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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 1994~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pourtour $x$ élément de $\R - \{- 2 \:;\: 0 \:;\: 2\}$, on a :

\[\dfrac{4}{x\left(x^2 - 4\right)} = - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2(x + 2)} + \dfrac{1}{2(x - 2)}.\]

\item Trouver une primitive sur $]2~;~+ \infty[$ de la fonction numérique $f$ définie par :

\[f(x) = \dfrac{4}{4\left(x^2 - 4\right)}.\]

\item  À l'aide d'une intégration par parties, calculer :

\[\displaystyle\int_3^4 \dfrac{8x\ln x}{\left(x^2 - 4\right)^2}\:\text{d}x.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les questions 1. et 2. sont indépendantes}

\emph{On donnera les résultats sous forme décimale arrondie au millième} 

\medskip

Voici quelques vers d'un poème de Pablo Neruda : 

\emph{Parmi les plumes qui effraient, parmi les nuits\\
Parmi les magnolias, parmi les télégrammes,\\ 
Parmi le vent du sud et l'ouest marin,\\
te voici qui viens en volant.} 

On recopie chacun des 29 mots de cette strophe (\og l' \fg{} compte pour un mot) sur un carton que l'on place dans une urne. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire simultanément et au hasard trois cartons parmi les 29. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'obtenir ensemble les trois mots: 
\og parmi, les, plumes \og. 
		\item Quelle est la probabilité de tirer au moins une fois le mot \og parmi \fg{} ? 
	\end{enumerate}
\item On tire maintenant un seul carton de l'urne. 
Quelle est la probabilité d'obtenir le mot \og parmi \fg{} ? 

On répète l'expérience 3 fois avec remise du carton tiré dans l'urne. 

Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois le mot \og parmi \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
 
La courbe $\Gamma$ ci-dessous représente la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~6]$ par : 

\[f(x) = \dfrac{2 \ln x - 1}{x}.\] 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(6.5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-3)(6.5,1)
\psaxes(0,0)(-0.9,-3)(6.5,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.635}{6}{x ln 2 mul 1 sub x div}
\rput(3.5,-2){(échelle 0,5)}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de $\Gamma$ et de l'axe des abscisses. 
\item Étudier graphiquement sur l'intervalle ]0~;~6] le signe de $f(x)$. 
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~6] par : 

\[F(x) = (\ln x)^2 - \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule pour $x = 1$. 
		\item Donner l'aire en cm$^2$ du domaine plan limité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$.
		 
On en donnera une valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction $F$ définie au A- 3. On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $F$ dans un repère orthonormal \Oij{ ayant pour unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $F$ en $0$. 
\item En utilisant la partie A, donner le sens de variation de $F$ puis dresser son tableau de variation. 
\item Après avoir factorisé $F(x)$, résoudre l'équation : $F(x) = 0$.

Interpréter graphiquement le résultat. 
\item Établir une équation de la tangente (T) à la courbe $(C)$ au point 
d'abscisse $1$.
\item Calculer les valeurs approchées à $0,1$ près de $F(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ : $0,25 \:;\: 0,5 \:;\: \sqrt{\text{e}} \:;\: \text{e} \:;\: 4 \:;\: 6$. 
\item Tracer la tangente (T) puis la courbe $(C)$ dans le repère \Oij. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\textbf{Calcul d'aire}

\medskip
 
1 	1 ( e-x ) 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x$ de $I = ]0~;~ + \infty[,$\: 

\[\dfrac{1}{3\left(\text{e}^x - 1\right)}  = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\text{e}^{- x}}{1 - \text{e}^{- x}} \right).\]
 
En déduire une primitive de la fonction définie par $f(x) - 2x$, sur $I$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\lambda$ un réel de l'intervalle $J = \left[\dfrac{3}{2}~; \text{e}^2\right]$. 
		
Montrer que l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par les deux droites d'équations $x = \ln \dfrac{3}{2}$ et $x = \ln \lambda$, la droite D et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à :
 
\[\dfrac{25}{3}\ \left[3\left(1 - \dfrac{1}{\lambda}\right)\right].\]
 
		\item Calculer $\lambda$ pour que cette aire soit égale à $\dfrac{25}{6}$.
		 
(On donnera la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur décimale apprrochée à $10^{-2}$ près par défaut.)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}