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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de Martinique
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Antilles-Guyane - 12 septembre 2014},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 12 septembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\12 septembre 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
 Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point.\\ Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $\ln \left(10 \text{e}^2\right)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $2\ln (10) + 2$&\textbf{b.~~} \np{4,302585093}& 
\textbf{c.~~}  $\ln (10) + 2$& \textbf{d.~~}  $2\ln (10 \text{e})$
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item On désigne par $n$ un nombre entier naturel. L'inégalité $0,7^n \leqslant 0,01$ est réalisée dès que :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $n \geqslant 12$& 
\textbf{b.~~} $n \geqslant 13$& 
\textbf{c.~~} $n \leqslant 13$& 
\textbf{d.~~} $n \geqslant 70$
\end{tabularx}
\medskip  

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 
\text{e}^{5x+2}$.
 
L'expression $f'(x)$ de la dérivée de $f$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$5\text{e}^{5x+2}$&
\textbf{b.~~}$\text{e}^{5x+2}$&
\textbf{c.~~}$2\text{e}^{5x+2}$&
\textbf{d.~~}$(5x + 2) \text{e}^{5x+2}$ 
\end{tabularx}
\medskip 
\item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan.
 
La valeur de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\text{e} - 2$& 
\textbf{b.~~} $2$& 
\textbf{c.~~} $1/4$&
\textbf{d.~~} $\ln (1/2)$ 
\end{tabularx}
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.25}{1.25}{2.71828 x exp 1 sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe ci-dessus, donnée à la question 4, a pour équation: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $y = \text{e}x + 1$& 
\textbf{b.~~} $y = \text{e}x - 1$& 
\textbf{c.~~} $y = -\text{e}x + 1$& 
\textbf{d.~~} $y = -\text{e}x - 1$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L} 
 
\medskip
 
\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Une entreprise fabrique des balles de tennis et dispose de trois chaines de fabrication appelées A, B, C.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] La chaine A fabrique 30\,\% de la production totale de l'entreprise. 
\item[ ] La chaine B en fabrique 10\,\%. 
\item[ ] La chaine C fabrique le reste de la production. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

En sortie de chaines, certaines balles peuvent présenter un défaut.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ]5\,\% des balles issues de la chaine A présentent un défaut. 
\item[ ]5\,\% des balles issues de la chaine B présentent un défaut. 
\item[ ]4\,\% des balles issues de la chaine C présentent un défaut.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard une balle dans la production de l'entreprise et on note les évènements : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ]$A$ : \og la balle provient de la chaine A \fg{} ; 
\item[ ]$B$ : \og la balle provient de la chaine B \fg{} ; 
\item[ ]$C$ : \og la balle provient de la chaine C \fg{} ; 
\item[ ]$D$ : \og la balle présente un défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre. 
\item Comment se note la probabilité de l'évènement \og la 
balle présente un défaut et provient de la chaine B \fg ? 
\item Montrer que $P(D)$, la probabilité de l'évènement $D$, vaut $0,044$. 
\item Calculer $P_{D}(A)$, la probabilité de $A$ sachant $D$, et donner un résultat arrondi à $0,001$. 
\item On choisit 5 balles au hasard dans la production totale qui est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise.
 
Quelle est la probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut? Arrondir le résultat à \np{0,0001} et justifier la réponse.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{nodesep=2pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{0,3}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,05}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }
	\pstree{\TR{$C$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}
} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Pour être homologuée par la Fédération Internationale de Tennis, le poids d'une balle de tennis doit être compris entre 56,7~grammes et 58,5~grammes.
 
On suppose que la variable aléatoire $X$ qui, à une balle choisie au hasard dans la production, associe son poids en gramme, suit la loi normale d'espérance $\mu = 57,6$ et d'écart-type $\sigma = 0,3$.

On arrondira les résultats au millième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une balle choisie au hasard soit homologuée ? 
\item Quelle est la probabilité qu'une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58~grammes? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 
 
\medskip
 
Dans le jeu vidéo \og Save the princess \fg, l'objectif est d'aller délivrer une princesse tout en récoltant des trésors situés dans les couloirs du château. 

Le plan du château est représenté par le graphe pondéré ci-dessous. Les sommets de ce graphe représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs reliant les salles entre elles. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\uput[ul](0.3,3.7){A} \uput[ul](2.5,5){B} \uput[u](4.5,5.4){C}
\uput[dl](2.6,2.5){D} \uput[d](3.2,0.3){E} \uput[ul](3.7,2.8){F}
\uput[ur](7.7,3.8){G}
\psdots(0.3,3.7)(2.5,5)(4.5,5.4)(7.7,3.8)(3.2,0.3)(2.6,2.5)(3.7,2.8)(7.7,3.8)
\pspolygon(0.3,3.7)(2.5,5)(4.5,5.4)(7.7,3.8)(3.2,0.3)(2.6,2.5)%ABCGED
\psline(0.3,3.7)(3.7,2.8)(2.6,2.5)%AFD
\psline(3.2,0.3)(3.7,2.8)(4.5,5.4)%EFC
\psline(3.7,2.8)(7.7,3.8)%FG
\rput(1.4,4.6){5} \rput(3.4,5.4){11} \rput(6,4.8){14} 
\rput(5.4,1.7){8} \rput(2.6,1.5){14} \rput(1.4,2.7){7} 
\rput(2,3.5){3} \rput(3.1,2.4){1} \rput(3.8,4){2} 
\rput(5.5,3.5){19} \rput(3.7,1.6){4} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le joueur se trouve dans la salle A. Il décide de visiter chacun des couloirs afin de trouver le plus de trésors possibles. Peut-il trouver un trajet lui permettant de passer par tous les couloirs une et une seule fois ? Justifier la réponse. 
\item Dans chaque couloir se trouve un certain nombre de monstres. Les étiquettes du graphe pondéré donnent le nombre de monstres présents dans les couloirs.
 
Le joueur souhaite, en partant de A, rejoindre la princesse enfermée dans la salle G. Déterminer le chemin qu'il doit prendre pour délivrer la princesse en combattant le moins de monstres possible.
 
Combien de monstres aurait-il alors à affronter ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour un joueur régulier, on estime que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] s'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $0,7$ ;
\item[ ] s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $0,6$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $P_{n} = \begin{pmatrix}u_{n}& v_{n}\end{pmatrix}$ l'état probabiliste lors de la $n$-ième partie où $u_{n}$ désigne la probabilité que la partie soit gagnée et $v_{n}$ celle que la partie soit perdue. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. On nommera les sommets $U$ (pour la partie gagnée) et $V$ (pour la partie perdue). 
\item En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre $U, V$. 
\item On suppose la première partie perdue, l'état probabiliste initial est donc $P_{1} = \begin{pmatrix}0& 1\end{pmatrix}$. 

Montrer que la probabilité que le joueur gagne la 3\up{e} partie est $0,52$. 
\item Déterminer la probabilité que le joueur gagne la 15\up{e} partie. 

Arrondir le résultat au centième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. 

Un producteur de légumes souhaite s'implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés \og bio \fg.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2500 foyers de la commune; 
80 foyers se déclarent intéressés par l'achat d'un panier par mois. 

Déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d'un panier mensuel. 

Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,02$ ? 

La commune compte \np{15000}~foyers. La condition pour démarrer l'entreprise est de réaliser une recette minimale de \np{3500}~euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20~euros l'un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum \np{1000}~paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 
 
\[C(x) = - \dfrac{1}{48}x^4 + \dfrac{5}{16}x^3 + 5x + 10.\]
 
Lorsque $x$ est exprimé en centaines de paniers, $C(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
 
On admet que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle [0~;~10], le coût marginal est donné par la 
fonction $C_{m} = C'$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $C_{m}(6)$, le coût marginal pour six cents paniers vendus. 
\item On note $C''$ la fonction dérivée seconde de $C$ et on a $C''(x) = - \dfrac{1}{4}x^2  + \dfrac{15}{8}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus grand intervalle de la forme $[0~;~a]$ inclus dans [0~;~10] sur lequel la fonction $C$ est convexe. 
		\item Que peut-on dire du point d'abscisse $a$ de la courbe de la fonction $C$ ? Interpréter cette valeur de $a$ en termes de coût.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

On admet que l'entreprise produit entre 0 et \np{1000}~paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20~euros le panier.
 
La recette mensuelle $R$, exprimée en centaines d'euros, ainsi que la fonction $C$ sont représentées par les courbes $C_{R}$ et $C_{C}$ sur le graphique donné en annexe.
 
Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. 
\item Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s'il produit et vend $500$ paniers dans le mois. 

Donner une valeur approchée à la centaine d'euros. 
\item Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de \np{5000}~euros dans un mois ? Argumenter la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En 2008, une entreprise internationale s'est dotée d'un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget \og déplacement des cadres \fg. 

Lors d'un conseil d'administration de fin d'année, le responsable du centre de visio-conférence fait le compte rendu suivant: on a observé un fort accroissement de l'utilisation de cette technologie, le nombre de visio-conférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20\,\% tous les ans.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On s'intéresse au nombre d'utilisations de la visio-conférence lors de l'année $2008 + n$. On modélise la situation par une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ où le terme $u_{n}$ est une estimation de ce nombre d'utilisations lors de l'année $2008 + n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la raison $q$ et le premier terme $u_{0}$ de cette suite. 
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Vérifier qu'en 2013 on a atteint 74~utilisations de la visio-conférence.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline 
\textbf{Variables :}& $n$ est un nombre entier naturel\\
					& $U$ et $A$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{Entrée :}	& Saisir $A$\\ 
\textbf{Traitement :}&Affecter à $U$ la valeur 30\\
					& Affecter à $n$ la valeur 0\\
					& Tant que $U < A$ faire\\
					&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
						$U$ prend la valeur $U + U \times 0,2$\\
						$n$ prend la valeur $n + 1$
 					\end{tabular}\\ 
					&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item On donne la valeur $100$ à $A$. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
		 
Les valeurs de $U$ seront données approchées par défaut à l'entier près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.5cm}|}\hline 
\textbf{Test $U < A$} 		&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}	& vrai	&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline 
\textbf{Valeur de } $U$		& 30& 36	&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline  
\textbf{Valeur de } $n$		& 0	& 1		&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme? 
		\item Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.
	\end{enumerate} 
\item Le coût de l'installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400.
 
À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage 

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 Partie C}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(11.5,210)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,210)}
\multido{\n=0+10}{22}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(11.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(11.5,210)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(11.5,210)
\psline(10,200)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 5 mul 16 div 5 x mul add 10 add x 4 exp 48 div sub}
\uput[u](10,0){En centaines de paniers}
\uput[u](0.9,210){En centaines d'euros}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}