\documentclass[14pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1999~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4,5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans tout l'exercice on considère 20 boules indiscernables au toucher (10 noires et 10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune desquelles on placera 10 boules suivant un mode qui sera précisé dans chaque question. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit dix boules au hasard et on les met dans l'urne A. On place les dix autres boules dans l'urne B. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent chacune que des boules de même couleur ? \item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes contiennent chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ? \end{enumerate} \item Soit $x$ un entier tel que $0 \leqslant x \leqslant 10$. On place maintenant $x$ boules blanches et $10 - x$ boules noires dans l'urne A et les $10 - x$ boules blanches et $x$ boules noires restantes dans l'urne B. On procède à l'expérience E : On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au hasard une boule de B et on la met dans A. On désigne par M l'évènement \og chacune des deux urnes a la même composition avant et après l'expérience \fg. \begin{enumerate} \item Pour cette question \textbf{a.}, on prend $x = 6$. Quelle est la probabilité de l'évènement M ? \item Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à : \[\dfrac{1}{55} \left(- ~x^2 + 10x + 5\right).\] \item Pour quelles valeurs de $x$ l'évènement M est-il plus probable que l'évènement contraire $\overline{\text{M}}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Pour tout point $P$, on convient de noter $z_{P}$ son affixe. \medskip \begin{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des complexes l'équation (E) : ~$z^3 + 8 = 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que $z^3 +8 = (z+2) \left(az^2 + bz + c\right)$ pour tout complexe $z$. \item Résoudre l'équation (E) (on donnera les solutions sous la forme $x + y$i, avec $x$ et $y$ réels). \item Écrire ces solutions sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ , où $r$ est un réel positif. \end{enumerate} \item On considère les points A, B, C d'affixes respectives -~2, 1 - i$\sqrt{3}$ et 1 + i$\sqrt{3}$, le point D milieu de [OB] et la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer que R(A) = B, R(B) = C et R(C) = A. En déduire que le triangle ABC est équilatéral. Placer A, B, C, D dans le plan. \item On considère le point L défini par $\vect{\text{AL}} = \vect{\text{OD}}$. Déterminer son affixe $z_{\text{L}}$. Déterminer un argument de $\dfrac{z_{\text{L}}}{z_{\text{D}}}$. En déduire que le vecteur $\vect{\text{OL}}$ est orthogonal au vecteur $\vect{\text{OD}}$ et au vecteur $\vect{\text{AL}}$. Montrer que L est sur le cercle de diamètre [AO]. Placer L sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij. On donne le point A(6 ; 0) et le point A$'$(0~;~2). À tout point $M$ de l'axe des abscisses différent de A on associe le point $M'$ tel que : \[\text{A}M = \text{A}'M' \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{A}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{mod}~2\pi.\] On admet l'existence et l'unicité de $M'$. On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on prendra $-4$ pour abscisse de $M$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point de l'axe des abscisses différent de A. \begin{enumerate} \item Placer le point $M'$ sur la figure. \item Pour cette question on pourra donner une démonstration purement géomé\-tri\-que ou utiliser les nombres complexes. Démontrer qu'il existe une unique rotation, dont on précisera le centre, noté I et l'angle, qui transforme A en A$'$ et $M$ en $M'$. Placer I sur la figure. \item Démontrer que la médiatrice de [$MM'$] passe par I. \end{enumerate} \item On veut déterminer et construire les couples de points $(M,~ M')$ vérifiant la condition supplémentaire $MM' = 20$. \begin{enumerate} \item Calculer I$M$ et démontrer qu'il existe deux couples solutions : $\left(M_{1},~ M'_{1}\right)$ et $\left(M_{2},~ M'_{2}\right)$. \item Placer ces quatre points sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Étude d'une fonction et résolution d'une équation liée à cette fonction. Dans tout le problème, on considère la fonction réelle $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $] 0 ~;~+ \infty$[ par : \[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right).\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij (unité graphique : 4 cm). \bigskip \textbf{Partie A} \textbf{Étude du sens de variation de la fonction} ~\boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur ] 0 ;~$+~ \infty$[. En déduire le sens de variation de $f$ sur ] 0 ; $+~ \infty$[. \item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et en 0. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ élément de l'intervalle I = [0,7 ; 0,9],~ $f(x)$ est aussi élément de I et que $|f'(x)| \leqslant 0,9$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On se propose dans cette partie de montrer que l'équation $f(x) = x$ a une solution unique dans l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ et de donner une valeur approchée de cette solution à l'aide d'une suite. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur ]0 ;~$ +~\infty$[ par : \[g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $g$ en +~$\infty$ et en 0. \item Montrer que $g$ est une fonction strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique, que l'on notera $\alpha$, appartenant à l'intervalle I = [0,7 ; 0,9]. Montrer que cette équation n'a pas d'autre solution dans $]0~ ; ~+ \infty[$. \item Que peut-on en déduire pour l'équation $f(x) = x$ ? Sur le graphique joint en annexe, que l'on rendra avec la copie, figure la partie de la courbe $\mathcal{C}$ dont les points ont une abscisse comprise entre 0,7 et 0,9 et le segment [AB], où A et B sont les points de coordonnées respectives (0,7~;~0,7) et (0,9~;~0,9). Que représente le point de coordonnées ($\alpha ~;~f(\alpha))$ pour la courbe $\mathcal{C}$ et le segment [AB] ? Placer ce point sur le graphique joint en annexe. \end{enumerate} \item On considère la suite réelle $(a_{n})$ définie par $a_{0} = 0,7$ et $a_{n+1} = f(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n}$ est élément de I. \item Construire sur le graphique joint en annexe les éléments de $(a_{n})$ pour $n = 1,~2,~3,~4$. Justifier que la suite n'est pas monotone. \item Démontrer, en utilisant l'inégalité des accroissements finis, que \[\left|a_{n+1}- \alpha \right| \leqslant 0,9\left|a_{n}- \alpha \right|~ \text{pour tout entier}~ n.\] \item Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que \[\left|a_{n} - \alpha \right| \leqslant (0,9)^n \times 0,2 ~\text{pour tout entier}~ n.\] En déduire que la suite ($a_{n}$) converge vers $\alpha$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $x < \alpha$ alors $f(x) > \alpha$ et que si $x > \alpha$ alors $f(x) < \alpha$. On admet que, pour tout entier naturel $n$ pair, $a_{n} < \alpha$ et que pour tout entier naturel $n$ impair, $a_{n} > \alpha$. \item Le tableau de valeurs suivant a été écrit par un élève ayant recopié les résultats donnés par un logiciel informatique pour le calcul des valeurs approchées des termes de la suite $(a_{n})$, en ne retenant que les 5 premières décimales. Or, une valeur a été incorrectement recopiée. Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle on est s\^ur que la valeur approchée écrite de $a_{n}$ est incorrecte ? Pourquoi ? Soit $p$ cette valeur. Calculer à la calculatrice une valeur approchée de $a_{p}$ et vérifier la valeur approchée de $a_{p + 1}$ écrit dans le tableau. Peut-on affirmer à l'aide de ce tableau que $0,806\:40 < \alpha < \np{0,80651}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \[\begin{array}{| c | c || c | c |} \hline ~~n =~~& a_{n} & ~~n =~~& a_{n}\\ \hline 0 & \np{0,70000} & 12 & \np{0,80523}\\ \hline 1 & \np{0,88730} & 13 & \np{0,80731}\\ \hline 2 & \np{0,75471} & 14 & \np{0,80588}\\ \hline 3 & \np{0,84371} & 15 & \np{0,80686}\\ \hline 4 & \np{0,78172} & 16 & \np{0,80619}\\ \hline 5 & \np{0,82383} & 17 & \np{0,80665}\\ \hline 6 & \np{0,79472} & 18 & \np{0,80633}\\ \hline 7 & \np{0,81461} & 19 & \np{0,80655}\\ \hline 8 & \np{0,80091} & 20 & \np{0,80640}\\ \hline 9 & \np{0,81029} & 21 & \np{0,80650}\\ \hline 10 & \np{0,80884} & 22 & \np{0,80643}\\ \hline 11 & \np{0,80826} & & \\ \hline \end{array}\] \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \end{center} Partie de la courbe $\mathcal{C}$ dont les points ont une abscisse comprise entre 0,69 et 0,91 et le segment [AB], où A et B sont les points de coordonnées respectives (0,7~;~0,7) et (0,9~;~0,9). \begin{center} \psset{xunit=30cm,yunit=30cm} \begin{pspicture}(0.68,0.68)(0.92,0.92) \psline(0.68,0.68)(0.92,0.92) \psline(0.68,0.68)(0.92,0.68) \psline(0.68,0.68)(0.68,0.92) \psline(0.7,0.68)(0.7,0.675) \psline(0.75,0.68)(0.75,0.675) \psline(0.8,0.68)(0.8,0.675) \psline(0.85,0.68)(0.85,0.675) \psline(0.9,0.68)(0.9,0.675) \psline(0.68,0.7)(0.675,0.7) \psline(0.68,0.75)(0.675,0.75) \psline(0.68,0.8)(0.675,0.8) \psline(0.68,0.85)(0.675,0.85) \psline(0.68,0.9)(0.675,0.9) \uput[ul](0.7,0.7){A} \uput[r](0.9,0.9){B} \rput(0.7,0.7){$\times$} \rput(0.9,0.9){$\times$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.68}{0.92}{1 x div 1 add ln} \uput[d](0.7,0.68){0,70} \uput[d](0.75,0.68){0,75} \uput[d](0.8,0.68){0,80} \uput[d](0.85,0.68){0,85} \uput[d](0.9,0.68){0,90} \uput[l](0.68,0.7){0,70} \uput[l](0.68,0.75){0,75} \uput[l](0.68,0.8){0,80} \uput[l](0.68,0.85){0,85}\uput[l](0.68,0.9){0,90} \rput{45}(0.77,0.75){$y = x$} \rput{-35}(0.87,0.7854){\blue $y = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}