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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane juin 1999~ \decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Lors d'un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.) est utilisé. 

On s'intéresse à cinq questions de ce Q.C.M. supposées indépendantes. À chaque question sont associées quatre affirmations, numérotées 1, 2, 3 et 4, dont une  seule est exacte.
 
Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de  l'affirmation qu'il juge exacte ; sa réponse est correcte si l'affirmation qu'il  a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte.
 
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme  fractionnaire. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un candidat répond à chaque question au hasard, c'est-à-dire qu'il considère que les quatre affirmations correspondantes sont équiprobables. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : 

A : \og Le candidat répond correctement à la première des cinq questions~\fg{} ; 

B : \og Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur 
les cinq \fg. 
		\item On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note - 1 à toute  réponse incorrecte. 

Calculer la probabilité de l'évènement C : \og Le candidat obtient une 
note au moins égale à $10$ pour l'ensemble des cinq questions \fg. 
	\end{enumerate} 
\item On suppose maintenant qu'un candidat connaît la réponse 
correcte à deux questions et qu'il répond au hasard aux trois autres questions.
 
Quelle est alors la probabilité de l'évènement $C$ décrit au 
\textbf{1. b.} ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv.

On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout $\theta$ appartenant à 
$[0~;~2\pi[$, le point $M$ d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$. On désigne par  $P$ le point d'affixe $1 + z$ et par $Q$ le point d'affixe $z^2$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À partir du point $M$, donner une construction 
géométrique du point $P$ et une construction géométrique du point $Q$. 
Les points O,~ A,~$ M,~ P$ et $Q$ seront placés sur une même figure. 
\item Déterminer l'ensemble des points $P$ pour $\theta$ 
appartenant à $[0~;~2\pi[$. 

Tracer cet ensemble sur la figure précédente. 
\item Soit $S$ le point d'affixe $1 + z + z^2$~ où $z$ désigne 
toujours l'affixe du point $M$. Construire $S$, en justifiant la construction. 
\item Dans le cas où $S$ est différent de O, tracer la 
droite (O$S)$. Quelle conjecture apparaît, relativement au point $M$ ? 

Démontrer que le nombre $\dfrac{1 + z + z^2}{z}$ est réel, quel que soit 
$\theta$ appartenant à $[0~;~2\pi [$. 

Conclure sur la conjecture précédente. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points} 
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on donne le point A(12~;~18). On désigne par $B$  un point de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et par $C$ un point de l'axe 
$\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ tels que $\left(\vect{\text{A}B},~ 
\vect{\text{A}C}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$.
 
On appelle $x$ l'abscisse de $B$ et $y$ l'ordonnée de $C$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que le couple $(x~;~y)$ est solution de 
l'équation : 

\[(\text{E}) \quad  2x + 3y = 78.\] 

\item On se propose de trouver tous les couples $(B,~ C)$ de 
points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs. 

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'on est ramené à l'équation $(E)$, avec $x$ et $y$ appartenant à l'ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs. 
		\item À partir de la définition de $B$ et $C$, trouver une solution particulière 
$(x_0~;~y_0)$ de $(E)$ avec $x_0$ et $y_0$ appartenant à $\Z$. 
		\item Démontrer qu'un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs est solution de l'équation $(E)$ si, et seulement si, il est de la forme $(12 + 3k~;~18 - 2k)$, où $k$ appartient à $\Z$. 
		\item Combien y a-t-il de couples de points $(B,~ C)$ ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs, tels que :
		 
\[- 6 \leqslant x \leqslant 21 ~\text{et}~- 5 \leqslant y \leqslant 
14~ \text{?}\] 

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème\hfill 11 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'objet de ce problème est d'étudier une fonction à l'aide d'une fonction  auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan. 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{x}{x + 1} - 2 \ln (x + 1).\] 

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le 
tableau de variations de la fonction $f$. 

\item Calculer $f(0)$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par $\alpha$, 
appartient à $[- 0,72~;~- 0,71]$. 

\item Donner le signe de $f(x)$, pour $x$ appartenant à 
$]-~1~;~+~\infty[$.  

\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
  
Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble $]-~ 1~;~0[~ \cup~ 
]0~;~+~\infty[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{\ln (x + 1)}{x^2}.\] 

\begin{enumerate} 
\item Étude de $g$ aux bornes de son ensemble de définition 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs inférieures  et quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -~1} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} g(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item Sens de variation de $g$ 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$ et déduire, à l'aide de la partie A, son signe. 
		\item Montrer que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha \left(\alpha + 1\right)}$ . 
En déduire une valeur approchée de $g(\alpha)$ en prenant $\alpha = - 0,715.$ 
	\end{enumerate} 
\item Tableau de variations et représentation graphique de  $g$ 
	\begin{enumerate} 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
		\item Représenter graphiquement la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : $2$~cm). 
	\end{enumerate} 
\item Calcul d'aire 

Soit $a$ un réel strictement supérieur à $0$. On pose : 

\[I(a) = \int_1^a g(x)\: \text{d}x.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Donner, suivant les valeurs de $a$, une interprétation géométrique du réel $I(a)$. 
		\item En remarquant que, pour $x$ appartenant à $]0~;~+~\infty[$ : 

\[\dfrac{1}{x(1 + x)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}\] 

calculer $I(a)$ à l'aide d'une intégration par parties. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{a \to +~\infty} I(a)$ et $\displaystyle\lim_{a \to 0}  I(a)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}