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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 16 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L Antilles-Guyane
~\decofourright\\[4pt]16 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}\index{Q. C. M.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ sont deux évènements d'une expérience aléatoire. On note $\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$. On sait que : $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ et $P\left(A \cap B\right) = 0,42$. On peut affirmer que :\index{probabilité}
\begin{enumerate}
\item $P_A(B) = 0,3$.
\item $P\left(A \cup B\right) = 0,58$.
\item $P_B(A) = 0,84$.
\item $P\left(A \cap \overline{B}\right) = 0,28$.
\end{enumerate}
\item Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~5]$.\index{loi uniforme}
\begin{enumerate}
\item L'espérance de cette loi $X$ est $\dfrac{2}{5}$.
\item $p(X > 2) =\dfrac{3}{5}$.
\item $p(X \leqslant 2) =\dfrac{3}{5}$.
\item $p(X \leqslant 5) = 0$.
\end{enumerate}
\item Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de $100$~mL. On admet que le volume contenu dans le flacon peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $100$~mL et d'écart type $2$~mL.\index{loi normale}

\begin{enumerate}
\item $p(Y \leqslant 100) =0,45$.
\item $p(Y > 98) =0,75$.
\item $p(96 \leqslant Y \leqslant 104) \approx 0,95$.
\item $p(Y \leqslant 110) \approx0,85$.
\end{enumerate}
\item Un article de journal affirme, qu'en France, il y a 16 \% de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l'échantillon de la population française à étudier qui permettrait d'obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l'échantillon est :\index{intervalle de confiance}
\begin{enumerate}
\item 30.
\item 64.
\item 100.
\item 400.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0~;~1\right)$. La fonction $g$ est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu = 3$ et d'écart type $\sigma = 2$.\index{loi normale}

La représentation graphique de ces deux fonctions est :
\begin{enumerate}
\item ~

\psset{xunit=.65cm,yunit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.65cm,yunit=3.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
\psGauss[sigma=1,mue=0,linewidth=1.25pt,plotpoints=2000,linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=3,mue=2,linewidth=1.25pt,plotpoints=2000,linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{\bleu $\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](6.5,.05){\footnotesize{\prune{\prune $\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{xunit=.65cm,yunit=.65cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.65cm,yunit=3.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=.75, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu {$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](4.5,.25){\footnotesize{\prune{\prune $\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{xunit=.65cm,yunit=.65cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.65cm,yunit=3.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=3, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=2000, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=2000, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-3.5,.07){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](5.5,.1){\footnotesize{\prune{\prune $\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{xunit=.65cm,yunit=.65cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.65cm,yunit=3.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=2000, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=2000, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{\bleu $\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](5.5,.1){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Un particulier possède une piscine et décide de s'équiper d'un système automatique de remplissage pour tenir compte de l'évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu'il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4\,\% de la quantité d'eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de $2~\mathrm{m}^3$ d'eau par jour. 

Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient $75~\mathrm{m}^3$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube ($\mathrm{m}^3$), $n$ jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage.\index{suite}

Ainsi, $u_0 = 75$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

Est-elle géométrique ?\index{suite géométrique}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,96 \times u_n +2$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n-50$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_0$.\index{suite géométrique}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 25\times 0,96^n+50$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Si le volume d'eau dans la piscine est inférieur à $65 \mathrm{m}^3$, le niveau de l'eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d'eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l'algorithme suivant :\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{.65\linewidth}{|l X|c|}\hline
Variables :& $n$ est un nombre entier naturel & L1\\
 & $u$ est un nombre réel & L2\\
Traitement :& $n$ prend la valeur 0 & L3\\
& $u$ prend la valeur 75 & L4\\
& Tant que $u$ \dotfill & L5\\
& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$u$ prend la valeur \dotfill} & L6\\
& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$n$ prend la valeur $n+1$} & L7\\
& Fin Tant que & L8\\
Sortie :& Afficher $n$ & L9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes L5 et L6 de cet algorithme.
		\item Quel est le résultat affiché en sortie de cet algorithme ?
		\item Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le plan d'un centre de vacances. Les arêtes représentent les allées et les sommets, les carrefours. On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.25)(6.2,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleu}
\Cnode(0,1.5){A}\Cnode(1,3){B}\Cnode(1.5,0){C}\Cnode(3.5,3){D}\Cnode(3.5,0){E}\Cnode(4.5,1.5){F}\Cnode(6,1.5){G}
\sf{\footnotesize{
 \ncline{C}{A}\naput{110} \ncline{A}{B}\naput{75}
 \ncline{B}{C}\nbput{30} \ncline{C}{E}\naput{72}
 \ncline{E}{B}\nbput{42} \ncline{B}{D}\naput{50}
 \ncline{D}{F}\naput{103} \ncline{F}{E}\nbput{40}
 \ncline{E}{G}\nbput{93} \ncline{G}{F}\nbput{80}
\uput[l](0,1.5){A}\uput[u](1,3){B}\uput[d](1.5,0){C}\uput[u](3.5,3){D}\uput[d](3.5,0){E}\uput[l](4.5,1.5){F}\uput[r](6,1.5){G}
}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le service d'entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour C, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles ? Justifier la réponse.\index{graphe}
\item Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.
\item Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.\index{algorithme de Dijkstra}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du
centre ou à l'extérieur. On constate chaque jour que :
\begin{itemize}
\item 5 \% des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain ;
\item 20 \% des vacanciers ayant déjeuné à l'extérieur s'inscrivent pour déjeuner au centre de
vacances le lendemain.
\end{itemize}

On note $D$ l'état \og Déjeuner au centre de vacances \fg{} et $E$ l'évènement \og Déjeuner à l'extérieur \fg.

\begin{enumerate}
\item Construire un graphe modélisant cette situation.
\item Écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre
alphabétique.
\item Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxième jour ? Le cinquième jour ?
\item L'état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ est-il stable ?\index{matrice}
\item Peut-on affirmer qu'à terme, si les comportements des vacanciers restent les mêmes, 75~\% des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-4~;~10]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, et $f''$ sa dérivée seconde.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Le domaine $S$ grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 2$ et la droite d'équation $x = 4$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(11,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+4)*EXP(-.5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{2}{4}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](4,0)(2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5,-1)(11,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{10}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline{<->}(-3.5,5.43656)(-.5,5.43656)
\psdot(-2,5.43656)
\uput[ul](-2,5.4){\footnotesize{\prune{$A$}}}\uput[u](6.5,.3){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en la justifiant, la valeur de $f'(-2)$.\index{lecture graphique}
\item Par une lecture graphique, quel semble être le signe de $f'(4)$ ?
\item Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire du domaine $S$ grisé sur la figure.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
La fonction $f$ précédente est définie sur l'intervalle $[-4~;~10 ]$ par 

\[f(x) = (x +4)\mathrm{e}^{-0,5x}.\]

\begin{enumerate}
 \item
 		\begin{enumerate}
			 \item Montrer que $f'(x) = (- 0,5x - 1)\mathrm{e}^{-0,5x}$.\index{dérivée}
			 \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~10 ]$.
			 \item Montrer que sur l'intervalle $[1~;~6]$ l'équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution.

On notera $\alpha$ cette unique solution.
			\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
 	\end{enumerate}
 \item On admet que la dérivée seconde de $f$ est définie par $f''(x) = 0,25x\mathrm{e}^{-0,5x}$.
 \begin{enumerate}
  \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~10 ]$.
 \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion $I$ dont on calculera les coordonnées.\index{point d'inflexion}
  \end{enumerate} 
  \item \begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x-12)\mathrm{e}^{-0,5x}$. Comment peut-on montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-4 ; 10 ]$ ? \emph{On ne demande pas d'effectuer cette vérification.}
  \item Calculer $S =\displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\;\mathrm {d}x$.\index{intégrale}

On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par 

\[f(x) = 4 + \mathrm{e}^{-5x}.\]\index{fonction exponentielle}

On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

Le domaine $\mathcal{D}$ hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d'équation $y = a$, parallèle à l'axe des abscisses, selon l'exemple donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=8cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-.15,-.5)(1.3,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4+EXP(-5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=darkgray,hatchwidth=0.25pt] \grestore }
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(1,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-.15,-.5)(1.3,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(-.15,2.1)(1.3,2.1)
\uput[ul](0,2.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[ul](1.3,2.1){\footnotesize{\prune{$y=a$}}} \uput[u](.2,4.4){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la valeur $a = 3$ ne convient pas.
\item Déterminer à $0,1$ près une valeur de $a$ qui convienne.
\end{enumerate}
\end{document}