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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1999~\decofourright}}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4,5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans tout l'exercice on considère 20 boules indiscernables au toucher 
(10 noires et 10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune 
desquelles on placera 10 boules suivant un mode qui sera précisé dans chaque 
question.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit dix boules au hasard et on les met dans l'urne 
A. On place les dix autres boules dans l'urne B. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne 
contiennent chacune que des boules de même couleur ?  
		\item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes 
contiennent chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ?
	\end{enumerate} 
\item Soit $x$ un entier tel que $0 \leqslant x \leqslant 10$. On place 
maintenant $x$ boules blanches et $10 - x$ boules noires dans l'urne A et les $10 - x$ boules blanches et $x$ boules noires restantes dans l'urne B. On 
procède à l'expérience E : 
 
On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au 
hasard une boule de B et on la met dans A.
 
On désigne par M l'évènement \og chacune des deux urnes a la même 
composition avant et après l'expérience \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Pour cette question \textbf{a.}, on prend $x = 6$.
		
Quelle est la probabilité de l'évènement M ?
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à : 
\[\dfrac{1}{55} \left(- ~x^2 + 10x + 5\right).\] 
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'évènement M est-il plus 
probable que l'évènement contraire $\overline{\text{M}}$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv. Pour tout point $P$, on convient de noter $z_{P}$ son affixe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère dans l'ensemble des complexes l'équation 
(E) : ~$z^3 + 8 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que $z^3 +8 = (z+2) \left(az^2 + bz + c\right)$ pour tout complexe $z$. 
		\item Résoudre l'équation (E) (on donnera les solutions sous la 
forme $x + y$i, avec $x$ et $y$ réels).
		\item Écrire ces solutions sous la forme 
$r\text{e}^{\text{i}\theta}$ , où $r$ est un réel positif. 
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B, C d'affixes respectives -~2, 
1 - i$\sqrt{3}$ et 1 + i$\sqrt{3}$, le point D milieu de [OB] et la 
rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que R(A) = B, R(B) = C et R(C) = A. En déduire 
que le triangle ABC est équilatéral.
 
Placer A, B, C, D dans le plan. 
\item On considère le point L défini par 
$\vect{\text{AL}} = \vect{\text{OD}}$. Déterminer son affixe 
$z_{\text{L}}$.

Déterminer un argument de $\dfrac{z_{\text{L}}}{z_{\text{D}}}$.

En déduire que le vecteur $\vect{\text{OL}}$ est orthogonal 
au vecteur $\vect{\text{OD}}$ et au vecteur 
$\vect{\text{AL}}$.

Montrer que L est sur le cercle de diamètre [AO].
 
Placer L sur la figure. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points}	

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij.

On donne le point A(6 ; 0) et le point A$'$(0 ; 2).

À tout point $M$ de l'axe des abscisses différent de A on associe le 
point $M'$ tel que : 
\[\text{A}M = \text{A}'M' \quad \text{et} \quad 
\left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{A}'M'}\right) 
= \dfrac{\pi}{2} \quad \text{mod}~2\pi.\] 
On admet l'existence et l'unicité de $M'$.

On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour 
cette figure, on prendra $-4$ pour abscisse de $M$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point de l'axe des abscisses différent de A. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point $M'$ sur la figure.
		\item Pour cette question on pourra donner une démonstration 
purement géomé\-tri\-que ou utiliser les nombres complexes.
 
Démontrer qu'il existe une unique rotation, dont on précisera le centre, noté I 
et l'angle, qui transforme A en A$'$ et $M$ en $M'$.
 
Placer I sur la figure.
		\item Démontrer que la médiatrice de [$MM'$] passe par I. 
	\end{enumerate} 
\item On veut déterminer et construire les couples de points 
$(M,~ M')$ vérifiant la condition supplémentaire $MM' = 20$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer I$M$ et démontrer qu'il existe deux couples 
solutions : $\left(M_{1},~ M'_{1}\right)$ et $\left(M_{2},~ M'_{2}\right)$. 
		\item Placer ces quatre points sur la figure. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Étude d'une fonction et résolution d'une équation liée à cette 
fonction.

Dans tout le problème, on considère la fonction réelle $f$ de la 
variable réelle $x$ définie sur $] 0 ~;~+ \infty$[ par : 

\[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right).\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté 
à un repère orthonormal \Oij (unité graphique : 4 cm).

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\textbf{Étude du sens de variation de la fonction} ~\boldmath $f$ 
\unboldmath 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur ] 0 ;~$+~ \infty$[. En déduire le sens de variation de $f$ sur ] 0 ; $+~ \infty$[. 
		\item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et en 0. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ élément de l'intervalle I = 
[0,7 ; 0,9],~ $f(x)$ est aussi élément de I et que $|f'(x)| \leqslant 0,9$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose dans cette partie de montrer que l'équation $f(x) = x$ 
a une solution unique dans l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ et de donner 
une valeur approchée de cette solution à l'aide d'une suite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur ]0 ;~$ +~\infty$[ par : 
\[g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $g$ en +~$\infty$ et en 0. 
		\item Montrer que $g$ est une fonction strictement décroissante 
sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution 
unique, que l'on notera $\alpha$, appartenant à l'intervalle I = [0,7 ; 0,9]. 
Montrer que cette équation n'a pas d'autre solution dans $]0~ ; ~+ \infty[$. 
		\item Que peut-on en déduire pour l'équation $f(x) = x$ ? Sur le graphique joint en annexe, que l'on rendra avec la copie, figure la 
partie de la courbe $\mathcal{C}$ dont les points ont une abscisse comprise entre 0,7 et 0,9 et le segment [AB], où A et B sont les points de coordonnées respectives (0,7~;~0,7) et (0,9~;~0,9). Que représente le point de coordonnées ($\alpha ~;~f(\alpha))$ pour la courbe $\mathcal{C}$ et le segment [AB] ? Placer ce point sur le graphique joint en annexe. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite réelle $(a_{n})$ définie par $a_{0} 
= 0,7$ et $a_{n+1} = f(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n}$ est élément de I.
		\item Construire sur le graphique joint en annexe les éléments de $(a_{n})$ pour $n = 1,~2,~3,~4$.
Justifier que la suite n'est pas monotone. 
		\item Démontrer, en utilisant l'inégalité des accroissements finis, que 
\[\left|a_{n+1}- \alpha \right| \leqslant 0,9\left|a_{n}- \alpha \right|~ 
\text{pour tout entier}~ n.\] 
		\item Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que 
\[\left|a_{n} - \alpha \right| \leqslant (0,9)^n \times 0,2 ~\text{pour tout entier}~ n.\] 
En déduire que la suite ($a_{n}$) converge vers $\alpha$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $x < \alpha$ alors $f(x) > 
\alpha$ et que si $x > \alpha$ alors $f(x) < \alpha$. On admet que, 
pour tout entier naturel $n$ pair, $a_{n} < \alpha$ et que pour tout entier naturel $n$ impair, $a_{n} > \alpha$. 
		\item Le tableau de valeurs suivant a été écrit par un élève ayant 
recopié les résultats donnés par un logiciel informatique pour le 
calcul des valeurs approchées des termes de la suite $(a_{n})$, en ne 
retenant que les 5 premières décimales. Or, une valeur a été 
incorrectement recopiée.
 
Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle on est 
s\^ur que la valeur approchée écrite de $a_{n}$ est incorrecte ?\\ 
Pourquoi ? Soit $p$ cette valeur. Calculer à la calculatrice une 
valeur approchée de $a_{p}$ et vérifier la valeur approchée de $a_{p + 1}$ écrit dans le tableau.
 
Peut-on affirmer à l'aide de ce tableau que $0,806\:40 < \alpha < 
\np{0,80651}$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm} 
\[\begin{array}{| c | c || c | c |} \hline 
~~n =~~& a_{n} & ~~n =~~& a_{n}\\ \hline 
0 & \np{0,70000} & 12 & \np{0,80523}\\ \hline 
1 & \np{0,88730} & 13 & \np{0,80731}\\ \hline 
2 & \np{0,75471} & 14 & \np{0,80588}\\ \hline 
3 & \np{0,84371} & 15 & \np{0,80686}\\ \hline 
4 & \np{0,78172} & 16 & \np{0,80619}\\ \hline 
5 & \np{0,82383} & 17 & \np{0,80665}\\ \hline 
6 & \np{0,79472} & 18 & \np{0,80633}\\ \hline 
7 & \np{0,81461} & 19 & \np{0,80655}\\ \hline 
8 & \np{0,80091} & 20 & \np{0,80640}\\ \hline 
9 & \np{0,81029} & 21 & \np{0,80650}\\ \hline 
10 & \np{0,80884} & 22 & \np{0,80643}\\ \hline 
11 & \np{0,80826} & & \\ \hline 
\end{array}\] 

\newpage 

\begin{center} \textbf{Annexe 1} \end{center}
 
Partie de la courbe $\mathcal{C}$ dont les points ont une abscisse 
comprise entre 0,69 et 0,91 et le segment [AB], où A et B sont les points de 
coordonnées respectives (0,7 ; 0,7) et (0,9 ; 0,9).

\begin{center} 
\psset{xunit=30cm,yunit=30cm} 
\begin{pspicture}(0.68,0.68)(0.92,0.92) 
\psline(0.68,0.68)(0.92,0.92) 
\psline(0.68,0.68)(0.92,0.68) 
\psline(0.68,0.68)(0.68,0.92) 
\psline(0.7,0.68)(0.7,0.675) \psline(0.75,0.68)(0.75,0.675) 
\psline(0.8,0.68)(0.8,0.675) \psline(0.85,0.68)(0.85,0.675) 
\psline(0.9,0.68)(0.9,0.675) 
\psline(0.68,0.7)(0.675,0.7) \psline(0.68,0.75)(0.675,0.75) 
\psline(0.68,0.8)(0.675,0.8) \psline(0.68,0.85)(0.675,0.85) 
\psline(0.68,0.9)(0.675,0.9) 
\uput[ul](0.7,0.7){A} \uput[r](0.9,0.9){B} 
\rput(0.7,0.7){$\times$} \rput(0.9,0.9){$\times$} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.68}{0.92}{1 x div 1 add ln} 
\uput[d](0.7,0.68){0,70} \uput[d](0.75,0.68){0,75} 
\uput[d](0.8,0.68){0,80} 
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\uput[l](0.68,0.7){0,70} \uput[l](0.68,0.75){0,75} 
\uput[l](0.68,0.8){0,80} 
\uput[l](0.68,0.85){0,85}\uput[l](0.68,0.9){0,90} 
\rput{45}(0.77,0.75){$y = x$} \rput{-35}(0.87,0.7854){\blue $y = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)$} 
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}