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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Bac L facultatif}
\lfoot{\small{ Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat L Antilles-Guyane juin 2003 \decofourright}} \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 }\hfill 7 points}

\medskip

La courbe ($\Gamma$) ci-dessous représente dans un repère orthonormal une 
fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

La droite (T) est tangente à la courbe ($\Gamma$) au point A(1~;~1).

La tangente à la courbe ($\Gamma$) au point d'abscisse e est parallèle
 à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-2)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-2)(9,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,-2)(9,6)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](2.718,0){e}
\uput[d](9,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$} 
\psline{<->}(1,1.35914)(4,1.35914)
\psline(1,1)(9,5) \uput[ul](1,1){A}
\uput[ur](2.71828,1.35914){B}
\psdots(1,1)(2.71828,1.35914)(7.389,0)
\psline[linestyle=dotted](2.71828,0)(2.71828,1.35914)
\uput[u](4,2.5){(T)} \uput[ur](7.389,0){C}
\uput[d](9,-0.85){($\Gamma$)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{9}{x 2 div 2 x ln sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Par lecture graphique
	\begin{enumerate} 
		\item Donner le coefficient directeur de la droite (T)

		\item Donner $f(1)$ et $f'$(e)

		\item Déterminer les réels $x$ de l'intervalle $[1~;~ +\infty[$ qui vérifient 
$f'(x) \leqslant 0$.

		\item En tra\c{c}ant le plus précisément possible la tangente à la courbe ($\Gamma$)
 au point C, lire le coefficient directeur de cette tangente.
 
	\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $[1~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{x}{2} [ 2 - \ln (x)].\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'ordonnée du point B d'abscisse e

		\item Déterminer l'abscisse du point C, intersection de la courbe ($\Gamma$) avec l'axe des abscisses.
 
	\end{enumerate} 

\item La dérivée $f'$ de $f$ est définie sur $[1~;~+\infty[$ par $f'(x) = 
k \ln \left(\dfrac{\text{e}}{x}\right)$ o\`u $k$ est un nombre réel donné.

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier le résultat donné pour $f'$(e) à la question 1.

		\item Déterminer le réel $k$ sachant que $f'\left(\text{e}^2\right) = - 
\dfrac{1}{2}$.

		\item Donner une équation de la tangente à la courbe ($\Gamma$) au point C.

		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (T) et de la tangente à la courbe ($\Gamma$) au point C.
 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Le numéro I.N.S.E.E est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à
 droite :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item le premier chiffre est 1 s'il s'agit d'un homme et 2 s'il s'agit d'une femme ;
\item les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l'année de naissance ;
\item  les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ;
\item  les deux chiffres suivants désignent le département de naissance ;
\item  les trois chiffres suivants désignent la commune de naissance ;
\item  les trois chiffres suivants désignent le numéro d'inscription sur le registre d'état-civil ;
\item  les deux chiffres suivants désignent la clé K, calculée de la manière suivante :
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\hspace{1cm}- soit $A$ le nombre entier constitué par les 13 chiffres de gauche ;

\hspace{1cm}- soit $r$ le reste de la division euclidienne de $A$ par 97 ;

\hspace{1cm}- alors $K = 97 - r$.

Les 13 premiers chiffres (sans la clé) du numéro I.N.S.E.E de Sophie sont
 
2~85~07~86~183~048.

On note $A$ ce nombre et $r$ le reste de la division euclidienne de $A$ par 97.

\begin{enumerate} 
\item Donner le mois de l'année de naissance de Sophie.

\item
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les deux entiers $a$ et $b$ tels que $A = a \times 10^6 + b$ avec
		
$0 \leqslant b < 10^6$.

		\item En utilisant le reste de 100 dans sa division euclidienne par 97, montrer que $10^6 \equiv 27\quad  (\text{modulo} \quad 97)$.

		\item En déduire le reste $r$ de la division euclidienne de $A$ par 97.

	\end{enumerate}

\item Déterminer la clé $K$ du numéro I.N.S.E.E de Sophie.

\item Sophie, à qui l'on demande les treize premiers de son numéro I.N.S.E.E, inverse les deux derniers chiffre et répond 2 85 07 86 183 084 à la place de
 
2~85~07~86~183~048.

On note $B$ la réponse de Sophie.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la différence $B - A$ et en déduire que le reste de la division euclidienne de $B$ par 97 est égal à 21.
		\item L'erreur faite par Sophie peut-elle \^etre détectée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

On donnera les résultats sous forme irréductible.

On dispose d'un damier dont chacune des neuf cases est marquée d'un des trois
 nombres 1, 2 et 3 selon le schéma ci-contre :

\[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1 &2 &3\\ \hline
2 &3& 1\\ \hline
3 &1& 2\\ \hline
\end{tabularx}\]

On répartit au hasard trois pions indiscernables sur le damier (un pion par case)
 et on appelle $S$ la somme des trois nombres marqués sur les trois cases occupés
 par les pions.

Les répartitions sont toutes équiprobables.

\begin{enumerate} \item \'Ecrire le triangle de Pascal jusqu'à la dixième ligne et
en déduire $9 \choose 3$.

\[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n / p$	&0	& 1	& 2	& 3	& 4	& 5	&6	&7	&8	& 9\\ \hline
0 		&1	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
1		& 1	& 1	&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
2		& 1	& 2	&1	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
3		& 1	& 3	&3	&1	&	&	&	&	&	&\\\hline
4		& 1	& 4	&6	&4	& 1	&	&	&	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	& 	&	&	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&	&\\\hline
		& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	&\\\hline
		& 	&  	&	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}\]

\item On considère les évènements E, F et G suivants :

E : \og La somme $S$ est égale à 3 \fg{} ;

F : \og La somme $S$ est égale à 9 \fg{} ;

G : \og La somme $S$ est égale à 6 \fg.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les probabilités $p$(E) et $p$(F) des évènements E et F.

		\item Montrer que la probabilité de l'évènement G est égale à 
$\dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}

\item Soit A l'évènement : \og La somme $S$ est divisible par 3 \fg{} et B l'évènement : 
\og Les trois pions sont alignés en colonne, en ligne ou en diagonale \fg{}.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les probabilités $p$(A) et $p$(B) des évènements A et B.
		\item Calculer la probabilité $p_{\text{A}}(\text{B})$ de l'évènement B sachant que A est réalisé.
		\item Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 }\hfill 6 points}

\medskip

La population d'une ville augmente régulièrement de $10\:\%$ par an. En l'an 2000, elle était de \np{8000}~habitants.

\begin{enumerate} 
\item On désigne par $u_n$ le nombre théorique d'habitants estimé
pour l'année $(2000 + n)$. On a donc $u_0 = \np{8000}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.

		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ . En déduire l'expression du terme $u_n$ en fonction de $n$.

		\item Calculer le nombre d'habitants prévu pour l'année 2006.

		\item Déterminer en quelle année la population aura doublé.

	\end{enumerate}

\item On note $v_n$ l'augmentation par rapport à l'année précédente du nombre
 d'habitants constatée l'année $(2000 + n)$. On a donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n = u_n - u_{n - 1}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les termes $v_1$ et $v_2$.

		\item Exprimer le terme général $v_n$ en fonction de $n$.

		\item Calculer la somme $v_1 + v_2 + \cdots + v_n$ en fonction de $n$. Vérifier, pour le cas particulier $n = 6$, le résultat obtenu en \textbf{1. c.}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}