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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane juin 1999~ \decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Lors d'un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.) est utilisé.

On s'intéresse à cinq questions de ce Q.C.M. supposées indépendantes. À chaque question sont associées quatre affirmations, numérotées 1, 2, 3 et 4, dont une  seule est exacte.

Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de  l'affirmation qu'il juge exacte ; sa réponse est correcte si l'affirmation qu'il  a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte.

Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme  fractionnaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un candidat répond à chaque question au hasard, c'est-à-dire qu'il considère que les quatre affirmations correspondantes sont équiprobables.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A : \og Le candidat répond correctement à la première des cinq questions~\fg{} ; 

B : \og Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur 
les cinq \fg.
		\item On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note $- 1$ à toute  réponse incorrecte.

Calculer la probabilité de l'évènement C : \og Le candidat obtient une 
note au moins égale à $10$ pour l'ensemble des cinq questions \fg.
	\end{enumerate} 
\item On suppose maintenant qu'un candidat connaît la réponse 
correcte à deux questions et qu'il répond au hasard aux trois autres questions.

Quelle est alors la probabilité de l'évènement $C$ décrit au 
\textbf{1. b.} ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv.

On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout $\theta$ appartenant à 
$[0~;~2\pi[$, le point $M$ d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$. On désigne par  $P$ le point d'affixe $1 + z$ et par $Q$ le point d'affixe $z^2$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À partir du point $M$, donner une construction 
géométrique du point $P$ et une construction géométrique du point $Q$.
Les points O,~ A,~$ M,~ P$ et $Q$ seront placés sur une même figure.
\item Déterminer l'ensemble des points $P$ pour $\theta$ 
appartenant à $[0~;~2\pi[$.

Tracer cet ensemble sur la figure précédente.
\item Soit $S$ le point d'affixe $1 + z + z^2$~ où $z$ désigne 
toujours l'affixe du point $M$. Construire $S$, en justifiant la construction.
\item Dans le cas où $S$ est différent de O, tracer la 
droite (O$S)$. Quelle conjecture apparaît, relativement au point $M$ ?

Démontrer que le nombre $\dfrac{1 + z + z^2}{z}$ est réel, quel que soit 
$\theta$ appartenant à $[0~;~2\pi [$.

Conclure sur la conjecture précédente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on donne le point A(12~;~18). On désigne par $B$  un point de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et par $C$ un point de l'axe 
$\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ tels que $\left(\vect{\text{A}B},~ 
\vect{\text{A}C}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$.

On appelle $x$ l'abscisse de $B$ et $y$ l'ordonnée de $C$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le couple $(x~;~y)$ est solution de 
l'équation :

\[(\text{E}) \quad  2x + 3y = 78.\]

\item On se propose de trouver tous les couples $(B,~ C)$ de 
points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'on est ramené à l'équation $(E)$, avec $x$ et $y$ appartenant à l'ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs.
		\item À partir de la définition de $B$ et $C$, trouver une solution particulière 
$(x_0~;~y_0)$ de $(E)$ avec $x_0$ et $y_0$ appartenant à $\Z$.
		\item Démontrer qu'un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs est solution de l'équation $(E)$ si, et seulement si, il est de la forme $(12 + 3k~;~18 - 2k)$, où $k$ appartient à $\Z$.
		\item Combien y a-t-il de couples de points $(B,~ C)$ ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs, tels que :

\[- 6 \leqslant x \leqslant 21 ~\text{et}~- 5 \leqslant y \leqslant 
14~ \text{?}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'objet de ce problème est d'étudier une fonction à l'aide d'une fonction  auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{x}{x + 1} - 2 \ln (x + 1).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le 
tableau de variations de la fonction $f$.

\item Calculer $f(0)$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par $\alpha$, 
appartient à $[- 0,72~;~- 0,71]$.

\item Donner le signe de $f(x)$, pour $x$ appartenant à 
$]-~1~;~+~\infty[$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble $]-~ 1~;~0[~ \cup~ 
]0~;~+~\infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{\ln (x + 1)}{x^2}.\]

\begin{enumerate}
\item Étude de $g$ aux bornes de son ensemble de définition
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs inférieures  et quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures.
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -~1} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Sens de variation de $g$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ et déduire, à l'aide de la partie A, son signe.
		\item Montrer que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha \left(\alpha + 1\right)}$.
En déduire une valeur approchée de $g(\alpha)$ en prenant $\alpha = - 0,715.$
	\end{enumerate}
\item Tableau de variations et représentation graphique de $g$
	\begin{enumerate} 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
		\item Représenter graphiquement la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : $2$~cm).
	\end{enumerate} 
\item Calcul d'aire 

Soit $a$ un réel strictement supérieur à $0$. On pose :

\[I(a) = \int_1^a g(x)\: \text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner, suivant les valeurs de $a$, une interprétation géométrique du réel $I(a)$.
		\item En remarquant que, pour $x$ appartenant à $]0~;~+~\infty[$ :

\[\dfrac{1}{x(1 + x)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}\]

calculer $I(a)$ à l'aide d'une intégration par parties.
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{a \to +~\infty} I(a)$ et $\displaystyle\lim_{a \to 0} I(a)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}