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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2000~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Un groupe de vingt-deux personnes décide d'aller au cinéma deux samedis de 
suite pour voir deux films A et B.

Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.

Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont 
revoir le film B, et les autres vont voir le film qu'elles n'ont pas vu la 
semaine précédente.

Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. 
On considère les évènements suivants :

$A_1$ \og la personne interrogée a vu le film A le premier samedi \fg{} ;

$A_2$ \og la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi \fg{} ;

$B_1$ \og la personne interrogée a vu le film B le premier samedi \fg{} ;

$B_2$ \og la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi \fg.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités suivantes : $p(A_1)$ et $p(A_2)$.
		\item Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants :

\[p(A_2/A_1),~ p(A_2/B_1)~ \text{et}~ p(A_1 \cap A_2)\]

		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question.

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=2.8cm,nodesep=1.75pt]{\Tr{}} 
{
\pstree{\Tr{$A_{1}$}\taput{?}}
{\Tr{$A_{2}~~~~~~~?$}
\taput{?}\Tr{$B_{2}~~~~~~~?$}
\tbput{?}}
\pstree{\Tr{$B_{1}$}
\tbput{?}}{\Tr{$A_{2}~~~~~~~?$}
\taput{?}\Tr{$B_{2}~~~~~~~?$}\tbput{?}}
}
\end{center}
\bigskip

		\item Retrouver à partir de l'arbre pondéré que $p(A_2) = \dfrac{8}{11}$.
	\end{enumerate}
\item Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film $B$.

On appelle $X$ la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne 
interrogée, des deux séances de cinéma.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z + 
7$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(-~1)$ .
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait :

\[P(z) = (z+1)\left(z^2 + az + b\right).\]

		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O~;~ 
\vect{u},~\vect{v})$. (Unité graphique : 2~ cm.) On désigne par A,\: B,\: C et G 
les points du plan d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = - 1,~z_{\text{B}} = 2 + \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{\text{G}} = 3.\]
	\begin{enumerate}
		\item Réaliser une figure et placer les points A,\:B,\:C et G.
		\item Calculer les distances AB,~ BC et AC. En déduire la nature du triangle 
ABC.
		\item Calculer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{G}} - z_{\text{C}}}$. En déduire la nature du triangle GAC.
	\end{enumerate}
\item Soit $(D)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
\[\left(-~\vect{M\text{A}} + 2\vect{M\text{B}} + 
2\vect{M\text{C}}\right) \cdot \vect{\text{CG}} = + 12~~ (1)\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $G$ est le barycentre du système de points pondérés 
\[\left\{(\text{A},~- 1 )~ ;~(\text{B},~2)~ ;~ (\text{C},~2) 
\right\}.\]
		\item Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation 
$\vect{\text{G}M}. \vect{\text{CG}} = - 4 \quad (2)$.
		\item Vérifier que le point A appartient à l'ensemble $(D)$.
		\item Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation 
$\vect{\text{A}M} .\vect{\text{GC}} = 0$.
		\item En déduire l'ensemble $(D)$ et le tracer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Les points $A_0 = \text{O}~;~A_1~;~\ldots~;~A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre A, à 21~côtés, de sens direct.

Les points $B_0 = \text{O}~;~B_1~;~B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre B, à 15~côtés, de sens direct.

Soit $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{21}$ 
et $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}$.

On définit la suite $(M_n)$ de points par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  $M_0$ est l'un des points $A_0,~ A_1,~ A_{2},~\ldots,~ A_{20}$ ;
\item  pour tout entier naturel $n,~ M_{n + 1} = r_{\text{A}}(M_n).$

On définit la suite $(P_n)$ de points par :
\item $P_0$ est l'un des points $B_0,~ B_1,~B_{2},~\ldots,~B_{14}$ 
\item pour tout entier naturel $n,~ P_{n + 1} = r_{\text{B}}(P_n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant :

\[M_n = P_n = \text{O}.\]

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $M_0 = P_0 =$ O.
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la position du point $M_{\np{2000}}$ et celle du point $P_{\np{2000}}$. 
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $M_n = P_n =$ O.

En déduire l'ensemble $S$.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $M_0 = A_{19}$ et $P_0 = B_{10}$.
 
On considère l'équation $(E) : 7x - 5y = 1$ avec $x \in \Z$ et $y \in 
\Z$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une solution particulière $(a~;~b)$ de $(E)$.
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.
		\item En déduire l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant $M_n = P_n = O$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$ par :

\[ f(x) = x\ln \left(x^2\right) - 2x.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{}; unité graphique : 1~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude de} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x > 0,\: f(x) = 2x\ln x - 2x$ puis que $f(x) = 
2x\ln\dfrac{x}{\text{e}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $+~\infty$.
		\item Montrer que $f$ est dérivable en tout $x > 0$ ; calculer $f'(x)$ 
pour $x > 0$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Donner le tableau de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul l'abscisse du point d'intersection de la courbe 
$(\mathcal{C})$ avec l'axe des abscisses.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet sur l'intervalle [1~;~5] une unique solution et en donner la valeur décimale arrondie à $10^{-~2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +~ \infty[$ par 

\[\left\{ \begin{array}{l c l} 
F(0)& =& 0\\
F(x)& =& x^2\ln x-2 - \dfrac{3x^2}{2} \quad \text{si} \quad x > 0\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$ ; montrer que $F$ est dérivable en 0 et préciser $F'(0)$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+~\infty[ ,\: F'(x) = f(x)$.
	\end{enumerate}
\item On considère pour chaque entier $n$ positif ou nul, la droite $D_n$ d'équation 
$y = nx$.

On trouvera ci-dessous un tracé de la courbe $(\mathcal{C})$ et des droites 
$D_0,~ D_1 ,~ D_2.$

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture}(-5,-5)(20,22)
\multido{\d=-5+1}{28}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-5,\d)(20,\d)} 
\multido{\d=-5+1}{25}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\d,-5)(\d,22)} 
\psaxes[Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-5)(20,22)
\psline(-2,-2)(20,20)
\psline(-1,-2)(11,22)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{9}{x 2 exp ln x mul x 2 mul sub} 
\rput(18,0.5){$D_{0}$} \rput(16,18){$D_{1}$}
\uput[r](6,9){$(\mathcal{C})$} \rput(11,19){$D_{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $I_{n}$, d'abscisse strictement positive, intersection de $(\mathcal{C})$ et de $D_n$.

On appelle $P_n$ le point de l'axe des abscisses de même abscisse 
que $I_n$. Placer les points $I_0,~ I_1,~ I_2,~ P_0, P_1, P_2$ sur la figure 
donnée en annexe.
		\item Déterminer la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $D_{n}$ pour les 
abscisses appartenant à $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $n \geqslant 1$ , on considère le domaine $A_{n}$ situé dans le quart de 
plan défini par $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$, délimité par $(\mathcal{C}),~ 
D_{n-1}$ et $D_{n}$.

On note $a_{n}$ son aire, exprimée en unités d'aire.
	\begin{enumerate}
		\item Faire apparaître les domaines $A_1$ et $A_2$ sur la figure.
		\item Calculer l'aire $t_n$ du triangle O$P_{n}I_{n}$ , en unités 
d'aire.
		\item Calculer l'aire $u_n$, en unités d'aire, du domaine situé dans le quart de 
plan défini par $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$, délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des 
abscisses, et les parallèles à l'axe des ordonnées passant par $P_{0}$ 
et $P_{n}$.
		\item Vérifier que l'aire $v_{n}$ en unités d'aire, du domaine situé dans le quart 
de plan défini par $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ , délimité par $(\mathcal{C})$ , l'axe des 
abscisses et $D_{n}$, est $v_n = t_n - u_n = \text{e}^2\left(\text{e}^n - 1\right)$.
		\item Calculer alors $a_n$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est une suite géométrique.

En préciser la raison et le premier terme.
\end{enumerate}
\end{document}