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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}

%: EXERCICE 1
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\emph{Les valeurs approchées des résultats seront données à $10^{-4}$ près}.

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un fabricant d'ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65~\% de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication:
\begin{itemize}
\item à la sortie de la machine A,\: 8~\% des ampoules présentent un défaut;
\item à la sortie de la machine B,\: 5~\% des ampoules présentent un défaut.
\end{itemize}
On définit les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item $A$: \og l'ampoule provient de la machine A\fg{};
\item $B$: \og l'ampoule provient de la machine B\fg{};
\item $D$: \og l'ampoule présente un défaut\fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d'une journée.
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
\item Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à \np{0,9305}.
\item L'ampoule tirée est sans défaut. 

Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A.
\end{enumerate}
\item On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d'une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à tirages avec remise.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positif $a$, $\displaystyle P(T\leqslant a) = \int\limits_0^a\lambda\e^{-\lambda x}\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(T\geqslant a)=\e^{-\lambda a}$.
\item Montrer que si $T$ suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs $t$ et $a$ on a
\[
P_{T\geqslant t}(T\geqslant t+a)=P(T\geqslant a).
\]
\end{enumerate}
\item Dans cette partie, la durée de vie en heures d'une ampoule sans défaut est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle d'espérance \np{10000}.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer la valeur exacte du paramètre $\lambda$ de cette loi.
\item Calculer la probabilité $P(T\geqslant \np{5000})$.
\item Sachant qu'une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant \np{7000} heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse \np{12000} heures.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu'il n'y a pas plus de 6~\% d'ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur \np{1000}.
\begin{enumerate}
\item Dans le cas où il y aurait exactement 6~\% d'ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% de la fréquence d'ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille \np{1000}.
\item A-t-on des raisons de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise~?
\end{enumerate}


%: EXERCICE 2
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}


\medskip

On munit  le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $\left\vert z-2\right\vert=1$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\mathcal{C}$ est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
\item Soit $a$ un nombre réel. On appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=ax$.\\
Déterminer le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ en fonction des valeurs du réel $a$.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 3
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}


\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\e^{1-x^2}$.
\begin{enumerate}
\item
Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
\emph{Indication: on pourra utiliser que pour tout réel $x$ différent de }\:$0$, 

$f(x)=\frac{\e}{x}\times\frac{x^2}{\e^{x^2}}$.

\smallskip

On admettra que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à 0.

\item \begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée.\\
Démontrer que pour tout réel $x$,
\[
f'(x)=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}.
\]
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{1-x}$.\\
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2.7,-1.6)(3.2,3)
\multips(0,-1)(0,0.5){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.7,0)(3.2,0)}
\multips(-2,0)(0.5,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.7)(0,3)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2.7,-1.7)(3.2,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{x*EXP(1.0-x^(2.0))}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{EXP(1.0-x)}
\begin{scriptsize}
\uput[45](-1,-1){\qqwuqq{$C_f$}}
\uput[-135](0.5,1.6487212707){\ccqqqq{$C_g$}}\uput[dl](0,0){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Le but de cette partie est d'étudier la position relative de ces deux courbes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre~?
\item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~0]$, $f(x)<g(x)$.
\item Dans cette question, on se place dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\
On pose, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)=\ln x-x^2+x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif,
\[
f(x)\leqslant g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\leqslant 0.
\]
On admet pour la suite que $f(x)=g(x)$ équivaut à $\Phi(x)=0$.
\item On admet que la fonction $\Phi$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Dresser le tableau de variation de la fonction $\Phi$. (Les limites en $0$ et $+\infty$ ne sont pas attendues.)
\item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)\leqslant 0$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide~?
\item Montrer que $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un unique point commun, noté $A$.
\item Montrer qu'en ce point $A$, ces deux courbes ont la même tangente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
\item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x$.
\item Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{multicols}{2}
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête égale à~1.

L'espace est muni du repère orthonormé $(D~;\vect{DC},\vect{DA},\vect{DH})$.

\smallskip

Dans ce repère, on a:

$D(0~;~0~;~0)$, $C(1~;~0~;~0)$, $A(0~;~1~;~0)$,

$H(0~;~0~;~1)$ et $E(0~;~1~;~1)$.

\smallskip

Soit $I$ le milieu de $[AB]$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5.1,5.1)
\psset{PointSymbol=*}
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,3){G}
\pstGeonode[PosAngle=-135](3,3){F}
\pstGeonode[PosAngle=180](1.2,1){D}
\pstTranslation[PosAngle=10]{C}{D}{B}[A]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{G}[H]
\pstTranslation[PosAngle=90]{C}{D}{F}[E]
\pstMiddleAB[PosAngle=-100]{C}{B}{J}
\pstMiddleAB{A}{B}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=10]{A}{E}{N}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{E}{H}{M}
\pstMiddleAB[PosAngle=135]{H}{G}{L}
\pstMiddleAB[PosAngle=180]{G}{C}{K}
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray](L)(M)(N)(I)(J)(K)(L)
\psline(C)(B)(A)(E)(H)(G)(C)
\psline(G)(F)(E)(F)(B)
\psline[linestyle=dashed](C)(D)(A)(D)(H)
\psline(K)(J)
\psline(I)(N)
\psline(L)(M)
\psline[linestyle=dashed](L)(K)
\psline[linestyle=dashed](M)(N)
\psline[linestyle=dashed](J)(I)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Soit $\mathcal{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.

\smallskip

On admet que la section du cube par le plan $\mathcal{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(BGE)$.
\item En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\item Montrer que le point $N$ est le milieu du segment $[AE]$.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HB)$.
\item En déduire que la droite $(HB)$ et le plan $\mathcal{P}$ son sécants en un point $T$ dont on précisera les coordonnées.
\end{enumerate}
\item Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre $FBGE$.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

On considère l'équation suivante d'inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs:
\begin{equation}
\tag{E}
7x-3y=1.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Un  algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières $(x~;~y)$ de l'équation (E) vérifiant $-5\leqslant x\leqslant 10$ et 

$-5\leqslant y\leqslant 10$.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabular}{ll}
Variables: & X est un nombre entier\\
& Y est un nombre entier\\
Début: & Pour X variant de $-5$ à 10\\
&\phantom{XXXX} (1) $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\
&\phantom{XXXXXXXX} (2) $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\
&\phantom{XXXXXXXX} Alors Afficher X et Y\\
&\phantom{XXXXXXXX} Fin Si\\
&\phantom{XXXX}Fin Pour\\
&Fin Pour\\
Fin&
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item
 Donner une solution particulière de l'équation (E).
 \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
 \item Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels que $-5\leqslant x\leqslant 10$ et $-5\leqslant y\leqslant 10$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.

\smallskip

On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation 
\[
7x - 3y-1=0
\]
On définie la suite $(A_n)$ de points du plan de coordonnées $(x_n~:~y_n)$ vérifiant pour tout $n$ entier naturel:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_0&=&1\\
y_0&=&2
\end{array}
\right.\qquad\text{et}\qquad
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_{n+1}&=& - \frac{13}{2}x_n + 3y_n\\[1.5ex]
y_{n+1}&=& - \frac{35}{2}x_n + 8y_n
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item
On note $M$ la matrice \renewcommand\arraystretch{1.5}$\begin{pmatrix}
\frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8
\end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1}. Pour tout entier naturel $n$, on pose 
 
$X_n=\begin{pmatrix}
x_n\\y_n
\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=MX_n$.
\item Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel $n$, $X_n$ en fonction de $M^n$ et $X_0$.
 \end{enumerate}
 \item On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}
 -2&-3\\-5&-7
 \end{pmatrix}$ et on admet que la matrice inverse de $P$, notée $P^{-1}$, est définie par $P^{-1}=\begin{pmatrix}
7&-3\\-5&2
 \end{pmatrix}$.
 \begin{enumerate}
 \item
  Vérifier que $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
  \item Pour tout entier naturel $n$, donner $D^n$ sans justification.
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = PD^nP^{-1}$.
 \end{enumerate}
 \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=\begin{pmatrix}
 -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex]
 -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n}
 \end{pmatrix}$.\\
 En déduire que, pour tout entier naturel $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
 \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\end{document}