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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Guadeloupe
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane ~\decofourright\\septembre 2008}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. 

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
  
On définit :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  

En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : }

\medskip
 
Étant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ 
définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
 
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

Justifier dans chaque cas. 

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
\item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ :

\[z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0.\]

\item On considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} - \text{i}$, B d'affixe  $z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$ et C le milieu de [OB] d'affixe $z_{\text{C}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2~cm pour unité.
		\item Montrer que le triangle OAB est équilatéral.
	\end{enumerate}

\item Soit D l'image de C par la rotation $r$ de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et E l'image de D par la translation $t$ de vecteur $2\vect{v}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points D et E sur une figure.
		\item Montrer que l'affixe $z_{\text{E}}$ du point E vérifie : $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2}\left[1 + \text{i}\left(4 - \sqrt{3}\right)\right]$.
		\item Montrer que OE = BE $ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$.
	\end{enumerate}
 \item Montrer que les points A, C et E sont alignés.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
 
\medskip
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On considère le système de congruences : 

\[(S) \left\{\begin{array}{l c l r}
n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ 
n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5)\\
\end{array}\right. 
,\: \text{où}\: n\: \text{désigne un entier relatif.}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $11$ est solution de $(S)$. 
\item Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$. 
\item Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$, où $k$ désigne un entier relatif. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ et $g$ celle qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z''$ définies par : 

\[z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.\]

\begin{enumerate}
\item  Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications $f$ et $g$. 
\item On considère les points $A_{0}$ et $B_{0}$ d'affixes respectives $a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $b_{0} =  4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$.
 
Soient $\left(A_{n}\right)$ et $\left(B_{n}\right)$ les suites de points définies par les relations de récurrences : 

\[A_{n+1} =  f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad  B_{n+1} =  g\left(B_{n}\right).\]

On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les affixes respectives de $A_{n}$ et $B_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de chacun des triangles O$A_{n}A_{n+1}$ ? 
		\item En déduire la nature du polygone $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points $B_{n}$ sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		
		\item Indiquer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}B_{n}},~\vect{\text{O}B_{n+2}}\right)$. 

		\item En déduire la nature du polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Montrer que les entiers $n$ pour lesquels les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système $(S)$ de la PARTIE A. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} 
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a :
		 
\[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\]
		 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ? 
		\item En utilisant les variations de la fonction $f$, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4}x + 1$. 
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. 
		
On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ définie pour tout $x$ de $\R$ par : 

\[f''(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.\]
	
	\end{enumerate}
\item On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. 

Tracer la courbe  $\mathcal{C}$, les tangentes $\mathcal{D}_{3},~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2~cm. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :  $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$.
		\item Soit $\lambda$ un réel strictement négatif. 
		
On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par  $\mathcal{D}_{1},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \lambda$ et $x = 0$.
 
Montrer que $\mathcal{A}(\lambda) = 4 \ln 4 - 4\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3\right)$. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. 

L'urne $U_{1}$ contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

L'urne $U_{2}$ contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher. 

\medskip

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne $U_{1}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{1}$ puis de tirer au hasard une bille de l'urne $U_{2}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{2}$. 

À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.
 
On note

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] $V_{1}$ l'évènement : \og le joueur tire une boule verte dans $U_{1}$ \fg 
\item[] $V_{2}$ l'évènement: \og le joueur tire une boule verte dans $U_{2}$ \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les évènements $V_{1}$ et $V_{2}$ sont indépendants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est $p = 0,06$. 
\item Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ? 
\item Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-4}$ près. 
\item On appelle $n$ le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois. 

On note $p_{n}$ la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

Déterminer la plus petite valeur de $n$ vérifiant $p_{n}  \geqslant  0,99$. 
\end{enumerate}
\end{document}