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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Antilles-Guyane juin 1999}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère les droites D$_{1}$, D$_{2}$, D$_{3}$ et D$_{4}$ d'équations respectives :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\begin{array}{l c l}
y&=&- \dfrac{5}{6}x + \dfrac{50}{3}\\ 
y&=&- \dfrac{2}{5}x + 15\\ 
y&=&- \dfrac{5}{4}x + 20\\ 
y&=&- x + 12
\end{array}\]
\renewcommand\arraystretch{1}
 
\begin{enumerate}
\item Construire ces droites dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. Unité graphique : 1~cm. 
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites D$_{1}$ et D$_{2}$. 
\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x		&\geqslant&0\\ 
y		&\geqslant&0\\ 
5x + 6y &\leqslant&100\\
2x + 5y	&\leqslant&75\\ 
5x + 4y	&\leqslant& 80 \\
x + y	&\geqslant&12 \\
\end{array}\right.\]

On hachurera la partie du plan qui ne convient pas. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour la fabrication de tartes on utilise de la farine, du beurre et des fruits.

Le tableau ci-dessous nous donne la quantité des différents composants, exprimée en grammes, selon la nature de la tarte.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Farine en g &Beurre en g &Fruits en g\\ \hline 
Tarte à pâte brisée		&250 &100 &500\\ \hline 
Tarte à pâte feuilletée &300 &250 &400\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Un restaurateur fabrique $x$ tartes à pâte brisée et $y$ tartes à pâte feuilletée et chaque jour il dispose de $5$~kg de farine, de $3,750$~kg de beurre et $8$~kg de fruits ; de plus il doit fabriquer au moins $12$~tartes chaque jour.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $x$ et $y$ doivent être solution du système de la première partie 3. 

Les couples suivants vérifient-ils le système d'inéquations donné : 

\[	(10~;~1) \quad;\quad (13~;~2)\quad 	\text{et} \quad(10~;~10)\:\: ?\]

\item Le bénéfice du restaurateur est de $35$~F sur une tarte à pâte brisée et de $40$~F sur une tarte à pâte feuilletée.
 
Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice B réalisé par la vente de $x$ tartes à pâte brisée et de $y$ tartes à pâte feuilletée.
 
Construire dans le repère de la première partie la droite à laquelle appartiennent les points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ correspondant à un bénéfice de $560$~F.
 
En expliquant la méthode, déterminer le nombre de tartes de chaque sorte à fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Chaque probabilité sera exprimée sous forme de fraction irréductible.}

\medskip
 
Dans une boite un jeune enfant dispose de quatre cubes : un jaune, un rouge, un vert, un bleu, et de deux boules : une rouge et une verte.
 
Il prend au hasard un objet puis, sans remettre le premier tiré, il en prend un second. Il obtient ainsi un couple d'objets que l'on appellera \og tirage \fg{} : (cube bleu ; cube rouge) est un tirage possible.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un arbre, trouver le nombre de tirages possibles. 
\item Trouver la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
A : \og il a obtenu deux cubes \fg{} ; 

B : \og il a obtenu deux boules \fg{} ;
 
C : \og il a obtenu soit un cube et une boule, soit une boule et un cube» ; 

D : \og il a obtenu deux objets de la même couleur \fg{} ; 

E : \og il a obtenu deux objets de couleur différente \fg{}. 

On suppose que tous les tirages sont équiprobables. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm) on considère la courbe $C$ représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur 
l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$ construite ci-après.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lire $f(1)$ ; $f(\text{e})$ ; $f'(1)$. 
\item Lire le sens de variation de $f$. Faire son tableau de variations. 
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 1$ puis l'équation $f(x) = 4$. 
\item Donner, à l'aide du graphique, une valeur approchée à $0,5$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$.
 
En déduire, selon les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$. 
\item Hachurer l'ensemble délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 
Donner, en unité d'aire, une valeur approchée à une unité près, de l'aire de cet ensemble.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{L'étude de cette partie consiste à vérifier par le calcul certains résultats de la partie précédente.}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$ par 

\[f(x) = 2x(1 - \ln x) + 1\]

et représentée par la courbe $C$ donnée dans la première partie.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $f(1)$ ; $f(\text{e})$ ; $f\left(\frac{1}{\text{e}}\right)$ ; $f\left(\text{e}^2\right)$. 
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de $f$ et étudier son signe. \item Établir le tableau de variations de $f$. 
\item Trouver une équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse e et construire cette tangente sur le graphique. 
\item Résoudre sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$, par le calcul, l'équation $f(x) = 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$ par 

\[F(x) = \dfrac{3}{2} x^2 - x^2 \ln x + x.\]
 
Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$.
		\item Calculer l'aire exacte, exprimée en unité d'aire, de la partie de plan délimitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
		
Exprimer cette aire en cm$^2$ puis en donner une valeur approchée à $0,1$~près (en cm$^2$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(8,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
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\end{pspicture}
\end{center}
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