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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique et celle de la Guadeloupe
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 14 septembre 2012}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\14 septembre 2012}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). 

Pour chaque question, une seule proposition exacte.
 
Indiquer sur la copie le numéro de chaque question, et recopier la réponse choisie ; aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Barème: une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = 2 - \text{e}^{2x - \ln (3)}\]
 
et soit $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} est croissante sur $\R$ & 
\textbf{b.~~} est décroissante sur $\R$ & \textbf{c.~~} n'est pas monotone sur $\R$ \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Le réel $f(1)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $5 - \text{e}^{2}$&\textbf{b.~~}  $\dfrac{6 - \text{e}^{2}}{3}$ &\textbf{c.~~} $- 0,46$ &
\textbf{d.~~} $\dfrac{\ln (3)}{2}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
\item La limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $+ \infty$ & 
\textbf{b.~~} $- \infty$ & 
\textbf{c.~~} $2$ & 
\textbf{d.~~}  $0$\\
\end{tabularx}

\medskip  
\item La tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $\ln (3)$ a pour équation:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $y = - 3x + 3 \ln (3) - 1$&\textbf{b.~~} $y = -3x - 1$ \\ 
\textbf{c.~~} $y = - 6x + 6\ln (3) - 1$&\textbf{d.~~} $y = - x + \ln (3) - 3$.\\
\end{tabularx}

\medskip  
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

L'entreprise E produit un modèle de lave-vaisselle. La production de ce lave-vaisselle est répartie sur trois sites industriels A, B, C, qui sont d'importances inégales.

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le site $A$ assure 60\,\% de la production.
\item[$\bullet~~$] Le site $B$ assure 30\,\% de la production.
\item[$\bullet~~$] Le site $C$ assure le reste de la production.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Après plusieurs années de commercialisation, on note que 37\,\% des lave-vaisselles en provenance du site $A$ connaissent une panne avant $5$ ans d'utilisation ; 25\,\% des lave-vaisselles provenant du site $B$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation, et 12\,\% de ceux provenant du site $C$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation.
 
On choisit au hasard un lave-vaisselle produit par l'entreprise E.

\medskip
 
Dans la suite on désigne par $A$, (respectivement par $B, C$) l'évènement \og le lave-vaisselle choisi est issu du site de production $A$ (respectivement $B, C$) \fg. 

On désigne par $S$, l'évènement \og le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans \fg ; $\overline{S}$ désigne l'évènement contraire de $S$.
 
\emph{Dans cet exercice les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs des probabilités $p(A)$ et $p(B)$. 
		\item On note $p_{A}(S)$ (respectivement $p_{B}(S),\: p_{C}(S)$) la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $A$ (respectivement $B,\: C$) est réalisé ; calculer $p_{A}(S), p_{B}(S)$ et  $p_{C}(S)$. 
		\item Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur les branches adéquates les probabilités données dans l'énoncé.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité que le lave-vaisselle provienne du site $A$ et connaisse une panne avant $5$ ans ? 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $0,309$. 
\item Le lave-vaisselle est tombé en panne avant $5$ ans d'utilisation ; quelle est la probabilité qu'il provienne du site $B$ ? 
\item \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
L'entreprise E assure le service après-vente : si le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans d'utilisation, elle finance la réparation, dont le prix est estimé à $110$~euros par appareil réparé. 

Déterminer, pour l'entreprise, le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

Les employés d'une grande zone commerciale ont le choix entre deux types de restaurants: un \og self \fg{} ou un restaurant \og traditionnel\fg{} avec service à la place. On admet que tous les employés mangent chaque jour dans l'un des deux restaurants. On a constaté que :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si un employé mange au \og self\fg{} un jour donné, alors le lendemain il y mange également avec une probabilité de $0,8$ ;
\item[$\bullet~~$] si un employé mange dans le restaurant \og traditionnel\fg{} un jour donné, alors le lendemain il change pour le \og self\fg{} avec une probabilité de $0,4$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
  
On choisit au hasard un employé de la zone commerciale.
 
Si $n$ est un entier naturel non nul, on appelle $s_{n}$ la probabilité que l'employé choisi mange au \og self \fg le $n$-ième jour, et par $t_{n} = 1 - s_{n}$ la probabilité qu'il mange au restaurant \og traditionnel \fg{} le $n$-ième jour.
 
Pour l'état initial, on admet que $s_{1} = t_{1} = 0,5$, c'est-à-dire que le premier jour, les probabilités de choix du \og self \fg{} ou du restaurant \og traditionnel \fg{} sont égales.
 
Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $P_{n}$ la matrice $P_{n} = \left(s_{n} \quad t_{n}\right)$.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. 
 \item Justifier l'égalité matricielle $P_{n+1} = P_{n} \times M$ où $M$ désigne la matrice 	$\begin{pmatrix}0,8&0,2\\ 0,4&0,6\end{pmatrix}$ et $n$ un entier  naturel non nul. 
\item Déterminer la probabilité que l'employé tiré au sort mange au \og self \fg{} le deuxième jour. 
\item Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter. 
\item Démontrer que pour tout entier nature $n$ non nul, on a : $s_{n+1} = \dfrac{2}{5}s_{n} + \dfrac{2}{5}$.  
\item Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $u_{n} = s_{n} - \dfrac{2}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $u_{1} =- \dfrac{1}{6}$. 
		\item Déterminer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, où $n$ est un entier naturel non nul.  
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $s_{n} = - \dfrac{1}{6}\times  \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1}	+ \dfrac{2}{3}$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(s_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Afin de mesurer l'évolution de l'utilisation du vélo, une communauté urbaine organise le comptage régulier des vélos en plusieurs points de l'agglomération. Le tableau ci-dessous indique le nombre moyen, sur un mois, de vélos comptés par jour. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois &Mars 2005 &Juin 2005 &{\footnotesize Décembre} 2005 &Juin 2006 &{\footnotesize Décembre} 2006 &Juin 2007\\ \hline 
Rang du mois : $x_{i}$ &0 &3 &9 &15 &21 &27\\ \hline 
Nombre moyen de vélos comptés par jour (en milliers) : $y_{i}$&3,9 &4,4 &5,1 &6,4 &7,1 &7,6\\ \hline 
\end{tabularx} 
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
On prendra pour unités graphiques : en abscisse, 1~centimètre pour représenter 3~mois et en ordonnées, 1~centimètre pour représenter 1~millier. 
\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer sur la représentation graphique. 
\item Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients obtenus à $10^{-2}$ près.

Tracer la droite d'ajustement sur la représentation graphique. 
\item À l'aide de l'ajustement réalisé, déterminer une estimation du nombre moyen de vélos que l'on pouvait prévoir par jour au mois de décembre 2007 (on arrondira le résultat à $10^{-1}$). 
\item On sait qu'en décembre 2007, le nombre moyen de vélos observés a été de $\np{7600}$. Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise dans l'estimation précédente. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}

\textbf{Partie A}

\end{center}
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : 

\[f(x) = 4\ln (3x + 1) - x + 3\] 

Le graphique de l'annexe donne la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur [0,5~;~18]. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~18], on a :

\[f^{\prime}(x)= \dfrac{- 3x + 11}{3x+ 1}.\]
 
\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0,5~;~18].
\item Vérifier que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution dans [0,5~;~18], que l'on note $\alpha$.
 
Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut. 
\item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : 

\[F(x) = \dfrac{4}{3}(3x + 1)\ln (3x + 1) - \dfrac{x^2}{2} - x.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~18]. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^8  f(x)\:\text{d}x$ et donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}

\textbf{Partie B}

\end{center}

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
On admet que le bénéfice réalisé par une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de pièces est égal à $f(x)$, en milliers d'euros, pour une production comprise entre $50$ pièces et $\np{1800}$ pièces.
 
En utilisant les résultats précédents et en justifiant, répondre aux questions suivantes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour quelle quantité de pièces produites, arrondie à l'unité, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice, arrondi à la dizaine d'euros ? 
\item Pour quelles quantités de pièces produites, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice supérieur ou égal à $\np{6000}$~euros ? 
\item Déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre $100$ et $800$~pièces.
 
On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100~euros près. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.6cm}
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\end{center}
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