\\ \hline
12& 10& 8,03040956 &3072\\ \hline
13& 11& 8,72339402 &6144\\ \hline
14& 12& 9,41645983 &12288\\ \hline
15& 13& 10,1095663 &24576\\ \hline
16& 14& 10,8026932 &49152\\ \hline
17& 15& 11,4958302&98304\\ \hline
18& 16& 12,1889723&196608\\ \hline
19& 17&12,8821169& 393216\\ \hline
\end{tabular}}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, \: v_n = \ln \left(1 + 3 \times 2^n\right)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.\index{Python}

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{|l|}\hline
from math import*\\
def seuil(S):\\
\qquad V=ln(4)\\
\qquad n=0\\
\qquad while V < S :\\
\qquad  \quad n=n+1\\
\qquad  \quad V=ln(2*exp(V)-1)\\
\qquad return(n)\\ \hline
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large Exercice 4 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A : dénombrement}

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs \textbf{non nuls} compris entre $- 30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : \{$- 30~;~- 29~;~- 28~;~ ... - 1~;~1~;~ ... ~;~ 28~;~29~;~30$\}. Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.\index{combinatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de couples $(a~;~ c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?
\end{enumerate}

On considère l'évènement $M$ : \og l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes \fg, où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$.
\item Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte \np{1740} issues.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.\index{probabilités}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle\index{equation différentielle@équation différentielle}

\begin{center}$(E) :\quad  y' + 10y = \left(30x^2 + 22x - 8\right)\e^{-5x+1}$\quad avec \quad $x \in \R$\end{center}

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y' + 10y = 0$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\e^{-5x+ 1}.\]

On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$.
\item Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : étude de fonction}

\medskip

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2. 

On rappelle que, pour tout réel $x\:, f(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)\e^{-5x+ 1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$\index{limite de fonction}
\item En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).
\item En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal{C}_f$ possède deux tangentes horizontales.\index{extremum}
\item Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.\index{variations de fonction}
\item Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x)= 1$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
\item Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0,2$, on définit $I_m$ par $I_m = \displaystyle\int_{0,2}^m f(x)\:\text{d}x$.\index{intégrale}
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par

\[F(x) = \left(-\dfrac65 x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\e^{-5x+ 1}\]
est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ? 

Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%   fin Amérique du Sud 14 novembre 2025 Sujet 2
\newpage
%%%   Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 Jour 1
\phantomsection
\hypertarget{NCaledo1}{}
\label{NCaledo1}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{20 novembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

On dispose d’un sac et de deux urnes A et B.\index{probabilités}

\begin{itemize}
\item Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
\item L’urne A contient 5 billets : 3 billets de $50$~euros et 2 billets de $10$~euros.
\item L’urne B contient 4 billets : 1 billet de $50$~euros et 3 billets de $10$~euros.
\end{itemize}

\noindent
Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :
\begin{itemize}
\item si c’est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l’urne A.
\item si c’est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l’urne B.
\end{itemize}

\noindent

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A$ : le joueur obtient une boule avec la lettre A.
\item $C$ : le joueur obtient un billet de $50$ euros.
\end{itemize}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.\index{arbre pondéré}
\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og \emph{le joueur obtient une boule avec la lettre {\rm A} et un billet de $50$ }\euro ?
\item Démontrer que la probabilité $P(C)$ est égale à \np{0,3375}.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$~A~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{~$C$} \taput{\ldots}
	\TR{~$\overline{C}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{~$\overline{A}~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{~$C$} \taput{\ldots}
	\TR{~$\overline{C}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=4]
\item Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.

L'affirmation \og \emph{Il y a plus de $80\,\%$ de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre} B \fg{} est-elle vraie ? Justifier.\index{probabilité conditionnelle}
\item On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.

Exemple : si le joueur obtient un billet de $50$~\euro, on a $X_1 = 50$.

Montrer que l'espérance $E(X_1)$ est égale à $23,50$ et que la variance $V(X_1)$ est égale à $357,75$.\index{espérance}
\item Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2 $ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.

On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie : $Y = X_1 + X_2$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $E(Y) = 47$.
		\item Expliquer pourquoi on a $V(Y) = V(X_1) + V(X_2)$.\index{somme de variables aléatoires}
	\end{enumerate}	
\item Le joueur joue d'eux-mêmes une troisième, une quatrième,\ldots, une centième partie.

On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_3, \:X_4,\:\ldots, X_{100}$.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}$.

Démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $]\np{1950}~;~\np{2750}[$ 
 est supérieure ou égale à $0,75$.
\end{enumerate}

\noindent

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 4 points}

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points :
\begin{center}
A$(4~;~-4~;~4)$, \quad B$(5~;~-3~;~2)$, \quad C$(6~;~- 2;~;~3)$, \quad D(5~;~1~;~1)
\end{center}\index{géométrie dans l'espace}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en $B$.
\item Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :\index{equation de plan@équation de plan}

\[x - y - 8 = 0.\]

\item On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan (ABC).

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.\index{représentation paramétrique de droite}
		\item On note H le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.\index{projeté orthogonal}
		
Déterminer les coordonnées du point H.
		\item Montrer que DH $= 2\sqrt 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$.

On rappelle que le volume V d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule :\index{volume de pyramide}
\[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h\]
où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.
		\item On admet que l'aire du triangle BCD est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$.

En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan (BCD).\index{distance point-plan}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 \hfill 6 points}

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0~;~1]$ par :

\[f_n(x) = x^n \e^{1 - x}.\]\index{fonction exponentielle}

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~1]$ et on note $f'_n$ sa fonction dérivée.

\subsection*{Partie A}

Dans cette partie on étudie le cas où $n = 1$.

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $[0~;~1]$ par :

\[f_1(x) = x\e^{1 - x}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'_1(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0~;~1[$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.\index{variations de fonction}
\item En déduire que l'équation $f_1(x)= 0,1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0~;~1]$
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par \index{suite}

\begin{center}$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x) \:\text{d}x$ \quad c'est-à-dire \quad $u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \e^{1-x} \: \text{d}x$.\end{center}

On admet que $u_1 = \e - 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout $x \in [0~;~1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,
		
		\[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n\].
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,\index{suite décroissante}
		
		\[0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]
			
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :\index{intégration par parties}

\[u_{n+1} = (n + 1)u_n - 1.\]

\item On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction \texttt{suite()} :\index{Python}

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{|l|}\hline
from math import exp\\
~\\
def suite():\\
\quad u = \ldots\\
\quad for n in range (1, \ldots):\\
\quad \quad \quad u = \ldots\\
\quad return\\ \hline
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction \texttt{suite(n)} renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^8 \e^{1-x} \, \text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :

\[u_{n} \leqslant \frac{\e}{n+1}.\]

		\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}, en justifiant la réponse.\\
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.\\
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.}\index{Vrai--Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = \ln (x) - x^2.\]\index{fonction logarithme népérien}

\textbf{Affirmation 1 :} $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

\item On considère l’équation différentielle \index{equation différentielle@équation différentielle}

\[(E) : \quad - 2y' + 3y = \sin x + 8\cos x.\]

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = 2\cos x - \sin x.\]

\textbf{Affirmation 2 :} La fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.

\item On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[g(x) = \ln (3x + 1) + 8.\]

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 25$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+1} = g(u_n).\]

On admet que la suite $(u_n)$ est strictement positive.

\textbf{Affirmation 3 :} La suite $(u_n)$ est décroissante.\index{suite décroissante}

\item On considère une fonction affine $h$ définie sur $\R$.

On note $k$ la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = x^4 + x^2 + h(x)$.

\textbf{Affirmation 4 :} La fonction $k$ est convexe sur $\R$.\index{convexité}

\item Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.

Exemple : le mot BAC est possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

\textbf{Affirmation 5 :} Le mot EULER possède 120 anagrammes.\index{combinatoire}
\end{enumerate}
%%%   fin Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 Jour 1
\newpage
%%%   Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025 Jour 2
\phantomsection
\hypertarget{NCaledo2}{}
\label{NCaledo2}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{21 novembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 21 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie.

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

\section*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1 et le point I défini par $\vect{\text{FI}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{FB}}$.

On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.3)
\psframe(0.2,0.2)(3.8,3.8)%ABFE
\psline(3.8,0.2)(5.6,1.4)(5.6,5)(3.8,3.8)%BCGF
\psline(5.6,5)(2,5)(0.2,3.8)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2,1.4)(5.6,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,1.4)(2,5)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.8,0.2){B} \uput[r](5.6,1.5){C} \uput[l](2,1.5){D}
\uput[ul](0.2,3.8){E} \uput[ul](3.8,3.8){F} \uput[ur](5.6,5){G} \uput[u](2,5){H}
\uput[r](3.8,2.6){I}
\psdots(0.2,0.2)(3.8,0.2)(5.6,1.4)(2,1.4)(0.2,3.8)(3.8,3.8)(5.6,5)(2,5)(3.8,2.6)
\end{pspicture}
\end{minipage}\index{géométrie dans l'espace}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le triangle HAC.

\textbf{Affirmation 1 :} Le triangle HAC est un triangle rectangle.
\item On considère les droites (HF) et (DI).

\textbf{Affirmation 2 :} Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.\index{droites sécantes}

\item On considère un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~\pi[$.

On considère le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \sin(\alpha) \\ \sin(\pi - \alpha) \\ \sin(-\alpha) \end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation 3 :} Le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan (FAC).\index{vecteur normal}

\item Le cube ABCDEFGH possède 8 sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant 2 sommets distincts quelconques du cube.\index{combinatoire}

\textbf{Affirmation 4 :} $N = \dfrac{8^2}{2}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 6 points}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Dans le repère orthonormé (O~;~I, J) ci-contre, on a représenté :
\begin{itemize}
\item la droite d'équation $y = x$;
\item la droite d'équation $y = 1$;
\item la droite d'équation $x = 1$;
\item la parabole d'équation $y = x^2$.
\end{itemize}

On peut ainsi partager le carré OIKJ en trois zones.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
\psset{unit=5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\psline[linewidth=1.25pt](1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](1,1)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x dup mul}
\rput(0.2,0.7){ZONE 1}\rput(0.8,0.2){ZONE 2}\rput{45}(0.5,0.4){\red ZONE 3}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{center}\emph{Les parties {\rm B} et {\rm C} peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}\end{center}

\subsection*{Partie A}

Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
%\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
ZONE & ZONE 1 & ZONE 2 & ZONE 3 \\ \hline
AIRE & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{1}{6}$ \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsection*{Partie B : un premier jeu}\index{probabilités}

Un joueur lance une fléchette sur le carré ci-dessus. On admet que la probabilité qu'elle tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone. Ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la ZONE 3 est égale à $\dfrac{1}{6}$.

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Si la fléchette tombe sur la ZONE 3, alors le joueur lance une pièce équilibrée. Si la pièce tombe sur PILE, alors le joueur gagne, sinon il perd.
\item Si la fléchette tombe sur une autre zone que la ZONE 3, alors le joueur lance un dé équilibré à six faces. Si le dé tombe sur la FACE 6, alors le joueur gagne, sinon il perd.
\end{itemize}

\medskip

On note les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $T$ : \og la fléchette tombe sur la ZONE 3 \fg{} ;
\item[ ] $G$ : \og le joueur gagne \fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.\index{arbre pondéré}
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{2}{9}$.
\item On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la ZONE 3 ?\index{probabilité conditionnelle}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C : un second jeu}

Un joueur, appelé joueur $\no 1$, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l'aire de cette zone.

Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.

On note $X_{1}$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur \no 1. On note respectivement $E(X_{1})$ et $V(X_{1})$ l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X_{1}$.\index{espérance}\index{variance}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $E(X_{1})$.
		\item Montrer que $V(X_{1}) = \dfrac{5}{9}$.
	\end{enumerate}
\item  Un joueur \no 2 et un joueur \no 3 jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur \no 1. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres.

On note $X_{2}$ et $X_{3}$ les variables aléatoires donnant les gains des joueurs \no 2 et \no 3. On note $Y$ la variable aléatoire définie par $Y = X_{1} + X_{2} + X_{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que l'on ait $Y = 9$.\index{somme de variables aléatoires}
		\item Calculer $E(Y)$.
		\item Justifier que $V(Y) = \dfrac{5}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3\hfill 5 points}

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

\[ f(x) = \ln \left(\e^{\frac{x}{2}} + 2\right) \]\index{fonction exponentielle}\index{fonction logarithme népérien}

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \ln (9)$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = f(u_{n}) \]\index{suite}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.\index{fonction croissante}
\item Montrer que $f(2\ln (2)) = 2\ln (2)$.
\item Montrer que $u_{1} = \ln (5)$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :\index{démonstration par récurrence}

\[2\ln(2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}\]

\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.\index{suite convergente}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^{2} - X - 2 = 0$.\index{equation du second degré@équation du second degré}
		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $R$ de l'équation :

\[\e^{x} - \e^{\frac{x}{2}} - 2 = 0\]

		\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $f(x) = x$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} + 1\]\index{fonction logarithme népérien}

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.\index{limite de fonction}

En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.\index{asymptote}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a :

\[f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^{3}}\]

\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.\index{variations de fonction}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.\index{théorème des valeurs intermédiaires}
		\item Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.\index{signe d'une fonction}
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[g(x) = \ln(x)\]

On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine O. On considère un réel $x$ strictement positif et le point M de la courbe $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $x$. On note OM la distance entre les points O et M.

\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la quantité OM$^{2}$ en fonction du réel $x$.
		\item Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, la quantité OM$^{2}$ admet un minimum en $\alpha$.
		\item La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $]0~;~+\infty[$, est appelée distance du point O à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. On note $d$ cette distance.

Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.
	\end{enumerate}
	
\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\def\xmin {-1} \def\xmax {4} \def\ymin {-2} \def\ymax {2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticks=none, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
\def\g{x ln}% fonction logarithme
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{\xmax}{\g}
\psline(0,0)(2,0.693) \uput[u](2,0.693){M}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,0)(2,0.693) \uput[d](2,0){$x$} 
\uput[u](3,1.1){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\newpage

\renewcommand{\indexname}{\hfill\Large Index \hfill\null}

\phantomsection
\hypertarget{Index}{}
\label{Index}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat Spécialité : l'intégrale 2025}}
\lfoot{}
\rfoot{}
\setlength{\columnsep}{1cm}
\printindex

\end{document}